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第5课时　复数
[考试要求]　1．通过方程的解，认识复数．2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．3．掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
考点一　复数的有关概念
内容 备注
复数的 概念 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部为__，虚部为__ 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数 相等 a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭 复数 a＋bi与c＋di共轭 ________________(a，b，c，d∈R)
复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，____叫做实轴，____叫做虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数 的模 设对应的复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则向量的模叫做复数z＝a＋bi的模 |z|＝|a＋bi|＝
[典例1]　(1)(多选)(2025·银川模拟)若复数z满足z(1－2i)＝10，则(　　)
A．＝2－4i
B．z－2是纯虚数
C．复数z在复平面内对应的点在第三象限
D．若角α的始边为x轴非负半轴，复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin α＝
(2)(2025·八省联考)|2－4i|＝(　　)
A．2 B．4
C．2 D．6
(3)(2025·诸暨模拟)已知a，b，c∈R，i是虚数单位，若＝ci，则(　　)
A．a＝b B．a＝
C．a＝－b D．a＝－
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
巩固迁移1　(1)(2024·新高考Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　)
A．0 B．1
C． D．2
(2)若复数z＝的实部与虚部相等，则实数a的值为(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
(3)已知复数z满足|z|＝|z－1|＝1，且复数z在复平面内对应的点在第一象限，则下列结论正确的是(　　)
A．复数z的虚部为－
B．z＝i
C．z2＝z＋1
D．复数z的共轭复数为i
考点二　复数的四则运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝________________________；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝________________________；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝________________________________；
(4)除法：＝＝＝(c＋di≠0)．
[常用结论]
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i．
(2)i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i(n∈N*)．
(3)i4n＋i4n+1＋i4n+2＋i4n+3＝0(n∈N*)．
(4)复数的模与共轭复数的关系：z·＝|z|2＝．
[典例2]　(1)(2024·北京卷)若复数z满足＝－1－i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　　)
A．－i B．i
C．0 D．1
(3)(2024·天津卷)已知i是虚数单位，复数(＋i)·(－2i)＝________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例(1)，(3)复数乘法，类似于多项式的乘法运算；本例(2)复数除法关键是分子分母同乘分母的共轭复数的一半1－i．
巩固迁移2　(1)(2024·全国甲卷)设z＝5＋i，则i(＋z)＝(　　)
A．10i B．2i
C．10 D．－2
(2)(2023·全国乙卷)设z＝，则＝(　　)
A．1－2i B．1＋2i
C．2－i D．2＋i
(3)(多选)下列关于非零复数z1，z2的结论，正确的是(　　)
A．若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2∈R
B．若z1·z2∈R，则z1，z2互为共轭复数
C．若z1，z2互为共轭复数，则＝1
D．若＝1，则z1，z2互为共轭复数
考点三　复数的几何意义
1．几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＝．
2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
3．复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量．
[常用结论]　复数z的方程(或不等式)在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
　复数与点的关系
[典例3]　(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例关键是利用复数乘法运算求得6＋8i，再利用复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)“化虚为实”得解．
巩固迁移3　复数z＝(其中i为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点在(　　)
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
　复数模的几何意义
[典例4]　(2024·云南昆明二模)已知i为虚数单位，复数z满足|z－1|＝|z＋i|，则|z－i|的最小值为(　　)
A． B．
C． D．0
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此把复数、向量与解析几何联系在一起，运用数形结合的方法，使问题解决更加直观．本例解法一数形结合，形象直观，本例解法二利用代数法，思路清晰，但计算繁杂．
巩固迁移4　(多选)(人教A版必修第二册P81习题7.2T9改编)已知复数z满足|z－1＋i|＝3，则(　　)
A．复数z虚部的最大值为2
B．复数z实部的取值范围是[－2，4]
C．|z＋1＋i|的最小值为1
D．复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限
1．若复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则的实部为(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
2．已知i为虚数单位，复数z＝，则z的虚部为(　　)
A．0 B．－1
C．－i D．1
3．在复平面内，复数z＝1－i对应的向量为，复数z2对应的向量为，那么向量对应的复数为(　　)
A．1－i B．1＋i
C．－1＋i D．－1－i
4．i是虚数单位，复数＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1/1第5课时　复数
[考试要求]　1．通过方程的解，认识复数．2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．3．掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
考点一　复数的有关概念
内容 备注
复数的 概念 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部为a，虚部为b 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数 相等 a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭 复数 a＋bi与c＋di共轭 a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数 的模 设对应的复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则向量的模叫做复数z＝a＋bi的模 |z|＝|a＋bi|＝
[典例1]　(1)(多选)(2025·银川模拟)若复数z满足z(1－2i)＝10，则(　　)
A．＝2－4i
B．z－2是纯虚数
C．复数z在复平面内对应的点在第三象限
D．若角α的始边为x轴非负半轴，复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin α＝
(2)(2025·八省联考)|2－4i|＝(　　)
A．2 B．4
C．2 D．6
(3)(2025·诸暨模拟)已知a，b，c∈R，i是虚数单位，若＝ci，则(　　)
A．a＝b B．a＝
C．a＝－b D．a＝－
(1)AB　(2)C　(3)C　[(1)对于A，z＝＝＝2＋4i，∴＝2－4i，故A正确；
对于B，z－2＝2＋4i－2＝4i，为纯虚数，故B正确；
对于C，z＝2＋4i，其在复平面内对应的点为(2，4)，在第一象限，故C错误；
对于D，复数z在复平面内对应的点为(2，4)，
则sin α＝＝，故D错误．故选AB．
(2)|2－4i|＝＝2．故选C．
(3)由题意得1＋ai＝ci(b＋i)＝－c＋bci，
则则a＝－b，故选C．]
链接·2025高考试题
(2025·全国一卷) (1＋5i)i的虚部为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．6
C　[(1＋5i)i＝－5＋i，其虚部为1.故选C.]
反思领悟　解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
巩固迁移1　(1)(2024·新高考Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　)
A．0 B．1
C． D．2
(2)若复数z＝的实部与虚部相等，则实数a的值为(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
(3)已知复数z满足|z|＝|z－1|＝1，且复数z在复平面内对应的点在第一象限，则下列结论正确的是(　　)
A．复数z的虚部为－
B．z＝i
C．z2＝z＋1
D．复数z的共轭复数为i
(1)C　(2)A　(3)D　[(1)因为z＝－1－i，则|z|＝＝．故选C．
(2)z＝＝＝，
因为复数z＝的实部与虚部相等，
所以2a＋1＝a－2，解得a＝－3，
故实数a的值为－3．故选A．
(3)设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
因为|z|＝|z－1|＝1，且复数z在复平面内对应的点在第一象限，
所以解得
即z＝i．
对于A，复数z的虚部为，故A错误；
对于B，z＝i，故B错误；
对于C，因为z2＝＝－i≠z＋1，故C错误；
对于D，复数z的共轭复数为i，故D正确．故选D．]
考点二　复数的四则运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：＝＝
＝(c＋di≠0)．
[常用结论]
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i．
(2)i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i(n∈N*)．
(3)i4n＋i4n+1＋i4n+2＋i4n+3＝0(n∈N*)．
(4)复数的模与共轭复数的关系：z·＝|z|2＝．
[典例2]　(1)(2024·北京卷)若复数z满足＝－1－i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　　)
A．－i B．i
C．0 D．1
(3)(2024·天津卷)已知i是虚数单位，复数(＋i)·(－2i)＝________．
(1)C　(2)A　(3)7－i　[(1)由题意得，z＝i(－1－i)＝1－i．
(2)因为z＝＝＝－i，所以＝－i－i＝－i．故选A．
(3)(＋i)·(－2i)＝5＋i－2i＋2＝7－i．
链接·2025高考试题
(2025·全国二卷)已知z＝1＋i，则＝(　　)
A．－i B．i
C．－1 D．1
A　[＝＝－i，故选A.]
反思领悟　本例(1)，(3)复数乘法，类似于多项式的乘法运算；本例(2)复数除法关键是分子分母同乘分母的共轭复数的一半1－i．
巩固迁移2　(1)(2024·全国甲卷)设z＝5＋i，则i(＋z)＝(　　)
A．10i B．2i
C．10 D．－2
(2)(2023·全国乙卷)设z＝，则＝(　　)
A．1－2i B．1＋2i
C．2－i D．2＋i
(3)(多选)下列关于非零复数z1，z2的结论，正确的是(　　)
A．若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2∈R
B．若z1·z2∈R，则z1，z2互为共轭复数
C．若z1，z2互为共轭复数，则＝1
D．若＝1，则z1，z2互为共轭复数
(1)A　(2)B　(3)AC　[(1)由z＝5＋i ＋z)＝10i．
故选A．
(2)z＝＝＝＝1－2i，
所以＝1＋2i，故选B．
(3)设z1＝a＋bi(a，b∈R)，
由z1，z2互为共轭复数，得z2＝a－bi，
则z1·z2＝a2＋b2∈R，故A正确；
当z1＝2＋2i，z2＝1－i时，
z1·z2＝4∈R，
此时z1，z2不是共轭复数，故B错误；
由z1，z2互为共轭复数，得|z1|＝|z2|，
又z2≠0，从而＝1，
即＝1，故C正确；
当z1＝2＋i，z2＝1－2i时，
|z1|＝|z2|，即＝1，此时z1，z2不是共轭复数，故D错误．故选AC．]
考点三　复数的几何意义
1．几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＝．
2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
3．复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量．
[常用结论]　复数z的方程(或不等式)在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
　复数与点的关系
[典例3]　(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A　[因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A．]
反思领悟　本例关键是利用复数乘法运算求得6＋8i，再利用复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)“化虚为实”得解．
巩固迁移3　复数z＝(其中i为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点在(　　)
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
A　[z＝＝＝＝i，
故在复平面内对应的点在第四象限．故选A．]
　复数模的几何意义
[典例4]　(2024·云南昆明二模)已知i为虚数单位，复数z满足|z－1|＝|z＋i|，则|z－i|的最小值为(　　)
A． B．
C． D．0
A　[法一：由|z－1|＝|z＋i|知，复数z在复平面内对应的点Z在以A(1，0)，B(0，－1)为端点的线段的垂直平分线上，即y＝－x上，
如图所示．
|z－i|表示复数z在复平面内对应的点Z到点C(0，1)的距离，所以|z－i|的最小值为点C到直线y＝－x的距离．
由点到直线的距离公式得
|z－i|min＝＝，故选A．
法二：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为|z－1|＝|z＋i|，所以(x－1)2＋y2＝x2＋(y＋1)2，即y＝－x，
所以|z－i|＝＝＝＝，
当且仅当y＝－x＝时等号成立，
所以|z－i|的最小值为．
故选A．]
链接·2025高考试题
(2025·上海卷)已知复数z满足z2＝，|z|≤1，则|z－2－3i|的最小值是________．
2　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由z2＝，可得(a＋bi)2＝(a－bi)2，即a2－b2＋2abi＝a2－b2－2abi，故ab＝0.由|z|≤1可得≤1，即a2＋b2≤1.
法一：当a＝0时，－1≤b≤1，|z－2－3i|＝|－2＋(b－3)i|＝，此时|z－2－3i|min＝＝2.当b＝0时，－1≤a≤1，|z－2－3i|＝|a－2－3i|＝，此时|z－2－3i|min＝＝.当a＝0，b＝0时，|z－2－3i|＝|－2－3i|＝＝.综上，|z－2－3i|的最小值为2.
法二：设复数z在复平面内对应的点的坐标为(x，y)，其中x＝0(－1≤y≤1)或y＝0(－1≤x≤1)，表示两条相交线段．|z－2－3i|表示z在复平面内对应的点到点(2，3)的距离，作出图形如图，结合图知，当z在复平面内对应的点为(0，1)时，|z－2－3i|取到最小值，为＝2.
]
反思领悟　由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此把复数、向量与解析几何联系在一起，运用数形结合的方法，使问题解决更加直观．本例解法一数形结合，形象直观，本例解法二利用代数法，思路清晰，但计算繁杂．
巩固迁移4　(多选)(人教A版必修第二册P81习题7.2T9改编)已知复数z满足|z－1＋i|＝3，则(　　)
A．复数z虚部的最大值为2
B．复数z实部的取值范围是[－2，4]
C．|z＋1＋i|的最小值为1
D．复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限
ABC　[满足|z－1＋i|＝3的复数z在复平面内对应点的轨迹是以(1，－1)为圆心，3为半径的圆，如图，由图可知，虚部最大的复数z＝1＋2i，即复数z虚部的最大值为2，故A正确；
实部最小的复数z＝－2－i，实部最大的复数z＝4－i，所以实部的取值范围是[－2，4]，故B正确；
|z＋1＋i|表示复数z在复平面内对应的点到(－1，－1)的距离，所以|z＋1＋i|的最小值为3－2＝1，故C正确；
由图可知，复数z在复平面内对应的点位于第一、二、三、四象限，故D错误．故选ABC．]
【教用·备选题】
(多选)已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，下列结论正确的是(　　)
A．点P0的坐标为(1，2)
B．复数z0的共轭复数在复平面内对应的点与点P0关于虚轴对称
C．复数z在复平面内对应的点Z在一条直线上
D．P0与复数z在复平面内对应的点Z间的距离的最小值为
ACD　[复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1，2)，A正确；复数z0的共轭复数在复平面内对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋yi|＝|x＋(y－1)i|，
即＝，整理得y＝x，
即点Z在直线y＝x上，C正确；
易知点P0到直线y＝x的距离即为P0，Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为＝，故D正确．
故选ACD．]
1．若复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则的实部为(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
C　[由题意，得z＝＝＝＝2－i，
所以的实部为2．故选C．]
2．已知i为虚数单位，复数z＝，则z的虚部为(　　)
A．0 B．－1
C．－i D．1
B　[因为z＝＝＝1－i，所以z的虚部为－1．]
3．在复平面内，复数z＝1－i对应的向量为，复数z2对应的向量为，那么向量对应的复数为(　　)
A．1－i B．1＋i
C．－1＋i D．－1－i
D　[因为z2＝－2i，而＝，故向量对应的复数为－2i－(1－i)＝－1－i，故选D．]
4．i是虚数单位，复数＝________．
3－2i　[＝＝＝＝3－2i．]
链接·2025高考试题
(2025·天津卷)已知i是虚数单位，则＝________．
　[＝＝＝.]
【教用·备选题】
1．(多选)(2024·湖北十堰三模)已知复数z1＝1－3i，z2＝3＋i，则(　　)
A．|z1＋z2|＝6
B．－z2＝－2＋2i
C．z1z2＝6－8i
D．z1z2在复平面内对应的点位于第二象限
BC　[由题意可知，＝|4－2i|＝＝2，A错误；
－z2＝1＋3i－(3＋i)＝－2＋2i，B正确；
z1z2＝(1－3i)(3＋i)＝3＋i－9i－3i2＝6－8i，C正确；z1z2在复平面内对应的点(6，－8)在第四象限，D错误．故选BC．]
2．(2024·江苏南通三模)已知z为复数，则“z＝”是“z2＝”的(　　)
A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A　[若z＝，则z∈R，则z2＝，故充分性成立；
若z2＝，设z＝a＋bi，a，b∈R，则z2＝a2＋2abi－b2，＝a2－2abi－b2，
则ab＝0，a＝0或b＝0，∴z与不一定相等，则必要性不成立，
则“z＝”是“z2＝”的充分不必要条件，故选A．]
3．(多选)(2024·河北衡水三模)复数z＝cos ＋isin θ，其中0<θ<，设z在复平面内的对应点为P，则下列说法正确的是(　　)
A．当θ＝时，|z|＝
B．当θ＝时，＝－1－i
C．对任意θ，点P均在第一象限
D．存在θ，使得点P在第二象限
AC　[当θ＝时，z＝1＋i，
故|z|＝＝，故A选项正确；
＝1－i，B选项错误；
当0<θ<时，－<θ－<故对任意θ，点P均在第一象限，故C选项正确；
不存在θ，使得点P在第二象限，D选项错误．
故选AC．]
课后习题(三十六)　复数
1．(多选)(人教A版必修第二册P80习题7.2T3改编)下列各式计算正确的是(　　)
A．＝i B．i(2－i)(1－2i)＝2i
C．＝1－i D．＝1－3i
AC　[对于A，＝＝i，故A正确；对于B，i(2－i)(1－2i)＝(2i－i2)(1－2i)＝(1＋2i)·(1－2i)＝1－4i2＝5，故B错误；对于C，＝＝＝1－i，故C正确；对于D，＝＝＝－1－3i，故D错误．故选AC．]
2．(苏教版必修第二册P143阅读材料改编)欧拉公式exi＝cos x＋isin x(其中i为虚数单位，x∈R)将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，则(　　)
A．eπi＝1
B．为实数
C．＝
D．复数e2i在复平面内对应的点位于第三象限
C　[对于A选项，eπi＝cos π＋isin π＝－1，A错误；
对于B选项＝cos ＋isin ＝i，为纯虚数，B错误；
对于C选项，＝＝＝＝，C正确；
对于D选项，2∈，则cos2<0，sin 2>0，所以复数e2i＝cos 2＋isin 2在复平面内对应的点位于第二象限，D错误．
故选C．]
3．(人教A版必修第二册P95复习参考题7T7改编)若复数z满足方程i＝1－i，则复数z在复平面内对应的点在第________象限．
二　[由题意可得＝＝
＝－i(1－i)＝－1－i，所以z＝－1＋i．
故复数z在复平面内对应的点在第二象限．]
4．(人教A版必修第二册P81习题7.2T7改编)已知复数z＝1＋i(i为虚数单位)是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为实数)的一个根，则p＋q＝________．
0　[法一：由复数z＝1＋i(i为虚数单位)是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为实数)的一个根，知(1＋i)2＋p(1＋i)＋q＝0，即(p＋q)＋(2＋p)i＝0，由复数相等可得故p＋q＝0．
法二：因为实系数一元二次方程的虚数根共轭成对出现，所以1－i也为方程的一个根，由一元二次方程根与系数的关系得，1＋i＋1－i＝－p＝2，(1＋i)·(1－i)＝q＝2，所以p＋q＝0．]
5．(2024·山东德州三模)已知复数z满足：z－i(2＋z)＝0，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1＋i D．1－i
B　[由z－i(2＋z)＝0，得(1－i)z＝2i，
所以z＝＝＝－1＋i．
故选B．]
6．(2025·辽宁名校模拟)已知复数z＝2－i，且－az＋b＝i，其中a，b为实数，则a－b＝(　　)
A．－2 B．0
C．2 D．3
C　[由题意得－az＋b＝i，即
2＋i－a(2－i)＋b＝i，
即(2－2a＋b)＋(1＋a)i＝i，
所以解得
所以a－b＝2．故选C．]
7．(2024·河南郑州三模)复数z＝a＋bi(a，b∈R且a≠0)，若(1＋2i)为纯虚数，则(　　)
A．a＝－2b B．a＝2b
C．2a＝b D．2a＝－b
A　[(1＋2i)＝(1＋2i)(a－bi)＝a＋2b＋(2a－b)i，
因为 (1＋2i)为纯虚数，所以a＋2b＝0，2a－b≠0，
所以a＝－2b．故选A．]
8．(2024·四川遂宁三模)若复数z＝(其中a∈R，i为虚数单位)为纯虚数，则复数z－1在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B　[依题意，z＝＝＝，
由z为纯虚数，得解得a＝，复数z－1＝－1＋i，
所以复数z－1在复平面内对应的点位于第二象限．故选B．]
9．(多选)(2024·惠州调研)已知复数z＝，则下列结论正确的是(　　)
A．z的虚部为1
B．|z|＝2
C．z2为纯虚数
D．在复平面内对应的点位于第一象限
AC　[对于A，z＝＝＝1＋i，
则z的虚部为1，故A正确；
对于B，|z|＝，故B错误；
对于C，z2＝2i为纯虚数，故C正确；
对于D，＝1－i在复平面内对应的点为(1，－1)，位于第四象限，故D错误．故选AC．]
10．(2024·湖南开学考试)已知复数z1＝2－i，z2＝a＋i(a∈R)，若复数z1·z2为纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．－ B．
C．－2 D．2
A　[因为复数z1＝2－i，z2＝a＋i，
所以z1·z2＝(2－i)(a＋i)＝(2a＋1)＋(2－a)i，
由该复数为纯虚数，知解得a＝－．故选A．]
11．(2025·保定模拟)若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，则另外一个根是________，a＝________．
2＋3i　13　[设方程的另外一根为x，则x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，a＝(2－3i)(2＋3i)＝13．]
12．(2025·温州模拟)已知复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，且＝3＋2i，则a＝________，b＝________．
5　1　[由z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，可得＝a－bi，
所以＝(a－bi)＝i＝3＋2i，
故＝3，＝2，
所以a＝5，b＝1．]
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