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第2课时　等差数列
[考试要求]　1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的情境问题中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
考点一　等差数列基本量的运算
1．通项公式：an＝__________________．
2．前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝．
[典例1]　(1)(人教A版选择性必修第二册P15练习T4改编)已知等差数列{an}中，a5＝10，a9＝20，则a1＝(　　)
A．－1 B．0
C．2 D．5
(2)(2024·海口市琼山区期末)《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至开始的十二个节气依次为冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，其日影长依次成等差数列，其中雨水、惊蛰两个节气的日影长之和为16尺，且最前面的三个节气日影长之和比最后面的三个节气日影长之和大18尺，则立夏的日影长为(　　)
A．4尺 B．4.5尺
C．5尺 D．5.5尺
(3)(2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn＝na1＋d或Sn＝中共涉及a1，an，d，n，Sn五个量，可通过方程组达到“知三求二”．本例3个小题解题的关键是求出首项a1和公差d两个基本量．
巩固迁移1　(1)(2024·北京通州区调研)在等差数列{an}中，a2＋a6＝8，a3＋a4＝3，则an＝(　　)
A．5n－16 B．5n－11
C．3n－8 D．3n－5
(2)(2024·河南名校联考)已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a5＝10，且a4·a6＝96，则公差为(　　)
A．－2 B．2
C．－2或2 D．4
(3)(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　)
A．25 B．22
C．20 D．15
考点二　等差数列的判定与证明
1．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的____，通常用字母d表示．
2．等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且有2A＝______．
[典例2]　(2025·台州模拟)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例通过对已知条件变形，得到＝1(常数)来证明是等差数列．一般地，常用等差数列的定义来证明一个数列是等差数列，即证明对于任意的正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．
巩固迁移2　(2024·宁波中学月考)已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n．
(1)求a2，a3；
(2)证明：数列是等差数列，并求{an}的通项公式．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点三　等差数列的性质
1．等差数列的常用性质
(1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则______________________(p，q，s，t∈N*)．
(2)等差数列{an}的单调性
当d>0时，{an}是____数列；
当d<0时，{an}是____数列；
当d＝0时，{an}是______．
2．等差数列前n项和的常用性质
(1)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数．
(2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最__值；若a1<0，d>0，则Sn存在最__值．
[常用结论]
1．通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
2．数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，其中公差d＝2A．
3．若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
4．数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等差数列．
5．若等差数列{an}的项数为偶数2n，则
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(2)S偶－S奇＝nd，＝．
6．若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则
(1)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；
(2)＝．
　等差数列项的性质
[典例3]　(1)(2024·全国甲卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝(　　)
A．－2 B．
C．1 D．
(2)(2025·宝山区模拟)在等差数列{an}中，a3＋a11＝8，则a6＋a7＋a8的值是________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　在等差数列题目中，出现某几项和的问题，一般首先考虑项的性质．
巩固迁移3　如果一个等差数列前10项的和为54，最后10项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有(　　)
A．36项 B．37项
C．38项 D．39项
　等差数列前n项和的性质
[典例4]　(1)(2025·梅州市梅江区模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝4，则a9－a6＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
(2)已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝(n∈N*)，则＝(　　)
A． B．
C． D．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例(1)中，由Sn＝na1＋d，可得＝a1＋(n－1)×，因此，若Sn是等差数列的前n项和，则是首项为a1，公差为的等差数列；本例(2)中，由Sn＝可知Sn与a1＋an可相互转化，转化过程如：＝＝．
巩固迁移4　(1)(2025·济南市济钢中学模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40＝(　　)
A．110 B．150
C．210 D．280
(2)(2025·广东仲元中学月考)已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则＝(　　)
A． B．
C． D．
　等差数列前n项和的最值问题
[典例5]　(2025·四川凉山州模拟)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15．求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　求等差数列前n项和的最值的常用方法
(1)邻项变号法：①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm．
(2)函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值．特别提醒：n∈N*．
巩固迁移5　(1)(2024·南平市建阳区一模)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝－21，S7＝S15，则Sn的最小值为(　　)
A．－99 B．－100
C．－110 D．－121
(2)(2025·佛山市南海区模拟)在数列{an}中，a1＝20，对任意正整数n，an＋1＝an－3，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)
A．77 B．76
C．75 D．74
1．(2025·常德模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝23，S4＝56，则S2＝(　　)
A．13 B．14
C．15 D．16
2．(2024·沈阳市浑南区期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a7＝4，则S13＝(　　)
A．44 B．48
C．52 D．56
3．(多选)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，S5S8，则下列说法正确的有(　　)
A．公差d<0
B．S12>0
C．S9>S5
D．使Sn<0的最小正整数n为14
4．(2024·武汉调研)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 018，＝6，则S2 025＝________．
1/1第2课时　等差数列
[考试要求]　1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的情境问题中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
考点一　等差数列基本量的运算
1．通项公式：an＝a1＋(n－1)d．
2．前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝．
[典例1]　(1)(人教A版选择性必修第二册P15练习T4改编)已知等差数列{an}中，a5＝10，a9＝20，则a1＝(　　)
A．－1 B．0
C．2 D．5
(2)(2024·海口市琼山区期末)《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至开始的十二个节气依次为冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，其日影长依次成等差数列，其中雨水、惊蛰两个节气的日影长之和为16尺，且最前面的三个节气日影长之和比最后面的三个节气日影长之和大18尺，则立夏的日影长为(　　)
A．4尺 B．4.5尺
C．5尺 D．5.5尺
(3)(2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________．
(1)B　(2)C　(3)95　[(1)在等差数列{an}中，a5＝a1＋4d＝10，a9＝a1＋8d＝20，
则a1＝0．故选B．
(2)设十二个节气分别对应等差数列{an}中的前12项，且{an}的公差为d，
根据题意，有
则解得
∴立夏的日影长为a10＝a1＋9d＝11－6＝5．故选C．
(3)因为数列{an}为等差数列，则由题意得
解得
则S10＝10a1＋d＝10×(－4)＋45×3＝95．]
链接·2025高考试题
(2025·上海卷)已知等差数列{an}的首项a1＝－3，公差d＝2，则该数列的前6项和为________．
12　[法一：该数列的前6项和为6×(－3)＋×2＝12.
法二：a6＝a1＋5d＝－3＋10＝7，则该数列的前6项和为＝＝12.]
反思领悟　等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn＝na1＋d或Sn＝中共涉及a1，an，d，n，Sn五个量，可通过方程组达到“知三求二”．本例3个小题解题的关键是求出首项a1和公差d两个基本量．
巩固迁移1　(1)(2024·北京通州区调研)在等差数列{an}中，a2＋a6＝8，a3＋a4＝3，则an＝(　　)
A．5n－16 B．5n－11
C．3n－8 D．3n－5
(2)(2024·河南名校联考)已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a5＝10，且a4·a6＝96，则公差为(　　)
A．－2 B．2
C．－2或2 D．4
(3)(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　)
A．25 B．22
C．20 D．15
(1)A　(2)B　(3)C　[(1)设等差数列{an}的公差为d，
依题意解得d＝5，a1＝－11，
所以an＝－11＋(n－1)×5＝5n－16．故选A．
(2)设等差数列{an}的公差为d，
∵a4·a6＝(a5－d)(a5＋d)＝(10－d)(10＋d)＝96，
∴d＝2或d＝－2，
∵an>0，∴d>0，
∴d＝2．故选B．
(3)法一：由a2＋a6＝10，可得2a4＝10，所以a4＝5，又a4a8＝45，所以a8＝9．设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝＝1，又a4＝5，所以a1＝2，所以S5＝5a1＋×d＝20．故选C．
法二：设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝10，可得a1＋3d＝5，①
由a4a8＝45，可得(a1＋3d)(a1＋7d)＝45，②
由①②可得a1＝2，d＝1，所以S5＝5a1＋×d＝20．故选C．]
考点二　等差数列的判定与证明
1．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
2．等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b．
[典例2]　(2025·台州模拟)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解]　(1)证明：由＝＝＝＋1，
得＝1，
又∵a1＝2，∴＝1，
∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)知，＝n，∴an＝，
∴数列{an}的通项公式为an＝．
链接·2025高考试题
(2025·全国一卷)已知数列{an}中，a1＝3，＝.
证明：数列{nan}是等差数列；
解：(1)证明：＝两边同时乘n(n＋1)，得(n＋1)an＋1＝nan＋1，
又1×a1＝3，所以{nan}是首项为3，公差为1的等差数列．
反思领悟　本例通过对已知条件变形，得到＝1(常数)来证明是等差数列．一般地，常用等差数列的定义来证明一个数列是等差数列，即证明对于任意的正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．
巩固迁移2　(2024·宁波中学月考)已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n．
(1)求a2，a3；
(2)证明：数列是等差数列，并求{an}的通项公式．
[解]　(1)由题意可得a2－2a1＝4，
则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6．
由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，
所以a3＝15．
(2)证明：由已知得＝2，即＝2，
所以数列是首项为＝1，公差为2的等差数列，
则＝1＋2(n－1)＝2n－1，
所以an＝2n2－n．
考点三　等差数列的性质
1．等差数列的常用性质
(1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at(p，q，s，t∈N*)．
(2)等差数列{an}的单调性
当d>0时，{an}是递增数列；
当d<0时，{an}是递减数列；
当d＝0时，{an}是常数列．
2．等差数列前n项和的常用性质
(1)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数．
(2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
[常用结论]
1．通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
2．数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，其中公差d＝2A．
3．若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
4．数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等差数列．
5．若等差数列{an}的项数为偶数2n，则
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(2)S偶－S奇＝nd，＝．
6．若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则
(1)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；
(2)＝．
　等差数列项的性质
[典例3]　(1)(2024·全国甲卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝(　　)
A．－2 B．
C．1 D．
(2)(2025·宝山区模拟)在等差数列{an}中，a3＋a11＝8，则a6＋a7＋a8的值是________．
(1)D　(2)12　[(1)法一(利用等差数列的基本量)：
由S9＝1，根据等差数列的求和公式，S9＝9a1＋d＝1 9a1＋36d＝1，
所以a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝(9a1＋36d)＝．故选D．
法二(利用等差数列的性质)：
根据等差数列的性质，a1＋a9＝a3＋a7，由S9＝1，根据等差数列的求和公式，
S9＝＝＝1，故a3＋a7＝．
故选D．
法三(特殊值法)：
不妨取等差数列的公差d＝0，则S9＝1＝9a1 a1＝，则a3＋a7＝2a1＝．
故选D．
(2)根据题意，在等差数列{an}中，a3＋a11＝8，则a7＝(a3＋a11)＝4，
故a6＋a7＋a8＝2a7＋a7＝3a7＝12．]
链接·2025高考试题
(2025·全国二卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S3＝6，S5＝－5，则S6＝(　　)
A．－20 B．－15
C．－10 D．－5
B　[根据S3＝3a2＝6得a2＝2，根据S5＝5a3＝－5得a3＝－1，所以{an}的公差d＝a3－a2＝－3，所以a6＝a3＋3d＝－10，所以S6＝S5＋a6＝－5－10＝－15.]
反思领悟　在等差数列题目中，出现某几项和的问题，一般首先考虑项的性质．
巩固迁移3　如果一个等差数列前10项的和为54，最后10项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有(　　)
A．36项 B．37项
C．38项 D．39项
D　[依题意a1＋a2＋…＋a10＝54，an＋an－1＋…＋an－9＝146，
∴a1＋a2＋…＋a10＋an＋an－1＋…＋an－9＝54＋146＝200，
又∵a1＋an＝a2＋an－1＝…＝a10＋an－9，
∴a1＋an＝＝20，
∴Sn＝＝＝390，∴n＝39．故选D．]
　等差数列前n项和的性质
[典例4]　(1)(2025·梅州市梅江区模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝4，则a9－a6＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
(2)已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝(n∈N*)，则＝(　　)
A． B．
C． D．
(1)D　(2)D　[(1)法一：设等差数列{an}的公差为d，
则＝－
＝a1＋d－a1－d＝，
∴数列是公差为的等差数列，
∴＝4×＝4，
解得d＝2，∴a9－a6＝3d＝6．故选D．
法二：＝＝a4－a2＝4 d＝2，
∴a9－a6＝3d＝6．
(2)因为Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，
则b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，
故＝＝＝＝＝．故选D．]
【教用·备选题】
母题探究　本例(2)中，将＝改为＝，则＝________．
　[＝＝＝＝．]
反思领悟　本例(1)中，由Sn＝na1＋d，可得＝a1＋(n－1)×，因此，若Sn是等差数列的前n项和，则是首项为a1，公差为的等差数列；本例(2)中，由Sn＝可知Sn与a1＋an可相互转化，转化过程如：＝＝．
巩固迁移4　(1)(2025·济南市济钢中学模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40＝(　　)
A．110 B．150
C．210 D．280
(2)(2025·广东仲元中学月考)已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则＝(　　)
A． B．
C． D．
(1)D　(2)B　[(1)法一：因为等差数列{an}的前n项和为Sn，
所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列．
故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，
所以S30＝150．
又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，
所以S40＝280．故选D．
法二：由题意得为等差数列，设其公差为d′，则＝3－1＝2＝10d′，
又＝＋20d′＝3＋4＝7，
∴S40＝280．故选D．
(2)根据等差数列的性质和前n项和公式，有＝＝＝＝＝．故选B．]
　等差数列前n项和的最值问题
[典例5]　(2025·四川凉山州模拟)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15．求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
[解]　法一(函数法)：
因为a1＝20，S10＝S15，
所以10×20＋d＝15×20＋d，
所以d＝－．
Sn＝20n＋＝－n2＋n
＝－＋．
因为n∈N*，所以当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130．
法二(邻项变号法)：
因为a1＝20，S10＝S15，
所以10×20＋d＝15×20＋d，
所以d＝－．
an＝20＋(n－1)×＝－n＋．
因为a1＝20>0，d＝－<0，
所以数列{an}是递减数列．
由an＝－n＋≤0，得n≥13，即a13＝0．
当n≤12时，an＞0；当n≥14时，an＜0．
所以当n＝12或n＝13时，Sn取得最大值，
且最大值为S12＝S13＝12×20＋＝130．
法三(图象法)：
因为等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数，且S10＝S15，所以10×20＋d＝15×20＋d，
所以d＝－．
又因为＝12.5，所以当n＝12或n＝13时，Sn取得最大值．
所以S12＝S13＝12×20＋＝130，
所以最大值为S12＝S13＝130．
法四(性质法)：
由S10＝S15得S15－ S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，
所以5a13＝0，即a13＝0．
又因为d＝＝－，所以当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋＝130．
反思领悟　求等差数列前n项和的最值的常用方法
(1)邻项变号法：①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm．
(2)函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值．特别提醒：n∈N*．
巩固迁移5　(1)(2024·南平市建阳区一模)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝－21，S7＝S15，则Sn的最小值为(　　)
A．－99 B．－100
C．－110 D．－121
(2)(2025·佛山市南海区模拟)在数列{an}中，a1＝20，对任意正整数n，an＋1＝an－3，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)
A．77 B．76
C．75 D．74
(1)D　(2)A　[(1)∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝－21，S7＝S15，
∴7×(－21)＋d＝15×(－21)＋d，解得d＝2，
∴Sn＝－21n＋×2＝n2－22n＝(n－11)2－121，
∴当n＝11时，Sn取最小值为－121．故选D．
(2)因为an＋1＝an－3，即an＋1－an＝－3，所以{an}为等差数列，且公差为－3．又因为a1＝20，
所以an＝23－3n，所以数列{an}为递减数列，
所以a1＞a2＞…＞a7＞0＞a8＞a9＞…，
所以S7最大，且S7＝7×20＋×(－3)＝77．故选A．]
1．(2025·常德模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝23，S4＝56，则S2＝(　　)
A．13 B．14
C．15 D．16
D　[在等差数列{an}中，a4＝a1＋3d＝23，S4＝4a1＋6d＝56，
解得a1＝5，d＝6，则S2＝5＋11＝16．故选D．]
2．(2024·沈阳市浑南区期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a7＝4，则S13＝(　　)
A．44 B．48
C．52 D．56
C　[因为等差数列{an}的前n项和为Sn，a7＝4，
所以S13＝＝13a7＝4×13＝52．故选C．]
3．(多选)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，S5S8，则下列说法正确的有(　　)
A．公差d<0
B．S12>0
C．S9>S5
D．使Sn<0的最小正整数n为14
ABD　[由题意得，S50；
S6＝S7，则S7－S6＝a7＝0；
S7>S8，则S8－S7＝a8<0．
由a6>a7，得d<0，故A正确；
S12＝＝6(a6＋a7)＝6a6>0，故B正确；
S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)＝2a8<0，故S9S14＝＝7(a7＋a8)＝7a8<0，
S13＝＝13a7＝0，故D正确．
故选ABD．]
4．(2024·武汉调研)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 018，＝6，则S2 025＝________．
12 150　[由等差数列的性质可知也为等差数列，
设其公差为d，则＝6d＝6，所以d＝1，
所以＝＋2 024d＝－2 018＋2 024＝6，
所以S2 025＝12 150．]
链接·2025高考试题
(2025·天津卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋8n，则{|an|}的前12项和为(　　)
A．48 B．112
C．80 D．144
C　[当n＝1时，a1＝S1＝－1＋8＝7，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋8n－[－(n－1)2＋8(n－1)]＝－2n＋9，显然a1＝7也符合该式，所以an＝－2n＋9，所以|an|＝所以{|an|}的前12项和为＝80.故选C.]
【教用·备选题】
1．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2＝3，S5＝25，则＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
D　[设等差数列{an}的公差为d，S5＝25，
则5a3＝25，解得a3＝5，故d＝a3－a2＝5－3＝2，
a5＝a2＋3d＝3＋3×2＝9，S4＝S5－a5＝25－9＝16，
所以＝＝＝4．故选D．]
2．(2025·驻马店模拟)已知等差数列{an}满足a1＝1，a2＋a4＝2a5－4，则{an}的通项公式为________．
an＝n　[等差数列{an}满足a1＝1，a2＋a4＝2a5－4，
∴1＋d＋1＋3d＝2(1＋4d)－4，解得d＝1，
则{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)＝n．]
3．(2025·邵阳模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn．若S5＝25，S15＝60，则a4＋a7＝________．
9　[法一：因为等差数列{an}中，S5＝5a1＋10d＝25，S15＝15a1＋105d＝60，
解得a1＝，d＝－，
则a4＋a7＝2a1＋9d＝2×＝9．
法二：∵S5＝5a3＝25，S15＝15a8＝60，
∴a3＝5，a8＝4，∴a4＋a7＝a3＋a8＝9．]
4．(2024·呼伦贝尔二模)在等差数列{an}中，a5＋a7＋a18＝12，则{an}的前19项和S19＝________．
76　[设{an} 的公差为d，则a5＋a7＋a18＝3a1＋27d＝12，
即a1＋9d＝a10＝4，故S19＝＝19a10＝76．]
5．(2025·洛阳模拟)在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，若S4＝6，S8＝20，则S20＝________．
110　[根据题意，在等差数列{an}中，S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16也成等差数列，
又由S4＝6，S8－S4＝14，则其公差为8，
故S12－S8＝22，S16－S12＝30，S20－S16＝38，
故S20＝S4＋(S8－S4)＋(S12－S8)＋(S16－S12)＋(S20－S16)＝6＋14＋22＋30＋38＝110．]
6．(2024·房山区期末)在等差数列{an}中，a4＋a8＝8，a10＝12．
(1)求数列{an}的首项a1和公差d；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值及取最小值时n的值．
[解]　(1)∵在等差数列{an}中，a4＋a8＝8，a10＝12，
∴解得a1＝－6，d＝2．
(2)∵a1＝－6，d＝2，
∴Sn＝na1＋d＝n2－7n＝－，
当n＝3或n＝4时，Sn取得最小值32－7×3＝－12．
课后习题(三十八)　等差数列
1．(人教A版选择性必修第二册P15练习T4改编)在等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d等于(　　)
A．　　　B．　　　C．2　　　D．－
A　[∵a4＋a8＝2a6＝10，∴a6＝5，
又a10＝6，∴公差d＝＝＝．故选A．]
2．(多选)(人教A版选择性必修第二册P55复习参考题4T8(1)改编)若a，b，c(a，b，c均不为0)是等差数列，则下列说法正确的是(　　)
A．a2，b2，c2一定成等差数列
B．2a，2b，2c可能成等差数列
C．ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列
D．可能成等差数列
BCD　[对于A，令a＝1，b＝2，c＝3，则a2＝1，b2＝4，c2＝9，不满足2b2＝a2＋c2，故A错误；对于B，令a＝b＝c，则2a＝2b＝2c，满足2a＋2c＝2·2b，故B正确；对于C，∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，∴(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，即ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列，故C正确；对于D，令a＝b＝c，则＝＝，满足＝，故D正确．综上，故选BCD．]
3．(苏教版选择性必修第一册P154习题4.2(2)T8改编)设等差数列的项数n为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为(　　)
A． B．
C． D．
D　[由题知，奇数项有项，偶数项有项，奇数项之和为a1＋·2d＝，偶数项之和为(a1＋d)＋·2d＝，所以奇数项之和与偶数项之和的比为．故选D．]
4．(湘教版选择性必修第一册P19例7改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．
820　[设第n排的座位数为an(n∈N*)，数列{an}为等差数列，其公差d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为＝＝820．]
5．(2024·江西期末)已知在等差数列{an}中，a2＋a8＝10，a6＝20，则a2 025－a2 020＝(　　)
A．15 B．30
C．45 D．75
D　[在等差数列{an}中，由a2＋a8＝10，得2a5＝10，即a5＝5，
又∵a6＝20，∴d＝a6－a5＝15．
∴a2 025－a2 020＝(2 025－2 020)d＝5×15＝75．故选D．]
6．(2024·大理州期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝11，S10＝24，则S15＝(　　)
A．34 B．39
C．42 D．45
B　[由S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，
则2(S10－S5)＝S5＋S15－S10，即2(24－11)＝11＋S15－24，故S15＝39．
故选B．]
7．(2024·大同期末)等差数列{an}的前n项和为Sn．若a1 012＋a1 013＋a1 014＝6，则S2 025＝(　　)
A．8 092 B．4 048
C．4 050 D．2 025
C　[根据题意，在等差数列{an}中，a1 012＋a1 013＋a1 014＝6，
而a1 012＋a1 014＝2a1 013，所以a1 013＝2，
所以S2 025＝＝2 025a1 013＝4 050．故选C．]
8．(2024·大连市沙河口区期末)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则＝(　　)
A． B．
C． D．
C　[根据题意，等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，
设Sn＝kn(n＋3)，Tn＝kn(3n＋5)，k≠0，
从而a5＝S5－S4＝40k－28k＝12k，
b2＋b6＝2b4＝2(T4－T3)＝2(68k－42k)＝52k，
所以＝＝．故选C．]
9．(2024·北京海淀区期末)已知{an}为等差数列，Sn是其前n项和，若S8＞S3，且S13＜0，则当Sn取得最大值时，n＝(　　)
A．3 B．6
C．7 D．8
B　[因为{an}为等差数列，若S8＞S3，且S13＜0，
则S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＞0，即a6＞0，
又因为S13＝＝13a7＜0，即a7＜0，
当Sn取得最大值时，n＝6．故选B．]
10．(2025·哈尔滨市道里区模拟)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________．
10　[由题意知，
即
故＝＝，故n＝10．]
11．(2025·开封模拟)已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝3，在{an}中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}．
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)插入的数构成一个新数列，求该数列前2n项的和T2n．
[解]　(1)设数列{bn}的公差为d′，
由题意知，b1＝a1＝2，b4＝a2，d′＝＝＝＝1，
所以bn＝b1＋(n－1)d′＝2＋(n－1)＝n＋1，
所以{bn}的通项公式是bn＝n＋1．
(2)数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1，
记数列{an}与{bn}的前n项的和分别为Sn，S′n，
则T2n＝S′3n－Sn＝＝＝n(3n＋4)．
12．(2025·深圳模拟)记Sn为数列{an}的前n项和．
(1)若{an}为等差数列，满足3S5＝5S3＋15，求公差d；
(2)已知an＞0，a2＝3a1，且数列{}是等差数列，证明：{an}是等差数列．
[解]　(1)由3S5＝5S3＋15，可得3＝5＋15，解得d＝1．
(2)证明：设数列{}的公差为d(d为常数)，
∵{}是等差数列，所以当n≥2时，＝d，
∴d＝＝＝＝，
∴＝＋(n－1)＝n，
∴Sn＝n2a1，①
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2a1，②
由①②得an＝Sn－Sn－1＝n2a1－(n－1)2a1＝(2n－1)a1 ，③
经检验，当n＝1时也满足③，
∴an＝(2n－1)a1，n∈N*，
当n≥2时，an－an－1＝(2n－1)a1－(2n－3)a1＝2a1，
∴{an} 是等差数列．
1/1

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