资源简介 滚动测试卷(五) 第一~八章(时间:120分钟 满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数[1+(1+a)i]i在复平面内对应的点位于第二象限,则实数a的取值范围是( )A.(-1,+∞) B.(-∞,-1)C.(1,+∞) D.(-∞,1)A [因为复数[1+(1+a)i]i=-(1+a)+i,其在复平面内对应的点为(-1-a,1),则由题意得-1-a<0,解得a>-1,即a的取值范围是(-1,+∞),故选A.]2.已知集合A={x|2x2+x-1<0},B={y|y=lg (x2+1)},则A∩B=( )A.(-1,0] B.C. D.[0,1)B [集合A={x|2x2+x-1<0}=.因为x2+1≥1,所以lg (x2+1)≥0,所以集合B={y|y≥0},所以A∩B=,故选B.]3.已知向量a=(3,-1),b=(-2,x),若a⊥(a+b),则|b|=( )A.2 B.4C.2 D.20A [a+b=(1,x-1),又a⊥(a+b),所以3×1+(-1)×(x-1)=0,解得x=4,所以b=(-2,4),所以|b|==2,故选A.]4.椭圆+y2=1(a>1)的离心率为,则a=( )A. B.C. D.2A [由题意得c=,所以e===,解得a=,故选A.]5.记等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a7=6,a12=17,则S16=( )A.120 B.140C.160 D.180C [法一:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由题意,得解得所以S16=16×(-5)+×2=160,故选C.法二:因为a3+a7=2a5=6,所以a5=3.又数列{an}为等差数列,所以a1+a16=a5+a12=3+17=20,所以S16==160,故选C.]6.已知Q为直线l:x+2y+1=0上的动点,点P满足=(1,-3),记P的轨迹为E,则( )A.E是一个半径为的圆B.E是一条与l相交的直线C.E上的点到l的距离均为D.E是两条平行直线C [设P(x,y),则由=(1,-3),得Q(x-1,y+3),又点Q在直线l:x+2y+1=0上,所以x-1+2(y+3)+1=0,即x+2y+6=0,所以点P的轨迹E为直线且与直线l平行,E上的点到直线l的距离d==,故A,B,D不正确,C正确,故选C.]7.已知θ∈,tan 2θ=-4tan ,则=( )A. B.C.1 D.A [由tan 2θ=-4tan 得=,解得tan θ=-2或tan θ=-.又θ∈,所以tan θ∈(-1,0),所以tan θ=-,所以====.故选A.]8.已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线E的右支交于A,B两点,若|AB|=|AF1|,且双曲线E的离心率为,则cos ∠BAF1=( )A.- B.-C. D.-D [不妨设点A在第一象限,∵|AB|=|AF1|,∴|BF2|=|AB|-|AF2|=|AF1|-|AF2|=2a,∴|BF1|=|BF2|+2a=4a.∵双曲线E的离心率e==,∴|F1F2|=2c=2a.在△BF1F2中,由余弦定理的推论得cos ∠F1BF2==,∴cos ∠BAF1==-cos (2∠F1BF2)=-(2cos2∠F1BF2-1)=-=-,故选D.]二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知双曲线C:=1(b>0)的右焦点为F,直线l:x+by=0是C的一条渐近线,P是l上一点,则( )A.C的虚轴长为2B.C的离心率为C.|PF|的最小值为2D.直线PF的斜率不等于-AD [双曲线C:=1的渐近线方程为bx±2y=0,依题意得=,解得b=.对于A,C的虚轴长2b=2,故A正确;对于B,C的离心率e==,故B错误;对于C,点F (,0)到直线l:x+y=0的距离为=,即|PF|的最小值为,故C错误;对于D,直线l:x+y=0的斜率为-,而点F不在直线l上,点P在直线l上,所以直线PF的斜率不等于-,故D正确,故选AD.]10.在平面直角坐标系Oxy中,抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P在抛物线C上,点Q在抛物线C的准线上,则以下命题正确的是( )A.|PQ|+|PF|的最小值是2B.|PQ|≥|PF|C.当点P的纵坐标为4时,存在点Q,使得=3D.若△PQF是等边三角形,则点P的横坐标是3ABD [由题意知抛物线的焦点F (1,0),准线l:x=-1,记l与x轴的交点为W,过点P作PA⊥l,垂足为A,如图所示.对于A,由抛物线的定义可知,|PF|=|PA|,所以|PQ|+|PF|=|PQ|+|PA|,则当点Q与点A重合时,|PQ|+|PF|=2|PA|取得最小值,显然当点P与点O重合时,|PA|取得最小值,最小值为|OW|=1,所以|PQ|+|PF|的最小值是2,故A正确;对于B,由A选项分析可知|PQ|≥|PA|=|PF|,当点Q与点A重合时,等号成立,故B正确;对于C,在y2=4x中,令y=4,得x=4,所以P(4,4),假设存在点Q,使得=3,则点Q为直线PF与直线l的交点.易得直线PF的方程为=,即4x-3y-4=0,令x=-1,得y=-,所以Q,此时==(3,4),所以=,故C不正确;对于D,若△PQF是等边三角形,则|PF|=|PQ|,因为|PF|=|PA|,所以|PA|=|PQ|,所以点Q与点A重合,所以∠PQF=60°,∠FQW=30°.又|WF|=2,所以|QF|==4,所以|PQ|=xP+1=|QF|=4,所以xP=3,即点P的横坐标是3,故D正确.综上所述,故选ABD.]11.曾有人说过一句话:世界上最远的距离,不是树枝无法相依,而是相互瞭望的星星,却没有交汇的轨迹;世界上最远的距离,不是星星没有交汇的轨迹,而是纵然轨迹交汇,却在转瞬间无处寻觅.已知点F (2,0),直线l:x=,动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的.若某直线上存在这样的点P,则称该直线为“最远距离直线”.则下列结论中正确的是( )A.点P的轨迹方程是=1B.直线l1:=1是“最远距离直线”C.点P的轨迹与圆C:x2+y2-2x=0没有交点D.平面上有一点A(-1,1),则2|PA|+3|PF|的最小值为AC [对于A,设P(x,y),由题意,得=·,两边平方,整理得=1,即点P的轨迹方程是=1,故A正确;对于B,联立消去y,得7x2-45x+162=0.因为Δ=452-4×7×162=2 025-4 536<0,所以直线l1与点P的轨迹没有交点,所以直线l1:=1不是“最远距离直线”,故B不正确;对于C,联立消去y,得4x2-18x+45=0.因为Δ=182-4×4×45=324-720<0,所以点P的轨迹与圆C没有交点,故C正确;对于D,如图,过点P作PB⊥l于点B,由题意,得|PF|=|PB|,即3|PF|=2|PB|,所以2|PA|+3|PF|=2|PA|+2|PB|=2(|PA)+|PB|)≥2|AB|≥2×=11,当A,P,B三点共线时等号成立,故D不正确.综上所述,故选AC.]三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知圆C1:x2+y2+4x-4y-1=0,圆C2:x2+y2-2x-6y+9=0,直线l分别与圆C1和圆C2相切于M,N两点,则线段MN的长度为________. [圆C1,C2的标准方程分别为C1:(x+2)2+(y-2)2=9,C2:(x-1)2+(y-3)2=1,所以圆心C1(-2,2),半径r1=3,圆心C2(1,3),半径r2=1,所以|C1C2|==,所以|r1-r2|<|C1C2|<|r1+r2|,所以圆C1与圆C2相交,如图,作C2E⊥C1M于点E,则|C1E|=r1-r2=2,所以|MN|==.]13.已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为________. [由题意可得()2=2p×1,则2p=5,故抛物线的方程为y2=5x,准线方程为x=-,故点A到C的准线的距离为1-=.]14.(2024·北京三模)已知双曲线C:-x2=1,则C的离心率是________;若C的一条渐近线与圆D:(x-1)2+y2=1交于A,B两点,则=________. [由双曲线C:-x2=1,可得a=2,b=1,则c==,所以双曲线C的离心率为e==;双曲线C的其中一条渐近线方程为y=x=2x,即2x-y=0,因为圆D:(x-1)2+y2=1的圆心为D(1,0),半径r=1,所以圆心D到渐近线的距离为d==,由圆的弦长公式,可得=2=2=.]四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)(2024·焦作市博爱县期末)已知半径为2的圆C的圆心在射线y=x(x>0)上,点A(-1,1)在圆C上.(1)求圆C的标准方程;(2)求过点B(-1,0)且与圆C相切的直线方程.[解] (1)由圆C的圆心在射线y=x(x>0)上,可设圆心C的坐标为(m,m)(m>0),又圆C的半径为2,点A(-1,1)在圆C上,则|AC|==2,解得m=1(m=-1舍去),故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.(2)①当切线的斜率不存在时,直线x=-1与圆C相切;②当切线的斜率存在时,设切线的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0,由题意=2,解得k=-,所以切线方程为-x-y-=0,整理为3x+4y+3=0,由①②知,过点B(-1,0)且与圆C相切的直线方程为x=-1或3x+4y+3=0.16.(15分)(2024·通化市梅河口市期末)已知A,B是椭圆C:=1上的两点,线段AB的中点P的坐标为(4,1).(1)求直线AB的方程;(2)求A,B两点间距离.[解] (1)由题意知直线AB的斜率存在,设为k,则直线AB的方程为y-1=k(x-4),即y=kx-4k+1,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(1+4k2)x2+(8k-32k2)x+64k2-32k-32=0,则x1+x2==8,解得k=-1,经检验k=-1符合题意,则直线AB的方程为y-1=-(x-4),即x+y-5=0.(2)由(1)得联立后的方程为5x2-40x+64=0,所以x1+x2=8,x1x2=,所以|AB|==.17.(15分)已知f (x)=-f ′(1)x2+x+2ln x.(1)求f ′(1),并写出f (x)的表达式;(2)证明:f (x)≤x-1.[解] (1)因为f (x)=-f ′(1)x2+x+2ln x,所以f ′(x)=-2f ′(1)x+1+,令x=1,得f ′(1)=-2f ′(1)+1+2,解得f ′(1)=1.将f ′(1)=1代入f (x)=-f ′(1)x2+x+2ln x可得f (x)=-x2+x+2ln x(x>0).(2)法一:构造F (x)=f (x)-x+1=-x2+2ln x+1(x>0),则F ′(x)=-2x+=.当00,则F (x)在(0,1)上单调递增;当x>1时,F ′(x)<0,则F (x)在(1,+∞)上单调递减.所以F (x)≤F (1)=0,所以f (x)≤x-1.法二:设g(t)=t-ln t(t>0),则g′(t)=1-=,故当01时,g′(t)>0.所以g(t)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故g(t)≥g(1)=1.从而f (x)=-x2+x+2ln x=-x2+x+ln x2=x-g(x2)≤x-1.18.(17分)(2024·广东茂名部分学校联考)如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=AD=CD,∠ADC=120°,E为CD的中点,将△ADE沿AE翻折,使点D落到点P的位置,如图2.(1)证明:PB⊥AE;(2)当二面角P-AE B等于90°时,求PA与平面PEC所成角的正弦值.[解] (1)证明:如图,取AE的中点为O,连接PO,BO,BE,由题意及题图1知,DA=DE=AB=BE,又PA=DA,PE=DE,所以PA=PE,所以PO⊥AE,BO⊥AE,又PO∩BO=O,PO 平面POB,BO 平面POB,所以AE⊥平面POB,因为PB 平面POB,所以AE⊥PB,即PB⊥AE.证毕.(2)因为二面角P AE B等于90°,所以平面PAE⊥平面ABCE,又平面PAE∩平面ABCE=AE,PO⊥AE,所以PO⊥平面ABCE,所以OA,OB,OP两两垂直.以O为坐标原点,OA,OB,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设AB=2,由已知得∠APE=120°,所以OP=OB=1,OA=OE=,则P(0,0,1),A(,0,0),B(0,1,0),C(-2,1,0),E(-,0,0),=(,0,-1),=(,0,1),=(-,1,0).设平面PEC的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则y=,z=-,所以平面PEC的一个法向量为n=(1,,-),设PA与平面PEC所成的角为θ,则sin θ=|cos 〈,n〉|==,即PA与平面PEC所成角的正弦值为.19.(17分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,右焦点为F,椭圆C上的点到F的最大距离是短半轴长的倍,且椭圆过点P.(1)求椭圆C的方程;(2)设过点F的直线l与C相交于M,N两点,直线l的倾斜角为锐角.若点P到直线l的距离为,求直线PM与直线PN的斜率之和.[解] (1)由题意知a+c=b,得a2+2ac+c2=3b2,由a2=b2+c2,得a2+2ac+c2=3a2-3c2,化简得a=2c,所以b=c.又因为椭圆过点P,所以=1,所以=1,解得c=1(舍负),所以a=2,b=,即椭圆C的方程为=1.(2)由(1)知F (1,0),设直线l的方程为x=my+1(m>0),由点P到直线l的距离为,得=,解得m=2(舍负),所以直线l:x=2y+1.联立消去x整理得16y2+12y-9=0,Δ>0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,所以直线PM与直线PN的斜率之和为==1-·=0.1/1滚动测试卷(五) 第一~八章(时间:120分钟 满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数[1+(1+a)i]i在复平面内对应的点位于第二象限,则实数a的取值范围是( )[A] (-1,+∞) [B] (-∞,-1)[C] (1,+∞) [D] (-∞,1)2.已知集合A={x|2x2+x-1<0},B={y|y=lg (x2+1)},则A∩B=( )[A] (-1,0] [B] [C] [D] [0,1)3.已知向量a=(3,-1),b=(-2,x),若a⊥(a+b),则|b|=( )[A] 2 [B] 4[C] 2 [D] 204.椭圆+y2=1(a>1)的离心率为,则a=( )[A] [B] [C] [D] 25.记等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a7=6,a12=17,则S16=( )[A] 120 [B] 140[C] 160 [D] 1806.已知Q为直线l:x+2y+1=0上的动点,点P满足=(1,-3),记P的轨迹为E,则( )[A] E是一个半径为的圆[B] E是一条与l相交的直线[C] E上的点到l的距离均为[D] E是两条平行直线7.已知θ∈,tan 2θ=-4tan ,则=( )[A] [B] [C] 1 [D] 8.已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线E的右支交于A,B两点,若|AB|=|AF1|,且双曲线E的离心率为,则cos ∠BAF1=( )[A] - [B] -[C] [D] -二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知双曲线C:=1(b>0)的右焦点为F,直线l:x+by=0是C的一条渐近线,P是l上一点,则( )[A] C的虚轴长为2[B] C的离心率为[C] |PF|的最小值为2[D] 直线PF的斜率不等于-10.在平面直角坐标系Oxy中,抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P在抛物线C上,点Q在抛物线C的准线上,则以下命题正确的是( )[A] |PQ|+|PF|的最小值是2[B] |PQ|≥|PF|[C] 当点P的纵坐标为4时,存在点Q,使得=3[D] 若△PQF是等边三角形,则点P的横坐标是311.曾有人说过一句话:世界上最远的距离,不是树枝无法相依,而是相互瞭望的星星,却没有交汇的轨迹;世界上最远的距离,不是星星没有交汇的轨迹,而是纵然轨迹交汇,却在转瞬间无处寻觅.已知点F (2,0),直线l:x=,动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的.若某直线上存在这样的点P,则称该直线为“最远距离直线”.则下列结论中正确的是( )[A] 点P的轨迹方程是=1[B] 直线l1:=1是“最远距离直线”[C] 点P的轨迹与圆C:x2+y2-2x=0没有交点[D] 平面上有一点A(-1,1),则2|PA|+3|PF|的最小值为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知圆C1:x2+y2+4x-4y-1=0,圆C2:x2+y2-2x-6y+9=0,直线l分别与圆C1和圆C2相切于M,N两点,则线段MN的长度为________.13.已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为________.14.(2024·北京三模)已知双曲线C:-x2=1,则C的离心率是________;若C的一条渐近线与圆D:(x-1)2+y2=1交于A,B两点,则=________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)(2024·焦作市博爱县期末)已知半径为2的圆C的圆心在射线y=x(x>0)上,点A(-1,1)在圆C上.(1)求圆C的标准方程;(2)求过点B(-1,0)且与圆C相切的直线方程.16.(15分)(2024·通化市梅河口市期末)已知A,B是椭圆C:=1上的两点,线段AB的中点P的坐标为(4,1).(1)求直线AB的方程;(2)求A,B两点间距离.17.(15分)已知f (x)=-f ′(1)x2+x+2ln x.(1)求f ′(1),并写出f (x)的表达式;(2)证明:f (x)≤x-1.18.(17分)(2024·广东茂名部分学校联考)如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=AD=CD,∠ADC=120°,E为CD的中点,将△ADE沿AE翻折,使点D落到点P的位置,如图2.(1)证明:PB⊥AE;(2)当二面角P-AE B等于90°时,求PA与平面PEC所成角的正弦值.19.(17分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,右焦点为F,椭圆C上的点到F的最大距离是短半轴长的倍,且椭圆过点P.(1)求椭圆C的方程;(2)设过点F的直线l与C相交于M,N两点,直线l的倾斜角为锐角.若点P到直线l的距离为,求直线PM与直线PN的斜率之和.1/1 展开更多...... 收起↑ 资源列表 滚动测试卷(五)第一~八章(教师版).docx 滚动测试卷5 第一~八章(学生版).docx