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第九章　计数原理、概率、随机变量及其分布
阶段提能(十六)　排列、组合、二项式定理
1．(北师大版选择性必修第一册P169习题5－2B组T2)甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技术比赛，产生了第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩．回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”．试仅从这个回答中分析5人的名次排列共有多少种情况．
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[解]　甲、乙都不是冠军，因此冠军只能从丙、丁、戊这三名学生中选1名，有种选法；乙不是最差的，即乙不是第五名，则第五名只能从除去冠军和乙外的其余三名学生中选1名，有种选法，第二名到第四名任排，有种排法，根据分步乘法计数原理，共有＝54(种)排法．
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2．(人教A版选择性必修第三册P27习题6.2T13)从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛．
(1)如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？
(2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
(3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
(4)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
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[解]　(1)从5名男生和4名女生中选出4人参加创新大赛，则4人中男生和女生各选2人，共有
＝10×6＝60(种)选法．
(2)除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，
则男生中的甲和女生中的乙必须在内有＝21(种)选法．
(3)男生中的甲和女生中的乙不在内的情况，共有＝35(种)选法．
则可得男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内有＝126－35＝91(种)选法．
(4)如果4人中必须既有男生又有女生，可以按含有女生的人数分成三类：1男3女；2男2女；3男1女，
则4人中必须既有男生又有女生有
＝20＋60＋40＝120(种)选法．
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3．(人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6T5)(1)求(1－2x)5(1＋3x)4的展开式中按x的升幂排列的第3项；
(2)求的展开式的常数项；
(3)已知(1＋)n的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，求n；
(4)求(1＋x＋x2)(1－x)10的展开式中x4的系数；
(5)求(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数．
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[解]　(1)依题意，第3项是含x2的项，其系数是(－2)2＝－26．
∴展开式中按x的升幂排列的第3项为－26x2．
(2)由展开式的通项Tk＋1＝(9x)18-k
＝336-3k，
令18－k＝0，得k＝12，
∴常数项为T13＝18 564．
(3)由题意得＝，得n2－37n＋322＝0，解得n＝14或n＝23．
(4)原式＝(1－x3)(1－x)9
＝)，
∴x4的系数为＋9＝135．
(5)原式＝[(x2＋x)＋y]5，∴其展开式的通项Tk＋1＝(x2＋x)5-kyk，
令k＝2，∴5－k＝3，∴T3＝(x2＋x)3y2．
又(x2＋x)3的展开式的通项为T′r＋1＝(x2)3-rxr＝x6-r，
令6－r＝5，∴r＝1，∴T′2＝x6-1＝x5，
∴(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为＝30．
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4．(人教B版选择性必修第二册P35习题3－3BT4)已知的展开式中，所有奇数项的系数和等于1 024，求展开式中二项式系数最大的项．
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[解]　由题意知＋…＝1 024＝2n-1，
∴n＝11，
∴展开式中二项式系数最大的项为T6和T7．
∵T6＝··＝－462x-4，
T7＝·＝462，
∴展开式中二项式系数最大的项为－462x-4和462．
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5．(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式有(　　)
A．12种 B．24种
C．36种 D．48种
√
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B　[先将丙和丁捆绑在一起，有种排法，再将其与乙、戊排列，有种排法，最后将甲插入中间两空，有种排法，根据分步乘法计数原理，共有＝24(种)不同的排列方式．故选B．]
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6．(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　)
A．30种 B．60种
C．120种 D．240种
√
C　[甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有＝6(种)情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有＝20(种)情况，由分步乘法计数原理可得共有6×20＝120(种)选法．故选C．]
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7．(2023·全国甲卷)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　)
A．120种 B．60种
C．30种 D．20种
√
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B　[先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有种方式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有种安排方式，所以不同的安排方式共有＝60(种)．故选B．]
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8．(2024·天津卷)在的展开式中，常数项为________．
20　[因为的展开式的通项为Tk＋1＝＝
x6(k-3)，k＝0，1，…，6，
令6(k－3)＝0，可得k＝3，
所以常数项为＝20．]
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9．(2024·上海卷)在(x＋1)n的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中x2的系数为________．
10　[令x＝1，∴(1＋1)n＝32，即2n＝32，解得n＝5，
所以(x＋1)5的展开式的通项为Tk＋1＝·x5-k，令5－k＝2，则k＝3，
所以T4＝x2＝10x2．
故x2的系数为10．]
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10．(2024·全国甲卷)的展开式中，各项系数中的最大值
为________．
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5　[二项式的展开式的通项为Tk＋1＝xk，
0≤k≤10且k∈Z，设展开式中第k＋1项系数最大，则

即≤k≤，又k∈Z，故k＝8，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为＝5．]
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11．(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选
修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
64
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64　[法一：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有种方案．综上，不同的选课方案共有＝64(种)．
法二：若学生从这8门课中选修2门课，则有＝16(种)选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有＝48(种)选课方案．综上，不同的选课方案共有16＋48＝64(种)．]
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12．(2024·上海卷)设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，则集合中元素个数的最大值为________．
329
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329　[由题意知集合中至多只有一个奇数，其余均是偶数．
首先讨论三位数中的偶数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有＝72(个)；
②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选，则这样的偶数共有＝256(个)，
所以集合中最多有72＋256＝328(个)偶数．
最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为328＋1＝329．]
谢 谢 ！

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