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第10课时　函数的零点与方程的解
[考试要求]　1．理解函数的零点与方程的解的联系．2．理解函数零点存在定理，并能简单应用．3．了解用二分法求方程的近似解．
考点一　判定函数零点所在区间
1．函数的零点
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f (x)，我们把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点．
(2)三个等价关系
(3)函数零点存在定理
2．二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)f (b)＜0的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
提醒：(1)若连续不断的函数f (x)在定义域上是单调函数，则f (x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f (x)＝0的实根．
(2)由函数y＝f (x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f (a)·f (b)<0，如图所示，所以“f (a)·f (b)<0”是“y＝f (x)在闭区间[a，b]上有零点”的充分不必要条件．
[典例1]　(1)(2025·湖北荆州模拟)若x0是方程的根，则x0属于区间(　　)
A． B．
C． D．
(2)(人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数f (x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)(m∈Z)上，则m＝(　　)
A．－2　　 B．－1
C．0 D．1
(1)C　(2)A　[(1)构造函数f (x)＝，
易知函数f (x)在R上单调递减，且函数f (x)的图象是一条连续不断的曲线，
易知f (0)＝－0＝1>0，f＝－>0，
f ＝－<0，
结合选项，因为f ·f <0，
故函数f (x)的零点所在的区间为，
即方程的根x0属于区间．
(2)因为函数f (x)＝e－x－2x－5是连续的减函数，f (－2)＝e2－1>0，f (－1)＝e－3<0，所以f (－2)·f (－1)<0，函数f (x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(－2，－1)，即(m，m＋1)上，又m∈Z，所以m＝－2．]
链接·2025高考试题
(2025·天津卷)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　)
A．(0，0.3) B．(0.3，0.5)
C．(0.5，1) D．(1，2)
B　[易知f(x)单调递减，又f(0)＝1＞0，f(0.3)＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5＞0，f(0.5)＝0.30.5－＝＜0，所以f(x)的零点所在区间是(0.3，0.5)．故选B.]
反思领悟　本例(1)解决的关键是将方程根所在的区间转化为函数f (x)＝的零点所在区间，利用零点存在定理对所给选项一一验证即可．本例(2)根据“三个等价关系”解答：①f (x)＝e－x－2x－5的零点就是e－x－2x－5＝0的根，即y＝e－x与y＝2x＋5图象的交点；②画出函数y＝e－x＝和y＝2x＋5的图象，初步判断图象交点所在区间(定性)；③利用零点存在定理求m(定量)．
巩固迁移1　(1)(2025·湖南长沙模拟)设函数f (x)＝x－ln x，则函数y＝f (x)(　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
(2)用二分法求函数f (x)＝log3(2x＋4)－在区间(－1，0)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1．(　　)
A．2　　 B．3
C．4 D．5
(1)D　(2)C　[(1)令f (x)＝0得x＝ln x．
作出函数y＝x和y＝ln x的图象，如图，
显然y＝f (x)在内无零点，在(1，e)内有零点．
(2)∵开区间(－1，0)的长度等于1，
每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，
经过n次操作后，区间长度变为，
故有<0.1，解得n≥4，
∴至少经过4次二分后精确度达到0.1．]
考点二　确定函数零点个数
函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点；
(2)用零点存在定理再结合函数的单调性确定零点个数；
(3)利用函数图象的交点个数判断．
[典例2]　(1)函数f (x)＝的零点个数为(　　)
A．3　　 B．2
C．1 D．0
(2)函数f (x)＝ln x＋x2－3的零点个数为________．
(1)B　(2)1　[(1)由f (x)＝0得，
或
解得x＝－2或x＝e．
因此函数f (x)共有2个零点．
故选B．
(2)令f (x)＝0，可得方程ln x＋x2－3＝0，即ln x＝3－x2，
故原函数的零点个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2图象的交点个数．
在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象(如图)．
由图可知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，
故函数f (x)＝ln x＋x2－3只有一个零点．]
反思领悟　 在本例(1)中，可根据零点的定义直接计算函数零点，进而得出零点个数；本例(2)中，求函数f (x)＝ln x＋x2－3的零点个数，转化为函数y＝3－x2与y＝ln x图象的交点个数，作出图象后观察其交点个数即可．
巩固迁移2　已知函数f (x)＝则函数g(x)＝f (x)－的零点个数为(　　)
A．0　　 B．1
C．2 D．3
C　[当x≤0时，令g(x)＝－＝0，解得x＝1，舍去；当x>0时，令g(x)＝|log2x|－＝0，解得x＝或x＝，满足x>0，所以x＝或x＝．
综上，函数g(x)＝f (x)－的零点个数为2．]
考点三　函数零点的应用
　根据函数零点个数求参数
[典例3]　(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f (x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax．当x∈(－1，1)时，曲线y＝f (x)与y＝g(x)恰有一个交点．则a＝(　　)
A．－1　　 B．
C．1 D．2
D　[法一：令f (x)＝g(x)，
即a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax，可得ax2＋a－1＝cos x，
令F (x)＝ax2＋a－1，G(x)＝cos x，
原题意等价于当x∈(－1，1)时，曲线y＝F (x)与y＝G(x)恰有一个交点，
注意到F (x)，G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得F (0)＝G(0)，即a－1＝1，解得a＝2．
若a＝2，令F (x)＝G(x)，可得2x2＋1－cos x＝0，
因为x∈(－1，1)，则2x2≥0，1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号同时成立，
可得2x2＋1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，
则方程2x2＋1－cos x＝0有且仅有一个实根0，即曲线y＝F (x)与y＝G(x)恰有一个交点，
所以a＝2符合题意．
综上所述，a＝2．
法二：令h(x)＝f (x)－g(x)＝ax2＋a－1－cos x，x∈(－1，1)，
原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，
因为h(－x)＝a(－x)2＋a－1－cos (－x)＝ax2＋a－1－cos x＝h(x)，
则h(x)为偶函数，
根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，
即h(0)＝a－2＝0，解得a＝2．
若a＝2，则h(x)＝2x2＋1－cos x，x∈(－1，1)，
又因为2x2≥0，1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号同时成立，
可得h(x)≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，
即h(x)有且仅有一个零点0，所以a＝2符合题意．
故选D．]
反思领悟　本例中，解决的关键是根据偶函数图象的特征判定y＝f (x)与y＝g(x)何时恰有一个交点．若按原函数的关系来研究曲线的交点，问题会很复杂，可将y＝f (x)和y＝g(x)合并后再重新组合，借助偶函数来求解．
巩固迁移3　(2025·济南模拟)已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(1，2]　　 B．(1，2)
C．(0，1) D．[1，＋∞)
A　[因为函数g(x)＝f (x)－m有三个零点，所以函数y＝f (x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，作出函数f (x)的图象如图所示．由图可知，1]
　根据函数零点的范围求参数
[典例4]　函数f (x)＝2x－－a的零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．0C．1A　[因为函数y＝2x，y＝－在(0，＋∞)上均单调递增，所以函数f (x)＝2x－－a在(0，＋∞)上单调递增，由函数f (x)＝2x－－a的零点在区间(1，2)内，得解得0反思领悟　本例解题的关键是先判断函数的单调性，再结合零点存在定理，解即得a的取值范围．
巩固迁移4　函数f (x)＝2alog2x＋a·4x＋3在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<－　　 B．a<－
C．－D　[当a＝0时，f (x)＝3，不符合题意；
当a>0时，由于函数y＝2alog2x，y＝a·4x＋3在上均单调递增，此时函数f (x)在上单调递增；
当a<0时，由于函数y＝2alog2x，y＝a·4x＋3在上均单调递减，此时函数f (x)在上单调递减．
因为函数f (x)在区间上有零点，所以ff (1)<0，
即3(4a＋3)<0，解得a<－．]
形如y＝f (g(x))的复合函数(称此函数为嵌套函数)零点相关问题综合性较强，难度稍大，主要涉及判断函数零点的个数或范围．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．
[典例]　函数f (x)＝若函数g(x)＝f (f (x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
[－1，＋∞)　[设t＝f (x)，令f (f (x))－a＝0，则a＝f (t)．
在同一坐标系内作y＝a，y＝f (t)的图象(如图)．
当a<－1时，y＝a与y＝f (t)的图象有一个交点，不符合题意；
当a≥－1时，y＝a与y＝f (t)的图象有两个交点．
设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1．
当t1<－1时，t1＝f (x)有一解；
当t2≥－1时，t2＝f (x)有两解．
综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f (f (x))－a有三个不同的零点．]
反思领悟　该类问题考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合思想是解决本类问题的关键．含参数的嵌套函数方程，应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合，如本例由y＝a与y＝f (t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由y＝f (x)与y＝t的图象确定零点的个数．
应用体验　(1)已知函数f (x)＝则方程f (f (x))＝1的实数根的个数为(　　)
A．7　　 B．5
C．3 D．2
(2)已知f (x)＝|3x－1|＋2，若关于x的方程－(2＋a)f (x)＋2a＝0有三个实根，则实数a的取值范围是(　　)
A．12
C．23
(1)B　(2)C　[(1)令f (x)＝t，则f (t)＝1．
①当t≤2时，2|t|－1＝1，∴2|t|＝2，∴|t|＝1，即t＝±1．
②当t>2时，＝1，∴t＝3．
画出函数f (x)的图象，如图所示，若t＝－1，即f (x)＝－1，无解；
若t＝1，直线y＝t＝1与y＝f (x)的图象有3个交点，即f (f (x))＝1有3个不同实根；
若t＝3，直线y＝t＝3与y＝f (x)的图象有2个交点，即f (f (x))＝1有2个不同实根．
综上所述，方程f (f (x))＝1的实数根的个数为5．故选B．
(2)因为[f (x)]2－(2＋a)f (x)＋2a＝0，所以f (x)＝2或f (x)＝a，作出函数f (x)的图象如图所示，由图可得f (x)＝2有一个实根0，所以要使f (x)＝a有两个不同非零实根，只需2]
1．(人教A版必修第一册P155习题4.5T4改编)函数y＝－ln x的零点所在区间是(　　)
A．(3，4)　　 B．(2，3)
C．(1，2) D．(0，1)
B　[因为函数的定义域为(0，＋∞)，且函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，所以函数y＝－ln x在(0，＋∞)上是减函数．又当x＝2时，y＝－ln 2>0；当x＝3时，y＝1－ln 3<0，两函数值异号，所以函数y＝－ln x的零点所在区间是(2，3)．]
2．(2025·重庆模拟)函数f (x)＝ex＋x－3在区间(0，1)上的零点个数是(　　)
A．0　　 B．1
C．2 D．3
B　[由题知函数f (x)是增函数．根据函数零点存在定理及f (0)＝－2<0，f (1)＝e－2>0，f (0)·f (1)<0，可知函数f (x)在区间(0，1)上有且只有一个零点．故选B．]
3．已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)　　 B．
C．(1，＋∞) D．(0，1)
D　[令g(x)＝f (x)－m＝0，得f (x)＝m，根据分段函数f (x)的解析式，作出函数f (x)的图象，如图所示．由题可知函数y＝f (x)的图象和直线y＝m有3个交点，根据图象可得实数m的取值范围是(0，1)．]
4．已知函数f (x)＝g(x)＝f (x)－x＋a，若g(x)存在3个零点，则实数a的取值范围为________．
　[函数g(x)＝f (x)－x＋a存在3个零点，等价于函数f (x)的图象与y＝x－a的图象有3个交点．画出函数f (x)和y＝x－a的图象如图所示．根据图象易知，要使函数f (x)和y＝x－a的图象有3个交点，则－<－a≤0，即0≤a<．]
【教用·备选题】
1．(2025·毕节市模拟)已知x1是函数f (x)＝ex＋x－2的零点，x2是函数g(x)＝e4-x－x＋2的零点，则x1＋x2的值为(　　)
A．3　　 B．4
C．5 D．6
B　[因为x1是函数f (x)＝ex＋x－2的零点，
所以＋x1－2＝0，即＝2－x1．
因为x2是函数g(x)＝e4-x－x＋2的零点，
所以－x2＋2＝0，即＝x2－2．令t＝4－x2，
则x2＝4－t，所以et＝4－t－2＝2－t，所以＝et，
即x1＝t＝4－x2，所以x1＋x2＝4．
故选B．]
2．(2024·六安市金安区期末)若函数f (x)＝若关于x的方程f 2(x)＋(1－a)f (x)－a＝0恰有两个不同实数根，则实数a的取值范围为(　　)
A．(0，3)　　 B．[1，3)
C．(1，3) D．[1，3]
B　[由题意可得，[f (x)－a][f (x)＋1]＝0，
∴f (x)＝a 或f (x)＝－1，
画出函数f (x)的图象如图所示，
观察可得，f (x)＝－1没有实数根，
则原问题转化为方程f (x)＝a有两个不同的实数根，
注意到函数的最大值为f (2)＝3，
故1≤a＜3，即实数a的取值范围是[1，3)．故选B．]
3．(多选)(2025·福建三明模拟)已知a是方程ex＋x－4＝0的实根，则下列各数为正数的是(　　)
A．a2－2a　　 B．ea－2
C．ln a D．a2－a3
BC　[令f (x)＝ex＋x－4，x∈R，因为y＝ex与y＝x－4在R上均单调递增，
所以f (x)在R上单调递增，又因为f (1)＝e－3＜0，f (2)＝e2－2＞0，
所以函数y＝f (x)只有一个零点，且位于区间(1，2)，所以a∈(1，2)．
对于A，由二次函数的性质可知当a∈(1，2)时，a2－2a＜0，不符合题意；
对于B，当a∈(1，2)时，ea∈(e，e2)，
所以ea－2＞e－2＞0，符合题意；
对于C，当a∈(1，2)时，由对数函数的性质可知ln a＞0，满足题意；
对于D，当a∈(1，2)时，a2－a3＝a2(1－a)＜0，不符题意．
故选BC．]
4．(多选)(2025·青海模拟)设函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－a恰有2个零点，则实数a的值可能为(　　)
A． B．
C． D．3
AC　[令g(x)＝f (x)－a＝0，得f (x)＝a，
即直线y＝a与y＝f (x)的图象有两个交点，
由题意可知，当x＜1时，f (x)＝2x＋1单调递增，且2x＋1＞1．
当x≥1时，f (x)＝单调递减，
作出f (x)的大致图象，如图所示．
由图可知，当a∈(1，3)时，g(x)＝f (x)－a恰有2个零点．
故选AC．]
课后习题(十五)　函数的零点与方程的解
1．(人教A版必修第一册P144练习T1改编)已知函数f (x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f (a)f (b)<0，则方程f (x)＝0在区间[a，b]上(　　)
A．至少有一实数解
B．至多有一实数解
C．没有实数解
D．必有唯一的实数解
D　[∵f (x)为连续函数，且f (a)f (b)<0，
∴函数f (x)在区间[a，b]上至少有一个零点，
∵函数f (x)在区间[a，b]上单调，∴函数f (x)在区间[a，b]上至多有一个零点，
故函数f (x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f (x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数解．]
2．(北师大版必修第一册P131例1改编)函数f (x)＝x＋log2x的零点所在的区间为(　　)
A． B．
C． D．
B　[f (x)＝x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增，
f ＝＋log2＝－log23<－log22
＝－<0，f ＝＋log2＝－<0，
f ＝＋log2＝－log23＝＝(log232－log227)>0，则函数f (x)＝x＋log2x的零点所在的区间为．]
3．(人教A版必修第一册P143例1改编)函数f (x)＝2x|log2x|－1的零点个数为(　　)
A．0　　 B．1
C．2 D．4
C　[令f (x)＝0，得|log2x|＝，在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝|log2x|与y＝的图象如图所示，由图可知，函数y＝|log2x|与y＝的图象有2个交点，即函数f (x)有2个零点．故选C．]
4．(多选)(人教A版必修第一册P160复习参考题4T4改编)已知函数f (x)＝对于方程f (x)＝k(k<0)，下列说法正确的是(　　)
A．当k<－4时，f (x)＝k有1个解
B．若f (x)＝k有2个解，则k>－3
C．当－4D．f (x)＝k可能有4个解
AC　[作出f (x)的图象与直线y＝k，如图．
由图象可知，
当k<－4时，f (x)＝k有1个解，A正确；
当k＝－4或k>－3时，f (x)＝k有2个解，B错误；
当－4f (x)＝k不可能有4个解，D错误．]
5．(2024·北京学业考试)函数f (x)＝x(x2＋1)的零点为(　　)
A．－1　　 B．0
C．1 D．2
B　[令f (x)＝x(x2＋1)＝0，则x＝0，
即函数f (x)＝x(x2＋1)的零点为0．故选B．]
6．(2024·广州越秀区期末)函数f (x)＝x＋ln x－5的零点所在的一个区间是(　　)
A．(0，1)　　 B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
D　[由题意，x＞0，函数f (x)＝x＋ln x－5在定义域上单调递增，
f (1)＝1＋ln 1－5＝－4＜0，f (2)＝2＋ln 2－5＜2＋ln e－5＝－2＜0，
f (3)＝3＋ln 3－5＜3＋ln e2－5＝0，f (4)＝4＋ln 4－5＞4＋ln e－5＝0，
∴零点所在的一个区间是(3，4)．故选D．]
7．(2025·漯河模拟)函数f (x)＝ln x＋x2＋a，则“a＜－1”是“函数f (x)在(1，e)上存在零点”的(　　)
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
C　[因为f (x)＝ln x＋x2＋a，x＞0，y＝ln x和y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，
所以f (x)＝ln x＋x2＋a在(0，＋∞)上单调递增，
当函数在(1，e)上存在零点时，
则有
解得－1－e2＜a＜－1，
又因为(－1－e2，－1) (－∞，－1)，
所以“a＜－1”是“函数f (x)在(1，e)上存在零点”的必要不充分条件．
故选C．]
8．(2025·渭南模拟)函数f (x)＝3x|log2x|－1的零点个数为(　　)
A．0　　 B．1
C．2 D．3
C　[函数f (x)＝3x|log2x|－1的零点，
即3x|log2x|－1＝0的解，
即|log2x|＝的解，
即y＝|log2x|与y＝图象的交点，如图所示，
从函数图象可知，y＝|log2x|与y＝的图象有2个交点，即函数f (x)的零点个数为2．]
9．(2024·北京通州区期末)已知函数f (x)＝若g(x)＝f (x)－a有3个零点，则a的取值范围为(　　)
A．(－1，0)　　 B．
C． D．∪{－1}
B　[设h(x)＝(x＞0)，则h′(x)＝，
令h′(x)＞0，解得0＜x＜e，令h′(x)＜0，解得x＞e，
所以函数h(x)在(0，e)单调递增，在(e，＋∞)单调递减．
所以h(x)max＝．因为g(x)＝f (x)－a＝0，
所以f (x)＝a有三个根．作出函数y＝f (x)和y＝a的图象如图所示，
所以a的取值范围为．故选B．]
10．(2025·广东模拟)若函数f (x)＝|2x－3|－1－m只有1个零点，则m的取值范围是________．
[2，＋∞)∪{－1}　[由f (x)＝|2x－3|－1－m＝0，得|2x－3|－1＝m．
设函数g(x)＝|2x－3|－1＝
作出g(x)的大致图象，如图所示．
由图可知，m的取值范围是[2，＋∞)∪{－1}．
]
11．(2025·天津红桥区模拟)对实数a和b，定义运算“ ”：a b＝设函数f (x)＝(x2－2) (x－x2)，x∈R，若函数y＝f (x)＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是________．
∪[2，＋∞)　[∵a b＝
∴函数f (x)＝(x2－2) (x－x2)＝
由图可知，当－c∈(－∞，－2]，
即c∈∪[2，＋∞)时，
函数f (x) 与y＝－c的图象有两个公共点，
∴实数c的取值范围是∪[2，＋∞)．]
12．(2025·海南模拟)已知函数f (x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f (x)＝x2－2x．
(1)求出函数f (x)在R上的解析式；
(2)画出函数f (x)的图象，并写出单调区间；
(3)若y＝f (x)的图象与y＝m有3个交点，求实数m的取值范围．
[解]　(1)①由于函数f (x)是定义域为R的奇函数，f (0)＝0；
②当x＜0时，－x＞0，因为f (x)是奇函数，
所以f (－x)＝－f (x)．
所以f (x)＝－f (－x)＝－[(－x)2＋2x]＝－x2－2x，
综上，函数f (x)在R上的解析式为
f (x)＝
(2)图象如图所示，
单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1，1)．
(3)因为方程f (x)＝m有三个不同的解，由图象可知，满足题意的m的取值范围为(－1，1)．
1/1第10课时　函数的零点与方程的解
[考试要求]　1．理解函数的零点与方程的解的联系．2．理解函数零点存在定理，并能简单应用．3．了解用二分法求方程的近似解．
考点一　判定函数零点所在区间
1．函数的零点
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f (x)，我们把使f (x)＝0的___叫做函数y＝f (x)的零点．
(2)三个等价关系
(3)函数零点存在定理
2．二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)f (b)＜0的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
提醒：(1)若连续不断的函数f (x)在定义域上是单调函数，则f (x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f (x)＝0的实根．
(2)由函数y＝f (x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f (a)·f (b)<0，如图所示，所以“f (a)·f (b)<0”是“y＝f (x)在闭区间[a，b]上有零点”的充分不必要条件．
[典例1]　(1)(2025·湖北荆州模拟)若x0是方程的根，则x0属于区间(　　)
A． B．
C． D．
(2)(人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数f (x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)(m∈Z)上，则m＝(　　)
A．－2　　 B．－1
C．0 D．1
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例(1)解决的关键是将方程根所在的区间转化为函数f (x)＝的零点所在区间，利用零点存在定理对所给选项一一验证即可．本例(2)根据“三个等价关系”解答：①f (x)＝e－x－2x－5的零点就是e－x－2x－5＝0的根，即y＝e－x与y＝2x＋5图象的交点；②画出函数y＝e－x＝和y＝2x＋5的图象，初步判断图象交点所在区间(定性)；③利用零点存在定理求m(定量)．
巩固迁移1　(1)(2025·湖南长沙模拟)设函数f (x)＝x－ln x，则函数y＝f (x)(　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
(2)用二分法求函数f (x)＝log3(2x＋4)－在区间(－1，0)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1．(　　)
A．2　　 B．3
C．4 D．5
考点二　确定函数零点个数
函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点；
(2)用零点存在定理再结合函数的单调性确定零点个数；
(3)利用函数图象的交点个数判断．
[典例2]　(1)函数f (x)＝的零点个数为(　　)
A．3　　 B．2
C．1 D．0
(2)函数f (x)＝ln x＋x2－3的零点个数为________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　 在本例(1)中，可根据零点的定义直接计算函数零点，进而得出零点个数；本例(2)中，求函数f (x)＝ln x＋x2－3的零点个数，转化为函数y＝3－x2与y＝ln x图象的交点个数，作出图象后观察其交点个数即可．
巩固迁移2　已知函数f (x)＝则函数g(x)＝f (x)－的零点个数为(　　)
A．0　　 B．1
C．2 D．3
考点三　函数零点的应用
　根据函数零点个数求参数
[典例3]　(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f (x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax．当x∈(－1，1)时，曲线y＝f (x)与y＝g(x)恰有一个交点．则a＝(　　)
A．－1　　 B．
C．1 D．2
反思领悟　本例中，解决的关键是根据偶函数图象的特征判定y＝f (x)与y＝g(x)何时恰有一个交点．若按原函数的关系来研究曲线的交点，问题会很复杂，可将y＝f (x)和y＝g(x)合并后再重新组合，借助偶函数来求解．
巩固迁移3　(2025·济南模拟)已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(1，2]　　 B．(1，2)
C．(0，1) D．[1，＋∞)
　根据函数零点的范围求参数
[典例4]　函数f (x)＝2x－－a的零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．0C．1[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例解题的关键是先判断函数的单调性，再结合零点存在定理，解即得a的取值范围．
巩固迁移4　函数f (x)＝2alog2x＋a·4x＋3在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<－　　 B．a<－
C．－形如y＝f (g(x))的复合函数(称此函数为嵌套函数)零点相关问题综合性较强，难度稍大，主要涉及判断函数零点的个数或范围．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．
[典例]　函数f (x)＝若函数g(x)＝f (f (x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　该类问题考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合思想是解决本类问题的关键．含参数的嵌套函数方程，应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合，如本例由y＝a与y＝f (t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由y＝f (x)与y＝t的图象确定零点的个数．
应用体验　(1)已知函数f (x)＝则方程f (f (x))＝1的实数根的个数为(　　)
A．7　　 B．5
C．3 D．2
(2)已知f (x)＝|3x－1|＋2，若关于x的方程－(2＋a)f (x)＋2a＝0有三个实根，则实数a的取值范围是(　　)
A．12
C．23
1．(人教A版必修第一册P155习题4.5T4改编)函数y＝－ln x的零点所在区间是(　　)
A．(3，4)　　 B．(2，3)
C．(1，2) D．(0，1)
2．(2025·重庆模拟)函数f (x)＝ex＋x－3在区间(0，1)上的零点个数是(　　)
A．0　　 B．1
C．2 D．3
3．已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)　　 B．
C．(1，＋∞) D．(0，1)
4．已知函数f (x)＝g(x)＝f (x)－x＋a，若g(x)存在3个零点，则实数a的取值范围为________．

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