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第二章 函数的概念与性质
第二章 函数的概念与性质
[教师备选资源]
新高考卷三年考情图解

第二章 函数的概念与性质
高考命题规律把握
1．常考点：函数的奇偶性、函数性质的综合．
函数的性质主要考查与抽象函数有关的问题(奇偶性、单调性、对称性、周期性等)．
2．轮考点：函数的概念、图象、应用．
(1)函数的概念主要考查新定义问题、分段函数的求值等问题；
(2)函数的图象主要考查基本初等函数图象的识别；
(3)指数、对数、幂函数主要考查代数值的大小比较，对数函数的性质应用等问题；
(4)函数的应用主要考查函数零点问题、函数模型的应用等．
第1课时
函数的概念及其表示
第二章
函数的概念与性质
第1课时 函数的概念及其表示
[考试要求]　1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
1．函数的概念
一般地，设A，B是____________，如果对于集合A中的____一个数x，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有________的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f (x)，x∈A．
链接教材·夯基固本
非空的实数集
任意
唯一确定
2．同一个函数
(1)函数的三要素：______、________、____．
(2)如果两个函数的______相同，并且________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法：______、______、______．
提醒：与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．
定义域
对应关系
值域
定义域
对应关系
解析法
图象法
列表法
4．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的____．
并集
[常用结论]
1．注意以下几个特殊函数的定义域
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合．
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合．
(3)f (x)的解析式为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正数且不为1的实数集合．
(4)若f (x)＝x0，则f (x)的定义域为{x|x≠0}．
(5)正切函数y＝tan x的定义域为．
2．基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R．
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为．
(3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}．
(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．
(5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数． (　　)
(2)对于函数f ：A→B，其值域是集合B． (　　)
(3)函数y＝f (x)的图象可以是一条封闭曲线． (　　)
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数． (　　)
×
×
×
×
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P101T7改编)设函数f (x)＝则f ( f (－1))＝(　　)
A．16 B．4
C．5 D．－4
√
A　[f ( f (－1))＝f (2)＝16．故选A．]
2．(人教A版必修第一册P69练习T2改编)函数f (x)＝|x－1|的图象是
(　　)
A　　 　B　　 　　C　　　　 D
B　[函数f (x)＝|x－1|＝结合选项可知，选项B正确．故选B．]
√
3．(多选)(人教A版必修第一册P67练习T3改编)下列各组函数是同一个函数的是(　　)
A．f (x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1
B．f (x)＝与g(x)＝x
C．f (x)＝与g(x)＝
D．f (x)＝x与g(x)＝
√
AC　[f (x)＝与g(x)＝x的值域不同；f (x)＝x与g(x)＝＝|x|的对应关系不同，故BD错误，AC正确．]
√
4．(人教A版必修第一册P65例2改编)已知函数f (x)＝x＋，则f (x)的定义域为______________________；若f (a)＝2，则a的值为________．
(－∞，0)∪(0，＋∞)　 1　[要使函数f (x)有意义，必须使x≠0，
故f (x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
由f (a)＝2得a＋＝2，解得a＝1．]
(－∞，0)∪(0，＋∞)　
1
考点一　求函数的定义域
[典例1]　(1)已知函数y＝f (x)的定义域为[0，4]，则函数y＝＋(x－2)0的定义域是(　　)
A．(1，5]　　　　　 B．(1，2)∪(2，5)
C．(1，2)∪(2，3] D．(1，3]
(2)(2025广东东莞模拟)函数y＝＋的定义域为________．
典例精研·核心考点
√
　
(1)C　(2)　[(1)因为函数y＝f (x)的定义域为[0，4]，函数y＝＋(x－2)0有意义，所以解得1所以函数y＝＋(x－2)0的定义域是(1，2)∪(2，3]．故选C．
(2)由题意可得解得
即故函数y＝＋的定义域为．]
名师点评　求函数的定义域的策略
(1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义．
(2)求抽象函数的定义域：
①若f (x)的定义域为[m，n]，则在f (g(x))中，由mg(x)n解得x的取值范围即为f (g(x))的定义域．
②若f (g(x))的定义域为[m，n]，则由mxn得到g(x)的取值范围，即为f (x)的定义域．
[跟进训练]
1．(1)(2025山东青岛模拟)若函数f (x)＝的定义域为R，则常数k的取值范围是(　　)
A．(0，4) B．[0，4)
C．[0，4] D．(0，4]
√
(2)已知函数y＝f (x＋1)的定义域是[－2，3]，则y＝f (2x－1)的定义域是(　　)
A． B．[－1，4]
C．[－5，5] D．[－3，7]
√
(1)B　(2)A　[(1)由函数f (x)＝的定义域为R，可得kx2＋kx＋1>0恒成立，
可得k＝0或解得0＜k<4，
综上，常数k的取值范围为[0，4)．故选B．
(2)∵函数y＝f (x＋1)的定义域为[－2，3]，
∴x∈[－2，3]，则x＋1∈[－1，4]，
即函数f (x)的定义域为[－1，4]，
∴－12x－14，解得0x，
∴函数y＝f (2x－1)的定义域为．
故选A．]
考点二　求函数的解析式
[典例2]　求下列函数的解析式：
(1)已知f (1－sin x)＝cos2x，求f (x)的解析式；
(2)已知f ＝x2＋，求f (x)的解析式；
(3)已知f (x)是二次函数且f (0)＝2，f (x＋1)－f (x)＝x－1，求f (x)的解析式；
(4)已知f (x)满足2f (x)＋f (－x)＝3x，求f (x)的解析式．
【教用备选题】
(5)设f (x)＝，又记f1(x)＝f (x)，fk＋1(x)＝f ( fk(x))，k＝1，2，
…，则f 2026(x)＝(　　)
A． B．
C．x D．－
√
[解]　(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]，
则sin x＝1－t．
∵f (1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f (t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]．
即f (x)＝2x－x2，x∈[0，2]．
(2)(配凑法、换元法)∵f ＝x2＋＝－2，
令t＝x＋，当x＞0时，
t2＝2，当且仅当x＝1时取等号，
当x＜0时，t＝－－2，
当且仅当x＝－1时取等号，
∴f (t)＝t2－2，t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
∴f (x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(3)(待定系数法)设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f (0)＝2，得c＝2，
f (x＋1)－f (x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，
所以即
所以f (x)＝x2－x＋2．
(4)(解方程组法)∵2f (x)＋f (－x)＝3x，①
令x＝－x代入①，
得2f (－x)＋f (x)＝－3x，②
由①②解得f (x)＝3x．
【教用备选题】
(5)D　[(归纳法)由已知条件得到f 2(x)＝f ( f 1(x))＝＝＝－，
f3(x)＝f ( f2(x))＝＝＝，
f4(x)＝f ( f3(x))＝＝＝x，
f5(x)＝f ( f4(x))＝，
可见fn(x)是以4为周期的函数，而2 026＝506×4＋2，所以f2 026(x)＝f2(x)＝－．]
名师点评　求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数f (g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)配凑法：由已知条件f (g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f (x)的解析式，注意g(x)的取值范围．
(4)解方程组法：已知关于f (x)与f 或f (－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x)．
[跟进训练]
2．(1)(易错题)已知f (＋1)＝x－2，则f (x)＝______________．
(2)已知f (x)满足f (x)－2f ＝2x，则f (x)＝________．
(3)设函数f (x)是单调递增的一次函数，满足f ( f (x))＝16x＋5，则f (x)＝________．
x2－4x＋3(x1)
－x－
4x＋1
(1)x2－4x＋3(x1)　(2)－x－　(3)4x＋1　 [(1)法一(换元法)：令t＝＋1，则t1，x＝(t－1)2，
代入原式有f (t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，
所以f (x)＝x2－4x＋3(x1)．
法二(配凑法、换元法)：f (＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3，
因为＋11，所以f (x)＝x2－4x＋3(x1)．
(2)因为f (x)－2f ＝2x，①
以代替①中的x，得f －2f (x)＝，②
①＋②×2得－3f (x)＝2x＋，
所以f (x)＝－x－．
(3)∵f (x)为单调递增的一次函数，∴设f (x)＝ax＋b，a>0，故f ( f (x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，∴a2＝16，ab＋b＝5，解得a＝4，b＝1或a＝－4，b＝－(不合题意，舍去)，∴f (x)＝4x＋1．]
考点三　分段函数
考向1　求值问题
[典例3]　(1)(2025湖北武汉模拟)已知f (x)＝则f ＝(　　)
A．2 B．
C． D．1
√
(2)(2021浙江高考)已知a∈R，函数f (x)＝若
f ( f ())＝3，则a＝__________．
2
(1)D　(2)2　[(1)函数f (x)＝
所以f ＝2f ＝2＝1．故选D．
(2)因为>2，所以f ()＝6－4＝2，
所以f ( f ())＝f (2)＝1＋a＝3，解得a＝2．]
考向2　解方程或不等式
[典例4]　(1)函数f (x)＝若实数a满足f (a)＝
f (a－1)，则f ＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
√
(2)(2024湖北十一校一模)已知函数f (x)＝则关于x的不等式f (x)1的解集为______________．
(－∞，e－1]
(1)D　(2)(－∞，e－1]　[(1)由分段函数的定义知，f (x)的定义域是(－1，＋∞)，所以a>0．
①当0②当a1时，a－10，则f (a)＝f (a－1)可化为2a＝2(a－1)，方程无解．故选D．
(2)当x0时，f (x)＝x＋11得x0，所以x0．
当x>0时，f (x)＝ln (x＋1)1，得－1所以0名师点评　分段函数的几类题型及解决方法
(1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参．
(2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值．
(3)涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解．
[跟进训练]
3．(1)已知函数f (x)＝若f ( f (a))＝2，则a等于(　　)
A．0或1 B．－1或1
C．0或－2 D．－2或－1
√
(2)(2025八省联考)已知函数f (x)＝x|x－a|－2a2．若当x>2时，
f (x)>0，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．[－2，1]
C．[－1，2] D．[－1，＋∞)
√
(1)D　(2)B　[(1)令f (a)＝t，则f (t)＝2，可得t＝0或t＝1，
当t＝0时，即f (a)＝0，显然a0，
因此a＋2＝0 a＝－2，
当t＝1时，即f (a)＝1，显然a0，
因此a＋2＝1 a＝－1，
综上所述，a＝－2或－1．
(2)当a>2，x>2时，f (x)＝x|x－a|－2a2＝
当2所以f (x)<0，不满足当x>2时，f (x)>0，故a>2不符合题意；
当02时，f (x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)>0，解得x>2a，
由于x>2时，f (x)>0，故2a2，解得0当a＝0，x>2时，f (x)＝x2>0恒成立，符合题意；
当a<0，x>2时，f (x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)>0，解得x>－a，
由于x>2时，f (x)>0，故－a2，解得－2a<0．
综上，－2a1．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．函数f (x)＝＋ln (1－x)的定义域是(　　)
A．(－2，1) B．(－3，1)
C．(1，2) D．(1，3)
13
课后作业(七)　函数的概念及其表示
√
14
A　[由题意可得解得－2故函数f (x)的定义域是(－2，1)．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
2．(2025湖南长沙模拟)设f (x)＝ 则
f (9)的值为(　　)
A．9 B．11
C．28 D．14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B　[f (9)＝f ( f (14))＝f (2×14－15)＝f (13)＝2×13－15＝11．
故选B．]
3．(人教A版必修第一册P72 习题3.1T2改编)下列函数与y＝是同一个函数的是(　　)
A．y＝
B．y＝
C．y＝ (a>0且a≠1)
D．y＝logaax(a>0且a≠1)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
D　[因为y＝＝x，且定义域为R，
对于A，y＝＝，可知两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数，故A错误；
对于B，y＝的定义域为，可知两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
对于C，y＝的定义域为，可知两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故C错误；
对于D，y＝logaax＝x，且定义域为R，所以两个函数是同一个函数，故D正确．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
4．(2025江苏盐城模拟)函数f (x)满足2f (x)－f (1－x)＝x，则函数
f (x)＝(　　)
A．x－2 B．
C． D．－x＋2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B　[因为2f (x)－f (1－x)＝x，①
所以2f (1－x)－f (x)＝1－x，②
由①×2＋②得3f (x)＝x＋1，即f (x)＝．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
5．设函数f (x)＝则不等式f (x＋1)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1，0) D．(－∞，0)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
D　[因为f (x)＝
所以函数f (x)的图象如图所示．
由图可知，函数f (x)在区间(－∞，0]上单
调递减，当x＋10且2x0时，f (x＋1)＜
f (2x)可以转化为x＋1＞2x．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
此时x－1．
当2x＜0且x＋10时，f (2x)＞1，f (x＋1)＝1，
满足f (x＋1)＜f (2x)．
此时－1x＜0．
综上，不等式f (x＋1)＜f (2x)的解集为(－∞，－1]∪[－1，0)＝(－∞，0)．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
6．(2025江西名校联盟联考)若f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy对任意x，y∈R恒成立，f (1)＝1，则f (30)＝(　　)
A．189 B．190
C．464 D．465
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
D　[依题意，f (2)＝f (1)＋f (1)＋1×1＝3，
f (3)＝f (2)＋f (1)＋1×2＝3＋1＋2＝6，
f (4)＝f (2)＋f (2)＋2×2＝3＋3＋4＝10，
f (5)＝f (2)＋f (3)＋2×3＝3＋6＋6＝15，
f (6)＝f (2)＋f (4)＋2×4＝3＋10＋8＝21，
f (7)＝f (2)＋f (5)＋2×5＝3＋15＋10＝28，
f (8)＝f (2)＋f (6)＋2×6＝3＋21＋12＝36，
f (15)＝f (7)＋f (8)＋7×8＝28＋36＋56＝120，
f (30)＝f (15)＋f (15)＋15×15＝120＋120＋225＝465．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
二、多项选择题
7．(2025福建龙岩模拟)已知函数f (＋1)＝x＋2， 则(　　)
A．f (x)＝x2－1(x∈R)
B．f (x)的最小值为－1
C．f (2x－3)的定义域为[2，＋∞)
D．f 的值域为[0，＋∞)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
CD　[依题意，f (＋1)＝()2＋2＝(＋1)2－1，则f (x)＝x2－1，x1，A错误；
当x1时，f (x)0，当且仅当x＝1时取等号，B错误；
在f (2x－3)中，2x－31，解得x2，因此f (2x－3)的定义域为[2，＋∞)，C正确；
显然f ＝－1，0题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
8．(2025广东六校联考模拟)给定数集A＝R，B＝(0，＋∞)，x，y满足方程2x－y＝0，下列对应关系f 为函数的是(　　)
A．f ：A→B，y＝f (x)
B．f ：B→A，y＝f (x)
C．f ：A→B，x＝f (y)
D．f ：B→A，x＝f (y)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
√
ABD　[对于A，y＝f (x)＝2x， x∈A，均有唯一确定f (x)∈(0，＋∞)＝B，符合函数定义，A正确；
对于B，y＝f (x)＝2x， x∈B，均有唯一确定f (x)∈(1，＋∞) A，符合函数定义，B正确；
对于C，x＝f (y)＝log2y，取y＝1∈A，x＝0 B，不符合函数定义，C错误；
对于D，x＝f (y)＝log2y， y∈B，均有唯一确定f (y)∈R＝A，符合函数定义，D正确．
故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
三、填空题
9．(2024湖北武汉二模)已知函数f (2x＋1)的定义域为[－1，1)，则函数f (1－x)的定义域为___________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
(－2，2]　[由函数f (2x＋1)的定义域为[－1，1)，则有2x＋1∈[－1，3)，
令－11－x<3，解得－2(－2，2]
10．(2024北京东城二模)设函数f (x)＝则f ＝________，不等式f (x)题号
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∪　
1
1　∪　[由题意可知，f ＝f (1)＝1；
因为f (x)当<1，即－当即x∈∪时，可得1<(2x)2，
解得x>或x<－，所以x∈∪；
题号
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当1，即x1或x－1时，则＝22>1，
可得x2<(2x)2＝4x2，符合题意；
综上所述：不等式f (x)题号
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11．在平面直角坐标系中，已知A(－2，0)，B(2，0)，C(0，1)三点，请写出2个函数解析式，使函数图象经过A，B，C三点：___________，______________________________________．
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y＝1－
y＝1－(答案不唯一，符合题意即可)
y＝1－　y＝1－(答案不唯一，符合题意即可)　[已知A(－2，0)，B(2，0)关于y轴对称，且C(0，1)在y轴上．
①可设y＝k＋m，则
解得故y＝1－．
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②可设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则
解得故y＝1－．]
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12．(多选)若函数f (x)的定义域与值域的交集为[a，b]，则称f (x)为“[a，b]交汇函数”，下列函数是[0，2]交汇函数的是(　　)
A．f (x)＝x2－4x＋4，x∈(－∞，2]
B．f (x)＝－＋2
C．f (x)＝－2x＋2
D．f (x)＝
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√
√
√
ABD　[因为f (x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，x∈(－∞，2]，
所以f (x)的值域为[0，＋∞)，f (x)的定义域与值域的交集为[0，2]，A正确．
f (x)＝－＋2的定义域为[0，＋∞)，值域为(－∞，2]，定义域与值域的交集为[0，2]，B正确．
f (x)＝－2x＋2的定义域为R，因为2x＞0，
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所以f (x)＝－2x＋2＜2，
即f (x)＝－2x＋2的值域为(－∞，2)，所以f (x)的定义域与值域的交集为(－∞，2)，C错误．
因为方程3x2－4x＋2＝0无解，故f (x)＝的定义域为R，
当x＝0时，f (0)＝0，
当x≠0时，f (x)＝＝，
题号
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因为2＋11，所以0＜f (x)2，
所以f (x)的值域为[0，2]，f (x)的定义域与值域的交集为[0，2]，D正确．故选ABD．]
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13．(2025江苏扬州模拟)写出满足f (x－y)＝f (x)＋f (y)－2xy的函数的解析式___________．
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f (x)＝x2　[ f (x－y)＝f (x)＋f (y)－2xy中，令x＝y＝0，得f (0)＝0．
令y＝x得f (x－x)＝f (x)＋f (x)－2x2，
故f (x)＋f (x)＝2x2，
则f (x)＝x2．]
f (x)＝x2　
14．(2024北京丰台区5月模拟)已知函数f (x)具有下列性质：①对任意x1，x20，都有f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1；②在(0，＋∞)上，f (x)单调递增；③f (x)是偶函数，则f (0)＝________；函数f (x)可能的一个解析式为______________________________．
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－1
f (x)＝|x|－1(答案不唯一)
－1　f (x)＝|x|－1(答案不唯一)　[令x1＝x2＝0，可得f (0)＝f (0)＋f (0)＋1，所以f (0)＝－1．
不妨令f (x)＝|x|－1，x∈R，则f (x)在(0，＋∞)上单调递增，满足②；
又f (－x)＝|－x|－1＝|x|－1＝f (x)，所以f (x)为偶函数，满足③；
当x1，x2∈[0，＋∞)时，f (x1＋x2)＝|x1＋x2|－1＝x1＋x2－1，f (x1)＝x1－1，f (x2)＝x2－1，所以f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，满足①．
所以函数f (x)可能的一个解析式为f (x)＝|x|－1．]
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