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第十章　统计与成对数据的统计分析
规范答题六　概率与统计的综合问题
[典例]　(14分)(2024·上海卷T19改编)为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29 000名学生中随机抽取580人，得到日均体育锻炼时长(单位：小时)与学业成绩的数据如表所示：
学业成绩 日均体育锻炼时长/小时
[0，0.5) [0.5，1) [1，1.5) [1.5，2) [2，2.5]
优秀 5 44 42 3 1
不优秀 134 147 137 40 27
(1)该地区29 000名学生中日均体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼时长(精确到0.1小时)．
(3)依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
明条件，顺思路
①由信息“从该地区29 000名学生中随机抽取580人”想到总体中含
29 000个个体，580为样本容量．从统计表得到“日均体育锻炼时长不少于1小时的人包括两类：学业成绩优秀与不优秀，”故求出总和42＋3＋1＋137＋40＋27＝250．
②由数据信息，按比例抽样，求出相关占比即可．
③由“估计该地区初中学生日均体育锻炼时长”可得信息
(ⅰ)“估计”是通过抽取的580人的体育锻炼时长来计算；
(ⅱ)“日均”是求平均数．
明条件，顺思路
④由信息“为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系”想到分类变量．
“学业成绩”分为“优秀和不优秀”，“体育锻炼时长”分为“时长不小于1小时且小于2小时与其他两类”，得出2×2列联表．
⑤由2×2列联表
(ⅰ)计算χ2值；
(ⅱ)和临界值比较大小得出结论．
规范答，抢得分
[解]　(1)抽取的样本中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数为42＋3＋1＋137＋40＋27＝250．
设该地区29 000名学生中有x人的日均体育锻炼时长不小于1小时，
则＝，解得x＝12 500．
故该地区29 000名学生中日均体育锻炼时长不少于1小时的人数约为12 500．……………………………………………………………(4分)
规范答，抢得分
(2)依题意得，该地区初中学生日均体育锻炼时长为(0.25×139＋0.75×191＋1.25×179＋1.75×43＋2.25×28)÷580＝540÷580≈0.9．
所以该地区初中学生日均体育锻炼时长约为0.9小时．…………(8分)
规范答，抢得分
(3)对数据重新组合，得到2×2列联表
单位：人
学业成绩 日均体育锻炼时长/小时 合计
[1，2) 其他
优秀 45 50 95
不优秀 177 308 485
合计 222 358 580
规范答，抢得分
零假设为
H0：学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关．
χ2＝≈3.976>3.841，
依据小概率值α＝0.05的独立性检验，推出H0不成立，即认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．(14分)
点关键，防陷阱
读懂信息，明确各数据的意义是正确解题的关键．
通过抽象概括得到样本与总体间的比例关系．
求平均数常见的两种类型：
①＝(x1＋x2＋…＋xn)；
②等于各组区间的中点与相应频率之积的和．
点关键，防陷阱
2×2列联表中每一类变量都必须分为两类．
独立性检验步骤：
①抽取样本；
②列2×2列联表；
③提出零假设H0；
④求出χ2数值；
⑤根据χ2数值得出结论．
提醒：别忘写“零假设为H0”
谢 谢 ！

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