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第4课时　平面向量的应用
[考试要求]　1．能用平面向量的知识解决一些平面几何问题和实际问题．2．能用平面向量的知识解决和向量有关的范围、最值问题．
考点一　平面向量在平面几何中的应用
平面几何中的向量方法
(1)用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
[典例1]　(1)在△ABC中，AC＝9，A＝60°，D点满足＝2，AD＝，则BC的长为(　　)
A．3 B．3
C．3 D．6
(2)在四边形ABCD中，＝＝(3，)，且满足＝，则||等于(　　)
A．2 B．6
C． D．2
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．
巩固迁移1　已知P为△ABC所在平面内一点，＋2＋2＝0，||＝4，||＝||＝3，则△ABC的面积等于(　　)
A．4 B．8
C．4 D．8
考点二　与向量有关的最值(范围)问题
　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
[典例2]　(2024·成都市青羊区期末)如图，在△ABC中，＝，P是线段BN上一点，若＝m＋n，则mn的最大值为________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例求解的关键是利用平面向量基本定理和共线定理得到m＋4n＝1，且m>0，n>0，再结合基本不等式即可求得最值．
　与数量积有关的最值(范围)问题
[典例3]　(2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝________；若F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则的最小值为________．
[阅读与思考]　法一：因为CE＝DE，即＝，则＝＝，
可得λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝．
由题意可知，||＝||＝1，＝0，
因为F为线段BE上的动点，设＝k＝k＋k，k∈[0，1]，
则＝＝＋k＝＋k，
又因为G为AF的中点，则＝＝－＝，
可得＝
＝＋k＝－，
又因为k∈[0，1]，可知当k＝1时，取到最小值－．
法二：以B为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．
则A(－1，0)，B(0，0)，C(0，1)，D(－1，1)，E，
可得＝(－1，0)，＝(0，1)，＝，
因为＝λ＋μ＝(－λ，μ)，
则所以λ＋μ＝．
因为点F在线段BE：y＝－3x，x∈上，设 F (a，－3a)，a∈，
且G为AF的中点，则G，
可得＝(a＋1，－3a)，＝，
则＝＋(－3a)＝5－，且a∈，
所以当a＝－时，取到最小值为－．
反思领悟　本例解法一是“形化”，即以{}为基底，根据向量的线性运算求，即可得λ＋μ；由F为线段BE上的动点(B，E，F共线)，设＝k，求，将问题转化为二次函数的最值来解决；本例解法二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算求，即可得λ＋μ，设F (a，－3a)，a∈，求，把问题转化为求函数的最值．
考点三　平面向量的实际应用
[典例4]　冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力F＝(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(－1，－1)移动到点B(1，－1)，则F对冰球所做的功为(　　)
A．－18 B．18
C．－12 D．12
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　用平面向量方法解决物理问题的步骤
巩固迁移2　(人教A版必修第二册P40例3改编)如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2．已知|F1|＝80 N，则G的大小为________N，F2的大小为________N．
1．在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则四边形ABCD的面积S等于(　　)
A． B．5
C．10 D．20
2．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是(　　)
A．(－2，6) B．(－6，2)
C．(－2，4) D．(－4，6)
3．(2025·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平方向的夹角均为45°，|F1|＝|F2|＝10 N，则物体的重力大小为________N．
1/1第4课时　平面向量的应用
[考试要求]　1．能用平面向量的知识解决一些平面几何问题和实际问题．2．能用平面向量的知识解决和向量有关的范围、最值问题．
考点一　平面向量在平面几何中的应用
平面几何中的向量方法
(1)用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
[典例1]　(1)在△ABC中，AC＝9，A＝60°，D点满足＝2，AD＝，则BC的长为(　　)
A．3 B．3
C．3 D．6
(2)在四边形ABCD中，＝＝(3，)，且满足＝，则||等于(　　)
A．2 B．6
C． D．2
(1)A　(2)D　[(1)因为＝2，
所以＝
＝
＝)
＝．
设AB＝x，则＝，
得37＝x2＋×x×9cos 60°＋×92，
即2x2＋9x－126＝0，
因为x>0，故解得x＝6(负值舍去)，即AB＝6，
所以||＝||
＝
＝＝3．
(2)由＝＝(3，)，
得四边形ABCD为平行四边形，
设m，n，p都是单位向量且m＋n＝p，
则(m＋n)2＝p2，即1＋2m·n＋1＝1，
则m·n＝－ cos 〈m，n〉＝－，
所以〈m，n〉＝120°，
因此由＝知∠BAD＝120°，且AC是∠BAD的平分线，因此四边形ABCD是菱形，
而||＝2，
所以||＝||＝2．
故选D．]
反思领悟　用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．
巩固迁移1　已知P为△ABC所在平面内一点，＋2＋2＝0，||＝4，||＝||＝3，则△ABC的面积等于(　　)
A．4 B．8
C．4 D．8
D　[因为||＝||＝3，所以P点位于线段BC的垂直平分线上，设线段BC的中点为D，
由＋2＋2＝0得，＝－2()＝－4＝4，
所以AB⊥BC，||＝1，如图所示，
所以BC＝2BD＝2＝4，
所以S△ABC＝BC·AB＝×4×4＝8．故选D．]
考点二　与向量有关的最值(范围)问题
　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
[典例2]　(2024·成都市青羊区期末)如图，在△ABC中，＝，P是线段BN上一点，若＝m＋n，则mn的最大值为________．
　[在△ABC中，＝，P是线段BN上一点，
则＝λ＋(1－λ)＝λ(1－λ)，又＝m＋n，
则即m＋4n＝1，则mn＝m·4n≤(m＋4n)2＝，
当且仅当m＝4n＝时取等号，则mn的最大值为．]
反思领悟　本例求解的关键是利用平面向量基本定理和共线定理得到m＋4n＝1，且m>0，n>0，再结合基本不等式即可求得最值．
　与数量积有关的最值(范围)问题
[典例3]　(2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝________；若F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则的最小值为________．
[阅读与思考]　法一：因为CE＝DE，即＝，则＝＝，
可得λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝．
由题意可知，||＝||＝1，＝0，
因为F为线段BE上的动点，设＝k＝k＋k，k∈[0，1]，
则＝＝＋k＝＋k，
又因为G为AF的中点，则＝＝－＝，
可得＝
＝＋k＝－，
又因为k∈[0，1]，可知当k＝1时，取到最小值－．
法二：以B为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．
则A(－1，0)，B(0，0)，C(0，1)，D(－1，1)，E，
可得＝(－1，0)，＝(0，1)，＝，
因为＝λ＋μ＝(－λ，μ)，
则所以λ＋μ＝．
因为点F在线段BE：y＝－3x，x∈上，设 F (a，－3a)，a∈，
且G为AF的中点，则G，
可得＝(a＋1，－3a)，＝，
则＝＋(－3a)＝5－，且a∈，
所以当a＝－时，取到最小值为－．
反思领悟　本例解法一是“形化”，即以{}为基底，根据向量的线性运算求，即可得λ＋μ；由F为线段BE上的动点(B，E，F共线)，设＝k，求，将问题转化为二次函数的最值来解决；本例解法二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算求，即可得λ＋μ，设F (a，－3a)，a∈，求，把问题转化为求函数的最值．
考点三　平面向量的实际应用
[典例4]　冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力F＝(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(－1，－1)移动到点B(1，－1)，则F对冰球所做的功为(　　)
A．－18 B．18
C．－12 D．12
D　[因为A(－1，－1)，B(1，－1)，所以＝(2，0)，
又因为F＝(6，24)，所以F对冰球所做的功为W＝F·＝2×6＋0×24＝12．故选D．]
链接·2025高考试题 (2025·全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速．视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反．如表中给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为(　　) 级数名称风速大小(单位：m/s)2轻风1.6～3.33微风3.4～5.44和风5.5～7.95劲风8.0～10.7
A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 A　[真风风速对应的向量＝视风风速对应的向量－船行风风速对应的向量＝视风风速对应的向量＋船速对应的向量＝，如图，||＝2∈(1.6，3.3)，故选A. ]
反思领悟　用平面向量方法解决物理问题的步骤
巩固迁移2　(人教A版必修第二册P40例3改编)如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2．已知|F1|＝80 N，则G的大小为________N，F2的大小为________N．
160　80　[根据题意，F1＋F2＝－G，如图所示．∠CAO＝90°，∠AOC＝30°，AC＝80，∴OC＝160，OA＝80，
∴G的大小为160 N，F2的大小为80 N．
1．在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则四边形ABCD的面积S等于(　　)
A． B．5
C．10 D．20
B　[因为＝(1，2)，＝(－4，2)，
所以＝1×(－4)＋2×2＝0，
则AC⊥BD，
又||＝＝，
||＝＝2，
所以四边形ABCD的面积
S＝||||＝×2＝5．]
2．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是(　　)
A．(－2，6) B．(－6，2)
C．(－2，4) D．(－4，6)
A　[如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(2，0)，C(3，)，F (－1，)．
设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(2，0)，且－1所以＝(x，y)·(2，0)＝2x∈(－2，6)．]
3．(2025·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平方向的夹角均为45°，|F1|＝|F2|＝10 N，则物体的重力大小为________N．
20　[如图所示，∵|F1|＝|F2|＝10 N，
∴|F1＋F2|＝10＝20 N，
∴物体的重力大小为20 N．]
【教用·备选题】
1．(2024·白山市期末)如图，已知A(－1，0)，B(1，0)，C(0，2)，D，E两点分别满足＝λ＝μ，其中λ>0，μ>－，且＝－4，则λ＋2μ的最小值为(　　)
A．－2 B．1
C．2 D．2
B　[因为＝(2，0)，＝(－1，2)，＝(－1，－2)，
所以＝λ＝(－λ，2λ)，＝＝＋μ＝(2μ－1，－2)，
所以＝－λ(2μ－1)－4λ＝－4，
即λ(2μ＋3)＝4，
又λ＞0，μ>－，所以λ＋2μ＝λ＋2μ＋3－3≥2－3＝1，
当且仅当λ＝2，μ＝－时取等号，即λ＋2μ的最小值为1．故选B．]
2．(2024·通化期末)《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形ABCDEFGH的边长为4，点P是正八边形ABCDEFGH的内部(包含边界)任一点，则的取值范围是(　　)
A．[－8，16＋8]
B．[－16－8，8]
C．[－16－8，16＋8]
D．[－8，8]
B　[延长BA，GH交于点M，延长AB，DC交于点N，
根据正八边形的特征，可知AM＝BN＝2，
因为＝，
所以＝，
所以()max＝＝8，
()min＝＝－16－8，则的取值范围是[－16－8，8]．故选B．]
课后习题(三十五)　平面向量的应用
1．(人教A版必修第二册P52习题6.4T1改编)若O为△ABC所在平面内任一点，满足()·(－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
A　[∵()·(－2)＝0，
∴·()＝0，
∴⊥()，
∴△ABC的边BC上的中线和边BC垂直，
∴△ABC是等腰三角形．故选A．]
2．(湘教版必修第二册P56例4改编)一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为(　　)
A．6 N B．2 N
C．2 N D．2 N
D　[由题意，知F1＋F2＋F3＝0，即F3＝－(F1＋F2)，所以＝(F1＋F2)2＝＋2F1·F2＝4＋16＋16cos 60°＝28，即|F3|＝2 N．故选D．]
3．(北师大版必修第二册P136复习题二A组T11改编)体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重(单位：kg)约为________．(保留一位小数)(参考数据：取重力加速度大小为g＝10 m/s2，≈1.732)
69．3 kg　[设该学生的体重为m，所受重力为G，两只胳膊的拉力分别为F1，F2，则|G|＝mg，－G＝F1＋F2，|F1|＝|F2|＝400 N，
所以|G|2＝|F1＋F2|2＝4002＋4002＋2×400×400×cos 60°＝3×4002，
所以|G|＝400 N，又g＝10 m/s2，≈1.732，
所以m≈69.3 kg．]
4．(2025·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10 km/h，水流速度的大小为|ν2|＝6 km/h．设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A′在码头A的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应(　　)
A．在A′东侧 B．在A′西侧
C．恰好与A′重合 D．无法确定
A　[建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可得ν1＝(－5，5)，ν2＝(6，0)，
所以ν1＋ν2＝(1，5)，
说明游船有x轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A′东侧．]
5．(2025·北京模拟)若O为△ABC所在平面内一点，且满足||＝|－2|，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
B　[在△ABC中，||＝|－2|，
即||＝|()＋()|，
即||＝||，
所以()2＝()2，
即||2－2＋||2
＝||2＋2＋||2，
得4＝0．
因为与均为非零向量，
则⊥，
即∠BAC＝90°，
所以△ABC是直角三角形．]
6．(2024·安阳市文峰区月考)如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设＝x＝y，则x＋4y的最小值为(　　)
A．9 B．4
C．3 D．
C　[因为点G是△ABC的重心，且＝x＝y(x＞0，y＞0)，
所以＝＝，所以＝)＝，
因为G，M，N三点共线，所以＝1，
所以x＋4y＝(x＋4y)＝＋2＝3，
当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立．故选C．]
7．(2024·海口市琼山区期末)一帆船要从A处驶向正东方向200海里的B处，当时有自西北方向吹来的风，风速为15海里/小时，如果帆船计划5小时到达目的地，则船速的大小应为(　　)
A．5海里/小时 B．6海里/小时
C．7海里/小时 D．8海里/小时
A　[如图所示，风速的方向为的方向，帆船的行驶方向为的方向，
帆船的实际行驶方向为的方向．
则||＝200，||＝5×15＝75，∠BAF＝45°，
∴||2＝||2＋||2－2·||·||·cos ∠BAF
＝(75)2＋2002－2×75×200×cos 45°＝252×34，
∴||＝||＝25，又25÷5＝5，
∴船速的大小应为5海里/小时．
故选A．]
8．(2024·咸阳市秦都区月考)在△ABC中，＝，E是线段AD上的动点(与端点不重合)，设＝x＋y，则的最小值是_________．
16　[因为＝，所以＝，
因为＝x＋y，所以＝xy，
因为A，D，E三点共线，则x＋＝1，x＞0，y＞0，
则＝＝＝＋10≥2＋10＝16，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值是16．]
9．(2024·宁波市奉化区期末)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2AD＝2DC＝4，F是BC边上的中点．
(1)若点E满足＝2，且＝λ＋μ，求λ＋μ的值；
(2)若点P是线段AF上的动点(含端点)，求的取值范围．
[解]　(1)因为F是BC边上的中点，点E满足＝2，
所以＝＝＝＝，
因为＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝－，
所以λ＋μ＝－．
(2)以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，
则F (3，1)，D(0，2)，设＝t，t∈[0，1]，
则＝t·(3，1)＝(3t，t)，＝＝(3t，t－2)，
所以＝(3t，t)·(3t，t－2)＝10t2－2t＝－，t∈[0，1]，
当t＝时，取得最小值－；当t＝1时，取得最大值8，
所以∈．
1/1

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