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第二章
函数的概念与性质
第7课时　对数与对数函数
[考试要求]　1．理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．
2．通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点．
3．了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
链接教材·夯基固本
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__________，其中___叫做对数的底数，___叫做真数．
以____为底的对数叫做常用对数，log10N记为_______．
以___为底的对数叫做自然对数，logeN记为_______．
x＝logaN
a
N
10
lg N
e
ln N
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝___，logaa＝___(a＞0，且a≠1)．
(2)对数的运算性质：
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝______________；
②loga＝______________；
③logaM n＝________(n∈R)．
0
1
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
(3)对数恒等式：＝___(a>0，且a≠1，N>0)．
(4)对数换底公式：logab＝.
N
3．对数函数
(1)一般地，函数__________(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是_____________．
y＝logax
(0，＋∞)
(2)对数函数的图象与性质
项目 a>1 0图象
定义域 _____________
值域 R
性质 过定点__________，即x＝1时，y＝0
当x>1时，______； 当01时，______；
当0在(0，＋∞)上是____函数 在(0，＋∞)上是____函数
(0，＋∞)
(1，0)
y>0
y<0
y<0
y>0
增
减
4．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线______对称．
y＝x
[常用结论]
1．换底公式的三个重要结论
(3)logab·logbc·logcd＝logad．
(a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1；c＞0，且c≠1；d＞0；m≠0)
2．对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)log2x2＝2log2x. (　　)
(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数． (　　)
(3)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln(1－x)的定义域相同． (　　)
(4)函数y＝log2x与y＝的图象重合． (　　)
×
×
√
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P140习题4.4T1改编)函数y＝的定义域是________．
　
　[由≥0，得0＜2x－1≤1，
所以＜x≤1.
所以函数y＝的定义域是.]
2．(人教A版必修第一册P135练习T2改编)比较下列两个值的大小：
(1)log56________log54；
(2)log2________.
＞
＝
3．(人教A版必修第一册P126练习T3(2)改编)(log43＋log83)×log32＝________．
　[(log43＋log83)×log32＝＝.]
4．(人教A版必修第一册P141习题4.4T12改编)若loga<1，则实数a的取值范围是________________________．
∪(1，＋∞)　[当a>1时，满足条件；
当0综上，a的取值范围是∪(1，＋∞)．]
∪(1，＋∞)
考点一　对数的运算
[典例1]　(1)(2025·四川成都模拟)若实数m，n，t满足5m＝7n＝t且＝2，则t＝(　　)
A．2 B．12 C． D．
(2)化简：(log62)2＋log62×log63＋2log63－＝________．
(3)(2025·八省联考)已知函数f (x)＝ax(a>0，a≠1)，若f (ln 2)f (ln 4)＝8，则a＝________．
典例精研·核心考点
√
－log62
e
(1)D　(2)－log62　(3)e　[(1)因为5m＝7n＝t且＝2，
易知t>0且t≠1，所以m＝log5t，n＝log7t，
所以＝logt5，＝logt7，
所以＝logt5＋logt7＝logt35＝2，则t＝.故选D.
(2)(log62)2＋log62×log63＋2log63－
＝log62×(log62＋log63)＋2log63－2
＝log62＋2log63－2＝2(log62＋log63)－log62－2
＝2－log62－2＝－log62.
(3)因为f (ln 2)＝aln 2，f (ln 4)＝aln 4，所以f (ln 2)f (ln 4)＝aln 2·aln 4＝aln 2+ln 4＝a3ln 2＝(aln 2)3＝8，所以aln 2＝2，所以a＝e.]
名师点评　解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
[跟进训练]
1．(1)(2025·天津武清模拟)设a＝lg 20＋lg ，b＝log95，则a＋3b的值为(　　)
A．2＋ B．1＋ C．27 D．26
(2)(2024·全国甲卷)已知a>1且＝－，则a＝________．
(3)计算：lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2＝________．
√
64
2
(1)B　(2)64　(3)2　[(1)根据题意，
a＋3b＝lg 20＋lg＋＝lg＋lg＋
＝lg()＋＝lg 10＋＝1＋.故选B.
(2)由题意＝log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0，
解得log2a＝－1或log2a＝6.又a>1，
所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64.
(3)原式＝2lg 5＋lg 2(1＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋lg 2＋lg 2×lg 5＋(lg 2)2
＝1＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝1＋lg 5＋lg 2＝1＋lg 10＝2.]
考点二　对数函数的图象及应用
[典例2]　(1)已知函数f (x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)
A．0C．0(2)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)
A． B．
C．(1，) D．(，2)
√
√
(1)A　(2)B　[(1)由函数图象可知，f (x)为增函数，故a>1.
函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，
由函数图象可知－1综上，0(2)构造函数f (x)＝4x和g(x)＝logax，当a＞1时，不满足条件；当0＜a＜1时，在同一直角坐标系中画出两个函数大致的图象，如图所示，由题意可知
f ＜g，即2＜loga，
则a＞，所以a的取值范围为.]
[拓展变式]　将本例(2)中“4x＜logax”变为“关于x的方程4x＝logax有解”，则a的取值范围是________．
　[若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x的图象和函数y＝logax的图象在上有交点．
由图象可知解得0＜a≤.]
名师点评　对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
[跟进训练]
2．(1)(2024·广东深圳二模)已知a>0，且a≠1，则函数y＝loga的图象一定经过(　　)
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
(2)已知函数f (x)＝|ln x|，若0√
(3，＋∞)
(1)D　(2)(3，＋∞)　[(1)当x＝0时，y＝loga＝－1，
则当0则当a>1时，函数图象过第一、三、四象限；
所以函数y＝loga的图象一定经过第三、四象限．
故选D.
(2)f (x)＝|ln x|的图象如图所示，
因为f (a)＝f (b)，所以|ln a|＝|ln b|，
因为00，
所以01，所以－ln a＝ln b，
所以ln a＋ln b＝ln (ab)＝0，
所以ab＝1，则b＝，所以a＋2b＝a＋，
令g(x)＝x＋(0所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b>3，
所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．]
【教用·备选题】
(多选)若函数f (x)＝ax-2，g(x)＝loga|x|，其中a＞0，且a≠1，则函数
f (x)，g(x)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(　　)
A　　　　　　　 　B
C　　　　　　　 　D
√
√
AD　[易知g(x)＝loga|x|为偶函数．当0＜a＜1时，f (x)＝ax-2单调递减，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递减，此时A选项符合题意．当a＞1时，f (x)＝ax-2单调递增，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D选项符合题意．故选AD.]
考点三　对数函数的性质及应用
考向1　比较大小
[典例3]　已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
√
D　[法一(中间量法、性质法)：因为a＝log2e＞1，b＝ln 2∈(0，1)，所以a＞b.又因为c＝＝log23，且函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以log23＞log2e，所以c＞a，所以c＞a＞b.
法二(图象法)：＝log23，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，
如图，由图可知c＞a＞b.]
考向2　解与对数有关的不等式
[典例4]　(1)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增．若正实数a满足f (log2a)＋≤2f (1)，则a的取值范围是(　　)
A．[1，2] B．
C． D．(0，2]
√
(2)设函数f (x)＝若f (a)>f (－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，0)∪(0，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0，1)
√
(1)C　(2)C　[(1)因为＝－log2a，所以f (log2a)＋＝
f (log2a)＋f (－log2a)＝2f (log2a)，原不等式变为2f (log2a)≤2f (1)，即f (log2a)≤f (1)．又因为f (x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得≤a≤2，故选C.
(2)由题意可得
或
解得a>1或－1考向3　对数函数性质的综合应用
[典例5]　(1)(多选)(2025·广东深圳中学模拟)已知函数f (x)＝lg (x2＋ax－a－1)，给出下述论述，其中正确的是(　　)
A．当a＝0时，f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．f (x)一定有最小值
C．当a＝0时，f (x)的值域为R
D．若f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥－4}
√
√
(2)(多选)已知函数f (x)＝ln ，下列说法正确的是(　　)
A．f (x)为奇函数
B．f (x)为偶函数
C．f (x)在上单调递减
D．f (x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
(3)已知函数f＝ln －x是偶函数，则实数a的值为________．
√
√
√
2
(1)AC　(2)ACD　(3)2　[(1)对于A，∵a＝0，∴f (x)＝lg (x2－1)，即x2－1＞0，∴x＜－1或x＞1，∴A正确；
对于B，令u(x)＝x2＋ax－a－1，则复合函数y＝f (x)是由y＝lg u，u＝x2＋ax－a－1复合而成的，
∵y＝lg u在定义域内是单调递增的，而u＝x2＋ax－a－1(u>0)无最小值，∴f (x)没有最小值，∴B错误；
对于C，当a＝0时，f (x)＝lg (x2－1)中的u＝x2－1中的u能够取到所有的正数，∴f (x)的值域为R，∴C正确；
对于D，∵复合函数y＝lg (x2＋ax－a－1)是由y＝lg u，u＝x2＋ax－a－1复合而成的，而y＝lg u在定义域内是单调递增的，又∵y＝f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知，u＝x2＋ax－a－1在区间[2，＋∞)上单调递增，则有－≤2，
即a≥－4.
又∵x2＋ax－a－1>0在区间[2，＋∞)上恒成立，则有22＋2a－a－1>0，即a>－3，
∴a>－3，∴D错误．故选AC.
(2)令>0，解得x>或x<－，
∴f (x)的定义域为，
又f (－x)＝ln ＝ln ＝ln
＝－ln ＝－f (x)，
∴f (x)为奇函数，故A正确，B错误．
又f (x)＝ln ＝ln ，
令t＝1＋，t>0且t≠1，则y＝ln t，
又t＝1＋在上单调递减，且y＝ln t为增函数，
∴f (x)在上单调递减，故C正确；
由C分析可得f (x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确．
(3)由题意知f (x)的定义域为R，函数f ＝ln －x是偶函数，则f＝ln ＋x＝f＝ln －x，
即ln ＝2x，化简得ln eax＝2x，解得a＝2.]
【教用·备选题】
1．若f (x)＝lg (x2－2ax＋1＋a)在(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为(　　)
A．[1，2) B．[1，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
√
A　[令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，则图象的对称轴为x＝a，要使函数f (x)在(－∞，1]上单调递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1，2)．]
2．若实数a，b，c满足loga2(　　)
A．aC．cC　[根据不等式的性质和对数的换底公式可得
<<<0，即log2c√
名师点评　求与对数函数有关的复合函数的单调性、值域问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
[跟进训练]
3．(1)设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则(　　)
A．a＞b＞c B．b＞c＞a
C．a＞c＞b D．c＞b＞a
(2)已知函数f (x)＝ln (－x)＋2，则f (lg 3)＋f＝________．
(3)已知f (x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝[f (x)]2＋f (x2)，则g(x)max－g(x)min＝________．
√
4
5
(1)A　(2)4　(3)5　[(1)a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，∵log43＞log53＞log63，∴a＞b＞c.
(2)设g(x)＝ln (－x)，则f (x)＝g(x)＋2，显然有g(－x)＝－g(x)，即g(x)为奇函数，则g(－x)＋g(x)＝0，所以f (lg 3)＋f＝f (lg 3)＋f (－lg 3)＝g(lg 3)＋2＋g(－lg 3)＋2＝4.
(3)由题意得
∴1≤x≤3，∴g(x)的定义域为[1，3]，
g(x)＝[f (x)]2＋f (x2)
＝(1＋log3x)2＋1＋log3x2
＝(log3x)2＋4log3x＋2，
设t＝log3x，则0≤t≤1，
则y＝t2＋4t＋2＝(t＋2)2－2在[0，1]上单调递增，
∴当t＝0，即x＝1时，g(x)min＝g(1)＝2，
当t＝1，即x＝3时，g(x)max＝g(3)＝7，
∴g(x)max－g(x)min＝5.]
【教用·备选题】
1．(多选)(2025·山西忻州模拟)已知x＞0，y＞0，且x－y＞ln ，则
(　　)
A．x＞y B．x＋＞y＋
C．ln (x－y)＜0 D．＜2－y
√
√
√
ABD　[因为x－y＞ln ，所以x－y＞ln y－ln x，
所以ln x＋x＞ln y＋y.
对于A，设f (x)＝ln x＋x，则f (x)在(0，＋∞)上单调递增，因为ln x＋x＞
ln y＋y，所以f (x)＞f (y)，
所以x＞y，故A正确；
对于B，因为x＞0，y＞0，且x＞y，
所以＜，所以x＋＞y＋，故B正确；
对于C，当x－y＝e时，ln (x－y)＝1，故C错误；
对于D，因为x＞y，所以－x＜－y，
所以2－x＜2－y，即＜2－y，故D正确．故选ABD.]
2．(多选)(2025·浙江杭州模拟)已知函数f (x)＝ln (x2＋x＋m) (m∈R)，则(　　)
A．当m>时，f (x)的定义域为R
B．f (x)一定存在最小值
C．f (x)的图象关于直线x＝－对称
D．当m≥1时，f (x)的值域为R
√
√
AC　[对于A，若m>，则Δ＝1－4m<0，则x2＋x＋m>0恒成立，所以
f (x)的定义域为R，故A正确；
对于B，若m＝0，则f (x)＝ln (x2＋x)的定义域为(－∞，－1)∪(0，
＋∞)，值域为R，没有最小值，故B错误；
对于C，由于函数y＝ln 为偶函数，其图象关于y轴对称，
将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数f (x)＝ln ＝ln (x2＋x＋m)的图象，
此时f (x)的图象的对称轴为直线x＝－，故C正确；
对于D，若m≥1，则y＝x2＋x＋m＝＋m－，故f (x)的值域不是R，故D错误．
故选AC.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．若xlog34＝1，则4x＋4－x的值为(　　)
A．　　　B．3　　　C．4　　　D．
13
课后作业（十三）　对数与对数函数
√
A　[∵xlog34＝1，∴log34x＝1，∴4x＝3，
∴4x＋4－x＝3＋3-1＝.故选A.]
2．若函数f (x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的大致图象如图所示，则函数g(x)＝a－x－b的大致图象是(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
C　[根据函数f (x)＝loga(x＋b)的图象，可得03．(2024·天津滨海新区三模)已知a＝，b＝log0.42，c＝，则(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
13
C　[a＝＝0.4，
b＝log0.420＝log0.311，
故c>a>b.
故选C.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
4．(2024·江苏宿迁三模)已知函数f (x)为R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝log2x－1，则f (－)＝(　　)
A． B．－ C． D．－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
13
A　[f (－1＝－1＝－1＝－，
因为f (x)为R上的奇函数，所以f (－)＝.
故选A.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5．(2024·辽宁丹东期末)已知函数f (x)＝logax(a>0，a≠1)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，且g(－1)＝，则函数y＝loga(x2－2x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0) D．(2，＋∞)
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[因为函数f (x)＝logax(a>0，a≠1)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，所以g(x)＝ax(a>0，a≠1)，
因为g(－1)＝，所以＝a-1，解得a＝3.
所以y＝loga(x2－2x)＝log3(x2－2x)，
由x2－2x>0，可得y＝log3(x2－2x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，
令t＝x2－2x，则t＝x2－2x在(－∞，0)上单调递减，
而y＝log3t在定义域上单调递增，
由复合函数的单调性可知，y＝log3(x2－2x)在(－∞，0)上单调递减．故选C.]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6．若函数f (x)＝loga在区间内恒有f (x)＞0，则f (x)的单调递增区间为(　　)
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[令M＝x2＋x，故x∈时，M∈(1，＋∞)，恒有f (x)＞0，所以a＞1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝－，所以M的单调递增区间为.又x2＋x＞0，所以x＞0或x＜－，所以函数f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)．故选A.]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
二、多项选择题
7．(2025·河南郑州模拟)关于函数f (x)＝log3，下列结论正确的是(　　)
A．定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B．f (x)是偶函数
C．f (x)的图象关于点(1，0)对称
D．f (x)在(3，＋∞)上单调递增
13
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
ACD　[对于A，由>0得x<－1或x>3，故定义域为(－∞，－1) ∪(3，＋∞)，A正确；
对于B，因为定义域不关于原点对称，故f (x)不是偶函数，B错误；
对于C，因为f (1－x)＋f (1＋x)＝log3＋log3
＝log3＋log3＝log3＝log31＝0，
所以f (x)的图象关于点(1，0)对称，C正确；
题号
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9
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12
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对于D，f (x)＝log3＝log3，
因为函数t＝1－在区间(3，＋∞)上单调递增，且y＝log3t在(0，
＋∞)上单调递增，
所以f (x)在(3，＋∞)上单调递增，D正确．故选ACD.]
题号
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8．(2025·湖北重点高中联考)已知实数x，y，z满足2x＝3，3y＝4，4z＝5，则下列结论正确的是(　　)
A．y< B．xyz>2
C．y2
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√
√
√
题号
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ABD　[因为2x＝3，3y＝4，4z＝5，
所以x＝log23，y＝log34，z＝log45，
对于A，因为43<34，则log343所以y＝log34<，故A正确；
对于B，xyz＝log23·log34·log45＝log25>log24＝2，故B正确；
对于C，y－z＝log34－log45＝＝，
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题号
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因为0所以lg 3lg 5<＝，
又(lg 4)2＝＝>，
所以(lg 4)2－lg 3lg 5>0，即y－z>0，所以y>z，故C错误；
对于D，因为x＝log23>1，y＝log34>1，
所以x＋y＝log23＋log34>2＝2＝2，故D正确．故选ABD.]
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题号
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三、填空题
9．(2024·河南郑州三模)已知logab＋4logba＝4，则的值为________．
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题号
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　[因为logab＋4logba＝4，
所以logab＋＝4，可得 (logab)2－4logab＋4＝0，
即(logab－2)2＝0，所以logab＝2，即a2＝b，
所以＝＝.]
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题号
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10．(2025·安徽宣城模拟)已知实数x满足不等式2(log2x)2－5log2x＋2≤0，则函数f (x)＝log2·log2的最大值是________．
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　[由2(log2x)2－5log2x＋2≤0，
解得≤log2x≤2，
f (x)＝log2·log2＝(log2x－1)(log2x－2)＝－，
当log2x＝时，f (x)取得最大值.]
题号
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四、解答题
11．已知f (x)＝.
(1)若a＝2，求f (x)的值域；
(2)若f (x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
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题号
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[解]　(1)当a＝2时，f (x)＝，
令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9，
＝－2，
∴f (x)的值域为(－∞，－2].
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题号
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(2)令u＝x2－ax＋5a，
∵y＝为减函数，f (x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴u＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增，
∴解得－≤a≤2，
∴a的取值范围是.
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题号
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12．(2025·江苏盐城模拟)已知函数f (x)＝log4.
(1)解关于x的不等式f (x)>3；
(2)若存在x∈[2，4]，使得不等式f (2x)－a·log2x＋1≥0成立，求实数a的取值范围．
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题号
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[解]　(1)因为f (x)的定义域为(0，＋∞)，则
f (x)＝log2·2log2＝(log2x－2)(log2x－4)＝(log2x)2－6log2x＋8，
设log2x＝t(t∈R)，则不等式可化为t2－6t＋8>3，
即t2－6t＋5>0，
解得t<1或t>5，即log2x<1或log2x>5，
解得032.
所以不等式的解集为{x|032}．
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题号
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(2)因为f (2x)－a·log2x＋1≥0，
所以(log2x－1)·(log2x－3)－alog2x＋1≥0，
设log2x＝t，则t∈[1，2]，
原问题化为：存在t∈[1，2]，t2－4t＋4－at≥0.
即a≤t＋－4在t∈[1，2]上有解．
因为y＝t＋－4在[1，2]上单调递减，
所以＝1，所以a≤1.
即实数a的取值范围是(－∞，1].
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题号
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13．已知函数f (x)＝2lg (10x＋a)－x，a∈R.
(1)当a＝1时，判断函数f (x)的奇偶性并证明；
(2)给定实数a>0且a≠1，问是否存在直线x＝x0，使得函数f (x)的图象关于直线x＝x0对称？若存在，求出x0的值(用a表示)；若不存在，请说明理由．
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题号
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[解]　(1)当a＝1时，f (x)＝2lg (10x＋1)－x，
函数f (x)为偶函数，证明如下：
∵f (－x)＝2lg (10－x＋1)－(－x)＝2lg ＋x＝2lg (1＋10x)－
2lg (10x)＋x＝2lg (10x＋1)－x＝f (x)，
又函数的定义域为R，∴函数f (x)为偶函数．
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题号
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(2)假设存在直线x＝x0，使得函数f (x)的图象关于直线x＝x0对称，则
f (x0＋x)＝f (x0－x)，
∴2lg (＋a)－(x0＋x)＝2lg (＋a)－(x0－x)，
即lg (＋a)－lg (＋a)＝x，
即lg ＝x，∴＝10x，
即＋a＝10x(＋a)＝＋a·10x，
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题号
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)＝0，
＝0，即a＝，
∵a>0且a≠1，
∴x0＝lg a，
故存在x0＝lg a，使得函数f (x)的图象关于直线x＝x0对称．
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