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第5课时　函数的对称性及应用
[考试要求]　1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论．2．会利用对称公式解决问题．
考点一　轴对称问题
若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＝f (b－x)，则y＝f (x)的图象关于直线x＝对称．特别地，当a＝b时，f (a＋x)＝f (a－x) f (2a＋x)＝f (－x) y＝f (x)的图象关于x＝a对称 y＝f (x＋a)是偶函数．
[典例1]　(2025·株洲模拟)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且函数f (x＋1)为偶函数，当－1≤x≤0时，f (x)＝x3，则f 等于(　　)
A．　　 B．－
C． D．－
A　[由函数f (x＋1)为偶函数，可得函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，
所以f (2＋x)＝f (－x)，
因为f (x)是定义在R上的奇函数，
所以f (4＋x)＝f (－2－x)＝－f (2＋x)＝－f (－x)＝f (x)，
可得函数f (x)的周期为4，
所以f ＝f ＝－f ＝－＝．]
反思领悟　f (x＋1)为偶函数 函数y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称 f (1＋x)＝f (1－x) f (x)＝f (2－x)．
巩固迁移1　(2023·全国乙卷节选)已知函数f (x)＝ln (1＋x)，是否存在a，b，使得曲线y＝f 关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由．
[解]　假设存在a，b，使得曲线y＝f 关于直线x＝b对称．
令g(x)＝f ＝(x＋a)ln
＝(x＋a)ln ，
因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称，
所以g(x)＝g(2b－x)，即(x＋a)ln ＝(2b－x＋a)ln ＝(x－2b－a)ln ，
于是解得
当a＝，b＝－时，g(x)＝ln ，
g(－1－x)＝ln ＝·ln ＝ln ＝ln ＝g(x)，
所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称，满足题意．
故存在a，b，使得曲线y＝f 关于直线x＝b对称，且a＝，b＝－．
考点二　中心对称问题
若函数y＝f (x)满足f (x)＋f (2a－x)＝2b，则y＝f (x)的图象关于点(a，b)对称．特别地，当b＝0时，f (a＋x)＋f (a－x)＝0 f (x)＋f (2a－x)＝0 y＝f (x)的图象关于点(a，0)对称 y＝f (x＋a)是奇函数．
[典例2]　(1)(多选)若定义在R上的偶函数f (x)的图象关于点(2，0)对称，则下列说法正确的是(　　)
A．f (x)＝f (－x)
B．f (2＋x)＋f (2－x)＝0
C．f (－x)＝－f (x＋4)
D．f (x＋2)＝f (x－2)
(2)已知函数f (x)满足f (x)＋f (－x)＝2，g(x)＝＋1，y＝f (x)与y＝g(x)的图象有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为________．
(1)ABC　(2)4　[(1)因为f (x)为偶函数，则f (x)＝f (－x)，故A正确；因为f (x)的图象关于点(2，0)对称，对于f (x)的图象上的点(x，y)关于(2，0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f (4－x)＝－y＝－f (x)，用2＋x替换x得到，f (4－(2＋x))＝－f (2＋x)，即f (2＋x)＋f (2－x)＝0，故B正确；由f (2＋x)＋f (2－x)＝0，用x＋2替换x，可得f (x＋4)＋f (－x)＝0，即f (－x)＝－f (x＋4)，故C正确；由B知，f (2＋x)＝－f (2－x)＝－f (x－2)，故D错误．故选ABC．
(2)因为f (x)＋f (－x)＝2，所以y＝f (x)的图象关于点(0，1)对称，y＝g(x)＝＋1的图象也关于点(0，1)对称，则交点关于(0，1)对称，所以4个交点的纵坐标之和为2×2＝4．]
反思领悟　本例(1)中，函数y＝f (x)图象关于点(2，0)对称 f (4－x)＋f (x)＝0 f (2－x)＋f (2＋x)＝0．本例(2)中，f (x)＋f (－x)＝2 函数y＝f (x)的图象关于点(0，1)对称．
巩固迁移2　若函数f (x)满足f (2－x)＋f (x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．f (x－1)－1　　 B．f (x－1)＋1
C．f (x＋1)－1 D．f (x＋1)＋1
D　[因为f (2－x)＋f (x)＝－2，所以f (x)的图象关于点(1，－1)对称，所以将f (x)的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f (x＋1)＋1的图象，该函数的图象的对称中心为(0，0)，故y＝f (x＋1)＋1为奇函数．
故选D．]
【教用·备选题】
(2024·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f (x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3．
证明：曲线y＝f (x)是中心对称图形．
[证明]　f (x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3的定义域为(0，2)，
设P(m，n)为y＝f (x)图象上任意一点，
P(m，n)关于(1，a)的对称点为Q(2－m，2a－n)，
因为P(m，n)在y＝f (x)的图象上，
故n＝ln ＋am＋b(m－1)3，
而f (2－m)＝ln ＋a(2－m)＋b(2－m－1)3
＝－＋2a
＝－n＋2a，
所以Q(2－m，2a－n)也在y＝f (x)图象上，
由P的任意性可得y＝f (x)图象为中心对称图形，且对称中心为(1，a)．
考点三　两个函数图象的对称
函数y＝f (a＋x)的图象与函数y＝f (b－x)的图象关于直线x＝对称．
特别地，
(1)函数y＝f (x)图象与y＝f (－x)图象关于y轴对称；
(2)函数y＝f (x)图象与y＝－f (x)图象关于x轴对称；
(3)函数y＝f (x)图象与y＝－f (－x)图象关于原点对称．
[典例3]　已知函数y＝f (x)是定义域为R的函数，则函数y＝f (x＋2)的图象与y＝f (4－x)的图象(　　)
A．关于直线x＝1对称　　 B．关于直线x＝3对称
C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3，0)对称
A　[设P(x0，y0)为y＝f (x＋2)图象上任意一点，
则y0＝f (x0＋2)＝f (4－(2－x0))，
所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f (4－x)的图象上，
而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，
所以函数y＝f (x＋2)的图象与y＝f (4－x)的图象关于直线x＝1对称．]
反思领悟　函数y＝f (x＋2)的图象与y＝f (4－x)的图象关于直线x＝＝1对称．
巩固迁移3　下列函数图象与y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是(　　)
A．y＝ex-1　　 B．y＝e1-x
C．y＝e2-x D．y＝ln x
C　[f (x)＝ex的图象关于直线x＝1对称的是函数f (2－x)＝e2-x的图象．故选C．]
1．我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，解决抽象函数问题的两种常用方法分别是函数性质法和赋值法．
2．常见的抽象函数模型：
(1)f (x±y)＝f (x)±f (y)可看作f (x)＝kx的抽象表达式．
(2)f (xy)＝f (x)f (y)或f ＝(y≠0，且f (y)≠0)可看作幂函数f (x)＝xα的抽象表达式．
(3)f (x＋y)＝f (x)f (y)或f (x－y)＝(f (y)≠0)可看作指数函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)的抽象表达式．
(4)f (xy)＝f (x)＋f (y)或f ＝f (x)－f (y)(y≠0)可看作对数函数f (x)＝logax(a>0，且a≠1)的抽象表达式．
　抽象函数求值
[典例1]　定义在R上的函数f (x)满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋2xy(x，y∈R)，f (1)＝2，则f (－2)等于________．
2　[∵f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋2xy(x，y∈R)，f (1)＝2，
∴令x＝y＝1，得f (2)＝f (1)＋f (1)＋2＝6，
再令x＝2，y＝－1，得f (2－1)＝f (2)＋f (－1)－4＝2，
∴f (－1)＝0，
∴f (－2)＝f (－1)＋f (－1)＋2＝2．]
反思领悟　本题解答关键是选取适当的特殊值进行求解．
应用体验1　已知定义在R上的函数f (x)满足f (1)＝1，且f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋1，则f (4)＝________．
7　[令x＝y＝1，得f (2)＝f (1)＋f (1)＋1＝3，
令x＝y＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)＋1＝7．]
　抽象函数的性质
[典例2]　若定义在R上的函数f (x)满足：对任意的x1，x2∈R，都有f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)，且当x>0时，f (x)<0，则(　　)
A．f (x)是奇函数，且在R上是增函数
B．f (x)是奇函数，且在R上是减函数
C．f (x)是奇函数，但在R上不是单调函数
D．无法确定f (x)的单调性和奇偶性
B　[令x1＝x2＝0，则f (0)＝2f (0)，所以f (0)＝0．令x1＝x，x2＝－x，则f (－x)＋f (x)＝f (x－x)＝f (0)＝0，所以f (－x)＝－f (x)，故函数f (x)是奇函数．
设x1因为x2－x1>0，所以f (x2－x1)<0，故f (x2)所以函数f (x)在R上是减函数．
故选B．]
反思领悟　对抽象函数单调性、奇偶性的判断，除了适当赋值外，还要结合单调性、奇偶性的定义进行求解．
应用体验2　定义在R上的偶函数f (x)满足f (1－x)＝f (1＋x)，且在[－1，0]上单调递增．设a＝f (3)，b＝f ()，c＝f (2)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c　　 B．a>c>b
C．b>c>a D．c>b>a
D　[因为函数f (x)满足f (1－x)＝f (1＋x)，所以函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，故a＝f (3)＝f (－1)，b＝f ()＝f (2－)，c＝f (2)＝f (0)．
又函数f (x)是偶函数，且在[－1，0]上单调递增，所以a＝f (1)，且函数f (x)在[0，1]上单调递减．
又0<2－<1，所以f (0)>f (2－)>f (1)，即c>b>a．故选D．]
1．函数f (x)＝图象的对称中心为(　　)
A．(0，0)　　 B．(0，1)
C．(1，0) D．(1，1)
B　[因为f (x)＝＝1＋，
由y＝的图象向上平移一个单位长度得到y＝1＋的图象，
又y＝的图象关于(0，0)对称，
所以f (x)＝1＋的图象关于点(0，1)对称．]
2．已知定义在R上的函数f (x)在(－∞，2)上单调递增，且f (x＋2)＝f (2－x)对任意x∈R恒成立，则(　　)
A．f (－1)f (3)
C．f (－1)＝f (3) D．f (0)＝f (3)
A　[由f (x＋2)＝f (2－x)知f (x)的图象关于直线x＝2对称，
所以f (－1)＝f (5)，f (0)＝f (4)，又f (x)在(－∞，2)上单调递增，
所以f (3)>f (4)>f (5)，即f (3)>f (0)>f (－1)．故选A．]
3．已知函数y＝f (x＋2)－3是奇函数，且f (4)＝2，则f (0)＝________．
4　[法一：由y＝f (x＋2)－3是奇函数，
∴f (－x＋2)－3＝－f (x＋2)＋3，
令x＝2，f (0)－3＝－f (4)＋3，得f (0)＝4．
法二：由y＝f (x＋2)－3是奇函数，
得f (x)图象关于(2，3)对称，
故f (0)＋f (4)＝6，即f (0)＝4．]
4．若偶函数y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f (x)＝2x－1，则f (－1)＝________．
5　[∵f (x)为偶函数，∴f (－1)＝f (1)，
由f (x)的图象关于直线x＝2对称，
可得f (1)＝f (3)＝2×3－1＝5，
∴f (－1)＝5．]
【教用·备选题】 1．(多选)(2024·福建南平阶段练习)已知f (x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x)＝f (1＋x)，若f (1)＝2，则(　　) A．f (x)的图象关于y轴对称 B．f (x)的图象有一条对称轴x＝1 C．f (x)是周期函数 D．f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝2 BCD　[∵f (x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f (1)＝2≠0，可知函数f (x)不可能同时为偶函数，故A错误； ∵f (1－x)＝f (1＋x)，∴f (x)图象有一条对称轴x＝1，故B正确； 由f (1－x)＝f (1＋x)，将x换成x＋1得到f (－x)＝f (2＋x)， ∵f (x)是奇函数，∴f (－x)＝－f (x)， ∴f (2＋x)＝－f (x)， ∴f (x＋4)＝f ((x＋2)＋2)＝－f (x＋2)＝f (x)． ∴函数f (x)的周期为4，故C正确； ∵f (x)为奇函数，∴f (0)＝0． ∵f (2)＝f (1＋1)＝f (1－1)＝f (0)＝0， f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，f (4)＝f (0)， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0． ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (50)＝f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故D正确． 故选BCD．] 2．(2025·北京朝阳区模拟)函数f (x)＝x3－3x2图象的对称中心为(　　) A．(0，0)　　 B．(1，－2) C． D．(2，－4) B　[因为f (x)＝x3－3x2， 设图象的对称中心为(a，b)，则2b＝f (a＋x)＋f (a－x)对任意的x均成立， 代入函数解析式中可得2b＝(a＋x)3－3(a＋x)2＋(a－x)3－3(a－x)2， 所以2b＝a3＋3a2x＋3ax2＋x3－3(a2＋2ax＋x2)＋a3－3a2x＋3ax2－x3－3(a2－2ax＋x2)， 所以2b＝2a3＋6ax2－6(a2＋x2)， 所以解得a＝1，b＝－2， 故对称中心为(1，－2)．故选B．] 3．(2024·汕头濠江区二模)定义在R上的函数f (x)满足f (4－x)＋f (x)＝2．若f (x)的图象关于直线x＝4对称，则下列选项中一定成立的是(　　) A．f (－2)＝1　　 B．f (0)＝0 C．f (4)＝2 D．f (6)＝－1 A　[因为函数f (x)满足f (4－x)＋f (x)＝2， 所以f (4－2)＋f (2)＝2f (2)＝2，所以f (2)＝1， 又f (x)的图象关于直线x＝4对称， 所以f (6)＝f (2)＝1，且f (4－x)＝f (4＋x)， 则f (4＋x)＋f (x)＝2，所以f (4－2)＋f (－2)＝2， 所以f (－2)＝1，无法求出f (0)，f (4)．故选A．] 4．(2025·安康模拟)已知函数f (x)＝，则f (x)的图象(　　) A．关于点对称　　 B．关于直线x＝对称 C．关于点对称 D．关于直线x＝对称 C　[因为f (1)＝，f (2)＝，f (1)≠±f (2)，即函数的图象不关于点对称， 也不关于直线x＝对称，A，B错误； 因为f (－x)＋f (x)＝＝＝3， 即f (x)的图象关于点对称，C正确； 因为f (0)＝，f (0)≠f (1)，即函数的图象不关于直线x＝对称，D错误． 故选C．] 5．(多选)(2025·湛江模拟)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且f (4－x)＝f (x)，若对于任意的x1，x2∈[2，4]，都有(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]＜0，则(　　) A．f (x)的图象关于点(－2，0)中心对称 B．f (x)＝f (x＋8)　 C．f (x)在区间[－2，2]上单调递增 D．f (x)在x＝66处取得最大值 BCD　[由f (4－x)＝f (x)，即f (x)的图象关于直线x＝2 对称， 又f (x)是定义在R上的奇函数，图象关于原点对称， 由对称性可知，函数f (x)的图象关于点(4，0)中心对称， 所以函数f (x)的图象关于点(－4，0)中心对称，A错误； 因为f (－x)＝－f (x)，f (4－x)＝f (x)，得f (4＋x)＝f (－x)＝－f (x)， 所以f (8＋x)＝f (x)，B正确； 因为对于任意的 x1，x2∈[2，4]都有 (x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]＜0， 所以f (x)在[2，4]上单调递减， 则f (x)在[4，6]上单调递减，因为f (x)的图象关于直线 x＝2对称， 则f (x)在区间[－2，2]上单调递增，C正确； 由上可知，f (x)在x＝2处取得最大值，f (66)＝f (8×8＋2)＝f (2)， 则f (x)在x＝66处取得最大值，D正确．故选BCD．]
课后习题(十)　函数的对称性及应用
1．(多选)(人教A版必修第一册P87习题3.2T13改编)已知函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数，下列函数的图象中有对称中心的是(　　)
A．f (x)＝x　　 B．f (x)＝x3－3x2
C．f (x)＝x4＋x2 D．f (x)＝
ABD　[∵函数y＝f (x＋a)－b为奇函数，
∴f (－x＋a)－b＝－f (x＋a)＋b，
即f (x＋a)＋f (－x＋a)＝2b．
对于A，由f (x＋a)＋f (－x＋a)＝2b得a＝b，∴对于任意的a＝b，P(a，b)都是f (x)＝x的图象的对称中心，故A满足题意；
对于B，f (x)＝x3－3x2＝x2(x－3)，
∵f (x＋1)＋f (－x＋1)＝(x＋1)2(x－2)＋(－x＋1)2(－x－2)＝－4，
∴P(1，－2)为f (x)图象的对称中心，故B满足题意；
对于C，∵f (x)＝x4＋x2是偶函数，图象关于y轴对称，且f (x)在(0，＋∞)单调递增，在(－∞，0)单调递减，其图象大致如图1所示．
故不可能找到一个点使f (x)的图象为中心对称图形，故C不满足题意；
对于D，f (x)＝的图象如图2所示，其图象关于点(1，0)对称．故D满足题意．
]
2．(多选)(人教A版必修第一册P87习题3.2T13改编)已知函数f (x)在区间(0，2)上单调递减，且函数y＝f (x＋2)是偶函数，那么(　　)
A．f (x)在区间(2，4)上单调递减
B．f (x)在区间(2，4)上单调递增
C．y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称
D．y＝f (x)的图象关于直线x＝－2对称
BC　[∵函数y＝f (x＋2)是偶函数，
∴函数y＝f (x＋2)的图象关于y轴对称，
即函数y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称，C正确，D错误．
∵函数f (x)在(0，2)上单调递减，∴函数f (x)在(2，4)上单调递增，A错误，B正确．]
3．(人教B版必修第一册P117习题3－1CT3改编)函数y＝的图象的对称中心为点________．
(－1，1)　[∵y＝＝＝1－，
∴该函数图象是由y＝－的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的．
∴其图象的对称中心为点(－1，1)．]
4．(人教A版必修第一册P87习题3.2T13改编)函数y＝f (x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数．已知f (x)＝mx3＋nx＋1．
(1)若f (x)在[－6，6]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N＝________；
(2)若m＝1，n＝－3，则函数f (x)图象的对称中心为点________．
(1)2　(2)(0，1)　[(1)∵y＝mx3＋nx在R上为奇函数，∴在[－6，6]上，ymax＝－ymin，∴M＋N＝(ymax＋1)＋(ymin＋1)＝2．
(2)法一：由(1)知，y＝mx3＋nx为奇函数，
∴其图象对称中心为点(0，0)，所以函数f (x)图象的对称中心为点(0，1)．
法二：∵g(x)＝f (x＋a)－b＝(x＋a)3－3(x＋a)＋1－b＝x3＋3ax2＋(3a2－3)x＋a3－3a＋1－b在R上为奇函数，
∴
∴函数f (x)图象的对称中心为点(0，1)．]
5．(2024·北京学业考试)在同一坐标系中，函数y＝f (x)与y＝－f (x)的图象(　　)
A．关于原点对称　　 B．关于x轴对称　
C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称
B　[当x＝a时，y＝f (a)与y＝－f (a)互为相反数，
即函数y＝f (x)与y＝－f (x)的图象关于x轴对称．故选B．]
6．(2025·南充模拟)已知函数f (x)＝，则函数y＝f (x－1)＋1的图象(　　)
A．关于点(1，1)对称
B．关于点(－1，1)对称
C．关于点(－1，0)对称
D．关于点(1，0)对称
A　[∵f (x)＝为奇函数，其图象对称中心为(0，0)，
函数y＝f (x－1)＋1的图象是由函数f (x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，
∴y＝f (x－1)＋1的图象的对称中心为(1，1)．
故选A．]
7．(2025·新疆模拟)若函数f (x)＝的图象关于点(1，2)对称，则a＝(　　)
A．－2　　 B．－1
C．1 D．2
D　[f (x)＝＝a＋，
因为函数图象关于点(1，2)对称，所以f (x)＋f (2－x)＝4，
所以a＋＋a＋＝4，可得a＝2．
故选D．]
8．(2024·宁波期末)定义在R上的函数f (x＋1)的图象关于点(0，2)对称，则下列式子一定成立的是(　　)
A．f (－2)＋f (0)＝4　　 B．f (－1)＋f (1)＝4
C．f (0)＋f (2)＝4 D．f (1)＋f (3)＝4
C　[因为函数f (x＋1)的图象关于点(0，2)对称，
所以f (x)的图象关于点(1，2)对称，
所以f (x)＋f (2－x)＝4，
结合选项可知，f (0)＋f (2)＝4一定成立．
故选C．]
9．(多选)(2025·湖北武汉模拟)已知函数f (x)的定义域为R，f (x＋2)为偶函数，f (－3x＋1)为奇函数，则下列式子一定成立的是(　　)
A．f (2)＝0　　 B．f (1)＝0
C．f (0)＝0 D．f (－1)＝0
BD　[因为f (x＋2)为偶函数，所以f (x＋2)＝f (－x＋2)，函数f (x)图象关于直线x＝2对称，
因为f (－3x＋1)为奇函数，所以f (－3x＋1)＝－f (3x＋1)，函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，
因为函数f (x)的定义域为R，所以f (1)＝0，B正确；
又因为函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，所以f (3)＝0，
由f (－3x＋1)＝－f (3x＋1)，令x＝，
可得f (－1)＝－f (3)＝0，D正确；
可构造函数f (x)＝cos 满足题意，此时f (2)＝cos 0＝1，f (0)＝cos (－π)＝－1，AC错误．故选BD．]
10．(2024·长沙开福区开学)设函数y＝f (x)的定义域为R，则函数y＝f (x－1)与y＝f (1－x)的图象关于________对称．
x＝1　[因为y＝f (x)与y＝f (－x)的图象关于y轴(即直线x＝0)对称，
而y＝f (x－1)的图象是y＝f (x)的图象向右平移1个单位长度得到的，
y＝f (1－x)＝f (－(x－1))的图象是y＝f (－x)的图象向右平移1个单位长度得到的，
所以y＝f (x－1)与y＝f (1－x)的图象关于直线x＝1对称．]
11．(2025·南京模拟)已知函数y＝f (x)满足f (－x)＝f (2＋x)，其图象关于点(2，0)对称，则f (18)＝________．
0　[因为函数y＝f (x)的图象关于点(2，0)对称，
所以f (－x)＝－f (4＋x)，
又f (－x)＝f (2＋x)，
所以f (x＋2)＋f (x＋4)＝0，
所以f (x)＋f (x＋2)＝0，即f (x＋2)＝－f (x)，
所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，
所以函数f (x)的一个周期为4，
所以f (18)＝f (2)＝0．]
12．(2024·青岛二模)已知函数f (x)＝(x－2a)lg 的图象关于直线x＝b对称，则a＋b＝________．
　[易得f (x)＝(x－2a)lg 的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)，
若函数f (x)的图象关于直线x＝b对称，则其定义域一定关于直线x＝b对称，所以b＝＝，
此时必有f (－1)＝f (2)，即(－1－2a)lg 2＝(2－2a)lg ，解得a＝，
下面验证：f (1－x)＝lg ＝lg ＝lg ，
所以f (x)＝f (1－x)，故a＝，b＝满足题意，
所以a＋b＝．]
1/1第5课时　函数的对称性及应用
[考试要求]　1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论．2．会利用对称公式解决问题．
考点一　轴对称问题
若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＝f (b－x)，则y＝f (x)的图象关于直线x＝对称．特别地，当a＝b时，f (a＋x)＝f (a－x) f (2a＋x)＝f (－x) y＝f (x)的图象关于x＝a对称 y＝f (x＋a)是偶函数．
[典例1]　(2025·株洲模拟)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且函数f (x＋1)为偶函数，当－1≤x≤0时，f (x)＝x3，则f 等于(　　)
A．　　 B．－
C． D．－
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　f (x＋1)为偶函数 函数y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称 f (1＋x)＝f (1－x) f (x)＝f (2－x)．
巩固迁移1　(2023·全国乙卷节选)已知函数f (x)＝ln (1＋x)，是否存在a，b，使得曲线y＝f 关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点二　中心对称问题
若函数y＝f (x)满足f (x)＋f (2a－x)＝2b，则y＝f (x)的图象关于点(a，b)对称．特别地，当b＝0时，f (a＋x)＋f (a－x)＝0 f (x)＋f (2a－x)＝0 y＝f (x)的图象关于点(a，0)对称 y＝f (x＋a)是奇函数．
[典例2]　(1)(多选)若定义在R上的偶函数f (x)的图象关于点(2，0)对称，则下列说法正确的是(　　)
A．f (x)＝f (－x)
B．f (2＋x)＋f (2－x)＝0
C．f (－x)＝－f (x＋4)
D．f (x＋2)＝f (x－2)
(2)已知函数f (x)满足f (x)＋f (－x)＝2，g(x)＝＋1，y＝f (x)与y＝g(x)的图象有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例(1)中，函数y＝f (x)图象关于点(2，0)对称 f (4－x)＋f (x)＝0 f (2－x)＋f (2＋x)＝0．本例(2)中，f (x)＋f (－x)＝2 函数y＝f (x)的图象关于点(0，1)对称．
巩固迁移2　若函数f (x)满足f (2－x)＋f (x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．f (x－1)－1　　 B．f (x－1)＋1
C．f (x＋1)－1 D．f (x＋1)＋1
考点三　两个函数图象的对称
函数y＝f (a＋x)的图象与函数y＝f (b－x)的图象关于直线x＝对称．
特别地，
(1)函数y＝f (x)图象与y＝f (－x)图象关于y轴对称；
(2)函数y＝f (x)图象与y＝－f (x)图象关于x轴对称；
(3)函数y＝f (x)图象与y＝－f (－x)图象关于原点对称．
[典例3]　已知函数y＝f (x)是定义域为R的函数，则函数y＝f (x＋2)的图象与y＝f (4－x)的图象(　　)
A．关于直线x＝1对称　　 B．关于直线x＝3对称
C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3，0)对称
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　函数y＝f (x＋2)的图象与y＝f (4－x)的图象关于直线x＝＝1对称．
巩固迁移3　下列函数图象与y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是(　　)
A．y＝ex-1　　 B．y＝e1-x
C．y＝e2-x D．y＝ln x
1．我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，解决抽象函数问题的两种常用方法分别是函数性质法和赋值法．
2．常见的抽象函数模型：
(1)f (x±y)＝f (x)±f (y)可看作f (x)＝kx的抽象表达式．
(2)f (xy)＝f (x)f (y)或f ＝(y≠0，且f (y)≠0)可看作幂函数f (x)＝xα的抽象表达式．
(3)f (x＋y)＝f (x)f (y)或f (x－y)＝(f (y)≠0)可看作指数函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)的抽象表达式．
(4)f (xy)＝f (x)＋f (y)或f ＝f (x)－f (y)(y≠0)可看作对数函数f (x)＝logax(a>0，且a≠1)的抽象表达式．
　抽象函数求值
[典例1]　定义在R上的函数f (x)满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋2xy(x，y∈R)，f (1)＝2，则f (－2)等于________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本题解答关键是选取适当的特殊值进行求解．
应用体验1　已知定义在R上的函数f (x)满足f (1)＝1，且f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋1，则f (4)＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　抽象函数的性质
[典例2]　若定义在R上的函数f (x)满足：对任意的x1，x2∈R，都有f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)，且当x>0时，f (x)<0，则(　　)
A．f (x)是奇函数，且在R上是增函数
B．f (x)是奇函数，且在R上是减函数
C．f (x)是奇函数，但在R上不是单调函数
D．无法确定f (x)的单调性和奇偶性
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　对抽象函数单调性、奇偶性的判断，除了适当赋值外，还要结合单调性、奇偶性的定义进行求解．
应用体验2　定义在R上的偶函数f (x)满足f (1－x)＝f (1＋x)，且在[－1，0]上单调递增．设a＝f (3)，b＝f ()，c＝f (2)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c　　 B．a>c>b
C．b>c>a D．c>b>a
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．函数f (x)＝图象的对称中心为(　　)
A．(0，0)　　 B．(0，1)
C．(1，0) D．(1，1)
2．已知定义在R上的函数f (x)在(－∞，2)上单调递增，且f (x＋2)＝f (2－x)对任意x∈R恒成立，则(　　)
A．f (－1)f (3)
C．f (－1)＝f (3) D．f (0)＝f (3)
3．已知函数y＝f (x＋2)－3是奇函数，且f (4)＝2，则f (0)＝________．
4．若偶函数y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f (x)＝2x－1，则f (－1)＝________．

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