资源简介

　集合间的关系及集合的交集、并集与补集的运算是高考考查的重点和热点，多以选择题形式出现，属于容易题，多与不等式、定义域、值域等知识结合，重在考查数学运算能力．
　(2024·新高考Ⅰ卷T1)已知集合A＝{x|－5A．{－1，0}　　　　　　　 B．{2，3}
C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2}
[阅读与思考]　法一(直接法)：因为A＝{x|－5法二(验证法)：因为(－3)3＝－27<－5，(－1)3＝－1∈(－5，5)，03＝0∈(－5，5)，23＝8>5，33＝27>5，所以－1∈A，0∈A，－3 A，2 A，3 A，所以A∩B＝{－1，0}．故选A．
归纳总结：集合的运算一般直接利用交集、并集与补集的定义，或借助数轴、Venn图解答．本例由2 A，±3 A，则B，C，D错误，A正确，可快速求解．
　本题源自人教A版必修第一册P14习题1.3T1，2．教材原题和真题都是以列举法和描述法两种常见的表示集合的方法表示集合，并在此基础上求解两个集合的交集．不同之处在于，教材原题需解简单的一元一次不等式然后求交集；而真题可由三次函数的性质解不等式求交集，也可以不解不等式，利用集合的包含关系，通过分析和逻辑推理得到结论，这也是真题设计的巧妙之处．
试题评价：本题以不等式为载体，考查集合的交集运算．集合是历年高考的热点之一，通常位于第1，2题的位置，属于容易题，重在检测学生对集合的有关概念、表示方法及集合运算等知识的掌握情况．
附：1．(人教A版必修第一册P14习题1.3T1)集合A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，求A∪B，A∩B．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(人教A版必修第一册P14习题1.3T2)设A＝{x|x是小于9的正整数}，B＝{1，2，3}，C＝{3，4，5，6}．求A∩B，A∩C，A∩(B∪C)，A∪(B∩C)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第1课时　集合
[考试要求]　1．了解集合的含义，了解全集、空集的含义．2．理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系．3．会求两个集合的并集、交集与补集．4．能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．
考点一　集合的基本概念
1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
2．元素与集合的两种关系：属于和不属于，分别用符号_和_表示．
3．集合的三种常用表示方法：列举法、描述法、图示法．
4．数学中一些常用的数集及其记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或N＋ Z Q R
[典例1]　(1)(2024·安徽淮南校考期中)已知集合A＝{(x，y)|x＋y≤2，x，y∈N}，则A中元素的个数为(　　)
A．1　　 B．5
C．6 D．无数个
(2)(人教B版必修第一册P9练习B T4改编)已知集合A＝{12，a2＋4a，a－2}，且－3∈A，则a＝______．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例(1)结合x＋y≤2与题干中整数的限制条件，对x，y的值逐项分析判断；本例(2)，在求解中易忽视集合中元素的互异性，导致增解．
巩固迁移1　(1)(2024·西宁湟中区一模)若集合A＝{1，2，3，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x≤y}，则(　　)
A．3∈B　　 B．(1，4) B
C．(3，2)∈B D．(2，2)∈B
(2)已知集合A＝{(x，y)|x∈{1，2}，y∈{1，2，3}}，则集合A中的元素个数为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点二　集合间的基本关系
1．子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中______都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A B(或___)．
2．真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且___，就称集合A是集合B的真子集，记作A?B(或___)．
3．相等：若A B，且___，则A＝B．
提醒：(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
(2)若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集，2n－2个非空真子集．
[典例2]　(1)(2025·深圳模拟)定义两集合M，N的差集：M－N＝{x|x∈M且x N}，已知集合A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，则A－(A－B)的子集个数是(　　)
A．2　　 B．4
C．8 D．16
(2)(人教A版必修第一册P9习题1.2T5(2)改编)已知集合A＝{x|x>a}，B＝{x|1A．[1，＋∞)　　 B．(－∞，1]
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　(1)解决本例(1)这类新定义问题的关键是读懂新定义的本质含义，紧扣新定义，结合新定义和题目要求恰当转化．
(2)本例(2)这类问题常借助数轴、Venn图来直观解决，同时注意空集对题目求解产生的影响．
巩固迁移2　(1)已知集合M＝{x|y＝，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是(　　)
A．M?N　　 B．N?M
C．M RN D．N RM
(2)(2024·南京六合区二模)设集合A＝{1，－a}，B＝{0，3－a，3a－8}，若A B，则a＝(　　)
A．0　　 B．1
C．2 D．3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点三　集合的基本运算
并集 交集 补集
图形 表示
集合 表示 A∪B＝ _______ _____ A∩B＝ _______ _____ UA＝ _______ _____
[常用结论]　A∩B＝A A B，A∪B＝A B A．
　集合的基本运算
[典例3]　(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则 A(A∩B)＝(　　)
A．{1，4，9}　　 B．{3，4，9}
C．{1，2，3} D．{2，3，5}
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例中集合的元素是离散的，可借助Venn图求解．若集合的元素是连续的，则用数轴求解，如本例的巩固迁移(2)，但要注意端点值的取舍．
巩固迁移3　(1)(2025·八省联考)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝(　　)
A．{0}　　 B．{1}
C．{0，1} D．{－1，0，1，4}
(2)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1A． U(M∪N)　　 B．N∪ UM
C． U(M∩N) D．M∪ UN
　利用集合运算求参数值或范围
[典例4]　(2024·保定期中)已知集合A＝{x|3≤x≤a＋5}，B＝{x|2＜x＜10}．
(1)当a＝2时，求 R(A∪B)，( RA)∩B；
(2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　与不等式有关的集合，一般用数轴解决，要注意端点值能否取到．
巩固迁移4　已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|xA．(－∞，1]　　 B．(－∞，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
1．(2024·银川兴庆区三模)已知集合A＝{x|x2－1＝0}，下列式子错误的是(　　)
A．1∈A　　 B． A
C．{－1}∈A D．A＝{－1，1}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(2024·安庆迎江区四模)若集合P＝{x|－2≤x＜m－m2，x∈Z}，当m＝时，集合P的非空真子集个数为(　　)
A．8　　 B．7
C．6 D．4
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．(2025·重庆双桥区模拟)已知集合A＝{x|x＋1＞0}，集合B＝{x||x|≥2}，则(　　)
A．A B　　 B． UA＝{x|x＜－1}
C．A∪B＝{x|x≥2} D．A∩B＝{x|x≥2}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．已知A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}，A∩B≠ ，则实数a的取值范围是________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　集合间的关系及集合的交集、并集与补集的运算是高考考查的重点和热点，多以选择题形式出现，属于容易题，多与不等式、定义域、值域等知识结合，重在考查数学运算能力．
　(2024·新高考Ⅰ卷T1)已知集合A＝{x|－5A．{－1，0}　　　　　　　 B．{2，3}
C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2}
[阅读与思考]　法一(直接法)：因为A＝{x|－5法二(验证法)：因为(－3)3＝－27<－5，(－1)3＝－1∈(－5，5)，03＝0∈(－5，5)，23＝8>5，33＝27>5，所以－1∈A，0∈A，－3 A，2 A，3 A，所以A∩B＝{－1，0}．故选A．
归纳总结：集合的运算一般直接利用交集、并集与补集的定义，或借助数轴、Venn图解答．本例由2 A，±3 A，则B，C，D错误，A正确，可快速求解．
　本题源自人教A版必修第一册P14习题1.3T1，2．教材原题和真题都是以列举法和描述法两种常见的表示集合的方法表示集合，并在此基础上求解两个集合的交集．不同之处在于，教材原题需解简单的一元一次不等式然后求交集；而真题可由三次函数的性质解不等式求交集，也可以不解不等式，利用集合的包含关系，通过分析和逻辑推理得到结论，这也是真题设计的巧妙之处．
试题评价：本题以不等式为载体，考查集合的交集运算．集合是历年高考的热点之一，通常位于第1，2题的位置，属于容易题，重在检测学生对集合的有关概念、表示方法及集合运算等知识的掌握情况．
附：1．(人教A版必修第一册P14习题1.3T1)集合A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，求A∪B，A∩B．
2．(人教A版必修第一册P14习题1.3T2)设A＝{x|x是小于9的正整数}，B＝{1，2，3}，C＝{3，4，5，6}．求A∩B，A∩C，A∩(B∪C)，A∪(B∩C)．
第1课时　集合
[考试要求]　1．了解集合的含义，了解全集、空集的含义．2．理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系．3．会求两个集合的并集、交集与补集．4．能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．
考点一　集合的基本概念
1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
2．元素与集合的两种关系：属于和不属于，分别用符号∈和 表示．
3．集合的三种常用表示方法：列举法、描述法、图示法．
4．数学中一些常用的数集及其记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或N＋ Z Q R
[典例1]　(1)(2024·安徽淮南校考期中)已知集合A＝{(x，y)|x＋y≤2，x，y∈N}，则A中元素的个数为(　　)
A．1　　 B．5
C．6 D．无数个
(2)(人教B版必修第一册P9练习B T4改编)已知集合A＝{12，a2＋4a，a－2}，且－3∈A，则a＝______．
(1)C　(2)－3　[(1)由x＋y≤2，x，y∈N，则(x，y)可为(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，
所以A＝{(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(2，0)}，共6个元素．故选C．
(2)因为－3∈A，所以－3＝a2＋4a或－3＝a－2．若－3＝a2＋4a，解得a＝－1或a＝－3．当a＝－1时，a2＋4a＝a－2＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当a＝－3时，集合A＝{12，－3，－5}，满足题意，故a＝－3成立．若－3＝a－2，解得a＝－1，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．综上所述，a＝－3．]
反思领悟　本例(1)结合x＋y≤2与题干中整数的限制条件，对x，y的值逐项分析判断；本例(2)，在求解中易忽视集合中元素的互异性，导致增解．
巩固迁移1　(1)(2024·西宁湟中区一模)若集合A＝{1，2，3，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x≤y}，则(　　)
A．3∈B　　 B．(1，4) B
C．(3，2)∈B D．(2，2)∈B
(2)已知集合A＝{(x，y)|x∈{1，2}，y∈{1，2，3}}，则集合A中的元素个数为________．
(1)D　(2)6　[(1)因为集合A＝{1，2，3，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x≤y}＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，4)}，结合选项可知，D正确．
故选D．
(2)x∈{1，2}表示x的取值为1，2两个，y∈{1，2，3}表示y的取值为1，2，3三个，构成有序实数对共有2×3＝6个．]
考点二　集合间的基本关系
1．子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A B(或B A)．
2．真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A)．
3．相等：若A B，且B A，则A＝B．
提醒：(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
(2)若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集，2n－2个非空真子集．
[典例2]　(1)(2025·深圳模拟)定义两集合M，N的差集：M－N＝{x|x∈M且x N}，已知集合A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，则A－(A－B)的子集个数是(　　)
A．2　　 B．4
C．8 D．16
(2)(人教A版必修第一册P9习题1.2T5(2)改编)已知集合A＝{x|x>a}，B＝{x|1A．[1，＋∞)　　 B．(－∞，1]
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
(1)B　(2)B　[(1)因为A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，所以A－B＝{2}，
所以A－(A－B)＝{3，5}，则 A－(A－B)的子集个数是4．故选B．
(2)因为A＝{x|x>a}，B＝{x|1用数轴表示其关系如图．所以实数a的取值范围为a≤1．故选B．
]
【教用·备选题】
母题探究
1．(变条件)若本例(2)条件变为：已知集合A＝{x|2a－3≤x≤a}，B＝{x|1(3，＋∞)　[因为A＝{x|2a－3≤x≤a}，B＝{x|1①当A＝ 时，2a－3>a，则a>3，满足题意；
②当A≠ 时，即所以a不存在．
综上所述，实数a的取值范围为(3，＋∞)．]
2．(变条件)若本例(2)条件变为：已知集合A＝{x|－a≤x(3，＋∞)　[因为B A，用数轴表示其关系如图．所以即a>3．所以实数a的取值范围为(3，＋∞)．
]
反思领悟　(1)解决本例(1)这类新定义问题的关键是读懂新定义的本质含义，紧扣新定义，结合新定义和题目要求恰当转化．
(2)本例(2)这类问题常借助数轴、Venn图来直观解决，同时注意空集对题目求解产生的影响．
巩固迁移2　(1)已知集合M＝{x|y＝，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是(　　)
A．M?N　　 B．N?M
C．M RN D．N RM
(2)(2024·南京六合区二模)设集合A＝{1，－a}，B＝{0，3－a，3a－8}，若A B，则a＝(　　)
A．0　　 B．1
C．2 D．3
(1)B　(2)C　[(1)因为M＝{x|y＝，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以N?M．故选B．
(2)由集合A＝{1，－a}，B＝{0，3－a，3a－8}，
因为A B，所以－a＝0或－a＝3a－8，解得a＝0或a＝2，
当a＝0时，A＝{1，0}，B＝{0，3，－8}，不符合题意；
当a＝2时，A＝{1，－2}，B＝{0，1，－2}，符合题意．
故选C．]
考点三　集合的基本运算
并集 交集 补集
图形 表示
集合 表示 A∪B＝ {x|x∈A， 或x∈B} A∩B＝ {x|x∈A， 且x∈B} UA＝ {x|x∈U， 且x A}
[常用结论]　A∩B＝A A B，A∪B＝A B A．
　集合的基本运算
[典例3]　(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则 A(A∩B)＝(　　)
A．{1，4，9}　　 B．{3，4，9}
C．{1，2，3} D．{2，3，5}
D　[因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，所以B＝{1，4，9，16，25，81}，
则A∩B＝{1，4，9}， A(A∩B)＝{2，3，5}．
故选D．]
链接·2025高考试题
(2025·全国一卷)已知集合U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则 UA中元素的个数为(　　)
A．0 B．3 C．5 D．8
链接·2025高考试题
(2025·天津卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，则 U(A∪B)＝(　　)
A．{1，2，3，4} B．{2，3，4}
C．{2，4} D．{4}
D　[由题可得A∪B＝{1，2，3，5}，所以 U(A∪B)＝{4}．故选D.]
反思领悟　本例中集合的元素是离散的，可借助Venn图求解．若集合的元素是连续的，则用数轴求解，如本例的巩固迁移(2)，但要注意端点值的取舍．
巩固迁移3　(1)(2025·八省联考)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝(　　)
A．{0}　　 B．{1}
C．{0，1} D．{－1，0，1，4}
(2)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1A． U(M∪N)　　 B．N∪ UM
C． U(M∩N) D．M∪ UN
(1)C　(2)A　[(1)由题意知，A∩B＝{0，1}．故选C．
(2)如图，
由图可知，M∪N＝{x|x<2}，又U＝R，
所以 U(M∪N)＝{x|x≥2}．
故选A．]
链接·2025高考试题
(2025·全国二卷)已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(　　)
A．{0，1，2} B．{1，2，8}
C．{2，8} D．{0，1}
　利用集合运算求参数值或范围
[典例4]　(2024·保定期中)已知集合A＝{x|3≤x≤a＋5}，B＝{x|2＜x＜10}．
(1)当a＝2时，求 R(A∪B)，( RA)∩B；
(2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
[解]　(1)当a＝2时，A＝{x|3≤x≤7}，
所以A∪B＝{x|2＜x＜10}，
RA＝(－∞，3)∪(7，＋∞)，
所以 R(A∪B)＝(－∞，2]∪[10，＋∞)，( RA)∩B＝(2，3)∪(7，10)．
(2)若A∩B＝A，则A B，
当A＝ 时，3＞a＋5，解得a＜－2；
当A≠ 时，解得－2≤a＜5．
综上所述，实数a的取值范围为{a|a＜5}．
反思领悟　与不等式有关的集合，一般用数轴解决，要注意端点值能否取到．
巩固迁移4　已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|xA．(－∞，1]　　 B．(－∞，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
B　[因为集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x1．(2024·银川兴庆区三模)已知集合A＝{x|x2－1＝0}，下列式子错误的是(　　)
A．1∈A　　 B． A
C．{－1}∈A D．A＝{－1，1}
C　[∵A＝{x|x2－1＝0}＝{1，－1}，
∴1∈A，{－1} A， A，故ABD正确；
而{－1}与A是两个集合，不能用“∈”表示它们之间的关系，故C错误．
故选C．]
2．(2024·安庆迎江区四模)若集合P＝{x|－2≤x＜m－m2，x∈Z}，当m＝时，集合P的非空真子集个数为(　　)
A．8　　 B．7
C．6 D．4
C　[当m＝时，集合P＝＝{－2，－1，0}，
集合P的非空真子集个数为23－2＝6．故选C．]
3．(2025·重庆双桥区模拟)已知集合A＝{x|x＋1＞0}，集合B＝{x||x|≥2}，则(　　)
A．A B　　 B． UA＝{x|x＜－1}
C．A∪B＝{x|x≥2} D．A∩B＝{x|x≥2}
D　[∵集合A＝{x|x＋1＞0}＝{x|x＞－1}，集合B＝{x||x|≥2}＝{x|x≤－2，或x≥2}，
∴ UA＝{x|x≤－1}，A∪B＝{x|x≤－2，或x＞－1}，A∩B＝{x|x≥2}．
故选D．]
4．已知A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}，A∩B≠ ，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(－∞，4)
【教用·备选题】
1．(2024·河北衡水三模)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝，则A∩B＝(　　)
A．　　 B．{2，3，4}
C．{2，3} D．
B　[B＝＝，
又A＝{1，2，3，4，5}，故A∩B＝{2，3，4}．
故选B．]
2．已知集合A＝{x∈R|x2－x－2<0}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∩B＝(　　)
A．(－1，4)　　 B．
C． D．
D　[A＝{x∈R|x2－x－2<0}＝{x∈R|(x－2)·(x＋1)<0}＝{x∈R|－1则B＝{y|y＝2x，x∈(－1，2)}＝＝，
所以A∩B＝．
故选D．]
3．已知集合A＝{x|x2－1＝0}，集合B＝{a＋1，a－1，3}，若A B，则a＝(　　)
A．－1　　 B．0
C．1 D．2
B　[集合A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，集合B＝{a＋1，a－1，3}，
若A B，又a＋1>a－1，所以解得a＝0．
故选B．]
4．定义集合A÷B＝．已知集合A＝{4，8}，B＝{1，2，4}，则A÷B中元素的个数为(　　)
A．3　　 B．4
C．5 D．6
B　[因为A＝{4，8}，B＝{1，2，4}，
所以A÷B＝{1，2，4，8}，
故A÷B中元素的个数为4．
故选B．]
5．(2025·福建厦门模拟)设集合A＝{x|1≤x≤3}，集合B＝{x|y＝}，若A?C?B，写出一个符合条件的集合C，则C＝________．
{x|1≤x≤4}(答案不唯一)　[A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x≥1}，
若A?C?B，则可有C＝{x|1≤x≤4}(答案不唯一)．]
课后习题(一)　集合
1．(多选)(人教A版必修第一册P8练习T2改编)已知集合A＝{0，1}，则下列关系正确的是(　　)
A．0∈A　　　　　　　　 B．{1}∈A
C． A D．{0，1} A
ACD　[{1} A，故B错误，其余选项均正确．]
2．(人教A版必修第一册P13练习T3改编)已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．{x|－2≤x<4}　　 B．{x|x≤3，或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤3}
D　[阴影部分表示的集合为( UA)∩B＝{x|－1≤x≤4}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－1≤x≤3}．]
3．(人教B版必修第一册P20练习BT5(1)改编)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．{a|a<2}　　 B．{a|a>－2}
C．{a|a>－1} D．{a|－1C　[在数轴上表示出集合A，B，可知a的取值范围是{a|a>－1}．
]
4．(人教A版必修第一册P35复习参考题1T9改编)已知集合M＝{1，3，m2}，N＝{1，m＋2}，若M∩N＝N，则实数m＝________．
2　[因为M∩N＝N，所以N M，所以m＋2∈M．
当m＋2＝3，即m＝1时，M＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；
当m＋2＝m2时，m＝－1(舍去)或m＝2，此时M＝{1，3，4}，N＝{1，4}，符合题意．
综上，实数m＝2．]
5．(2024·上海杨浦区三模)已知集合P＝{1，2}，Q＝{1，3}，M＝{x|x∈P，或x∈Q}，则M＝(　　)
A．{1}　　 B．{2}
C．{3} D．{1，2，3}
D　[∵P＝{1，2}，Q＝{1，3}，∴M＝{x|x∈P，或x∈Q}＝{1，2，3}．
故选D．]
6．(2024·沧州月考)已知集合A＝{x∈N|－1＜x＜5}，B＝{x|－2＜x＜4}，则A∩B＝(　　)
A．{0，1，2，3}　　 B．{1，2，3}
C．{x|－1＜x＜4} D．{x|－2＜x＜5}
A　[集合A＝{x∈N|－1＜x＜5}＝{0，1，2，3，4}，集合B＝{x|－2＜x＜4}，
所以A∩B＝{0，1，2，3}．故选A．]
7．(2025·保定模拟)下面选项中的两个集合相等的是(　　)
A．M＝{(0，1)}，N＝{(1，0)}
B．M＝{1，0}，N＝{(x，y)|x＝1，y＝0}
C．M＝{x|x2－4x＋4＝0}，N＝{2}
D．M＝ ，N＝{ }
C　[A．两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以两个集合不相等，故A错误；
B．集合M表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合N是点集，只有1个元素，为(1，0)，所以两个集合不相等，故B错误；
C．x2－4x＋4＝0，得x＝2，即M＝N＝{2}，故C正确；
D．集合M是空集，但集合N是非空集，里面有1个元素 ，所以两个集合不相等，故D错误．
故选C．]
8．(多选)(2024·张家口市桥西区开学考试)若集合A＝{x|ax－2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2＝0}，且A B，则实数a的取值为(　　)
A．－2　　　 B．－1
C．0　　　 D．2
ABC　[由x2＋3x＋2＝0，得x1＝－1，x2＝－2，则B＝{－2，－1}．
当A＝ 时，方程ax－2＝0无解，则a＝0；
当A≠ 时，方程ax－2＝0有解，则a≠0且x＝，
因为A B，所以∈B，因此＝－1或＝－2，即a＝－2或a＝－1．
综上所述，A B时，a的值为－2，－1，0．
故选ABC．]
9．(2025·阜阳模拟)设集合S＝{x|x＜－1，或x＞5}，T＝{x|a＜x＜a＋8}，S∪T＝R，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－3，－1)
B．[－3，－1]
C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)
A　[因为集合S＝{x|x＜－1，或x＞5}，T＝{x|a＜x＜a＋8}，S∪T＝R，
所以解得－3＜a＜－1，则实数a的取值范围为(－3，－1)．
故选A．]
10．(2024·临沂河东区三模)已知全集U＝{x∈N*|x≤7}，集合A＝{1，2，3，6}，集合B＝{x∈Z||x|＜5}，则( UA)∩B＝________，A∪B＝________________．
{4}　{－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，6}　[由已知可得U＝{1，2，3，4，5，6，7}，
集合B＝{x∈Z||x|＜5}＝{x∈Z|－5＜x＜5}＝{－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4}，
所以 UA＝{4，5，7}，
则( UA)∩B＝{4}，A∪B＝{－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，6}．]
11．(2024·南昌东湖区校级期中)某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学、物理两科的有10人，同时只参加物理、化学两科的有7人，同时只参加数学、化学两科的有11人，而参加数学、物理、化学三科的有4人，则全班共有________人．
43　[设参加数学、物理、化学三科竞赛的人分别组成集合A，B，C，
各集合中元素的个数如图所示，
则全班人数为2＋4＋5＋10＋7＋11＋4＝43．]
12．(2025·云南开远市模拟)已知集合A＝{x|2≤x≤6}，集合B＝{x|1＜x≤4}．
(1)A∪B＝________；
(2)若集合C＝{x|a＜x＜a＋1}，A∩C＝C，实数a的取值范围是________．
(1){x|1所以A∪B＝{x|1＜x≤6}．
(2)因为A∩C＝C，所以C A，又C＝{x|a＜x＜a＋1}，
因为a＜a＋1恒成立，故C≠ ，
则解得2≤a≤5，
所以实数a的取值范围是{a|2≤a≤5}．]
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