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第6课时　幂函数与二次函数
[考试要求]　1．通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律．2．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
考点一　幂函数的图象及性质
1．定义：一般地，函数____叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．常见的五种幂函数的图象及性质
项目 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x-1
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 _函数 _函数 _函数 ____函数 _函数
单调性 单调 递增 x∈[0，＋∞) 时，单调递增 x∈(－∞，0] 时，单调递减 单调 递增 单调 递增 x∈(0，＋∞) 时，单调递减 x∈(－∞，0) 时，单调递减
公共点 (1，1)
3．幂函数的性质
(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义．
(2)当α>0时，幂函数的图象都过点_____和_____，且在(0，＋∞)上单调递增．
(3)当α<0时，幂函数的图象都过点_____，且在(0，＋∞)上单调递减．
(4)当α为奇数时，y＝xα为___；当α为偶数时，y＝xα为___．
提醒：(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质．
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限．
[典例1]　(1)(人教A版必修第一册P91练习T1改编)已知幂函数y＝f (x)的图象过点，则f (3)的值为(　　)
A．9　　 B．3
C． D．
(2)(2024·保定期中)若幂函数y＝(m，n∈N*，且m，n互素)的图象如图所示，则下列说法中正确是(　　)
A．m，n是奇数且<1
B．m是偶数，n是奇数，且>1
C．m是偶数，n是奇数，且<1
D．m，n是偶数，且>1
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例(1)中，应注意幂函数的特征：①形式都是f (x)＝xα，其中α是常数，底数x是自变量；②幂函数式前的系数都是1；③幂函数中只有一个未知数x．所以只需知道幂函数图象上一个点的坐标，就可以利用待定系数法设出函数表达式，进而求出解析式．本例(2)考查幂函数图象及性质的理解，应熟悉常见的五种幂函数的图象．
巩固迁移1　(1)(2024·河南月考)已知f (x)＝(k2＋2k＋2)x2k+1＋m－3是幂函数，则f (m)＝(　　)
A．3　　 B．
C．6 D．
(2)(2025·信阳新县模拟)已知幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象如图所示，则(　　)
A．a＞b＞c＞d　　 B．b＞c＞d＞a
C．d＞b＞c＞a D．c＞b＞d＞a
考点二　二次函数的解析式
二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f (x)＝_____________．
(2)顶点式：f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；其中，_____为抛物线顶点坐标，___为对称轴方程．
(3)零点式：f (x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中，x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标．
[典例2]　已知二次函数f (x)满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　求二次函数解析式的三个策略
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式．
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式．
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．
巩固迁移2　已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件：图象与x轴交于(－2，0)，(4，0)两点，且过点，则函数解析式为____________．
考点三　二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0)
图象 (抛物线)
定义域 _
值域
对称轴 x＝
顶点 坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上单调递_； 在上单调递_ 在上单调递_； 在上单调递_
　二次函数的图象
[典例3]　如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在点(0，2)与点(0，3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是(　　)
A．当x>3时，y<0
B．4a＋2b＋c＝0
C．－1D．3a＋b>0
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　研究二次函数的图象应从“三点一线一开口”进行分析．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，如本例中，顶点(1，n)，A(－1，0)及A关于x＝1的对称点；“一线”指对称轴这条直线，本例中是“x＝1”；“一开口”是指抛物线的开口方向，本例中，开口向下，则a<0．
巩固迁移3　(多选)设abc<0，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
　　　　　
A　　　　　　　　B
　　　　　
C　　　　　　　　D
　二次函数的单调性与最值
[典例4]　(1)已知函数f (x)＝－x2＋x在区间[a，b]上的最小值为3a，最大值为3b，则a＋b等于(　　)
A．－4　　 B．
C．2 D．
(2)若函数f (x)＝x2－2bx＋3a在区间[0，1]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值(　　)
A．与a无关，与b有关
B．与a有关，与b无关
C．与a有关，且与b有关
D．与a无关，且与b无关
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　二次函数最值问题的类型及解题思路
(1)类型：
①对称轴、区间都是给定的．
②对称轴动、区间固定．
③对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．
巩固迁移4　(2024·北京五十五中校考期中)已知函数f (x)＝x2＋ax－3．
(1)当a＝2，x∈时，求函数f (x)的最大值和最小值；
(2)若函数f (x)在上的最小值为1，求实数a的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知幂函数f (x)的图象经过点，则f (8)的值等于(　　)
A．　　 B．4
C．8 D．
2．(2025·青岛模拟)若幂函数y＝x-1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　)
A．－1＜m＜0＜n＜1　　　　 B．－1＜n＜0＜m
C．－1＜m＜0＜n D．－1＜n＜0＜m＜1
3．(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1．下面四个结论正确的为(　　)
A．b2>4ac
B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0
D．5a4．函数f (x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．第6课时　幂函数与二次函数
[考试要求]　1．通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律．2．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
考点一　幂函数的图象及性质
1．定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．常见的五种幂函数的图象及性质
项目 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x-1
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
单调性 单调 递增 x∈[0，＋∞) 时，单调递增 x∈(－∞，0] 时，单调递减 单调 递增 单调 递增 x∈(0，＋∞) 时，单调递减 x∈(－∞，0) 时，单调递减
公共点 (1，1)
3．幂函数的性质
(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义．
(2)当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增．
(3)当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
(4)当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．
提醒：(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质．
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限．
[典例1]　(1)(人教A版必修第一册P91练习T1改编)已知幂函数y＝f (x)的图象过点，则f (3)的值为(　　)
A．9　　 B．3
C． D．
(2)(2024·保定期中)若幂函数y＝(m，n∈N*，且m，n互素)的图象如图所示，则下列说法中正确是(　　)
A．m，n是奇数且<1
B．m是偶数，n是奇数，且>1
C．m是偶数，n是奇数，且<1
D．m，n是偶数，且>1
(1)A　(2)C　[(1)设y＝f (x)＝xα，则f ＝＝，所以α＝2，
则f (x)＝x2，所以f (3)＝32＝9．故选A．
(2)由题图知，函数y＝为偶函数，m为偶数，n为奇数，又在第一象限向上“凸”，
所以＜1，故选C．]
反思领悟　本例(1)中，应注意幂函数的特征：①形式都是f (x)＝xα，其中α是常数，底数x是自变量；②幂函数式前的系数都是1；③幂函数中只有一个未知数x．所以只需知道幂函数图象上一个点的坐标，就可以利用待定系数法设出函数表达式，进而求出解析式．本例(2)考查幂函数图象及性质的理解，应熟悉常见的五种幂函数的图象．
巩固迁移1　(1)(2024·河南月考)已知f (x)＝(k2＋2k＋2)x2k+1＋m－3是幂函数，则f (m)＝(　　)
A．3　　 B．
C．6 D．
(2)(2025·信阳新县模拟)已知幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象如图所示，则(　　)
A．a＞b＞c＞d　　 B．b＞c＞d＞a
C．d＞b＞c＞a D．c＞b＞d＞a
(1)D　(2)B　[(1)由题知k2＋2k＋2＝1，解得k＝－1，又∵m－3＝0，解得m＝3，
∴f (x)＝x-1＝，∴f (m)＝f (3)＝．故选D．
(2)根据幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象知，
b＞c＞1＞d＞0＞a，即b＞c＞d＞a．
故选B．]
考点二　二次函数的解析式
二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；其中，(m，n)为抛物线顶点坐标，x＝m为对称轴方程．
(3)零点式：f (x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中，x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标．
[典例2]　已知二次函数f (x)满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．
[解]　法一(利用二次函数的一般式)：设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
故所求二次函数解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7．
法二(利用二次函数的顶点式)：
设f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
∵f (2)＝f (－1)，
∴抛物线对称轴为x＝＝．
∴m＝，又根据题意函数有最大值8，
∴n＝8，∴y＝f (x)＝a＋8．
∵f (2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f (x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7．
法三(利用二次函数的零点式)：
由已知f (x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f (x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f (x)＝ax2－ax－2a－1．
又函数有最大值8，即＝8．
解得a＝－4或a＝0(舍去)，故所求二次函数解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7．
反思领悟　求二次函数解析式的三个策略
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式．
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式．
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．
巩固迁移2　已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件：图象与x轴交于(－2，0)，(4，0)两点，且过点，则函数解析式为____________．
y＝x2－x－4　[设函数解析式为y＝a(x＋2)(x－4)，则－＝a(1＋2)(1－4) ，解得a＝．故所求函数的解析式为y＝(x＋2)(x－4)，即y＝x2－x－4．]
考点三　二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0)
图象 (抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝
顶点 坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减
　二次函数的图象
[典例3]　如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在点(0，2)与点(0，3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是(　　)
A．当x>3时，y<0
B．4a＋2b＋c＝0
C．－1D．3a＋b>0
A　[由题意，知a<0，由抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，顶点坐标为(1，n)，所以－＝1，2≤c≤3，a－b＋c＝0，函数图象与x轴的另一交点为(3，0)．则x>3时，y<0，A正确；当x＝2时，y＝4a＋2b＋c>0，B错误；由－＝1，知2a＋b＝0，又a<0，所以3a＋b<0，D错误；由a－b＋c＝0，b＝－2a，得c＝－3a，又2≤c≤3，所以－1≤a≤－，C错误．故选A．]
反思领悟　研究二次函数的图象应从“三点一线一开口”进行分析．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，如本例中，顶点(1，n)，A(－1，0)及A关于x＝1的对称点；“一线”指对称轴这条直线，本例中是“x＝1”；“一开口”是指抛物线的开口方向，本例中，开口向下，则a<0．
巩固迁移3　(多选)设abc<0，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
　　　　　
A　　　　　　　　B
　　　　　
C　　　　　　　　D
ABD　[函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为x＝－，与x轴的交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．A中，a<0，－<0，－<0，>0，则a<0，b<0，c<0，∴abc<0，符合题意；B中，a<0，－>0，－>0，<0，则a<0，b>0，c>0，∴abc<0，符合题意；C中，a>0，－<0，－<0，>0，则a>0，b>0，c>0，∴abc>0，不符合题意；D中，a>0，－>0，－>0，>0，则a>0，b<0，c>0，∴abc<0，符合题意．故选ABD．]
　二次函数的单调性与最值
[典例4]　(1)已知函数f (x)＝－x2＋x在区间[a，b]上的最小值为3a，最大值为3b，则a＋b等于(　　)
A．－4　　 B．
C．2 D．
(2)若函数f (x)＝x2－2bx＋3a在区间[0，1]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值(　　)
A．与a无关，与b有关
B．与a有关，与b无关
C．与a有关，且与b有关
D．与a无关，且与b无关
(1)A　(2)A　[(1)因为f (x)＝－x2＋x＝＋的图象的对称轴为x＝1，开口向下，函数在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，
依题意3b≤，所以b≤，
所以f (x)在区间[a，b]上单调递增，
所以即
所以a，b为方程x2＋2x＝0的两根，所以a＋b＝－＝－4，故选A．
(2)函数f (x)＝x2－2bx＋3a的图象开口向上，且对称轴为直线x＝b．
①当b>1时，f (x)在[0，1]上单调递减，则M＝f (0)＝3a，m＝f (1)＝1－2b＋3a，此时M－m＝2b－1，故M－m的值与a无关，与b有关；
②当b<0时，f (x)在[0，1]上单调递增，则M＝f (1)＝1－2b＋3a，m＝f (0)＝3a，此时M－m＝1－2b，故M－m的值与a无关，与b有关；
③当0≤b≤1时，m＝f (b)＝3a－b2，若0≤b≤，则f (1)≥f (0)，有M＝f (1)＝1－2b＋3a，∴M－m＝b2－2b＋1，故M－m的值与a无关，与b有关，
若b>，则f (1)有M＝f (0)＝3a，
∴M－m＝b2，故M－m的值与a无关，与b有关．
综上，M－m的值与a无关，与b有关．故选A．]
反思领悟　二次函数最值问题的类型及解题思路
(1)类型：
①对称轴、区间都是给定的．
②对称轴动、区间固定．
③对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．
巩固迁移4　(2024·北京五十五中校考期中)已知函数f (x)＝x2＋ax－3．
(1)当a＝2，x∈时，求函数f (x)的最大值和最小值；
(2)若函数f (x)在上的最小值为1，求实数a的值．
[解]　(1)当a＝2时，f (x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，
又x∈，所以f (x)min＝f (－1)＝－4，f (x)max＝f (3)＝12，
所以函数f (x)的最大值为12，最小值为－4．
(2)f (x)的对称轴为x＝－，开口向上．
①当－≤1，即a≥－2时，
f (x)min＝f (1)＝a－2＝1，即a＝3，符合题意；
②当－≥3，即a≤－6时，
f (x)min＝f (3)＝3a＋6＝1，
即a＝－，不符合题意；
③当1<－<3，即－6f (x)min＝f ＝－－3＝1，无解，不符合题意．
综上，实数a的值为3．
1．已知幂函数f (x)的图象经过点，则f (8)的值等于(　　)
A．　　 B．4
C．8 D．
D　[设幂函数f (x)＝xα，幂函数f (x)的图象经过点，所以f (5)＝5α＝，
解得α＝－1，所以f (x)＝x-1，
则f (8)＝8-1＝．
故选D．]
2．(2025·青岛模拟)若幂函数y＝x-1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　)
A．－1＜m＜0＜n＜1　　　　 B．－1＜n＜0＜m
C．－1＜m＜0＜n D．－1＜n＜0＜m＜1
D　[对于幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0＜α＜1时，图象上凸，所以0＜m＜1；当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，不妨令x＝2，根据题图可得2-1＜2n，所以－1＜n＜0．故选D．]
3．(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1．下面四个结论正确的为(　　)
A．b2>4ac
B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0
D．5aAD　[因为图象与x轴交于两点，
所以b2－4ac>0，即b2>4ac，A正确．
对称轴为x＝－1，
即－＝－1，2a－b＝0，B错误．
结合题图，当x＝－1时，y>0，
即a－b＋c>0，C错误．
由对称轴为x＝－1知，b＝2a．
根据抛物线开口向下，知a<0，
所以5a<2a，即5a4．函数f (x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．
[－3，0]　[当a＝0时，f (x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足条件；
当a≠0时，f (x)的对称轴为x＝，
由f (x)在[－1，＋∞)上单调递减知
解得－3≤a＜0．
综上，a的取值范围为[－3，0]．]
【教用·备选题】 1．(2024·温州期中)幂函数y＝ (m∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则m的值是(　　) A．1　　 B．2 C．3 D．4 A　[幂函数y＝(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数， 则m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3，m∈Z，则m＝0，1，2， 当m＝0或2时，m2－2m－3均为奇数，不符合题意，舍去， 当m＝1时，m2－2m－3为偶数，符合题意．故选A．] 2．(2024·揭阳二模)已知函数f (x)＝－x2＋ax＋1在(2，6)上不单调，则a的取值范围为(　　) A．(2，6)　　　　　 B．(－∞，2]∪[6，＋∞)　 C．(4，12) D．(－∞，4]∪[12，＋∞) C　[f (x)＝－＋1＋，则2<<6，得4＜a＜12，即a的取值范围为(4，12)．故选C．] 3．(2024·邯郸永年区月考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以下结论：①a＋b＋c＞0；②a－b＋c＜0；③abc＞0；④b2＞4ac；⑤－3<<－2，下面的选项中所有序号结论全正确的是(　　) A．①②④　　 B．②③④ C．①④⑤ D．③④⑤ A　[令f (x)＝ax2＋bx＋c，由题意可得， 二次函数的图象开口向下，所以a＜0； f (1)＞0，即a＋b＋c＞0，故①正确； f (－1)＜0，即a－b＋c＜0，故②正确； f (0)＞0，即c＞0， 对称轴为x＝－＞0，所以b＞0， 所以abc＜0，故③错误； 因为y＝f (x)的图象与x轴有2个不同交点， 所以Δ＝b2－4ac＞0，即b2＞4ac，故④正确； 又因为1＜－＜2，所以－4＜＜－2，故⑤错误． 所以说法正确的有①②④．故选A．] 4．(2024·浙江宁波阶段测试)(1)若 x∈R，ax2－ax＋1>0，求实数a的取值范围； (2)若 a∈，ax2－ax＋1>0，求实数x的取值范围． [解]　(1)因为 x∈R，ax2－ax＋1>0， ①当a＝0时，不等式1>0对任意x∈R成立，符合题意． ②当a≠0时，若不等式ax2－ax＋1>0对任意x∈R恒成立， 则 解得00， 即 a∈，x2－x<－， 所以x2－x<，而y＝－在x∈上单调递增， 所以x2－x<1， 解得0时，m<－3x恒成立， 即－3x>2， 解得－1－3x恒成立， 即－3x<－2， 解得－课后习题(十一)　幂函数与二次函数
1．(人教A版必修第一册P91习题3.3T3改编)已知幂函数f (x)＝x4-m(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，则m等于(　　)
A．1　　 B．2
C．1或3 D．3
C　[因为f (x)＝x4-m在(0，＋∞)上单调递增，所以4－m>0．
所以m<4．又因为m∈N*，所以m＝1，2，3．
又因为f (x)＝x4-m是奇函数，所以4－m是奇数，所以m＝1或m＝3．]
2．(多选)(人教A版必修第一册P100复习参考题3T5改编)已知幂函数y＝f (x)的图象过点，则下列说法正确的是(　　)
A．f (x)的解析式是f (x)＝
B．f (x)为偶函数
C．f (x)为非奇非偶函数
D．f (x)在(0，＋∞)上单调递减
ACD　[依题意设f (x)＝xα，因为图象过点，所以2α＝，解得α＝－，所以f (x)＝，A正确．f (x)的图象大致如图所示．因为x∈(0，＋∞)，所以f (x)为非奇非偶函数，B错误，C正确．由图象可知函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减，D正确．
]
3．(苏教版必修第一册P139例1改编)有四个幂函数：①f (x)＝x-1；②f (x)＝x-2；③f (x)＝x3；④f (x)＝．某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：
(1)偶函数；(2)值域是{y|y≠0}；(3)在(－∞，0)上单调递增．
如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________(填序号)．
②　[对于函数①，f (x)＝x-1是奇函数，值域是{y|y≠0}，在(－∞，0)上单调递减，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②，f (x)＝x-2是偶函数，值域是{y|y>0}，在(－∞，0)上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断③④中函数不符合题意．]
4．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)已知函数f (x)＝2x2－4kx－5在区间上不具有单调性，则k的取值范围是________．
(－1，2)　[∵函数f (x)＝2x2－4kx－5图象的对称轴为直线x＝k，函数f (x)＝2x2－4kx－5在区间上不具有单调性．
∴－1∴k的取值范围是(－1，2)．]
5．(2024·重庆万州区开学考试)已知幂函数y＝f (x)的图象过点(2，4)，则下列结论正确的是(　　)
A．y＝f (x)的定义域是[0，＋∞)　
B．y＝f (x)在其定义域内为减函数　
C．y＝f (x)是奇函数　
D．y＝f (x)是偶函数
D　[由题意设幂函数为f (x)＝xα，则f (2)＝2α＝4，所以α＝2，f (x)＝x2，
其定义域为R，且它在[0，＋∞)内单调递增，
又f (－x)＝(－x)2＝x2＝f (x)，所以y＝f (x)是偶函数，故ABC错误，D正确．
故选D．]
6．(2024·海南琼海月考)幂函数y＝x2，y＝x-1，y＝在第一象限内的图象依次是如图中的曲线(　　)
A．C1，C2，C3，C4　　 B．C1，C4，C3，C2　
C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3
D　[在第一象限内直线x＝1的右侧，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，
即“指大图高”，
所以幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C1，y＝x-1在第一象限内的图象为C4，
y＝ 在第一象限内的图象为C2，在第一象限内的图象为C3．
故选D．]
7．(2025·济南历下区模拟)若函数f (x)＝x2－mx＋10在(－2，1)上是减函数，则实数m的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞)　　 B．[－4，＋∞)
C．(－∞，2] D．(－∞，－4]
A　[因为f (x)＝x2－mx＋10在(－2，1)上是减函数，
所以≥1，解得m≥2．
故选A．]
8．(2024·广州荔湾区期末)已知二次函数f (x)，f (2)＝1，f (x)＜3的解集为(0，4)，若f (x)在[0，m]上有最大值3，最小值1，则m的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞)　　 B．[2，＋∞)
C．(0，2] D．[2，4]
D　[由题意设函数f (x)＝ax2＋bx＋c，a≠0，
因为f (2)＝1，可得4a＋2b＋c＝1，
因为f (x)＜3的解集为(0，4)，即0，4为方程ax2＋bx＋c－3＝0的两根，且a＞0，
可得解得c＝3，a＝，b＝－2，所以f (x)＝x2－2x＋3，
f (x)的图象开口向上，对称轴为x＝2，f (0)＝3，f (2)＝1，f (4)＝3，
因为在[0，m]上有最大值3，最小值1，所以2≤m≤4，则m的取值范围为[2，4]．
故选D．]
9．(2024·河北邯郸高一校联考期中)已知命题p： x∈，使得2x2－x－a<0，若p是真命题，则a的取值范围是________．
　[由2x2－x－a<0，得a>2x2－x，
∵ x∈，使得2x2－x－a<0，
∴a>(2x2－x)min．
∵y＝2x2－x是开口方向向上，对称轴为x＝的抛物线，
∴当x∈时，(2x2－x)min＝2×－＝－，
∴a的取值范围为．]
10．(2025·唐山开滦二中模拟)若函数f (x)＝ax2＋2ax＋1在区间[1，2]上有最大值4，则a的值为________．
　[f (x)＝a(x＋1)2＋1－a．
①当a＝0时，函数f (x)在区间[1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去．
②当a>0时，函数f (x)在区间[1，2]上单调递增，最大值为f (2)＝8a＋1＝4，解得a＝，符合题意．
③当a<0时，函数f (x)在区间[1，2]上单调递减，最大值为f (1)＝3a＋1＝4，解得a＝1，不符合题意，舍去．
综上可知，a的值为．]
11．(2024·浙江宁波阶段测试)已知二次函数f (x)＝x2－2(t－1)x＋4．
(1)若t＝1，求f (x)在[－1，3]上的值域；
(2)若存在x∈，使得不等式f (x)[解]　(1)根据题意，函数f (x)＝x2－2(t－1)x＋4，
若t＝1，则f (x)＝x2＋4，又由－1≤x≤3，
当x＝0时，f (x)有最小值4，
当x＝3时，f (x)有最大值13，
则有4≤f (x)≤13，即函数f (x)的值域为．
(2)f (x)＝x2－2(t－1)x＋4因为x∈，
所以3t>＝x＋＋2，
令g(x)＝x＋，任取x1，x2∈，且x1则g(x1)－g(x2)＝x1＋
＝，
因为x1x2－4>0，x1－x2<0，
所以g(x1)－g(x2)<0，
即g(x1)所以g(x)＝x＋在单调递增，
所以当x＝4时，＝7，
所以t>．
所以实数t的取值范围是．
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