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阶段提能(九)　平面向量、复数
1．(人教A版必修第二册习题6.2P24T21)已知△ABC的外接圆圆心为O，且2＝，||＝||，则向量在向量上的投影向量为(　　)
A． B．
C．－ D．－
A　[如图，由2＝知O为BC的中点．
因为O为△ABC的外接圆圆心，
所以OA＝OB＝OC．
因为||＝||，所以AB＝OB＝OA＝OC，
所以△ABO为等边三角形，
∠ABO＝60°，所以在上的投影向量为＝．
故选A．]
2．(人教A版必修第二册P52习题6.4T2)已知O，N，P在△ABC所在平面内，满足||＝||＝||，＝0，且＝＝，则点O，N，P依次是△ABC的(　　)
A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心
C　[∵||＝||＝||，∴O到△ABC三个顶点的距离相等，
∴O是△ABC的外心．
∵＝0，
∴N是△ABC的重心．
∵＝＝，
∴·()＝0，＝0，
∴⊥，
同理得到⊥⊥，
得到P是△ABC的垂心．
故选C．]
3．(人教A版必修第二册P95复习参考题7T9)已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R), z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，求λ的取值范围．
[解]　由z1＝z2，得
消去m，可得λ＝4sin2θ－3sinθ＝4－．
由于－1≤sin θ≤1，可得－≤λ≤7，即λ的取值范围是．
4．(人教B版必修第三册P90习题8-1BT3)若向量a＝(x，2x)，b＝(－3x，2)，且a与b的夹角为钝角，求x的取值范围．
[解]　∵a与b的夹角为钝角，
∴cos 〈a，b〉<0且a与b不共线．
∴解得
故满足条件的x的取值范围是∪．
5．(2023·全国甲卷)设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
C　[∵(a＋i)(1－ai)＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋(1－a2)i＝2，
∴2a＝2且1－a2＝0，
解得a＝1，故选C．]
6．(2024·新高考Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
C　[因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i．故选C．]
7．(2024·全国甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　)
A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件
B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件
C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件
D．“x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件
C　[对于A，当a⊥b时，则a·b＝0，
所以x·(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，即必要性不成立，故A错误；
对于C，当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(0，2)，故a·b＝0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；
对于B，当a∥b时，则2(x＋1)＝x2，解得x＝1±，即必要性不成立，故B错误；
对于D，当x＝－1＋时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误．
故选C．]
8．(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　)
A． B．
C． D．1
B　[因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，
即b2＝2a·b，又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，
所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝．故选B．]
9．(2024·北京卷)已知向量a，b，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝b或a＝－b”的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A　[因为(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，可得a2＝b2，即|a|＝|b|，
可知(a＋b)·(a－b)＝0等价于|a|＝|b|，
若a＝b或a＝－b，可得|a|＝|b|，即(a＋b)·(a－b)＝0，可知必要性成立；
若(a＋b)·(a－b)＝0，即|a|＝|b|，无法得出a＝b或a＝－b，
例如a＝(1，0)，b＝(0，1)，满足|a|＝|b|，但a≠b且a≠－b，可知充分性不成立．
综上所述，“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝b或a＝－b”的必要不充分条件．故选A．]
10．(2024·上海卷)已知a＝(2，5)，b＝(6，k)，且a∥b，则k的值为________．
15　[∵a∥b，∴2k＝5×6，解得k＝15．]
11．(2024·上海卷)已知虚数z，其实部为1，且z＋＝m(m∈R)，则实数m为________．
2　[设z＝1＋bi(b≠0)，则z＋＝1＋bi＋＝1＋bi＋＝1＋i．
因为m∈R，所以b－＝0，解得b＝±1，所以m＝1＋＝1＋1＝2．]
12．(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．
　[由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，
即2a·b＝a2＋b2－3．由|a＋b|＝|2a－b|，
得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，
整理得，3a2－6a·b＝0，
所以3a2－3(a2＋b2－3)＝0，
所以b2＝3，所以|b|＝．]
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1．(人教A版必修第二册习题6.2P24T21)已知△ABC的外接圆圆心为O，且2＝，||＝||，则向量在向量上的投影向量为(　　)
[A]　 [B]　
[C]　－ [D]　－
2．(人教A版必修第二册P52习题6.4T2)已知O，N，P在△ABC所在平面内，满足||＝||＝||，＝0，且＝＝，则点O，N，P依次是△ABC的(　　)
[A]　重心，外心，垂心 [B]　重心，外心，内心
[C]　外心，重心，垂心 [D]　外心，重心，内心
3．(人教A版必修第二册P95复习参考题7T9)已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R), z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，求λ的取值范围．
4．(人教B版必修第三册P90习题8-1BT3)若向量a＝(x，2x)，b＝(－3x，2)，且a与b的夹角为钝角，求x的取值范围．
[解]　∵a与b的夹角为钝角，
5．(2023·全国甲卷)设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝(　　)
[A]　－2 [B]　－1
[C]　1 [D]　2
6．(2024·新高考Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　)
[A]　－1－i [B]　－1＋i
[C]　1－i [D]　1＋i
7．(2024·全国甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　)
[A]　“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件
[B]　“x＝－3”是“a∥b”的必要条件
[C]　“x＝0”是“a⊥b”的充分条件
[D]　“x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件
8．(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　)
[A]　 [B]　
[C]　 [D]　1
9．(2024·北京卷)已知向量a，b，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝b或a＝－b”的(　　)
[A]　必要不充分条件 [B]　充分不必要条件
[C]　充要条件 [D]　既不充分也不必要条件
10．(2024·上海卷)已知a＝(2，5)，b＝(6，k)，且a∥b，则k的值为________．
11．(2024·上海卷)已知虚数z，其实部为1，且z＋＝m(m∈R)，则实数m为________．
12．(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．
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