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课时分层作业(十九)
1．(2023·新课标卷)船上的人和水下的潜水员都能听见轮船的鸣笛声。声波在空气中和在水中传播时的(　　)
A．波速和波长均不同 B．频率和波速均不同
C．波长和周期均不同 D．周期和频率均不同
2．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．在干涉现象中，振动加强点的位移总比减弱点的位移要大
B．单摆在周期性外力作用下做受迫振动，其振动周期与单摆的摆长无关
C．火车鸣笛向我们驶来时，我们听到的笛声频率将比声源发声的频率高
D．当水波通过障碍物时，若障碍物的尺寸与波长差不多，或比波长大的多时，将发生明显的衍射现象
3．(2024·山西太原一模)如图所示，蜜蜂同上同下挥动两个翅膀，在水面上形成稳定的干涉图样，A为加强区一点，B为减弱区一点。下列说法正确的是(　　)
A．图中B处质点振幅最大
B．图中A处质点位移始终最大
C．蜜蜂两翅膀挥动频率可以不同
D．A点到两个波源的距离差为波长的整数倍
4．(2024·湖南卷)如图所示，健身者在公园以每分钟60次的频率上下抖动长绳的一端，长绳自右向左呈现波浪状起伏，可近似为单向传播的简谐横波。长绳上A、B两点平衡位置相距6 m，t0时刻A点位于波谷，B点位于波峰，两者之间还有一个波谷。下列说法正确的是(　　)
A．波长为3 m
B．波速为12 m/s
C．t0＋0.25 s时刻，B点速度为0
D．t0＋0.50 s时刻，A点速度为0
5．(多选)(2025·八省联考四川卷)甲、乙两列简谐横波在t＝0时刻的波形如图所示，传播速度均为 1 cm/s。 下列说法正确的是(　　)
A．甲的周期为2 s
B．甲与乙的频率之比为3∶2
C．t＝0时刻，质点P的位移为零
D．t＝0时刻，质点Q的速度沿y轴正方向
6．(多选)如图所示，一列简谐横波向右传播，P、Q两质点平衡位置相距0.15 m。当P运动到上方最大位移处时，Q刚好运动到下方最大位移处，则这列波的波长可能是(　　)
A．0.30 m B．0.20 m
C．0.10 m D．0.06 m
7．(2023·海南卷)如图所示分别是一列机械波在传播方向上相距6 m的两个质点P、Q的振动图像，下列说法正确的是(　　)
A．该波的周期是5 s
B．该波的波速是3 m/s
C．4 s时，P质点向上振动
D．4 s时，Q质点向上振动
8．(2025·广东韶关高三检测)沿x轴传播的一列简谐横波在t＝0时刻的波形图如图甲所示，平衡位置在x＝4 m处的质点Q的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．该列波的传播方向沿x轴正方向
B．该列波的传播速度为6.25 m/s
C．经过0.4 s时间，质点Q沿波的传播方向运动了3 m
D．t＝0.2 s时，质点Q的加速度方向沿y轴正方向
9．(多选)(2024·山东卷)甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中沿x轴相向传播，波速均为2 m/s。t＝0时刻，二者在x＝2 m 处相遇，波形图如图所示。关于平衡位置在x＝2 m处的质点P，下列说法正确的是(　　)
A．t＝0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为0
B．t＝0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为－2 cm
C．t＝1.0 s时，P向y轴正方向运动
D．t＝1.0 s时，P向y轴负方向运动
10．(2024·广东江门11月期中)图中实线和虚线分别是在x轴上传播的一列简谐横波t＝0和t＝0.03 s时刻的波形图，x＝1.2 m处的质点在t＝0.03 s时刻向y轴正方向运动，则(　　)
A．各质点在0.03 s内随波迁移0.9 m
B．该波的频率可能是100 Hz
C．t＝0时，x＝1.4 m处质点的加速度方向沿y轴正方向
D．该波的波速可能是70 m/s
11．(多选)(2024·重庆卷)一列沿x轴传播的简谐波在某时刻的波形图如图甲所示，平衡位置为x＝3 m的质点从该时刻开始的振动图像如图乙所示。若该波的波长大于3 m，则(　　)
A．该波的最小波长为 m
B．该波的频率为 Hz
C．该波的最大波速为 m/s
D．从该时刻开始2 s内，平衡位置为x＝3 m的质点运动的路程为 cm
12．(2023·全国甲卷)分别沿x轴正向和负向传播的两列简谐横波P、Q的振动方向相同，振幅均为 5 cm，波长均为8 m，波速均为4 m/s。t＝0时刻，P波刚好传播到坐标原点处，该处的质点将自平衡位置向下振动；Q波刚好传到x＝10 m处，该处的质点将自平衡位置向上振动。经过一段时间后，两列波相遇。
(1)在给出的坐标图上分别画出P、Q两列波在t＝2.5 s时刻的波形图(P波用虚线，Q波用实线)；
(2)求出图示范围内的介质中，因两列波干涉而振动振幅最大和振幅最小的质点的平衡位置。
4 / 4第2节　机械波
[学习目标]　1．知道机械波的特点及形成过程。
2．理解波速、波长、频率的关系，会分析波的图像。
3．掌握波的干涉和发生明显衍射的条件，了解多普勒效应。
1．机械波
(1)形成条件
①有发生机械振动的波源。
②有传播介质，如空气、水等。
(2)传播特点
①传播振动形式、传递能量、传递信息。
②质点不随波迁移。
(3)分类
①横波：质点的振动方向与波的传播方向相互垂直，有波峰和波谷。
②纵波：质点的振动方向与波的传播方向在同一直线上，有疏部和密部。
(4)描述
①波长(λ)：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。
在横波中，两个相邻波峰或两个相邻波谷之间的距离等于波长。
在纵波中，两个相邻密部或两个相邻疏部之间的距离等于波长。
②频率(f )：波的频率等于波源振动的频率。
③波速(v)：波在介质中的传播速度，由介质本身的性质决定。
④三者关系：v＝＝λf 。
(5)图像
①坐标轴：横坐标表示沿波传播方向上各个质点的平衡位置，纵坐标表示该时刻各个质点离开平衡位置的位移。
②意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开平衡位置的位移。
2．波的干涉
(1)条件：两列波的频率相同、相位差恒定、振动方向相同。
(2)现象：形成加强区和减弱区相互隔开的稳定的干涉图样。
3．波的衍射
(1)明显衍射现象的条件：障碍物或孔的尺寸比波长小或相差不多。
(2)现象：波能够绕过障碍物或通过孔继续向前传播。
4．多普勒效应
(1)条件：波源和观察者之间有相对运动(距离发生变化)。
(2)现象：观察者感到频率发生变化。
(3)实质：波源频率不变，观察者接收到的频率发生变化。
1．易错易混辨析
(1)在机械波的传播过程中，各质点随波的传播而迁移。 (×)
(2)机械波在传播过程中，各质点振动的周期、起振方向都相同。 (√)
(3)两列波在介质中叠加，一定产生干涉现象。 (×)
(4)波的传播在时间上有周期性，在空间上也有周期性。 (√)
(5)机械波传递的是振动形式、能量和信息。 (√)
(6)波的图像描述的是一个质点的位移随时间变化的关系。 (×)
2．(鲁科版选择性必修第一册改编)(多选)下列说法正确的是(　　)
A．发生多普勒效应时，波源的频率变化了
B．发生多普勒效应时，观察者接收的频率发生了变化
C．多普勒效应是在波源和观察者之间有相对运动时产生的
D．当观察者向波源靠近时，观察到波的频率变小
BC　[当波源与观察者之间有相对运动时，会发生多普勒效应，选项C正确；发生多普勒效应时是观察者接收到的频率发生了变化，而波源的频率没有变化，选项A错误，B正确；当观察者向波源靠近时，会观察到波的频率变大，选项D错误。]
3．(人教版选择性必修第一册改编)(多选)如图所示，当波源和障碍物都静止不动时，波源发出的波在障碍物处不能发生明显的衍射。下列措施可能使波发生较为明显的衍射的是(　　)
A．增大波源的振动频率
B．减小波源的振动频率
C．增大障碍物的长度
D．减小障碍物的长度
BD　[不能发生明显衍射的原因是障碍物的长度远大于波长，则增大波长或减小障碍物的长度可能使波发生较为明显的衍射，选项C错误，D正确；由λ＝知，v不变，减小f ，λ增大，选项A错误，B正确。]
4．(人教版选择性必修第一册改编)(多选)简谐横波某时刻的波形如图所示，P为介质中的一个质点，波沿x轴的正方向传播。以下说法正确的是(　　)
A．质点P此时刻的速度沿x轴的正方向
B．质点P此时刻的加速度沿y轴的正方向
C．再过半个周期时，质点P的位移为负值
D．经过一个周期，质点P通过的路程为4a
CD　[波沿x轴正方向传播，由同侧法知，P此刻的速度沿y轴正方向，故A错误；P此刻的位移沿y轴正方向，由－kx＝ma可知，P此刻的加速度沿y轴负方向，故B错误；分析可知，再经过半个周期，质点P的位移为负值，故C正确；由题图可知，质点P的振幅为a，则经过一个周期，质点P通过的路程为4a，故D正确。]
波的形成、传播与图像
1．机械波的传播特点
(1)介质中各质点的起振方向都和波源的起振方向相同。
(2)介质中每个质点都做受迫振动，因此，任一质点的振动频率和周期都与波源的振动频率和周期相同。
(3)波从一种介质进入另一种介质，由于介质不同，波长和波速可以改变，但频率和周期都不会改变。
(4)振源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离，所以v＝＝λf 。
2．波的图像的信息(如图所示)
(1)直接读取振幅A和波长λ，以及该时刻各质点的位移。
(2)确定某时刻各质点加速度的方向，并能比较其大小。
(3)结合波的传播方向可确定各质点的振动方向或由各质点的振动方向确定波的传播方向。
3．波的周期性
(1)质点振动nT(n＝1，2，3，…)时，波形不变。
(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1，2，3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)(n＝0，1，2，3，…)时，它们的振动步调总相反。
　波的形成与传播
[典例1]　(2024·江苏卷)如图所示，水面上有O、A、B三点共线，OA＝2AB，t＝0时刻在O点的水面给一个扰动，t1时刻A开始振动，则B振动的时刻为(　　)
A．t1 B．
C．2t1 D．
B　[机械波的波速v不变，设OA＝2AB＝2L，故可得t1＝，可得tAB＝＝t1，故可得B振动的时刻为t＝t1＋tAB＝t1，故选B。]
　波的图像
[典例2]　(多选)(2025·八省联考河南卷)某简谐横波在t＝0时刻的波形图如图所示。x＝0处质点的位移为y＝－4 cm，x＝0.7 m处的质点P位于平衡位置且振动方向向下。已知该波的周期为1.2 s，则(　　)
A．该波的波长为1.2 m
B．该波的波速为2 m/s
C．该波沿x轴正方向传播
D．t＝0.1 s时刻，x＝0处的质点位于平衡位置
AD　[设该简谐横波的波动方程为y＝A sin ，代入数据解得A＝8 cm，φ＝－，所以该简谐横波的波动方程为y＝8sin cm，当x＝0.7 m时有×0.7－＝π，解得该波的波长为λ＝1.2 m，故A正确；由v＝可得该波的波速为v＝ m/s＝1 m/s，故B错误；已知质点P位于平衡位置且振动方向向下，由同侧法可知，该波沿x轴负方向传播，故C错误；根据t＝＝＝ s＝0.1 s，故t＝0.1 s时刻，x＝0处的质点位于平衡位置，故D正确。故选AD。]
[典例3]　(多选)(2024·新课标卷)位于坐标原点O的波源在t＝0时开始振动，振动图像如图所示，所形成的简谐横波沿x轴正方向传播。平衡位置在x＝3.5 m处的质点P开始振动时，波源恰好第2次处于波谷位置，则(　　)
A．波的周期是0.1 s
B．波的振幅是0.2 m
C．波的传播速度是10 m/s
D．平衡位置在x＝4.5 m处的质点Q开始振动时，质点P处于波峰位置
BC　[根据题图可知，该波的周期T＝0.2 s，振幅为0.2 m，A错误，B正确；由题意可知波源第2次处于波谷位置，即波源振动了Δt＝1 T时质点P开始振动，所以该波的传播速度v＝＝10 m/s，C正确；结合C项分析可知，t＝0.45 s时质点Q开始振动，此时质点P已经运动了0.1 s，结合题图可知此时质点P处于平衡位置，D错误。]
　波的传播方向与质点振动方向的互判
方法解读 图像演示
“上下 坡”法 沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
“同侧” 法 波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“微平 移”法 将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一x坐标的两波形曲线上的点来判断振动方向
波的图像和振动图像的综合应用
1．振动图像与波的图像的比较
振动图像 波的图像
图像
物理 意义 表示某质点各个时刻的位移 表示某时刻各质点的位移
图像 信息 (1)质点振动周期 (2)质点振幅 (3)各时刻质点位移 (4)各时刻质点速度、加速度方向 (1)波长、振幅 (2)任意一质点在该时刻的位移 (3)任意一质点在该时刻加速度方向 (4)传播方向、振动方向的互判
图像 变化 随着时间推移，图像延续，但已有形状不变 随时间推移，图像沿传播方向平移
形象 比喻 记录着一个人一段时间内活动的录像带 记录着许多人某时刻动作、表情的集体照片
2．由两类图像判断波的传播规律的方法
(1)首先根据横轴是长度还是时间分清哪一个是波的图像，哪一个是振动图像，注意各个质点振动的周期和振幅相同。
(2)从确定的振动图像中可以找出某质点在波的图像中某一时刻的振动方向，根据该点振动方向确定波的传播方向。
　两类图像信息的应用
[典例4]　(人教版选择性必修第一册改编)(多选)如图甲为一列简谐横波在t＝0.10 s时刻的波形图，此时质点P的位置横坐标为x＝1 m，质点Q的位置横坐标为x＝4 m。图乙为质点Q的振动图像。则下列说法正确的是(　　)
A．该波沿x轴正方向传播
B．该波的传播速度是40 m/s
C．从t＝0.10 s到0.20 s内，质点P沿x轴方向运动4 m
D．t＝0.10 s时，沿x轴正方向与P相距10 m处的质点与P点振动方向相反
BD　[在t＝0.10 s时，由题图乙知质点Q正向下运动，根据“上下坡法”可知该波沿x轴负方向传播，故A错误；由题图甲知波长λ＝8 m，由题图乙知该波的周期是T＝0.20 s，则波速为v＝＝ m/s＝40 m/s，故B正确；质点P垂直波的传播方向振动，不沿x轴运动，故C错误；因为λ＝8 m，所以在t＝0.10 s时，沿x轴正方向与P相距10 m处的质点的振动情况相当于沿x轴正方向与P相距2 m处的质点振动情况，由题意可知在P右边2 m处的质点与P点振动方向相反，故D正确。]
　图像的转换
[典例5]　(2024·北京海淀二模)位于坐标原点的质点从t＝0时开始沿y轴振动，形成一列沿x轴传播的简谐波，t＝0.5 s时的波形如图所示，此时x＝0处的质点位于波峰位置。图中能正确描述x＝2 m处质点振动的图像是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
A　[根据波形图可得T＝0.5 s，解得周期T＝2 s，由λ＝1 m，解得波长为λ＝4 m，该波的波速为v＝＝2 m/s，所以波传到x＝2 m经过的时间为t1＝＝1 s，根据波形图可知，振源的起振方向向上，则波传到x＝2 m时，质点开始向上振动，故选项A正确。]
　三步求解波的图像与振动图像综合问题
波的多解性问题
1．造成波动问题多解的三大因素
周期性 (1)时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确； (2)空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确
双向性 (1)传播方向双向性：波的传播方向不确定； (2)振动方向双向性：质点振动方向不确定
波形的隐含性 在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态，这样波形就有多种情况，形成波动问题的多解性
2．解决波的多解问题的关键
(1)通常采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件关系的Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)。
(2)根据公式v＝或v＝＝λf 求波速等有关的问题，要注意题目是否有其他限制条件，如波的周期、波长、波速有限定，求出符合限定条件的解。
　周期性造成的多解问题
[典例6]　一列沿x轴负方向传播的简谐横波，t＝2 s时的波形如图(a)所示，x＝2 m处质点的振动图像如图(b)所示，则波速可能是(　　)
A． m/s B． m/s
C． m/s D． m/s
A　[根据题图(b)可知，该波的周期T＝4 s，根据“上下坡”法可得题图(a)中几个质点的振动方向，如图所示，由题图(b)可知t＝2 s时x＝2 m处质点由平衡位置向y轴负方向振动，则x＝2 m处质点可能为B质点，也可能为D质点，也有可能为D后面与D相距整数个波长的质点，所以有nλ＋λ＝2 m(n＝0，1，2，…)，解得λ＝ m(n＝0，1，2，…)，则波速v＝＝ m/s＝ m/s(n＝0，1，2，…)，当n＝2时，v＝ m/s，故A正确。]
　双向性造成的多解问题
[典例7]　一列简谐横波在t＝0时的波形如图中实线所示，t＝1 s时的波形如图中虚线所示，则下列说法正确的是(　　)
A．这列波的波长为8 m
B．平衡位置分别为A、B的两个质点，振动方向始终相同
C．若波向右传播，则波的最大频率为0.25 Hz
D．若波向左传播，则波的传播速度大小为6 m/s
A　[由题图可知，这列波的波长为λ＝8 m，A正确；A、B两个质点的平衡位置相距Δx＝4 m＝，故振动方向始终相反，B错误；若波向右传播，有T＝1 s(n＝0，1，2，…)，解得T＝ s(n＝0，1，2，…)，则波的最小频率为f ＝0.25 Hz，C错误；若波向左传播，有T＝1 s(n＝0，1，2，…)，解得T＝ s(n＝0，1，2，…)，则波的传播速度大小为v＝＝(6＋8n) m/s(n＝0，1，2，…)，D错误。]
　波形的隐含性形成多解问题
[典例8]　一列简谐横波沿水平方向向右传播，M、N为介质中相距Δx的两质点，M在左，N在右。t时刻，M、N均通过平衡位置，且M、N之间只有一个波峰，经过Δt时间N质点恰处于波峰位置，求这列波的波速。
[解析]　由题意可知t时刻的波形可能有四种情况，如图所示：
对图(a)，N质点正经过平衡位置向上振动，则Δt可能为，，，…，即Δt＝T(n＝0，1，2，…)
所以va＝＝＝(n＝0，1，2，…)
同理，对于图(b)(c)(d)分别有：
vb＝(n＝0，1，2，…)
vc＝(n＝0，1，2，…)
vd＝(n＝0，1，2，…)。
[答案]　见解析
波的干涉、衍射和多普勒效应
1．波的干涉现象中加强点、减弱点的判断方法
(1)公式法：某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr。
①当两波源振动步调一致时
若Δr＝nλ(n＝0，1，2，…)，则振动加强；
若Δr＝(2n＋1)(n＝0，1，2，…)，则振动减弱。
②当两波源振动步调相反时
若Δr＝(2n＋1)(n＝0，1，2，…)，则振动加强；
若Δr＝nλ(n＝0，1，2，…)，则振动减弱。
(2)在某时刻的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的相遇点是加强点，波峰与波谷的相遇点是减弱点。加强点或减弱点各自连接形成加强线和减弱线，以两波源为中心向外辐射，两种线互相间隔，这就是干涉图样，如图所示。加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间。
2．波的衍射现象
是指波能绕过障碍物继续传播的现象，产生明显衍射现象的条件是缝、孔的宽度或障碍物的尺寸跟波长相差不大或者小于波长。
3．多普勒效应的成因分析
(1)接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数。
(2)当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率变大，当波源与观察者相互远离时，观察者接收到的频率变小。
[典例9]　(2023·广东卷)渔船常用回声探测器发射的声波探测水下鱼群与障碍物。声波在水中传播速度为1 500 m/s，若探测器发出频率为1.5×106 Hz的声波，下列说法正确的是(　　)
A．两列声波相遇时一定会发生干涉
B．声波由水中传播到空气中，波长会改变
C．该声波遇到尺寸约为1 m的被探测物时会发生明显衍射
D．探测器接收到的回声频率与被探测物相对探测器运动的速度无关
B　[两列波发生干涉的条件是：①频率相同；②具有恒定的相位差；③振动方向相同。被反射回来的波的振动方向可能与发出的波振动方向不相同，不一定能发生干涉现象，故A错误；声波由水中传播到空气中时，声波的波速发生变化，所以波长会发生改变，故B正确；根据波长的计算公式可得λ＝＝ m＝1×10-3 m，当遇到尺寸约1 m的被探测物时不会发生明显衍射，故C错误；根据多普勒效应可知，探测器接收到的回声频率与被探测物相对探测器运动的速度有关，故D错误。]
[典例10]　(2024·江西卷)如图(a)所示，利用超声波可以检测飞机机翼内部缺陷。在某次检测实验中，入射波为连续的正弦信号，探头先后探测到机翼表面和缺陷表面的反射信号，分别如图(b)、(c)所示。已知超声波在机翼材料中的波速为6 300 m/s。关于这两个反射信号在探头处的叠加效果和缺陷深度d，下列选项正确的是(　　)
A．振动减弱；d＝4.725 mm
B．振动加强；d＝4.725 mm
C．振动减弱；d＝9.45 mm
D．振动加强；d＝9.45 mm
A　[根据反射信号图像可知，超声波的传播周期T＝2×10-7 s，又波速v＝6 300 m/s，则超声波在机翼材料中的波长λ＝vT＝1.26×10-3 m，结合题图(b)和题图(c)可知，两个反射信号传播到探头处的时间差为Δt＝1.5×10-6 s，故两个反射信号的路程差2d＝vΔt＝9.45×10-3 m＝λ，解得d＝4.725×10-3 m，且两个反射信号在探头处振动减弱，A正确。]
1．(2024·广东卷)一列简谐横波沿x轴正方向传播。波速为1 m/s，t＝0时的波形如图所示。t＝1 s时，x＝1.5 m处的质点相对平衡位置的位移为(　　)
A．0 B．0.1 m
C．－0.1 m D．0.2 m
B　[由题图可知简谐波的波长为λ＝2 m，所以周期为T＝＝＝2 s，当t＝1 s时，x＝1.5 m处的质点运动半个周期到达波峰处，故相对平衡位置的位移为0.1 m。故选B。]
2．(2024·安徽卷)某仪器发射甲、乙两列横波，在同一均匀介质中相向传播，波速v大小相等。某时刻的波形图如图所示，则这两列横波(　　)
A．在x＝9.0 m处开始相遇
B．在x＝10.0 m处开始相遇
C．波峰在x＝10.5 m处相遇
D．波峰在x＝11.5 m处相遇
C　[由题意可知两列波的波速相同，所以相同时间内传播的距离相同，故两列横波在x＝11.0 m处开始相遇，故A、B错误；甲波峰的坐标为x1＝5 m，乙波峰的坐标为x2＝16 m，由于两列波的波速相同，所以波峰在x′＝5 m＋ m＝10.5 m处相遇，故C正确，D错误。]
教考衔接·链接人教版选择性必修第一册P83T7
两列简谐横波分别沿x轴正方向和负方向传播，两波源分别位于x＝－0.2 m和x＝1.2 m处，两列波的波速均为0.4 m/s，波源的振幅均为2 cm。图示为0时刻两列波的图像，此刻平衡位置在x＝0.2 m和x＝0.8 m的P、Q两质点刚开始振动。质点M的平衡位置处于x＝0.5 m处。
(1)求两列波相遇的时刻；
(2)求1.5 s后质点M运动的路程。
[解析]　(1)两列波分别传到P、Q两质点，P、Q的平衡位置相距s＝0.8 m－0.2 m＝0.6 m，设两列波经过时间t相遇，则有s＝vt＋vt，解得两列波相遇的时刻为t＝＝ s＝0.75 s。
(2)两列波的振动周期为T＝＝ s＝1 s，两列波经过t＝0.75 s在PQ的中点M相遇，所以质点M在t＝0.75 s时刻开始振动，两列波同时到达M点时，引起质点M的振动方向均向下，所以M点为振动加强点，即质点M的振幅为A′＝2A＝4 cm。当t＝1.5 s时，质点M振动的时间为1.5 s－0.75 s＝0.75 s＝T，故1.5 s后质点M运动的路程为s＝×4A′＝3A′＝12 cm。
[答案]　(1)0.75 s　(2)12 cm
3．(2022·北京卷)在如图所示的xOy坐标系中，一条弹性绳沿x轴放置，图中小黑点代表绳上的质点，相邻质点的间距为a。t＝0时，x＝0处的质点P0开始沿y轴做周期为T、振幅为A的简谐运动。t＝T时的波形如图所示。下列说法正确的是(　　)
A．t＝0时，质点P0沿y轴负方向运动
B．t＝T时，质点P4的速度最大
C．t＝T时，质点P3和P5相位相同
D．该列绳波的波速为
D　[由题图t＝T时的波形图可知，波刚好传到质点P6，根据“上下坡”法，可知此时质点P6沿y轴正方向运动，故波源起振的方向也沿y轴正方向，则t＝0时，质点P0沿y轴正方向运动，故A错误；由题图可知，在t＝T时，质点P4处于正的最大位移处，故速度为零，故B错误；由题图可知，在t＝T时，质点P3沿y轴负方向运动，质点P5沿y轴正方向运动，故两个质点的相位不相同，故C错误；由题图可知＝2a，解得λ＝8a，故该列绳波的波速为v＝＝，故D正确。]
课时分层作业(十九)
1．(2023·新课标卷)船上的人和水下的潜水员都能听见轮船的鸣笛声。声波在空气中和在水中传播时的(　　)
A．波速和波长均不同 B．频率和波速均不同
C．波长和周期均不同 D．周期和频率均不同
A　[机械波从一种介质传到另一种介质，是通过质点间受迫振动传播的，频率都等于波源的频率，保持不变，周期T＝，则周期也不变，而机械波在不同介质中波速不同，根据v＝λf 可知，波长随波速成正比变化，A正确，B、C、D错误。]
2．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．在干涉现象中，振动加强点的位移总比减弱点的位移要大
B．单摆在周期性外力作用下做受迫振动，其振动周期与单摆的摆长无关
C．火车鸣笛向我们驶来时，我们听到的笛声频率将比声源发声的频率高
D．当水波通过障碍物时，若障碍物的尺寸与波长差不多，或比波长大的多时，将发生明显的衍射现象
BC　[在干涉现象中，振动加强点振幅最大，位移在变化，所以振动加强点的位移不是总比减弱点的位移大，故A错误；单摆在周期性外力作用下做受迫振动，单摆的振动周期与驱动力的周期相等，与固有周期无关，故与单摆的摆长无关，故B正确；火车鸣笛向我们驶来时，根据多普勒效应知，我们听到的笛声频率大于声源发声的频率，故C正确；当水波通过障碍物时，若障碍物的尺寸与波长差不多，或比波长小的多时，将发生明显的衍射现象，故D错误。]
3．(2024·山西太原一模)如图所示，蜜蜂同上同下挥动两个翅膀，在水面上形成稳定的干涉图样，A为加强区一点，B为减弱区一点。下列说法正确的是(　　)
A．图中B处质点振幅最大
B．图中A处质点位移始终最大
C．蜜蜂两翅膀挥动频率可以不同
D．A点到两个波源的距离差为波长的整数倍
D　[题图中B为减弱区一点，所以B处质点振幅最小，故A错误；题图中A为加强区一点，A处质点振幅最大，但并不是始终处于最大位移处，即位移并不是始终最大，故B错误；两列波发生稳定干涉的条件为频率相同、相位差恒定、振动方向相同，所以蜜蜂两翅膀挥动频率相同，故C错误；由于A点为振动加强点，所以A点到两个波源的距离差为波长的整数倍，故D正确。]
4．(2024·湖南卷)如图所示，健身者在公园以每分钟60次的频率上下抖动长绳的一端，长绳自右向左呈现波浪状起伏，可近似为单向传播的简谐横波。长绳上A、B两点平衡位置相距6 m，t0时刻A点位于波谷，B点位于波峰，两者之间还有一个波谷。下列说法正确的是(　　)
A．波长为3 m
B．波速为12 m/s
C．t0＋0.25 s时刻，B点速度为0
D．t0＋0.50 s时刻，A点速度为0
D　[由题意可知xAB＝λ，则该波的波长为λ＝4 m，A错误；根据题意可知该波的周期T＝1 s，结合A项分析可得该波的波速为v＝＝4 m/s，B错误；由于t0时刻A点、B点分别位于波谷、波峰位置，则t0时刻A点、B点的速度均为0，从t0时刻到t0＋ 0.25 s时刻，B点振动了个周期，运动至平衡位置，速度最大，C错误；从t0时刻到t0＋0.5 s时刻，A点振动了个周期，运动至波峰位置，速度为0，D正确。]
5．(多选)(2025·八省联考四川卷)甲、乙两列简谐横波在t＝0时刻的波形如图所示，传播速度均为 1 cm/s。 下列说法正确的是(　　)
A．甲的周期为2 s
B．甲与乙的频率之比为3∶2
C．t＝0时刻，质点P的位移为零
D．t＝0时刻，质点Q的速度沿y轴正方向
BC　[根据题图甲，可得λ甲＝2 cm，又λ甲＝vT甲，其中v＝1 cm/s，解得T甲＝ s，故A错误；同理，根据题图乙，可得λ乙＝2 cm，又λ乙＝vT乙，可得T乙＝2 s，根据f ＝可得＝＝，故B正确；由题图甲可知，t＝0时刻，质点P在平衡位置，位移为零，故C正确；根据同侧法可知t＝0时刻，质点Q的速度沿y轴负方向，故D错误。故选BC。]
6．(多选)如图所示，一列简谐横波向右传播，P、Q两质点平衡位置相距0.15 m。当P运动到上方最大位移处时，Q刚好运动到下方最大位移处，则这列波的波长可能是(　　)
A．0.30 m B．0.20 m
C．0.10 m D．0.06 m
ACD　[由题意可知，P、Q两点之间的间距为＋nλ＝0.15 m(n＝0，1，2，…)，解得λ＝ m(n＝0，1，2，…)。故n＝0时，λ＝0.30 m；n＝1时，λ＝0.10 m; n＝2时，λ＝0.06 m。故选ACD。]
7．(2023·海南卷)如图所示分别是一列机械波在传播方向上相距6 m的两个质点P、Q的振动图像，下列说法正确的是(　　)
A．该波的周期是5 s
B．该波的波速是3 m/s
C．4 s时，P质点向上振动
D．4 s时，Q质点向上振动
C　[由振动图像可看出该波的周期是4 s，A错误；由于P、Q两个质点振动反相，则可知两者间距离等于λ＝6 m(n＝0，1，2，…)，则v＝＝ m/s(n＝0，1，2，…)，B错误；由P质点的振动图像可看出，在4 s时P质点在平衡位置向上振动，C正确；由Q质点的振动图像可看出，在4 s时Q质点在平衡位置向下振动，D错误。]
8．(2025·广东韶关高三检测)沿x轴传播的一列简谐横波在t＝0时刻的波形图如图甲所示，平衡位置在x＝4 m处的质点Q的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．该列波的传播方向沿x轴正方向
B．该列波的传播速度为6.25 m/s
C．经过0.4 s时间，质点Q沿波的传播方向运动了3 m
D．t＝0.2 s时，质点Q的加速度方向沿y轴正方向
A　[由题图乙可知，质点Q在t＝0时刻向y轴正方向振动，结合题图甲根据“同侧法”可知，该列波的传播方向沿x轴正方向，故A正确；由题图甲可知，该波的波长λ＝12 m，由题图乙可知，该波的周期T＝1.6 s，则该列波的传播速度为v＝＝ m/s＝7.5 m/s，故B错误；质点Q只是沿y轴方向上下振动，并不会沿波的传播方向运动，故C错误；由题图乙可知，t＝0.2 s时，质点Q的位移沿y轴正方向，则质点Q的加速度方向沿y轴负方向，故D错误。]
9．(多选)(2024·山东卷)甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中沿x轴相向传播，波速均为2 m/s。t＝0时刻，二者在x＝2 m 处相遇，波形图如图所示。关于平衡位置在x＝2 m处的质点P，下列说法正确的是(　　)
A．t＝0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为0
B．t＝0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为－2 cm
C．t＝1.0 s时，P向y轴正方向运动
D．t＝1.0 s时，P向y轴负方向运动
BC　[由于两波的波速均为2 m/s，则t＝0.5 s时，题图所示平衡位置在x＝1 m 处和x＝3 m处两质点的振动形式传到P点处，则由波的叠加可知，t＝0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为－2 cm，A错误，B正确；与A、B项分析同理，t＝1 s时，题图所示平衡位置在x＝0处和x＝4 m处两质点的振动形式(均向y轴正方向运动)传到P点处，根据波的叠加可知，t＝1 s 时，P向y轴正方向运动，C正确，D错误。]
10．(2024·广东江门11月期中)图中实线和虚线分别是在x轴上传播的一列简谐横波t＝0和t＝0.03 s时刻的波形图，x＝1.2 m处的质点在t＝0.03 s时刻向y轴正方向运动，则(　　)
A．各质点在0.03 s内随波迁移0.9 m
B．该波的频率可能是100 Hz
C．t＝0时，x＝1.4 m处质点的加速度方向沿y轴正方向
D．该波的波速可能是70 m/s
D　[各质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，而不随波迁移，故A错误；x＝1.2 m处的质点在t＝0.03 s时刻向y轴正方向运动，根据“同侧法”可知波向x轴正方向传播，由实线传到虚线所用时间Δt＝T(n＝0，1，2，3，…)，所以T＝＝ s＝ s(n＝0，1，2，3，…)，频率为f ＝＝ Hz(n＝0，1，2，3，…)，因此频率不可能为100 Hz，故B错误；t＝0时，x＝1.4 m处质点的位移为正，则加速度方向沿y轴负方向，故C错误；由图可知，λ＝1.2 m，因此波速v＝＝10×(4n＋3) m/s(n＝0，1，2，3，…)，当n＝1时v＝70 m/s，故D正确。]
11．(多选)(2024·重庆卷)一列沿x轴传播的简谐波在某时刻的波形图如图甲所示，平衡位置为x＝3 m的质点从该时刻开始的振动图像如图乙所示。若该波的波长大于3 m，则(　　)
A．该波的最小波长为 m
B．该波的频率为 Hz
C．该波的最大波速为 m/s
D．从该时刻开始2 s内，平衡位置为x＝3 m的质点运动的路程为 cm
D．从该时刻开始2 s内平衡位置为x＝3 m的质点运动的路程为 cm
BD　[根据题图乙可得t＝2 s＝T，即T＝ s，则该波的频率为f ＝＝ Hz，B正确；在题图甲中标出位移为 cm的质点如图所示，若该波沿x轴负方向传播，则由同侧法可知平衡位置为x＝3 m的质点为P点，有λ＝3 m，即λ＝18 m，若该波沿x轴正方向传播，则平衡位置为x＝3 m的质点为Q点，有λ′＝3 m，故λ′＝9 m，故该波的最小波长为9 m，A错误；根据v＝可得v＝ m/s或v＝ m/s，则该波的最大波速为 m/s，C错误；根据题图乙可得平衡位置为x＝3 m的质点从该时刻开始2 s内运动的路程为l＝ cm＝ cm，D正确。]
12．(2023·全国甲卷)分别沿x轴正向和负向传播的两列简谐横波P、Q的振动方向相同，振幅均为 5 cm，波长均为8 m，波速均为4 m/s。t＝0时刻，P波刚好传播到坐标原点处，该处的质点将自平衡位置向下振动；Q波刚好传到x＝10 m处，该处的质点将自平衡位置向上振动。经过一段时间后，两列波相遇。
(1)在给出的坐标图上分别画出P、Q两列波在t＝2.5 s时刻的波形图(P波用虚线，Q波用实线)；
(2)求出图示范围内的介质中，因两列波干涉而振动振幅最大和振幅最小的质点的平衡位置。
[解析]　(1)当t＝2.5 s时，设波的传播距离为s，s＝vt＝10 m，P波恰好传播到x＝10 m位置。由题意可知其起振方向向下，且沿x轴正向传播，所以波形图如图中虚线所示。
Q波恰好传播到x＝0位置。由题意可知其起振方向向上，且沿x轴负向传播，所以波形图如图中实线所示。
(2)取x轴上某点的坐标为x，P、Q两列波的振动频率相同、t＝0时刻振动方向相反，题图所示范围内两列波叠加时，加强条件为点到坐标原点和x＝10 m处的距离差Δx＝|2x－10 m|＝(n＝0)，解得振幅最大的平衡位置有x＝3 m和x＝7 m，减弱条件为Δx＝|2x－10 m|＝nλ(n＝0，1)，解得振幅最小的平衡位置有x＝1 m、x＝5 m、x＝9 m。
[答案]　见解析
21 / 22第2节　电场能的性质
[学习目标]　1．知道静电场中的电荷具有电势能，理解电势能、电势的概念。2．掌握静电力做功的特点及静电力做功与电势能变化的关系。
3．掌握匀强电场中电势差及其与电场强度的关系。
4．会处理电场线、等势面与运动轨迹结合问题。
1．静电力做功
(1)特点：与路径无关，只与____位置和终止位置有关。
(2)计算方法
①W＝______，适用于匀强电场，d为沿电场方向的位移。
②WAB＝________，适用于任何电场。
2．静电力做功与电势能变化的关系
(1)静电力做的功等于电荷电势能的______，即WAB＝EpA－EpB。静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就____多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就____多少。
(2)电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功。
3．电势
(1)定义式：φ＝。应用公式时，各量的正负号要代入。
(2)矢标性：标量，但有正负之分，其正(负)表示比______高(低)。
(3)相对性：电势大小与零电势点的选取有关。
4．等势面
(1)定义：电场中____相同的点构成的面。
(2)特点：
①在同一等势面上移动电荷时，静电力______。
②电场线和等势面垂直。
③等差等势面的疏密表示电场的____。
④等势面不相交。
5．几种常见等势面的比较
电场 等势面(虚线)图样 特点
匀强电场 垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场 两电荷连线的中垂面为等势面
等量正点电荷的电场 在两电荷连线上，中点电势最__； 在两电荷连线的中垂线上，中点电势最__
6．电势差
(1)定义式：UAB＝。
(2)静电力做功与电势差的关系：WAB＝EpA－EpB＝q(φA－φB)＝qUAB。
(3)电势差与电势的关系：UAB＝__________，UAB＝－UBA。
(4)匀强电场中电势差与电场强度的关系：U＝Ed。
7．静电平衡
(1)概念：导体中的自由电荷不再发生________。
(2)特点：
①导体内部电场强度为零。
②导体是等势体，表面是等势面，电荷只分布在外表面上。
1．易错易混辨析
(1)电场中电场强度为零的地方电势一定为零。 (　　)
(2)等势面是客观存在的，电场线与等势面一定垂直。 (　　)
(3)静电力做功与路径无关。 (　　)
(4)带电粒子仅受静电力作用时，一定从电势能大的地方向电势能小的地方移动。
(　　)
(5)等差等势面越密的地方，电场线越密，电场强度越大。 (　　)
(6)电场中电势降低的方向，就是电场强度的方向。 (　　)
(7)A、B两点的电势差与试探电荷无关，所以UAB＝UBA。 (　　)
2．(人教版必修第三册改编)电荷量为q的电荷在电场中由A点移到B点时，静电力做功为W，由此可算出两点间的电势差为U，若让电荷量为2q的电荷在电场中由A点移到B点，则(　　)
A．静电力做功仍为W
B．静电力做功为
C．两点间的电势差仍为U
D．两点间的电势差为
3．(人教版必修第三册改编)如图所示，匀强电场的电场强度为E，A与B两点间的距离为d，AB与电场线的夹角为α，则A、B两点间的电势差为(　　)
A．Ed　　　　 B．Ed cos α
C．Ed sin α D．Ed tan α
静电力做功、电势和电势能
1．求静电力做功的四种方法
2．判断电势能变化的两种常用方法
(1)根据静电力做功：静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加。
(2)根据Ep＝φq：正电荷在电势越高处电势能越大；负电荷在电势越高处电势能越小。
3．电势高低的三种常用判断方法
(1)电场线法：沿电场线方向电势逐渐降低。
(2)电势差与电势的关系：根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低。
(3)Ep与φ的关系：由φ＝知正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低。
[典例1]　(多选)如图所示，在匀强电场中有一虚线圆，ab和cd是圆的两条直径，其中ab与电场方向的夹角为60°，ab＝0.2 m，cd与电场方向平行，a、b两点的电势差Uab＝20 V。则(　　)
A．电场强度的大小E＝200 V/m
B．b点的电势比d点的低5 V
C．将电子从c点移到d点，静电力做正功
D．电子在a点的电势能大于在c点的电势能
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[典例2]　(多选)(2024·广东卷)污水中的污泥絮体经处理后带负电，可利用电泳技术对其进行沉淀去污，基本原理如图所示。涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极、金属圆盘置于底部、金属棒插入污水中，形成如图所示的电场分布，其中实线为电场线，虚线为等势面。M点和N点在同一电场线上，M点和P点在同一等势面上。下列说法正确的有(　　)
A．M点的电势比N点的低
B．N点的电场强度比P点的大
C．污泥絮体从M点移到N点，静电力对其做正功
D．污泥絮体在N点的电势能比其在P点的大
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[典例3]　(多选)(2024·陕西榆林一模)电鳗被称为“水中的高压线”，电鳗体内从头到尾都有一些类似小型电池的细胞，这些细胞就像许多叠在一起的叠层电池，这些“电池”串联起来后，电鳗的头和尾之间就产生了很高的电压，此时电鳗的头和尾的周围空间产生类似于等量异种点电荷(O为两点电荷连线的中点)的强电场。如图所示，虚线为该电场的等势线，实线ABCD是以O点为中心的正方形，点A和D在同一等势线上，点B和C在另一等势线上。则下列说法正确的是(　　)
A．电鳗的头部带正电，尾部带负电
B．A点与C点的电场强度相同
C．实线ABCD区域内的电场可能是匀强电场
D．带正电的试探电荷沿直线从B点移到C点的过程中，电势能先增大后减小
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
匀强电场电势差与电场强度的关系
1．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)关系式：UAB＝Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离。
(2)判断方法：沿电场强度方向电势降落最快。
(3)由E＝可推出的两个重要推论
推论1：如图甲所示，匀强电场中任一线段AB的中点C的电势φC＝。
推论2：如图乙所示，若匀强电场中两线段AB＝CD且AB∥CD，则φA－φB＝φC－φD。
(4)“等分法”的应用
①在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上间距相同的两点间电势差大小相等。如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点间的电势差大小等于原电势差的，这种通过等分间距求解电势问题的方法，叫等分法。
②若已知匀强电场中某几点的电势，要求其他点的电势时，一般采用“等分法”，在电场中找与待求点的电势相同的等势点。等分法也常用在画电场线的问题中。
2．非匀强电场中公式U＝Ed的定性应用
(1)判断电场强度大小：根据E＝，等差等势面越密，电场强度越大。
(2)判断电势差的大小：根据U＝Ed，距离相等的两点间，E越大，U越大。
　非匀强电场中的定性应用
[典例4]　(2022·福建卷)平时我们所处的地球表面，实际上存在电场强度大小为100 V/m的电场，可将其视为匀强电场，在地面立一金属杆后空间中的等势面如图所示。空间中存在a、b、c三点，其中a点位于金属杆正上方，b、c等高,则下列说法正确的是(　　)
A．b、c两点间的电势差Ubc＝0
B．a点电场强度大小大于100 V/m
C．a点电场强度方向水平向右
D．a点的电势低于c点
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　等分法的应用
[典例5]　如图所示，在纸面内有一直角三角形ABC，P1为AB的中点，P2为AP1的中点，BC＝2 cm，∠A＝30°。纸面内有一匀强电场，电子在A点的电势能为－5 eV，在C点的电势能为19 eV，在P2点的电势能为3 eV。下列说法正确的是(　　)
A．A点的电势为－5 V
B．B点的电势为－19 V
C．该电场的电场强度方向由B点指向A点
D．该电场的电场强度大小为800 V/m
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[典例6]　(人教版必修第三册)如图所示，在匀强电场中，将电荷量为－6×10-6 C的点电荷从电场中的A点移到B点，静电力做了－2.4×10-5 J的功，再从B点移到C点，静电力做了1.2×10-5 J的功。已知电场的方向与△ABC所在的平面平行。
(1)A、B两点间的电势差UAB和B、C两点间的电势差UBC分别为多少？
(2)如果规定B点的电势为0，则A点和C点的电势分别为多少？
(3)请在图中画出过B点的电场线方向，并说明理由。
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　平行结论法的应用
[典例7]　(多选)(2024·四川广安月考)如图所示，在电场中有一等边三角形OPC，O点位于坐标原点，OC与x轴重合，P点坐标为(2 cm，2 cm)，A、B分别为OP、PC的中点，坐标系处于匀强电场中，且电场方向与坐标平面平行。已知O点电势为6 V，A点电势为3 V，B点电势为0，则下列说法正确的是(　　)
A．C点电势为3 V
B．C点电势为0
C．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m
D．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
电场线、等势面及运动轨迹问题
1．带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
(2)判断静电力(或电场强度)的方向：仅受静电力作用时，带电粒子所受静电力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子电荷的正负判断电场强度的方向。
(3)判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。
2．一般情况下带电粒子在电场中的运动轨迹不会与电场线重合，只有同时满足以下三个条件时，两者才会重合：
(1)电场线为直线。
(2)电荷初速度为零或初速度方向与电场线平行。
(3)电荷仅受静电力或所受合力的方向始终与静电力方向相同或相反。
[典例8]　(2024·福建龙岩一模)一种静电除尘空气净化器，工作原理如图所示。一重力不计的带电尘埃仅在静电力的作用下沿虚线由M点运动到N点，实线为电场线，以放电极中心为圆心的圆交于M、P两点。下列说法正确的是(　　)
A．带电尘埃带正电
B．M、P两点的电场强度及电势都相同
C．该带电尘埃在M点的动能大于在N点的动能
D．该带电尘埃在M点的电势能大于在N点的电势能
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[典例9]　如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线1、2、3分别为三条等势线，三条等势线与其中一条电场线的交点依次为M、N、Q点，已知MN＝NQ，电荷量相等的a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出，仅在静电力作用下，两粒子的运动轨迹如图中虚线a′、b′所示，则(　　)
A．a粒子一定带正电，b粒子一定带负电
B．M、N两点间的电势差大小|UMN|等于N、Q两点间的电势差大小|UNQ|
C．a粒子的加速度逐渐增大，b粒子的加速度逐渐减小
D．a粒子从出发到等势线3过程的动能变化量比b粒子从出发到等势线1过程的动能变化量小
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2024·河北卷)我国古人最早发现了尖端放电现象，并将其用于生产生活，如许多古塔的顶端采用“伞状”金属饰物在雷雨天时保护古塔。雷雨中某时刻，一古塔顶端附近等势线分布如图所示，相邻等势线电势差相等，则a、b、c、d四点中电场强度最大的是(　　)
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
2．(2024·全国甲卷)在电荷量为Q的点电荷产生的电场中，将无限远处的电势规定为零时，距离该点电荷r处的电势为k，其中k为静电力常量；多个点电荷产生的电场中某点的电势，等于每个点电荷单独存在时该点的电势的代数和。电荷量分别为Q1和Q2的两个点电荷产生的电场的等势线如图中曲线所示(图中数字的单位是伏特)，则(　　)
A．Q1<0，＝－2 B．Q1>0，＝－2
C．Q1<0，＝－3 D．Q1>0，＝－3
3．(多选)(2023·辽宁卷)图(a)为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图(b)为四极杆内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则(　　)
A．P点电势比M点的低
B．P点电场强度大小比M点的大
C．M点电场强度方向沿z轴正方向
D．沿x轴运动的带电粒子，电势能不变
4．(多选)(2023·全国乙卷)在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方。从P点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷静电力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图所示。M、N是轨迹上的两点，OP>OM，OM＝ON，则小球(　　)
A．在运动过程中，电势能先增加后减少
B．在P点的电势能大于在N点的电势能
C．在M点的机械能等于在N点的机械能
D．从M点运动到N点的过程中，静电力始终不做功
12 / 12第2节　机械波
[学习目标]　1．知道机械波的特点及形成过程。
2．理解波速、波长、频率的关系，会分析波的图像。
3．掌握波的干涉和发生明显衍射的条件，了解多普勒效应。
1．机械波
(1)形成条件
①有发生机械振动的波源。
②有传播____，如空气、水等。
(2)传播特点
①传播振动形式、传递____、传递信息。
②质点不随波____。
(3)分类
①横波：质点的振动方向与波的传播方向相互____，有波峰和波谷。
②纵波：质点的振动方向与波的传播方向在__________，有疏部和密部。
(4)描述
①波长(λ)：在波的传播方向上，振动相位总是____的两个____质点间的距离。
在横波中，两个相邻____或两个相邻____之间的距离等于波长。
在纵波中，两个相邻____或两个相邻____之间的距离等于波长。
②频率(f )：波的频率等于____振动的频率。
③波速(v)：波在介质中的传播速度，由____本身的性质决定。
④三者关系：v＝＝______。
(5)图像
①坐标轴：横坐标表示沿波传播方向上各个质点的________，纵坐标表示该时刻各个质点离开平衡位置的____。
②意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开________的位移。
2．波的干涉
(1)条件：两列波的____相同、相位差恒定、振动方向相同。
(2)现象：形成加强区和减弱区相互隔开的稳定的________。
3．波的衍射
(1)明显衍射现象的条件：障碍物或孔的尺寸比____小或相差不多。
(2)现象：波能够____障碍物或通过孔继续向前传播。
4．多普勒效应
(1)条件：波源和观察者之间有________(距离发生变化)。
(2)现象：观察者感到____发生变化。
(3)实质：波源频率不变，观察者接收到的____发生变化。
1．易错易混辨析
(1)在机械波的传播过程中，各质点随波的传播而迁移。 (　　)
(2)机械波在传播过程中，各质点振动的周期、起振方向都相同。 (　　)
(3)两列波在介质中叠加，一定产生干涉现象。 (　　)
(4)波的传播在时间上有周期性，在空间上也有周期性。 (　　)
(5)机械波传递的是振动形式、能量和信息。 (　　)
(6)波的图像描述的是一个质点的位移随时间变化的关系。 (　　)
2．(鲁科版选择性必修第一册改编)(多选)下列说法正确的是(　　)
A．发生多普勒效应时，波源的频率变化了
B．发生多普勒效应时，观察者接收的频率发生了变化
C．多普勒效应是在波源和观察者之间有相对运动时产生的
D．当观察者向波源靠近时，观察到波的频率变小
3．(人教版选择性必修第一册改编)(多选)如图所示，当波源和障碍物都静止不动时，波源发出的波在障碍物处不能发生明显的衍射。下列措施可能使波发生较为明显的衍射的是(　　)
A．增大波源的振动频率
B．减小波源的振动频率
C．增大障碍物的长度
D．减小障碍物的长度
4．(人教版选择性必修第一册改编)(多选)简谐横波某时刻的波形如图所示，P为介质中的一个质点，波沿x轴的正方向传播。以下说法正确的是(　　)
A．质点P此时刻的速度沿x轴的正方向
B．质点P此时刻的加速度沿y轴的正方向
C．再过半个周期时，质点P的位移为负值
D．经过一个周期，质点P通过的路程为4a
波的形成、传播与图像
1．机械波的传播特点
(1)介质中各质点的起振方向都和波源的起振方向相同。
(2)介质中每个质点都做受迫振动，因此，任一质点的振动频率和周期都与波源的振动频率和周期相同。
(3)波从一种介质进入另一种介质，由于介质不同，波长和波速可以改变，但频率和周期都不会改变。
(4)振源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离，所以v＝＝λf 。
2．波的图像的信息(如图所示)
(1)直接读取振幅A和波长λ，以及该时刻各质点的位移。
(2)确定某时刻各质点加速度的方向，并能比较其大小。
(3)结合波的传播方向可确定各质点的振动方向或由各质点的振动方向确定波的传播方向。
3．波的周期性
(1)质点振动nT(n＝1，2，3，…)时，波形不变。
(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1，2，3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)(n＝0，1，2，3，…)时，它们的振动步调总相反。
　波的形成与传播
[典例1]　(2024·江苏卷)如图所示，水面上有O、A、B三点共线，OA＝2AB，t＝0时刻在O点的水面给一个扰动，t1时刻A开始振动，则B振动的时刻为(　　)
A．t1 B．
C．2t1 D．
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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　波的图像
[典例2]　(多选)(2025·八省联考河南卷)某简谐横波在t＝0时刻的波形图如图所示。x＝0处质点的位移为y＝－4 cm，x＝0.7 m处的质点P位于平衡位置且振动方向向下。已知该波的周期为1.2 s，则(　　)
A．该波的波长为1.2 m
B．该波的波速为2 m/s
C．该波沿x轴正方向传播
D．t＝0.1 s时刻，x＝0处的质点位于平衡位置
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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[典例3]　(多选)(2024·新课标卷)位于坐标原点O的波源在t＝0时开始振动，振动图像如图所示，所形成的简谐横波沿x轴正方向传播。平衡位置在x＝3.5 m处的质点P开始振动时，波源恰好第2次处于波谷位置，则(　　)
A．波的周期是0.1 s
B．波的振幅是0.2 m
C．波的传播速度是10 m/s
D．平衡位置在x＝4.5 m处的质点Q开始振动时，质点P处于波峰位置
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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　波的传播方向与质点振动方向的互判
方法解读 图像演示
“上下 坡”法 沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
“同侧” 法 波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“微平 移”法 将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一x坐标的两波形曲线上的点来判断振动方向
波的图像和振动图像的综合应用
1．振动图像与波的图像的比较
振动图像 波的图像
图像
物理 意义 表示某质点各个时刻的位移 表示某时刻各质点的位移
图像 信息 (1)质点振动周期 (2)质点振幅 (3)各时刻质点位移 (4)各时刻质点速度、加速度方向 (1)波长、振幅 (2)任意一质点在该时刻的位移 (3)任意一质点在该时刻加速度方向 (4)传播方向、振动方向的互判
图像 变化 随着时间推移，图像延续，但已有形状不变 随时间推移，图像沿传播方向平移
形象 比喻 记录着一个人一段时间内活动的录像带 记录着许多人某时刻动作、表情的集体照片
2．由两类图像判断波的传播规律的方法
(1)首先根据横轴是长度还是时间分清哪一个是波的图像，哪一个是振动图像，注意各个质点振动的周期和振幅相同。
(2)从确定的振动图像中可以找出某质点在波的图像中某一时刻的振动方向，根据该点振动方向确定波的传播方向。
　两类图像信息的应用
[典例4]　(人教版选择性必修第一册改编)(多选)如图甲为一列简谐横波在t＝0.10 s时刻的波形图，此时质点P的位置横坐标为x＝1 m，质点Q的位置横坐标为x＝4 m。图乙为质点Q的振动图像。则下列说法正确的是(　　)
A．该波沿x轴正方向传播
B．该波的传播速度是40 m/s
C．从t＝0.10 s到0.20 s内，质点P沿x轴方向运动4 m
D．t＝0.10 s时，沿x轴正方向与P相距10 m处的质点与P点振动方向相反
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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图像的转换
[典例5]　(2024·北京海淀二模)位于坐标原点的质点从t＝0时开始沿y轴振动，形成一列沿x轴传播的简谐波，t＝0.5 s时的波形如图所示，此时x＝0处的质点位于波峰位置。图中能正确描述x＝2 m处质点振动的图像是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三步求解波的图像与振动图像综合问题
波的多解性问题
1．造成波动问题多解的三大因素
周期性 (1)时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确； (2)空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确
双向性 (1)传播方向双向性：波的传播方向不确定； (2)振动方向双向性：质点振动方向不确定
波形的隐含性 在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态，这样波形就有多种情况，形成波动问题的多解性
2．解决波的多解问题的关键
(1)通常采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件关系的Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)。
(2)根据公式v＝或v＝＝λf 求波速等有关的问题，要注意题目是否有其他限制条件，如波的周期、波长、波速有限定，求出符合限定条件的解。
　周期性造成的多解问题
[典例6]　一列沿x轴负方向传播的简谐横波，t＝2 s时的波形如图(a)所示，x＝2 m处质点的振动图像如图(b)所示，则波速可能是(　　)
A． m/s B． m/s
C． m/s D． m/s
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　双向性造成的多解问题
[典例7]　一列简谐横波在t＝0时的波形如图中实线所示，t＝1 s时的波形如图中虚线所示，则下列说法正确的是(　　)
A．这列波的波长为8 m
B．平衡位置分别为A、B的两个质点，振动方向始终相同
C．若波向右传播，则波的最大频率为0.25 Hz
D．若波向左传播，则波的传播速度大小为6 m/s
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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　波形的隐含性形成多解问题
[典例8]　一列简谐横波沿水平方向向右传播，M、N为介质中相距Δx的两质点，M在左，N在右。t时刻，M、N均通过平衡位置，且M、N之间只有一个波峰，经过Δt时间N质点恰处于波峰位置，求这列波的波速。
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波的干涉、衍射和多普勒效应
1．波的干涉现象中加强点、减弱点的判断方法
(1)公式法：某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr。
①当两波源振动步调一致时
若Δr＝nλ(n＝0，1，2，…)，则振动加强；
若Δr＝(2n＋1)(n＝0，1，2，…)，则振动减弱。
②当两波源振动步调相反时
若Δr＝(2n＋1)(n＝0，1，2，…)，则振动加强；
若Δr＝nλ(n＝0，1，2，…)，则振动减弱。
(2)在某时刻的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的相遇点是加强点，波峰与波谷的相遇点是减弱点。加强点或减弱点各自连接形成加强线和减弱线，以两波源为中心向外辐射，两种线互相间隔，这就是干涉图样，如图所示。加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间。
2．波的衍射现象
是指波能绕过障碍物继续传播的现象，产生明显衍射现象的条件是缝、孔的宽度或障碍物的尺寸跟波长相差不大或者小于波长。
3．多普勒效应的成因分析
(1)接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数。
(2)当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率变大，当波源与观察者相互远离时，观察者接收到的频率变小。
[典例9]　(2023·广东卷)渔船常用回声探测器发射的声波探测水下鱼群与障碍物。声波在水中传播速度为1 500 m/s，若探测器发出频率为1.5×106 Hz的声波，下列说法正确的是(　　)
A．两列声波相遇时一定会发生干涉
B．声波由水中传播到空气中，波长会改变
C．该声波遇到尺寸约为1 m的被探测物时会发生明显衍射
D．探测器接收到的回声频率与被探测物相对探测器运动的速度无关
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[典例10]　(2024·江西卷)如图(a)所示，利用超声波可以检测飞机机翼内部缺陷。在某次检测实验中，入射波为连续的正弦信号，探头先后探测到机翼表面和缺陷表面的反射信号，分别如图(b)、(c)所示。已知超声波在机翼材料中的波速为6 300 m/s。关于这两个反射信号在探头处的叠加效果和缺陷深度d，下列选项正确的是(　　)
A．振动减弱；d＝4.725 mm
B．振动加强；d＝4.725 mm
C．振动减弱；d＝9.45 mm
D．振动加强；d＝9.45 mm
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2024·广东卷)一列简谐横波沿x轴正方向传播。波速为1 m/s，t＝0时的波形如图所示。t＝1 s时，x＝1.5 m处的质点相对平衡位置的位移为(　　)
A．0 B．0.1 m
C．－0.1 m D．0.2 m
2．(2024·安徽卷)某仪器发射甲、乙两列横波，在同一均匀介质中相向传播，波速v大小相等。某时刻的波形图如图所示，则这两列横波(　　)
A．在x＝9.0 m处开始相遇
B．在x＝10.0 m处开始相遇
C．波峰在x＝10.5 m处相遇
D．波峰在x＝11.5 m处相遇
教考衔接·链接人教版选择性必修第一册P83T7
两列简谐横波分别沿x轴正方向和负方向传播，两波源分别位于x＝－0.2 m和x＝1.2 m处，两列波的波速均为0.4 m/s，波源的振幅均为2 cm。图示为0时刻两列波的图像，此刻平衡位置在x＝0.2 m和x＝0.8 m的P、Q两质点刚开始振动。质点M的平衡位置处于x＝0.5 m处。
(1)求两列波相遇的时刻；
(2)求1.5 s后质点M运动的路程。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3．(2022·北京卷)在如图所示的xOy坐标系中，一条弹性绳沿x轴放置，图中小黑点代表绳上的质点，相邻质点的间距为a。t＝0时，x＝0处的质点P0开始沿y轴做周期为T、振幅为A的简谐运动。t＝T时的波形如图所示。下列说法正确的是(　　)
A．t＝0时，质点P0沿y轴负方向运动
B．t＝T时，质点P4的速度最大
C．t＝T时，质点P3和P5相位相同
D．该列绳波的波速为
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