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第2课时　导数与函数的单调性
[考试要求]　1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
考点一　利用导函数的图象研究函数的单调性
函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f (x)在区间(a，b)上可导 f ′(x)>0 f (x)在(a，b)上单调递增
f ′(x)<0 f (x)在(a，b)上单调递减
f ′(x)＝0 f (x)在(a，b)上是常数函数
[典例1]　(1)(湘教版选择性必修第二册P32练习T1改编)导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f (x)的图象可能是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
(2)设函数f (x)在定义域内可导，y＝f (x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)可能为(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
(1)D　(2)D　[(1)由题图可知，当x>0时，f ′(x)>0，当x<0时，f ′(x)<0，所以函数f (x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，D选项符合．
(2)观察函数f (x)的图象得，f (x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上先递增，再递减，后又递增，则当x∈(－∞，0)时，f ′(x)>0，即当x∈(－∞，0)时，函数y＝f ′(x)的图象在x轴上方，于是排除A，C，当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)的值先大于0，接着变为小于0，之后又变为大于0，即当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f ′(x)的图象先在x轴上方，接着变化到x轴下方，最后又变化到x轴上方，于是排除B，选项D相符．]
反思领悟　本例(1)关键是分析导函数图象是在x轴上方还是在x轴下方．在x轴上方(f ′(x)>0)，原函数图象“上升”，在x轴下方(f ′(x)<0)，原函数图象“下降”；本例(2)关键是观察原函数图象是“上升”还是“下降”，产生变化的点，分析函数值的变化趋势．
巩固迁移1　(1)设函数f (x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
(2)(多选)(人教A版选择性必修第二册P89练习T3改编)已知函数y＝f ′(x)的图象如图所示，那么下列关于函数y＝f (x)的判断正确的是(　　)
A．在区间(0，a)上，f (x)为定值
B．函数y＝f (x)在区间(a，b)内单调递增
C．函数y＝f (x)在区间(c，e)内单调递增
D．函数y＝f (x)在区间(b，d)内单调递减
(1)C　(2)BD　[(1)由题干中f (x)的图象知：当x∈(－∞，1)时，f (x)单调递减，f ′(x)<0，当x∈(1，4)时，f (x)单调递增，f ′(x)>0，当x∈(4，＋∞)时，f (x)单调递减，f ′(x)<0，由选项各图知，选项C符合题意，故选C．
(2)由题图知，当00且为定值；当a0，在x∈(b，c)上，f ′(x)<0；当c0，所以当0考点二　不含参数的函数单调性问题
利用导数求函数的单调区间(不含参数)
(1)对于可导函数y＝f (x)，不等式f ′(x)>0的解集(区间)为函数y＝f (x)的单调递增区间；不等式f ′(x)<0的解集(区间)为函数y＝f (x)的单调递减区间．
(2)求函数单调区间的步骤
①求函数的定义域；
②在定义域内解不等式f ′(x)>0或f ′(x)<0；
③将不等式的解集写成区间的形式．
[常用结论]　(1)若函数f (x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f ′(x)≥0恒成立；若函数f (x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f ′(x)≤0恒成立．
(2)若函数f (x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f ′(x)>0有解；若函数f (x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f ′(x)<0有解．
[典例2]　(1)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．f (x)＝sin 2x　　 B．f (x)＝xex
C．f (x)＝x3－x D．f (x)＝－x＋ln x
(2)函数f (x)＝ln x－x的单调递增区间为________．
(1)B　(2)(0，1)　[(1)对于A，f ′(x)＝2cos 2x，f ′＝－1<0，不符合题意；
对于B，f ′(x)＝(x＋1)ex>0，符合题意；
对于C，f ′(x)＝3x2－1，f ′＝－<0，不符合题意；
对于D，f ′(x)＝－1＋，f ′(2)＝－<0，不符合题意．
(2)易知f (x)的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝－1＝，
令f ′(x)>0，得0反思领悟　确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意：一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集符号，要用“逗号”或“和”隔开．
巩固迁移2　(1)函数f (x)＝的单调递减区间为________．
(2)函数f (x)＝的单调递减区间为________．
(1)(－∞，0)和　(2)(1，＋∞)　[(1)∵f (x)＝，
∴f ′(x)＝＝，
令f ′(x)<0，得x<0或x>，
∴函数f (x)的单调递减区间为(－∞，0)和．
(2)因为f (x)的定义域为(0，＋∞)，则f ′(x)＝，
令φ(x)＝－ln x－1，x∈(0，＋∞)，
则φ′(x)＝－<0，
φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，
∴当x∈(0，1)时，φ(x)>0，即f ′(x)>0，
当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，即f ′(x)<0，
∴f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
即函数f (x)的单调递减区间为(1，＋∞)．]
考点三　利用导数讨论或证明函数的单调性
1．函数f (x)在区间D上单调递增(减) x∈D，f ′(x)≥0(≤0)恒成立(f ′(x)不恒为0)．
2．f (x)的单调性对应f ′(x)的正负．
3．利用导数判断单调性的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求出导数f ′(x)的零点；
(3)用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．
提醒：如果函数解析式中含有参数，讨论单调性时，一般要对参数分类讨论，分类的标准是难点和重点，最后按参数取值由小到大的顺序写出总结性的陈述结论．
[典例3]　(2025·山东济宁模拟)已知函数f (x)＝a ln x＋x2－(a＋2)x(a>0)，讨论函数f (x)的单调性．
[解]　因为f (x)＝a ln x＋x2－(a＋2)x(a>0)，该函数的定义域为(0，＋∞)，
所以f ′(x)＝＋2x－(a＋2)＝＝．
因为a>0，由f ′(x)＝0得x＝或x＝1．
①当＝1，即a＝2时，f ′(x)≥0对任意的x>0恒成立，且f ′(x)不恒为零，
此时，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，无单调递减区间；
②当>1，即a>2时，由f ′(x)>0得0；由f ′(x)<0得1此时，函数f (x)在(0，1)，上单调递增，在上单调递减；
③当<1，即00得01；由f ′(x)<0得此时，函数f (x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
综上所述：当a＝2时，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，无单调递减区间；
当a>2时，函数f (x)在(0，1)，上单调递增，在上单调递减；
当0反思领悟　(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．遇二次三项式因式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
巩固迁移3　(经典题)讨论函数f (x)＝x3－x2＋ax＋1的单调性．
[解]　由题意知f (x)的定义域为R，
f ′(x)＝3x2－2x＋a，
对于f ′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a)．
①当a≥时，f ′(x)≥0，f (x)在R上单调递增；
②当a<时，令f ′(x)＝0，
即3x2－2x＋a＝0，
解得x1＝，x2＝，
令f ′(x)>0，则xx2；
令f ′(x)<0，则x1所以f (x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．
综上，当a≥时，f (x)在R上单调递增；
当a<时，f (x)在，
上单调递增，
在上单调递减．
1．f ′(x)是f (x)的导函数，若函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则y＝f (x)的图象可能是(　　)
A　　　　　　B
C　　　　　　D
C　[由y＝f ′(x)的图象可得：在(－∞，b)上，f ′(x)≥0，在(b，＋∞)上，f ′(x)<0，
根据原函数图象与导函数图象的关系可得：y＝f (x)在(－∞，b)上单调递增，在(b，＋∞)上单调递减，可排除A，D，且在x＝0处，f ′(x)＝0，即在x＝0处，y＝f (x)图象的切线的斜率为0，可排除B，故选C．]
2．(人教A版选择性必修第二册P87练习T1(2)改编)函数f (x)＝ex－x的单调递减区间为(　　)
A．(1，＋∞)　　 B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，1)
C　[f ′(x)＝ex－1，令f ′(x)＝ex－1<0 x<0，所以f (x)的单调递减区间为(－∞，0)．]
3．(人教A版选择性必修第二册P89练习T1(2)改编)函数f (x)＝x3－x2－x的单调递增区间为________和________．
[答案]　　(1，＋∞)
4．已知函数f (x)＝ln x－，判断函数f (x)在上的单调性．
[解]　∵f (x)＝ln x－，∴f ′(x)＝－x＝，
∴当x∈时，f ′(x)≥0，函数f (x)单调递增，
当x∈(1，e]时，f ′(x)<0，函数f (x)单调递减．
【教用·备选题】
1．(2025·天津模拟)函数f (x)＝的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，e)　　 B．(0，e)
C． D．(e，＋∞)
B　[函数f (x)＝的导数为f ′(x)＝，
令f ′(x)＞0，可得ln x＜1，解得0＜x＜e，
故函数f (x)＝的单调递增区间是 (0，e)，故选B．]
2．(2025·青岛胶州模拟)函数f (x)＝ln (ex＋1)－，则(　　)
A．f (x)是偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增
B．f (x)是偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减
C．f (x)是奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增
D．f (x)是奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减
A　[∵f (x)＝ln (ex＋1)－，
∴f (－x)＝ln (e－x＋1)＋＝ln ＝ln (ex＋1)－ln ex＋＝ln (ex＋1)－＝f (x)，∴f (x)为偶函数．
∵f ′(x)＝＝，当x∈(0，＋∞)时，ex＋1＞2，
∴＜，
∴f ′(x)＞0，∴f (x)在(0，＋∞)上单调递增．故选A．]
3．(2025·莆田模拟)已知函数f (x)＝x2－(a＋1)x＋a ln x，a∈R．
(1)若a＝1，求f (x)在[1，4]上的值域；
(2)讨论f (x)的单调性．
[解]　(1)当a＝1时，f (x)＝x2－2x＋ln x，
又f ′(x)＝x－2＋＝＝≥0在区间[1，4]上恒成立，当且仅当x＝1时取等号，
所以f (x)＝x2－2x＋ln x在区间[1，4]上单调递增，
得到f (x)在[1，4]上的最小值为f (1)＝－2＝－，最大值为f (4)＝×16－2×4＋ln 4＝2ln 2，
所以f (x)在[1，4]上的值域为．
(2)易知f (x)的定义域为(0，＋∞)，
因为f ′(x)＝x－(a＋1)＋
＝＝，
当a≤0时，x∈(0，1)时，f ′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＞0，
当0＜a＜1时，x∈(a，1)时，f ′(x)＜0，x∈(0，a)∪(1，＋∞)时，f ′(x)＞0，
当a＝1时，f ′(x)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，当且仅当x＝1时取等号，
当a＞1时，x∈(1，a)时，f ′(x)＜0，x∈(0，1)∪(a，＋∞)时，f ′(x)＞0，
综上所述，当a≤0时，f (x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
当0＜a＜1时，f (x)在(a，1)上单调递减，在(0，a)，(1，＋∞)上单调递增；
当a＝1时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＞1时，f (x)在(1，a)上单调递减，在(0，1)，(a，＋∞)上单调递增．
课后习题(十八)　导数与函数的单调性
1．(人教A版选择性必修第二册P103复习参考题5T3改编)f ′(x)是f (x)的导函数，若f ′(x)的图象如图所示，则f (x)的图象可能是(　　)
　
A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
C　[由f ′(x)的图象知，
当x∈(－∞，0)时，f ′(x)>0，
∴f (x)单调递增；
当x∈(0，x1)时，f ′(x)<0，∴f (x)单调递减；
当x∈(x1，＋∞)时，f ′(x)>0，
∴f (x)单调递增．故选C．]
2．(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)函数f (x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　)
A．先增后减　　　　　　　 B．先减后增
C．单调递增 D．单调递减
D　[因为f ′(x)＝－sin x－1＜0在(0，π)上恒成立，所以f (x)在(0，π)上单调递减，故选D．]
3．(人教B版选择性必修第三册P95练习BT3改编)已知函数f (x)＝则f (x)的单调递减区间为________．
(－∞，1)(或(－∞，1])　[当x<0时，f (x)＝－x－2，则f (x)在(－∞，0)上单调递减．当x≥0时，f (x)＝(x－2)ex，则f ′(x)＝ex＋(x－2)ex＝(x－1)ex，当0≤x<1时，f ′(x)<0，f (x)在[0，1)上单调递减．又(0－2)e0＝－2，所以f (x)的单调递减区间为(－∞，1)(或(－∞，1])．]
4．(人教A版选择性必修第二册P89练习T2改编)已知函数f (x)＝ln x＋e1-x－1，证明f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
[证明]　由题意知，f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝－e1-x＝．
令g(x)＝ex-1－x(x>0)，则g′(x)＝ex-1－1，
由g′(x)＝0，可得x＝1．
∴当x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
∴当x＝1时，g(x)min＝g(1)＝0，即g(x)≥0，
∴f ′(x)≥0，
则f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
5．(2025·保定模拟)函数f (x)＝ex－ex的单调递减区间为(　　)
A．(1，＋∞)　　 B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，1)
A　[f ′(x)＝e－ex，令f ′(x)＜0，解得x＞1，
所以f (x)的单调递减区间为(1，＋∞)．
故选A．]
6．(多选)(2025·石家庄裕华区模拟)已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的部分图象如图所示，设函数g(x)＝e－xf (x)，则下列命题正确的是(　　)
A．函数f (x)先减后增再减
B．函数f (x)先增后减
C．函数g(x)在区间(a，b)上单调递减
D．函数g(x)在区间(a，b)上单调递增
AD　[对于A，B，由题意可得，f (x)与f ′(x)对应的图象如图所示，
法一：直接观察f (x)的图象可以得出函数f (x)先减后增再减；
法二：由f ′(x)图象可得，f ′(x)的正负变化，从左至右分别为负、正、负，
所以可以判断原函数f (x)的单调性为先减后增再减，故A正确，B错误；
对于C，D，因为g(x)＝e－xf (x)＝，
所以g′(x)＝＝，
由图可得，在区间(a，b)上，f ′(x)图象在f (x)图象上方，即f ′(x)＞f (x)，
所以g′(x)＞0，所以函数g(x)在区间(a，b)上单调递增，故C错误，D正确．
故选AD．]
7．(多选)(2025·重庆沙坪坝区模拟)下列函数在定义域上为增函数的是(　　)
A．f (x)＝x ln x　　 B．f (x)＝ln x＋x
C．f (x)＝x－cos x D．f (x)＝x2ex
BC　[对于A，f (x)＝x ln x的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1，令f ′(x)＝0得x＝，
所以在上，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
在上，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，故A错误；
对于B，f (x)＝ln x＋x的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝＋1＝＞0，
f (x)在(0，＋∞)上单调递增，故B正确；
对于C，f (x)＝x－cos x的定义域为R，f ′(x)＝1－(－sin x)＝1＋sin x，
因为x∈R，所以sin x∈[－1，1]，所以1＋sin x∈[0，2]，
所以当x∈R时，f ′(x)≥0，f (x)单调递增，故C正确；
对于D，f (x)＝x2ex的定义域为R，f ′(x)＝x2ex＋2xex＝(x＋2)xex，
令f ′(x)＝0，得x＝－2或0，所以在(－∞，－2)上，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，
在(－2，0)上，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
在(0，＋∞)上，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，故D错误．故选BC．]
8．(2024·广州三模)若函数f (x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，1]　　　　　　　 B．(－∞，1)
C．(－∞，2] D．(－∞，2)
C　[f ′(x)＝6x2－6mx＋6，由已知条件知x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0恒成立．设g(x)＝6x2－6mx＋6，则g(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立．
即m≤x＋在(1，＋∞)上恒成立，
设h(x)＝x＋，则h(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴h(x)>2，从而m≤2，故选C．]
9．(2025·清远模拟)函数f (x)＝ex－ex＋2 024的单调递减区间为________．
(－∞，1)　[易知函数f (x)的定义域为R，可得f ′(x)＝ex－e，令f ′(x)＜0，
解得x＜1，则函数f (x)的单调递减区间为(－∞，1)．]
10．(2025·山东济南模拟)已知函数f (x)＝x－2f ′(1)ln (x＋1)－f (0)ex，则f (x)的单调递减区间为________．
(－1，0)　[由题意可知x>－1，
f (0)＝0－2f ′(1)ln (0＋1)－f (0)e0＝－f (0)，
所以f (0)＝0，故f (x)＝x－2f ′(1)ln (x＋1)，
f ′(x)＝1－，
所以f ′(1)＝1－，解得f ′(1)＝，
故f ′(x)＝1－＝，
令f ′(x)<0，即<0，解得－1故f (x)的单调递减区间为(－1，0)．]
11．(2025·北京东城区模拟)设函数f (x)＝aex＋x，其中a∈R．曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为y＝－x＋b．
(1)求a，b的值；
(2)求f (x)的单调区间．
[解]　(1)∵函数f (x)＝aex＋x，∴f ′(x)＝aex＋1，
∵曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为y＝－x＋b，
∴解得a＝－2，b＝－2．
(2)由(1)可得f ′(x)＝－2ex＋1＝－2，
∴当x＞－ln 2时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
当x＜－ln 2时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增．
故函数f (x)的单调递增区间为(－∞，－ln 2)，单调递减区间为(－ln 2，＋∞)．
12．(2025·青岛模拟)已知函数f (x)＝x2－a ln x．
(1)若函数f (x)的图象在点P(1，f (1))处的切线l过坐标原点，求实数a的值；
(2)讨论函数f (x)的单调性．
[解]　(1)由f ′(x)＝2x－，有f ′(1)＝2－a，f (1)＝1，
可得曲线y＝f (x)在点P处的切线方程为y－1＝(2－a)(x－1)，
整理为y＝(2－a)x＋a－1，将(0，0)代入，有0＝a－1，可得a＝1，
故实数a的值为1．
(2)由f ′(x)＝2x－＝，x＞0．
①当a≤0时，f ′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，可得函数f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)，没有单调递减区间；
②当a＞0时，令f ′(x)＞0，可得x>，
令f ′(x)<0，可得0故函数f (x)的单调递减区间为，单调递增区间为．
综上可知，当a≤0时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＞0时，f (x)在上单调递减，在上单调递增．
1/1第2课时　导数与函数的单调性
[考试要求]　1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
考点一　利用导函数的图象研究函数的单调性
函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f (x)在区间(a，b)上可导 f ′(x)>0 f (x)在(a，b)上________
f ′(x)<0 f (x)在(a，b)上________
f ′(x)＝0 f (x)在(a，b)上是________
[典例1]　(1)(湘教版选择性必修第二册P32练习T1改编)导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f (x)的图象可能是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
(2)设函数f (x)在定义域内可导，y＝f (x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)可能为(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例(1)关键是分析导函数图象是在x轴上方还是在x轴下方．在x轴上方(f ′(x)>0)，原函数图象“上升”，在x轴下方(f ′(x)<0)，原函数图象“下降”；本例(2)关键是观察原函数图象是“上升”还是“下降”，产生变化的点，分析函数值的变化趋势．
巩固迁移1　(1)设函数f (x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
(2)(多选)(人教A版选择性必修第二册P89练习T3改编)已知函数y＝f ′(x)的图象如图所示，那么下列关于函数y＝f (x)的判断正确的是(　　)
A．在区间(0，a)上，f (x)为定值
B．函数y＝f (x)在区间(a，b)内单调递增
C．函数y＝f (x)在区间(c，e)内单调递增
D．函数y＝f (x)在区间(b，d)内单调递减
考点二　不含参数的函数单调性问题
利用导数求函数的单调区间(不含参数)
(1)对于可导函数y＝f (x)，不等式f ′(x)>0的解集(区间)为函数y＝f (x)的单调____区间；不等式f ′(x)<0的解集(区间)为函数y＝f (x)的单调____区间．
(2)求函数单调区间的步骤
①求函数的定义域；
②在定义域内解不等式f ′(x)>0或f ′(x)<0；
③将不等式的解集写成区间的形式．
[常用结论]　(1)若函数f (x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f ′(x)≥0恒成立；若函数f (x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f ′(x)≤0恒成立．
(2)若函数f (x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f ′(x)>0有解；若函数f (x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f ′(x)<0有解．
[典例2]　(1)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．f (x)＝sin 2x　　 B．f (x)＝xex
C．f (x)＝x3－x D．f (x)＝－x＋ln x
(2)函数f (x)＝ln x－x的单调递增区间为________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意：一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集符号，要用“逗号”或“和”隔开．
巩固迁移2　(1)函数f (x)＝的单调递减区间为________．
(2)函数f (x)＝的单调递减区间为________．
考点三　利用导数讨论或证明函数的单调性
1．函数f (x)在区间D上单调递增(减) x∈D，f ′(x)≥0(≤0)恒成立(f ′(x)不恒为0)．
2．f (x)的单调性对应f ′(x)的正负．
3．利用导数判断单调性的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求出导数f ′(x)的零点；
(3)用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．
提醒：如果函数解析式中含有参数，讨论单调性时，一般要对参数分类讨论，分类的标准是难点和重点，最后按参数取值由小到大的顺序写出总结性的陈述结论．
[典例3]　(2025·山东济宁模拟)已知函数f (x)＝a ln x＋x2－(a＋2)x(a>0)，讨论函数f (x)的单调性．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．遇二次三项式因式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
巩固迁移3　(经典题)讨论函数f (x)＝x3－x2＋ax＋1的单调性．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．f ′(x)是f (x)的导函数，若函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则y＝f (x)的图象可能是(　　)
A　　　　　　B
C　　　　　　D
2．(人教A版选择性必修第二册P87练习T1(2)改编)函数f (x)＝ex－x的单调递减区间为(　　)
A．(1，＋∞)　　 B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，1)
3．(人教A版选择性必修第二册P89练习T1(2)改编)函数f (x)＝x3－x2－x的单调递增区间为________和________．
4．已知函数f (x)＝ln x－，判断函数f (x)在上的单调性．
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