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第3课时　二项式定理
[考试要求]　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
考点一　二项展开式的通项公式的应用
1．二项式定理：(a＋b)n＝bn(n∈N*)．
2．二项展开式的通项：Tk＋1＝an－kbk，它表示展开式的第k＋1项．
3．二项式系数：二项展开式中各项的系数…，…，．
提醒：(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同．
(a＋b)n的展开式形式上的特点：
(1)项数为n＋1；
(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n；
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n；
(4)二项式系数从，一直到．
　形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式
[典例1]　(1)(2024·北京卷)在(x－)4的展开式中，x3的系数为(　　)
A．6 B．－6
C．12 D．－12
(2)已知的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________．
(1)A　(2)±1　[(1)(x－)4的二项展开式通项为Tk＋1＝x4-k(－)k＝(－1)k(k＝0，1，2，3，4)，
令4－＝3，解得k＝2，
故所求即为(－1)2＝6．故选A．
(2)的展开式的通项为Tk＋1
＝x5-k＝
由5－k＝5，得k＝0，由5－k＝2，得k＝2，所以A＝×(－a)0＝1，B＝×(－a)2＝10a2，则由1＋10a2＝11，解得a＝±1．]
链接·2025高考试题
(2025·天津卷)在(x－1)6的展开式中，x3项的系数为________．
－20　[(x－1)6的展开式的通项公式为Tk＋1＝x6-k(－1)k＝x6-k，令6－k＝3，得k＝3，所以x3项的系数为＝－20.]
链接·2025高考试题
(2025·上海卷)设a>0，s∈R，下列各项中，能推出as＞a的一项是(　　)
A．a>1，且s>0
B．a>1，且s<0
C．00
D．0D　[当a>1时，as＞a s＞1；当0反思领悟　本例(1)写出二项展开式的通项，令4－＝3，解出k后回代通项可得x3的系数．本例(2)中，写出二项展开式的通项，令5－k＝5或2可求得A，B，由A＋B＝11即可求得a的值．
巩固迁移1　(人教A版选择性必修第三册P35习题6.3T6(2)改编)二项式的展开式的常数项是(　　)
A． B．－
C．－ D．
B　[二项式的展开式的通项为Tk＋1＝12-k＝．
令4－k＝0，则k＝3，
所以展开式的常数项为＝＝－×220＝－．
故选B．]
　形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式问题
[典例2]　(1)已知(ax＋1)·(2x－1)6展开式中x5的系数为48，则实数a＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为______．(用数字作答)
(1)A　(2)－28　[(1)二项式(2x－1)6展开式的通项为Tk＋1＝(2x)6-k·(－1)k＝·x6-k，(ax＋1)(2x－1)6的展开式中，x5的系数为25×(－1)＝15×16a－32×6＝48，
解得a＝1．故选A．
(2)因为(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8，
所以(x＋y)8的展开式中含x2y6的项为x3y5＝－28x2y6，
所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为－28．]
反思领悟　本例(1)(2)这种几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般根据因式连乘的规律，结合组合思想求解．本例(1)中x5的系数是a与(2x－1)6中x4系数之积和(2x－1)6中x5系数的和；本例(2)中x2y6的系数是(x＋y)8中x2y6的系数和(－1)与(x＋y)8中x3y5项的系数之积的和．
巩固迁移2　＋2)展开式中的常数项为(　　)
A．－10 B．0
C．5 D．10
B　[展开式的通项为)5-k·(x-2)k＝，
令＝0，得k＝1，令＝－，得k＝2．
所以展开式中的常数项为＝0．故选B．]
　形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式问题
[典例3]　在(x2－x＋y)6的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A．30 B．－30
C．－60 D．60
C　[(x2－x＋y)6＝[(x2－x)＋y]6，其展开式的通项为Tr＋1＝(x2－x)6-ryr，
若先满足x5y2中y2的次数，则r＝2，可得T3＝－x)4y2，
其中(x2－x)4展开式的通项为Tk＋1＝(x2)4-k·(－x)k＝x8-k，
令8－k＝5，得k＝3，所以T4＝－4x5，故x5y2的系数为－4×15＝－60．故选C．]
反思领悟　本例这种三项式问题一般先变形化为二项式再解决，本例中把(x2－x)两项看成一项，利用二项式定理展开求解．
巩固迁移3　(3x2＋2x＋1)10的展开式中，含x2的项的系数为________．
210　[因为(3x2＋2x＋1)10＝[3x2＋(2x＋1)]10＝(2x＋1)10，
所以含有x2的项为(2x)218＝210x2．
所以(3x2＋2x＋1)10的展开式中，含x2的项的系数为210．]
考点二　二项式系数与项的系数问题
　二项式系数和与项的系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数的和：＝2n．
(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即＋…＝＋…＝2n-1．
(3)在二项式定理中，令a＝1，b＝x，得(1＋x)n＝xn．
(4)若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则
①各项系数和为a0＋a1＋a2＋…＋an＝f (1)．
②奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝．
③偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝．
[典例4]　(1)(2025·周口川汇区模拟)在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为(　　)
A．16 B．32
C．1 D．－32
(2)(多选)若(3x－2)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 025x2 025(x∈R)，则(　　)
A．a0＝22 025
B．a0＋a2＋a4＋…＋a2 024＝
C．a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝
D．＋…＋＝22 025－1
(1)A　(2)BD　[(1)因为二项式系数的和是16，所以2n＝16，解得n＝4，
所以令x＝1得展开式中各项系数的和为(－2)4＝16．故选A．
(2)对于A，当x＝0时，a0＝(－2)2 025＝－22 025，A错误；
对于B，C，当x＝1时，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 025＝12 025＝1，
当x＝－1时，a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024－a2 025＝－52 025，
所以a0＋a2＋a4＋…＋a2 024＝，a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝，所以B正确，C错误；
对于D，当x＝时，＝a0＋＋…＋，
所以＋…＋＝(－1)2 025－a0＝22 025－1，D正确．]
反思领悟　形如(ax＋b)n，(ax3＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常采用赋值法，只需令x＝1即可；求常数项，令x＝0即可．有时也可令x＝－1，求a0－a1＋a2－a3＋…．
巩固迁移4　(2025·扬中市模拟)已知二项式展开式的二项式系数的和为64，则(　　)
A．n＝5
B．n＝8
C．展开式的常数项为－20
D．的展开式中各项系数的和为1
D　[由二项式系数的和为2n＝64，可得n＝6，故A，B错误；
由上得二项式为，常数项为＝－160，故C错误；
令x＝1，得(1－2)6＝1，所以展开式中各项系数的和为1，故D正确．
故选D．]
【教用·备选题】
1．(2022·北京卷)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　)
A．40　　 B．41　　 C．－40　　 D．－41
B　[当x＝1时，1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0，①
当x＝－1时，81＝a4－a3＋a2－a1＋a0，②
得a4＋a2＋a0＝41．]
2．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为(　　)
A．50 B．70
C．90 D．120
C　[令x＝1，则＝4n，
所以的展开式中，各项系数和为4n．
又二项式系数和为2n，所以＝2n＝32，解得n＝5．所以二项展开式的通项Tk＋1＝x5-k＝，令5－k＝2，得k＝2，
所以x2的系数为32＝90．故选C．]
　二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即＝
增减性 二项式系数 当k＜(n∈N*)时，是递增的
当k＞(n∈N*)时，是递减的
二项式 系数 最大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值
[典例5]　已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是(　　)
A．二项展开式中各项系数之和为37
B．二项展开式中二项式系数最大的项为
C．二项展开式中无常数项
D．二项展开式中系数最大的项为240x3
D　[因为的二项展开式中二项式系数之和为64，
所以2n＝64，则n＝6，
所以二项式为，
则二项展开式的通项为Tk＋1＝(2x)6-k＝26-k．
令x＝1，可得二项展开式中各项系数之和为36，故A错误；
第4项的二项式系数最大，此时k＝3，则二项展开式中二项式系数最大的项为T4＝26-3=160，故B错误；
令6－k＝0，则k＝4，
所以二项展开式中的常数项为26-4＝60，故C错误；
令第k＋1项的系数最大，
则
解得≤k≤，
因为k∈N，所以k＝2．
所以二项展开式中系数最大的项为T3＝24x3＝240x3，故D正确．]
反思领悟　(1)求系数的最大问题，要先弄清所求问题是“项的系数最大”，还是“二项式系数最大”；
(2)本例B项求二项式系数最大的项，由n＝6可知第4项的二项式系数最大；本例D项求系数最大的项，一般采用待定系数法，即设展开式各项系数为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解得k．
巩固迁移5　已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为________．
－8 064　－15 360x4　[由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5．由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6＝(2x)5＝－8 064．
设第k＋1项的系数的绝对值最大，
则Tk＋1＝·(2x)10-k·＝·210-k·x10-2k，
令 得
即 解得≤k≤．
∵k∈Z，∴k＝3．
故系数的绝对值最大的项是第4项，
T4＝×27×x4＝－15 360x4．]
考点三　二项式定理的应用
[典例6]　(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 025＋a能被13整除，则a＝(　　)
A．0 B．1
C．11 D．12
(2)1.026的近似值(精确到0.01)为(　　)
A．1.12 B．1.13
C．1.14 D．1.20
(1)B　(2)B　[(1)因为a∈Z，且0≤a≤13，
所以512 025＋a＝(52－1)2 025＋a
＝＋a，因为512 025＋a能被13整除，结合选项，
所以＋a＝－1＋a能被13整除，所以a＝1．
(2)1.026＝(1＋0.02)6＝×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13．]
反思领悟　本例(1)解答整除问题关键是将512 025变形为(52－1)2 025，把(52－1)2 025用二项式定理展开即可求解；本例(2)属于形如(1＋x)n且n不很大，|x|比较小的形式，可用二项式定理展开，然后根据精确度取舍．
巩固迁移6　除以9的余数是________．
7　＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1
＝－1
＝－2
＝＋7，
显然上式括号内的数是正整数，故除以9的余数是7．]
1．若二项式(1＋x)n(n∈N*)的展开式中x2项的系数为15，则n＝(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
C　[二项式(1＋x)n的展开式的通项是Tk＋1＝xk，令k＝2，得x2的系数是．因为x2的系数为15，所以＝15，即n2－n－30＝0，解得n＝6或n＝－5．因为n∈N*，所以n＝6．]
2．(2024·驻马店期末)设(x＋2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a0＝(　　)
A．1 B．2
C．63 D．64
D　[∵(x＋2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，
∴当x＝0时，a0＝26＝64．故选D．]
3．(2025·重庆开州区模拟)若的展开式中常数项是15，则a＝(　　)
A．2 B．1
C．±1 D．±2
C　[二项展开式通项为Tk＋1＝＝(－a)k，
则k＝2时常数项为(－a)2＝15，所以a＝±1．
故选C．]
4．(2024·黔东南州开学考试)(1＋2x)(x－1)4的展开式中x3的系数为________．
该展开式中x3的系数为，x2的系数为，
故(1＋2x)(x－1)4＝(x－1)4＋2x(x－1)4的展开式中x3的系数为＝8．]
【教用·备选题】
1．(2024·张家口期末)在(x－3)6的展开式中，x4的系数为(　　)
A．－135 B．135
C．－1 215 D．1 215
B　[在(x－3)6的展开式中，x4的系数为＝135．故选B．]
2．(2025·济南市中区模拟)若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n＝(　　)
A．11 B．10
C．9 D．8
B　[若展开式中只有第6项的二项式系数最大，即最大，则n＝10．
故选B．]
3．(2025·邯郸模拟)的展开式中常数项为(　　)
A．60 B．－60
C．80 D．－80
A　[展开式的通项为Tk＋1＝＝x12-3k，
令12－3k＝0，解得k＝4，
∴的展开式中常数项为＝60．
故选A．]
4．(2025·西安未央区模拟)若的展开式的二项式系数之和为16，则的展开式中的系数为(　　)
A．8 B．28
C．56 D．70
C　[的展开式的二项式系数之和2n＝16，n＝4，
则＝(＋x-1)8展开式的通项为()8-k(x-1)k＝，
令＝－4，则k＝5，
所以的系数为＝＝＝56．
故选C．]
5．(2024·杭州月考)已知存在常数项，且常数项是20a3，则n＝(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
B　[的展开式的通项为Tk＋1＝·xn－k·＝·xn-2k·ak，k＝0，1，2，…，n，
令n－2k＝0，得n＝2k，n∈N*，
所以它的常数项为·ak，又已知常数项是20a3，
所以k＝3，n＝6．故选B．]
6．(2024·松原期末)已知(2x＋3)8＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7＋a8x8，则a1＋a2＋＝(　　)
A．215 B．216
C．217 D．218
D　[由(2x＋3)8＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7＋a8x8，
对两边求导得，8×2(2x＋3)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4＋6a6x5＋7a7x6＋8a8x7，
令x＝，得a1＋a2＋＝8×2×47＝218．故选D．]
7．(2024·厦门思明区开学考试)展开式中x4的系数为________．
－10　[＝＝，
其展开式的通项为Tk＋1＝＝(－1)kx5-k，
令5－k＝4，则k＝1，展开式中x4的系数为＝－10．]
8．(2024·阿勒泰期末)(1－x)7的展开式中x2的系数为________．
7　[(1－x)7的展开式通项为Tk＋1＝(－x)k，k＝0，1，2，…，7．
当k＝2时，T3＝(－x)2＝21x2，
当k＝3时，T4＝(－x)3＝－35x3，
故(1－x)7的展开式中x2的系数为2×21－35×1＝7．]
课后习题(六十一)　二项式定理
1．(人教B版选择性必修第二册P35习题3－3BT2改编)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，那么此展开式中二项式系数最大的项为(　　)
A．252x3 B．210x4
C．252x5 D．210x6
C　[由题意可得，二项式的展开式满足Tk＋1＝xk，且有＝，因此n＝10．故二项式系数最大的项为x5＝252x5．故选C．]
2．(人教B版选择性必修第二册P39复习题B组T10改编)展开式中的常数项为(　　)
A．924 B．－924
C．252 D．－252
A　[＝，其展开式的通项Tk＋1＝x12-k·＝x12-2k，0≤k≤12，k∈N，由12－2k＝0，得k＝6，则展开式中的常数项为＝924．故选A．]
3．(多选)(人教B版选择性必修第二册P35习题3－3CT2改编)已知(1－2x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025，则下列结论正确的是(　　)
A．展开式中所有项的二项式系数的和为22 025
B．展开式中所有奇次项的系数的和为
C．展开式中所有偶次项的系数的和为
D．＋…＋＝－1
ACD　[对于A，(1－2x)2 025的展开式中所有项的二项式系数的和为22 025，故A正确；对于B，C，令f (x)＝(1－2x)2 025，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 025＝f (1)＝－1，a0－a1＋a2－a3＋…－a2 025＝f (－1)＝32 025，所以展开式中所有奇次项的系数的和为＝－，展开式中所有偶次项的系数的和为＝，故B错误，C正确；对于D，a0＝f (0)＝1，＋…＋＝f－a0＝－1，故D正确．故选ACD．]
4．(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T2改编)(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为________．
－15　[(x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5展开式中含有x2的项为5x2－20x2＝－15x2．
故x2的系数为－15．]
5．(2025·广州模拟)已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则的展开式中x3的系数为(　　)
A．－10 B．－20
C．10 D．20
A　[由题意，2n＝32，解得n＝5，
则展开式的通项为Tk＋1＝x5-k＝(－2)kx5-2k，k＝0，1，2，3，4，5，
当k＝1时，展开式中x3的系数为5×(－2)＝－10．
故选A．]
6．(2024·大同期末)已知的展开式中常数项为20，则m＝(　　)
A．－3 B．3
C． D．－
B　[展开式的常数项为x3＝－10＋10m＝20，
解得m＝3．故选B．]
7．(2024·厦门期末)(2x－y＋1)n展开式中各项系数之和为64，则该展开式中x2y3的系数是(　　)
A．－240 B．－60
C．60 D．240
A　[∵(2x－y＋1)n展开式中各项系数之和为64，
∴令x＝y＝1，得2n＝64，解得n＝6，
∴(2x－y＋1)6展开式中x2y3的系数是＝－240．
故选A．]
8．(2024·泰州期末)已知(1－x)n的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为(　　)
A．－126 B．－84
C．－56 D．－35
C　[(1－x)n的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则n＝8，
故(1－x)8的展开式的通项为Tk＋1＝(－x)k，
当k为奇数时，展开式中系数小于0，当k为偶数时，展开式中系数大于0，
＝＝，故展开式中系数的最小值为＝－56．
故选C．]
9．(多选)(2024·泉州期末)已知(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则(　　)
A．a7＝16
B．a0＋a1＋a2＋…＋a8＝1
C．二项式系数和为256
D．a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝8
BC　[由(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，
对于A，a7＝(－1)7×2＝－16，A错误；
对于B，令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝1，B正确；
对于C，二项式系数和为28＝256，C正确；
对于D，由(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，
两边求导得－8(2－x)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7，
令x＝1得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8，D错误．
故选BC．]
10．(2024·天津期末)已知展开式中的常数项是540，则实数a的值为________．
±6　[∵展开式中的常数项是＝15a2＝540，
∴a＝±6．]
11．(2024·南京月考)在的展开式中，y6项的系数为________．
1 260　[表示有10个相乘，y6项来源如下：
有6个提供－y，有2个提供x，有2个提供，
故y6项的系数为＝1 260．]
12．(2024·长沙期末)在的展开式中，
(1)求二项式系数最大的项；
(2)若第k＋1项是有理项，求k的取值集合；
(3)系数最大的项是第几项．
[解]　(1)Tk＋1＝)8-k＝2k，k＝0，1，…，8，
二项式系数最大的项为中间项，即第5项，
所以二项式系数最大的项为T5＝24＝1 120x-6．
(2)Tk＋1＝)8-k＝2k，k＝0，1，…，8，
当4－k为整数时为有理项，
即k＝0，2，4，6，8，
则k的取值集合为{0，2，4，6，8}．
(3)设第k＋1项的系数最大，
则解得5≤k≤6，
故系数最大的项为第6项和第7项．
1/1第3课时　二项式定理
[考试要求]　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
考点一　二项展开式的通项公式的应用
1．二项式定理：(a＋b)n＝．
2．二项展开式的通项：Tk＋1＝an－kbk，它表示展开式的第______项．
3．二项式系数：二项展开式中各项的系数…，…，．
提醒：(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同．
(a＋b)n的展开式形式上的特点：
(1)项数为n＋1；
(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n；
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n；
(4)二项式系数从，一直到．
　形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式
[典例1]　(1)(2024·北京卷)在(x－)4的展开式中，x3的系数为(　　)
A．6 B．－6
C．12 D．－12
(2)已知的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例(1)写出二项展开式的通项，令4－＝3，解出k后回代通项可得x3的系数．本例(2)中，写出二项展开式的通项，令5－k＝5或2可求得A，B，由A＋B＝11即可求得a的值．
巩固迁移1　(人教A版选择性必修第三册P35习题6.3T6(2)改编)二项式的展开式的常数项是(　　)
A． B．－
C．－ D．
　形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式问题
[典例2]　(1)已知(ax＋1)·(2x－1)6展开式中x5的系数为48，则实数a＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为______．(用数字作答)
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例(1)(2)这种几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般根据因式连乘的规律，结合组合思想求解．本例(1)中x5的系数是a与(2x－1)6中x4系数之积和(2x－1)6中x5系数的和；本例(2)中x2y6的系数是(x＋y)8中x2y6的系数和(－1)与(x＋y)8中x3y5项的系数之积的和．
巩固迁移2　＋2)展开式中的常数项为(　　)
A．－10 B．0
C．5 D．10
　形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式问题
[典例3]　在(x2－x＋y)6的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A．30 B．－30
C．－60 D．60
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例这种三项式问题一般先变形化为二项式再解决，本例中把(x2－x)两项看成一项，利用二项式定理展开求解．
巩固迁移3　(3x2＋2x＋1)10的展开式中，含x2的项的系数为________．
考点二　二项式系数与项的系数问题
　二项式系数和与项的系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数的和：＝______．
(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即＋…＝＋…＝____________
(3)在二项式定理中，令a＝1，b＝x，得(1＋x)n＝xn．
(4)若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则
①各项系数和为a0＋a1＋a2＋…＋an＝f (1)．
②奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝．
③偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝．
[典例4]　(1)(2025·周口川汇区模拟)在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为(　　)
A．16 B．32
C．1 D．－32
(2)(多选)若(3x－2)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 025x2 025(x∈R)，则(　　)
A．a0＝22 025
B．a0＋a2＋a4＋…＋a2 024＝
C．a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝
D．＋…＋＝22 025－1
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　形如(ax＋b)n，(ax3＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常采用赋值法，只需令x＝1即可；求常数项，令x＝0即可．有时也可令x＝－1，求a0－a1＋a2－a3＋…．
巩固迁移4　(2025·扬中市模拟)已知二项式展开式的二项式系数的和为64，则(　　)
A．n＝5
B．n＝8
C．展开式的常数项为－20
D．的展开式中各项系数的和为1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即
增减性 二项式系数 当k＜(n∈N*)时，是____的
当k＞(n∈N*)时，是____的
二项式 系数 最大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值
[典例5]　已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是(　　)
A．二项展开式中各项系数之和为37
B．二项展开式中二项式系数最大的项为
C．二项展开式中无常数项
D．二项展开式中系数最大的项为240x3
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　(1)求系数的最大问题，要先弄清所求问题是“项的系数最大”，还是“二项式系数最大”；
(2)本例B项求二项式系数最大的项，由n＝6可知第4项的二项式系数最大；本例D项求系数最大的项，一般采用待定系数法，即设展开式各项系数为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解得k．
巩固迁移5　已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为________．
考点三　二项式定理的应用
[典例6]　(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 025＋a能被13整除，则a＝(　　)
A．0 B．1
C．11 D．12
(2)1.026的近似值(精确到0.01)为(　　)
A．1.12 B．1.13
C．1.14 D．1.20
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例(1)解答整除问题关键是将512 025变形为(52－1)2 025，把(52－1)2 025用二项式定理展开即可求解；本例(2)属于形如(1＋x)n且n不很大，|x|比较小的形式，可用二项式定理展开，然后根据精确度取舍．
巩固迁移6　除以9的余数是________．
1．若二项式(1＋x)n(n∈N*)的展开式中x2项的系数为15，则n＝(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
2．(2024·驻马店期末)设(x＋2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a0＝(　　)
A．1 B．2
C．63 D．64
3．(2025·重庆开州区模拟)若的展开式中常数项是15，则a＝(　　)
A．2 B．1
C．±1 D．±2
4．(2024·黔东南州开学考试)(1＋2x)(x－1)4的展开式中x3的系数为________．
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