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第二章
函数的概念与性质
第3课时　函数的奇偶性、周期性
[考试要求]　1．了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义．
2．会依据函数的性质进行简单的应用．
链接教材·夯基固本
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且______________，那么函数f (x)就叫做偶函数 关于____对称
f (－x)＝
f (x)
y轴
奇偶性 定义 图象特点
奇函数 一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且_______________，那么函数f (x)就叫做奇函数 关于____对称
f (－x)＝
－f (x)
原点
2．周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D且_______________，那么函数y＝f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个____的正数，那么这个________就叫做f (x)的最小正周期．
f (x＋T)＝f (x)
最小
最小正数
[常用结论]
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f (x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f (0)＝0．如果函数f (x)是偶函数，那么f (x)＝f (|x|)．
(2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，
奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
(3)若y＝f (x＋a)是奇函数，则f (－x＋a)＝－f (x＋a)；若y＝f (x＋a)是偶函数，则f (－x＋a)＝f (x＋a)．
2．函数周期性常用结论
对f (x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f (x＋a)＝－f (x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f (x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f (x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
(4)若f (x＋a)＝f (x＋b)，则T＝|a－b|(a≠b)．
3．常见奇、偶函数的类型
(1)f (x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)为偶函数．
(2)f (x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)为奇函数．
(3)f (x)＝＝(a＞0且a≠1)为奇函数．
(4)f (x)＝loga为奇函数．
(5)f (x)＝loga(±x)(a＞0且a≠1)为奇函数．
(6)f (x)＝|ax＋b|＋|ax－b|为偶函数．
(7)f (x)＝|ax＋b|－|ax－b|为奇函数．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数． (　　)
(2)存在既是奇函数，又是偶函数的函数． (　　)
(3)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点． (　　)
×
√
×
二、教材经典衍生
1．(多选)(人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中为奇函数的是
(　　)
A．f (x)＝2x4＋3x2　　　 B．f (x)＝x3－2x
C．f (x)＝ D．f (x)＝x3＋1
√
√
2．(人教A版必修第一册P203练习T4改编)若f (x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0，2)时，f (x)＝2－x，则f (2 025)＝________．
　[∵f (x)的周期为2，∴f (2 025)＝f (1)＝2-1＝．]
　
3．(人教A版必修第一册P86习题3.2T11改编)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f (x)＝2x－2x＋a，则a＝________；当x<0时，f (x)＝_______________．
－2－x－2x＋1
－1
－1　－2－x－2x＋1　[∵f (x)是定义在R上的奇函数，∴f (0)＝0，即1＋a＝0，∴a＝－1．
∴当x0时，f (x)＝2x－2x－1，
设x<0，则－x>0，
∴f (－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1，
又f (x)为奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，
∴－f (x)＝2－x＋2x－1，
∴f (x)＝－2－x－2x＋1．]
4．(人教A版必修第一册P85练习T1改编)设奇函数f (x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f (x)的图象如图所示，则不等式f (x)<0的解集为____________________．
(－2，0)∪(2，5]
(－2，0)∪(2，5]　[由题图可知，当00；当20．
综上，f (x)<0的解集为(－2，0)∪(2，5]．]
考点一　函数奇偶性的判断
[典例1]　判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝；(2)f (x)＝(1＋x)；
(3)f (x)＝(4)f (x)＝log2(x＋)．
典例精研·核心考点
[解]　(1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f (x)的定义域为{－}，
从而f (x)＝＝0．
因此f (－x)＝－f (x)且f (－x)＝f (x)，
∴函数f (x)既是奇函数又是偶函数．
(2)函数f (x)＝(1＋x)的定义域满足0，则
由于定义域不关于原点对称，故f (x)既不是奇函数也不是偶函数．
(3)函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x<0时，－x>0，
则f (－x)＝(－x)2＋x＝x2＋x＝f (x)；
当x>0时，－x<0，
则f (－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f (x)；
综上可知：对于定义域内任意x，总有f (－x)＝f (x)成立，∴函数f (x)为偶函数．
(4)显然函数f (x)的定义域为R，
f (－x)＝log2[－x＋]＝log2(－x)＝log2(＋x)-1＝－log2(＋x)＝－f (x)，故f (x)为奇函数．
名师点评　判断函数奇偶性的两个必备条件及方法
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先判断函数的定义域是不是关于原点对称；
(2)判断f (x)与f (－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式( f (x)＋f (－x)＝0(奇函数)或
f (x)－f (－x)＝0(偶函数))是否成立．
(3)判断函数奇偶性的方法：①定义法；②图象法．
[跟进训练]
1．(1)(2024西藏拉萨模拟)若函数f (x)＝x－，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．f (x＋1)－2 B．f (x－1)－2
C．f (x－1)＋2 D．f (x＋1)＋2
(2)已知函数f (x)对任意x，y∈R，都有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋2，则函数f (x)＋2为________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
奇
√
(1)C　(2)奇　[(1)因为f (x)＝x－＝x＋1－－1＝x＋1＋－2，
所以f (x－1)＋2＝x＋，
由于g(x)＝x＋定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
又g(－x)＝－x－＝－g(x)，
故g(x)＝x＋为奇函数，故f (x－1)＋2为奇函数，
其他选项均不符合要求．故选C．
(2)由题意得函数f (x)的定义域为R，定义域关于原点对称，
令x＝y＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)＋2，故f (0)＝－2．
令y＝－x，则f (0)＝f (x)＋f (－x)＋2，故f (x)＋2＝－f (－x)－2＝
－[f (－x)＋2]．
故f (x)＋2为奇函数．]
【教用备选题】
(多选)设函数f (x)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．|f (x)|是偶函数
B．－f (x)是奇函数
C．f (x)|f (x)|是奇函数
D．f (|x|)f (x)是偶函数
√
√
√
ABC　[对于A，B，C，用定义验证正确；因为f (x)＝，则
f (－x)＝＝－f (x)，所以f (x)是奇函数．
因为f (|－x|)＝f (|x|)，所以f (|x|)是偶函数，所以f (|x|)f (x)是奇函数，所以D错误．]
考点二　函数奇偶性的应用
考向1　利用奇偶性求值(解析式)
[典例2]　(1)(2023新高考Ⅱ卷)若f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　)
A．－1 B．0
C． D．1
√
(2)(2024山西大学附中期中)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝x3＋x＋1，则f (x)在R上的解析式为
___________________________________．
f (x)＝
(1)B　(2)f (x)＝　[(1)法一：由＞0，得x＞或x＜－，
∵f (x)是偶函数，∴f (－x)＝f (x)，
∴(－x＋a)ln ＝(x＋a)ln ，
又(－x＋a)ln ＝(－x＋a)ln ，
∴(x－a)ln ＝(x＋a)ln ，
∴x－a＝x＋a，得－a＝a，得a＝0．
故选B．
法二：因为f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，f (－1)＝(a－1)ln 3，f (1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋1)ln 3，所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0．故选B．
(2)因为函数f (x)是定义在R上的奇函数，则f (0)＝0．
当x<0时，则－x>0，可得f (x)＝－f (－x)＝－[(－x)3＋(－x)＋1]＝x3＋x－1，
所以f (x)＝]
名师点评　(1)选择、填空题中，已知奇偶性求参数值，可采用特值法，如f (－1)＝－f (1)，f (－1)＝f (1)．
(2)利用奇偶性求解析式，求谁设谁，自变量转移．
考向2　利用奇偶性解不等式
[典例3]　(1)已知函数f (x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b是定义在[－2c－1，c＋3]上的奇函数，则不等式f (2x＋1)＋f (a＋b＋c)＞0的解集为(　　)
A．(－2，4] B．(－3，5]
C． D．(－2，2]
√
(2)(2025湖南师大附中模拟)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，
f (x)在[0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝0，则不等式(2x－5)f (x－1)＜0的解集为(　　)
A．(－∞，－2)∪ B．(4，＋∞)
C．∪(4，＋∞) D．(－∞，－2)
√
(1)C　(2)C　[(1)因为函数f (x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b是定义在[－2c－1，c＋3]上的奇函数，
所以－2c－1＋c＋3＝0，
解得c＝2，又f (－x)＝－f (x)，
即－x3＋(a－2)x2－2x＋b＝－x3－(a－2)x2－2x－b，
所以2(a－2)x2＋2b＝0，所以解得所以f (x)＝x3＋2x，x∈[－5，5]，
因为y＝x3与y＝2x在定义域[－5，5]上单调递增，所以f (x)在定义域[－5，5]上单调递增，
则不等式f (2x＋1)＋f (a＋b＋c)＞0，即f (2x＋1)＋f (4)＞0，等价于
f (2x＋1)＞f (－4)，
所以解得－＜x2，即不等式的解集为．故选C．
(2)依题意，函数的大致图象如图：
因为f (x)是定义在R上的偶函数，在[0，＋∞)
上单调递减，且f (3)＝0，
所以f (x)在(－∞，0]上单调递增，且f (－3)＝0，
则当x＞3或x＜－3时，f (x)＜0；当－3＜x＜3时，f (x)＞0，
不等式(2x－5)f (x－1)＜0化为或所以
或或解得x＞4或x∈ 或－2＜x＜，即－2＜x＜或x＞4，
即原不等式的解集为∪(4，＋∞)．故选C．]
名师点评　(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合图象直观求解相关问题．
[跟进训练]
2．(1)函数y＝f (x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，若
f (a)，则a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．∪
√
(2)(2025河南三门峡模拟)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f (x)＝－x5－3x＋a－1，则f (－a)的值为________．
4
(1)C　(2)4　[(1)∵y＝f (x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，
∴y＝f (x)在[0，＋∞)上单调递减，
∵f (a)，
∴|a|，－a，a的取值范围是，故选C．
(2)由题意得f (0)＝a－1＝0，解得a＝1，
所以当x0时，f (x)＝－x5－3x，
所以f (－a)＝f (－1)＝－f (1)＝－(－1－3)＝4．]
【教用备选题】
已知函数f (x)＝sin x＋x3＋＋3，若f (a)＝1，则f (－a)＝________．
5　[根据题意，f (a)＝sin a＋a3＋＋3＝1，
即sin a＋a3＋＝－2，
所以f (－a)＝sin (－a)＋(－a)3＋＋3
＝－＋3
＝2＋3＝5．]
5
考点三　函数的周期性
[典例4]　(1)(2025福建三明期中)若偶函数f (x)满足f (x＋2)＋f (x)＝0，当x∈(0，1)时，f (x)＝＋1，则f ＝(　　)
A．2 B．
C． D．
(2)已知函数y＝f (x)，对任意x∈R，都有f (x＋2)f (x)＝k(k为常数)，且当x∈[0，2]时，f (x)＝x2＋1，则f (2 026)＝________．
√
5
(1)C　(2)5　[(1)由已知可得f (x＋2)＋f (x)＝0 f (x＋4)＋f (x＋2)＝0 f (x＋4)＝f (x)，
即T＝4是函数f (x)的一个周期，
所以f ＝f ＝f ＝＋1＝．故选C．
(2)因为对任意x∈R，都有f (x＋2)f (x)＝k(k为常数)，所以f (x＋4)f (x＋2)＝k，从而f (x＋4)＝f (x)，
即f (x)的周期为4，所以f (2 026)＝f (2)＝5．]
【教用备选题】
1．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，都有f (x－2)＝f (x＋2)，当x∈(0，2)时，f (x)＝x2，则f ＝(　　)
A．－　 　B．－　 　C．　 　D．
A　[由f (x－2)＝f (x＋2)，知y＝f (x)的周期T＝4，
又f (x)是定义在R上的奇函数，
∴f ＝f ＝f ＝－f ＝－．]
√
2．定义在R上的函数f 满足f ＝f －2，则下列函数中是周期函数的是(　　)
A．y＝f －x B．y＝f ＋x
C．y＝f －2x D．y＝f ＋2x
D　[依题意，定义在R上的函数f (x)满足f (x＋1)＝f (x)－2，所以f (x＋1)＋2(x＋1)＝f (x)＋2x，所以y＝f (x)＋2x是周期为1的周期函数．故选D．]
√
3．已知定义在R上的函数f (x)满足f (－x)＝－f (x)，f (3－x)＝f (x)，则f (2 025)＝________．
0　[用－x替代x，得到f (x＋3)＝f (－x)＝－f (x)，所以T＝6，所以
f (2 025)＝f (337×6＋3)＝f (3)．因为f (3－x)＝f (x)，所以f (3)＝f (0)＝0．所以f (2 025)＝0．]
0
名师点评　利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题；利用函数的周期性，能实现自变量的转移，把自变量大化小．
[跟进训练]
3．设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f (x＋2)＝
－f (x)．当x∈[0，2]时，f (x)＝2x－x2．
(1)f (x)的最小正周期是________；
(2)当x∈[2，4]时，f (x)＝____________；
(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 025)＝________．
(1)4　(2)x2－6x＋8　(3)1　[(1)∵f (x＋2)＝－f (x)，∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)．
∴f (x)是周期为4的周期函数，且f (x)的最小正周期是4．
4
x2－6x＋8
1
(2)当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，由已知得
f (－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2．
又f (x)是奇函数，∴f (－x)＝－f (x)＝－2x－x2．
∴f (x)＝x2＋2x．
又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，
∴f (x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
又f (x)是周期为4的周期函数，∴f (x)＝f (x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8．
即当x∈[2，4]时，f (x)＝x2－6x＋8．
(3)∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1，
且f (x)是周期为4的周期函数，
∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 020)＋
f (2 021)＋f (2 022)＋f (2 023)＝0．
∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 025)＝f (0)＋f (1)＝1．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．(2024北京朝阳二模)下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是(　　)
A．f (x)＝sin x B．f (x)＝cos x
C．f (x)＝ D．f (x)＝x3
13
课后作业(九)　函数的奇偶性、周期性
√
D　[f (x)＝sin x是奇函数，它在区间(k∈Z)上单调递增，在定义域内不是增函数，所以选项A是错误的；
f (x)＝cos x是偶函数，所以选项B是错误的；
f (x)＝既不是奇函数也不是偶函数，所以选项C是错误的；
f (x)＝x3满足既是奇函数又在其定义域上是增函数，所以选项D是正确的．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
2．(2025辽宁实验中学模拟)已知函数f (x)＝(x＋a－2)(x2＋a－1)为奇函数，则f (a)的值是(　　)
A．0 B．－12
C．12 D．10
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
D　[显然函数f (x)＝(x＋a－2)(x2＋a－1)的定义域为R且关于原点对称，
因为函数f (x)＝(x＋a－2)(x2＋a－1)为奇函数，
所以f (0)＝0，即(a－2)(a－1)＝0，即a＝2或a＝1，
且当a＝2时，有f (x)＝x(x2＋1)，从而有f (－x)＝－x(x2＋1)＝－f (x)，
当a＝1时，有f (x)＝x2(x－1)，但f (－1)＝－2≠－f (1)＝0，
所以a＝2，即f (x)＝x(x2＋1)，所以f (a)＝f (2)＝2×(22＋1)＝10．故选D．]
3．(2024重庆三模)已知f (x)是定义域为R的奇函数且满足f (x)＋
f (2－x)＝0，则f (20)＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．±1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
13
B　[由f (x)是定义域为R的奇函数，
则f (－x)＝－f (x)，且f (0)＝0，
又由f (x)满足f (x)＋f (2－x)＝0，
即f (2－x)＝－f (x)，
则有f (2－x)＝f (－x)，可得f (x＋2)＝f (x)，
即函数f (x)是周期为2的周期函数，
故f (20)＝f (0)＝0．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
4．若f (x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且f (x)＋g(x)＝2x，则f (0)＋g(1)＝(　　)
A．1 B．2
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
13
D　[f (x)＋g(x)＝2x，①
则f (－x)＋g(－x)＝2－x，
又f (x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，
∴－f (x)＋g(x)＝2－x，②
①②两式相加除以2得g(x)＝，
①②两式相减除以2得f (x)＝，
∴f (0)＝0，g(1)＝＝，
∴f (0)＋g(1)＝．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5．(2025江苏南通模拟)已知f (x)是定义域为R的奇函数，且f (x－2)是偶函数，当0x2时，f (x)＝x2－4x，则当6x8时，f (x)的解析式为(　　)
A．f (x)＝－x2－4x B．f (x)＝x2－16x＋60
C．f (x)＝x2－12x＋32 D．f (x)＝－x2＋12x－32
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[因为f (x)是定义在R上的奇函数，f (x－2)为偶函数，所以f (－x)＝－f (x)，f (－x－2)＝f (x－2)，
即f (－x)＝f (x－4)，所以f (x－4)＝－f (x)，
所以f (x＋4)＝－f (x)，可得f (x＋8)＝－f (x＋4)＝f (x)，
所以f (x)的周期为8，
又当0x2时，f (x)＝x2－4x，
当6x8时，则08－x2，所以f (8－x)＝(8－x)2－4(8－x)＝x2－12x＋32，
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
又由f (x)是周期为8的奇函数，
则f (x)＝f (x－8)＝－f (8－x)＝－(x2－12x＋32)＝－x2＋12x－32，
故f (x)＝－x2＋12x－32，x∈[6，8]．故选D．]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6．已知函数f (x)满足对于任意的实数x，都有f (x＋3)＝，且f (3)＝，则f (2 025)＝(　　)
A．－ B．
C．－1 D．1
13
√
B　[由f (x＋3)＝得f (x)的周期T＝6，f (2 025)＝f (337×6＋3)＝f (3)＝．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
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12
二、多项选择题
7．(2025重庆模拟)函数f (x)＝，g(x)＝ln (－3x)，那么(　　)
A．f (x)＋g(x)是偶函数
B．f (x)g(x)是奇函数
C．是奇函数
D．g(f (x))是奇函数
13
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
BC　[因为f (－x)＝＝f (x)，所以f (x)＝为偶函数，因为g(－x)＋g(x)＝ln (＋3x)＋ln (－3x)
＝ln [(＋3x)(－3x)]＝ln 1＝0，
即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)＝ln (－3x)为奇函数，所以f (x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
f (－x)g(－x)＝－[f (x)g(x)]，所以f (x)g(x)为奇函数，B正确；
题号
1
3
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6
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12
13
＝＝－，所以是奇函数，C正确；
令H(x)＝g( f (x))，H(－x)＝g( f (－x))＝g( f (x))＝H(x)，H(x)为偶函数，D错误．故选BC．]
题号
1
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12
8．(2025湖南长沙模拟)已知函数y＝f (x)是定义在R上的奇函数，且满足f (2＋x)＝f (2－x)，则下列说法正确的是(　　)
A．f (2 024)＝0
B．y＝f (x－2)是奇函数
C．f (4－x)＝－f (4＋x)
D．y＝f (x)是周期为4的周期函数
13
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
AC　[由函数y＝f (x)是定义在R上的奇函数，得f (－x)＝－f (x)且f (0)＝0．
由f (2＋x)＝f (2－x)，得f (4＋x)＝f (－x)＝－f (x)，即f (8＋x)＝f (x)，于是函数y＝f (x)的周期为8．
对于A，f (2 024)＝f (8×253)＝f (0)＝0，故A正确；
对于B，因为f (－x－2)＝－f (x＋2)＝－f (2－x)＝f (x－2)，f (x－2)的定义域是全体实数，
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
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12
所以y＝f (x－2)是偶函数，故B错误；
对于C，f (4－x)＝－f (x－4)＝－f ((x＋4)－8)＝－f (x＋4)，故C正确；对于D，y＝f (x)是周期为8的周期函数，故D错误．故选AC．]
13
题号
1
3
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2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
9．(2024广东佛山二模)已知定义在R上的偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递减，且f (1)＝2，则满足f (x)＋f (－x)>4的实数x的取值范围为________．
13
(－1，1)　
题号
1
3
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2
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(－1，1)　[由f (x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，故f (x)在
(－∞，0)上单调递增，
又f (1)＝2，故当f (x)>2，可得x∈(－1，1)，
又f (－x)＝f (x)，故f (x)＋f (－x)>4等价于f (x)>2，
故x的取值范围为(－1，1)．]
13
题号
1
3
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2
4
6
8
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9
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11
12
10．已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋6)＝f (x)，当－3x＜－1时，f (x)＝－(x＋2)2，当－1x＜3时，f (x)＝x，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 026)＝________．
13
339
题号
1
3
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2
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12
339　[因为f (x＋6)＝f (x)，所以f (x)的周期T＝6，于是f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f (4)＝f (－2)＝－(－2＋2)2＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋
f (4)＋f (5)＋f (6)＝1，而2 026＝6×337＋4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 026)＝337×1＋1＋2－1＋0＝339．]
13
题号
1
3
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2
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6
8
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12
11．(多选)已知定义域为R的函数f (x)满足： x，y∈R，f (x＋y)＋
f (x－y)＝f (x)f (y)，且f (1)＝1，则下列结论正确的是(　　)
A．f (0)＝2 B．f (x)为偶函数
C．f (x)为奇函数 D．f (2)＝－1
13
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
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12
ABD　[因为 x，y∈R，f (x＋y)＋f (x－y)＝f (x)f (y)，
取x＝1，y＝0可得f (1)＋f (1)＝f (1)f (0)，
又f (1)＝1，所以f (0)＝2，A正确；
取x＝0，y＝x可得f (x)＋f (－x)＝f (0)f (x)，
因为f (0)＝2，所以f (－x)＝f (x)，
所以f (x)为偶函数，C错误，B正确；
取x＝1，y＝1可得f (2)＋f (0)＝f (1)f (1)，
又f (1)＝1，f (0)＝2，所以f (2)＝－1，D正确．]
13
题号
1
3
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2
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6
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12
12．(2025浙江绍兴模拟)若定义在R上的偶函数f (x)满足f (－1)＝
f (x)＋f (x＋1)＝2，则f ＝_________，f (2 023)＋f (2 024)＋
f (2 025)＝________．
13
1
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题号
1
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2
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12
1　4　[在f (x)＋f (x＋1)＝2中令x＝－得f ＋f ＝2，
又f (x)为偶函数，所以2f ＝2，所以f ＝1．
由f (x)＋f (x＋1)＝2得f (x＋1)＋f (x＋2)＝2，所以f (x)＝f (x＋2)，所以f (x)的周期为2，
因为f (x)为偶函数，所以f (－1)＝f (1)＝2，
在f (x)＋f (x＋1)＝2中令x＝0得f (0)＋f (1)＝2，
所以f (0)＝0，
所以f (2 023)＋f (2 024)＋f (2 025)＝f (1)＋f (0)＋f (1)＝4．]
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题号
1
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2
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12
13．已知函数f (x)＝ln (＋x)＋x，若f (2x－1)＋f (2－x)＞0，则x的取值范围是__________________．
13
(－1，＋∞)　[因为函数f (x)＝ln (＋x)＋x的定义域为R，且
f (－x)＋f (x)＝ln (－x)－x＋ln (＋x)＋x
＝ln [(－x)(＋x)]＝ln (x2＋1－x2)＝ln 1＝0，
所以f (－x)＝－f (x)，即f (x)为奇函数，
(－1，＋∞)
题号
1
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6
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12
当x＞0时，y＝＋x，y＝ln x，y＝x均单调递增，所以f (x)＝
ln (＋x)＋x在(0，＋∞)上单调递增，则f (x)在(－∞，0)上单调递增，
所以f (x)是奇函数且在R上单调递增，
由f (2x－1)＋f (2－x)＞0，得f (2x－1)＞f (x－2)，
所以2x－1＞x－2，解得x＞－1，
即x的取值范围为(－1，＋∞)．]
13
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