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第3课时　等比数列
[考试要求]　1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．了解等比数列与指数函数的关系．
考点一　等比数列基本量的运算
1．通项公式：an＝a1qn-1＝amqn－m．
2．前n项和公式：Sn＝
提醒：(1)求等比数列前n项和时，若公比q不明确，需分类讨论．
(2)当q≠1时，等比数列{an}的前n项和Sn＝A＋B·Cn A＋B＝0，公比q＝C(A，B，C均不为零)．
[典例1]　(1)(2024·盐城一模)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋5a1，a5＝4，则a1＝(　　)
A． B．－
C． D．－
(2)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则等于(　　)
A．2n－1 B．2－21-n
C．2－2n-1 D．21-n－1
(1)A　(2)B　[(1)设公比为q，S3＝a2＋5a1，所以a3＝4a1＝a1q2，
所以q2＝4，又a5＝a1q4＝16a1＝4，
所以a1＝．故选A．
(2)法一：设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，
则由题可得
解得
所以Sn＝＝2n－1，
an＝a1qn-1＝2n-1，
所以＝＝2－21-n．
法二：设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，
因为＝＝＝＝2，
所以q＝2，所以＝＝＝2－21-n．]
链接·2025高考试题
(2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于________．
2　[法一(基本量法)：设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q＞0，又S4＝4，S8＝68，所以q≠1.由S4＝4得＝4　①，由S8＝68得＝68　②，得＝，即＝1＋q4＝17，所以q4＝16，又q＞0，所以q＝2.
法二(等比数列前n项和性质法)：设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q>0，因为S4＝4，S8＝68，所以S8－S4＝64，因为S4，S8－S4，S12－S8，…成等比数列，且公比为q4，所以q4＝＝＝16，又q>0，所以q＝2.]
反思领悟　(1)等比数列的通项公式an＝a1qn-1与前n项和公式Sn＝＝(q≠1)中共涉及五个量a1，an，q，n，Sn．已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝．
巩固迁移1　(1)(2025·徐州模拟)已知数列{an}为等比数列，a2＝6，6a1＋a3＝30，则a4＝________．
(2)(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________．
(1)54或24　(2)－　[(1)由
解得或
a4＝a1·q3＝2×33＝54或a4＝3×23＝24．
(2)若q＝1，则由8S6＝7S3得8×6a1＝7×3a1，则a1＝0，不合题意，所以q≠1．
当q≠1时，因为8S6＝7S3，
所以＝，
即8(1－q6)＝7(1－q3)，
即8(1＋q3)(1－q3)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)＝7，
解得q＝－．]
链接·2025高考试题
(2025·全国二卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0.若S3＝7，a3＝1，则(　　)
A．q＝ B．a5＝
C．S5＝8 D．an＋Sn＝8
AD　[根据S3＝a1＋a2＋a3＝＋a3＝＋1＝7，得6q2－q－1＝0，即(2q－1)(3q＋1)＝0，因为q＞0，所以q＝.故A正确．
a5＝a3q2＝1×＝.故B错误．
因为a1＝＝4，所以S5＝＝＝.故C错误．
an＝a1qn-1＝4×＝＝23-n，Sn＝＝＝8＝8－＝8－23-n，所以an＋Sn＝8.故D正确．故选AD.]
考点二　等比数列的判定与证明
1．等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．
2．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab．
提醒：“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．
[典例2]　(2025·八省联考节选)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
[解]　(1)证明：因为an＋1＝，a1＝3>0，
所以an>0，所以＝＝，
所以1－＝＝．
因为1－＝≠0，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)知，1－＝＝，
所以＝1－，
所以an＝＝．
反思领悟　通常用定义法证明一个数列为等比数列．即＝q(q≠0)．本例只需证明＝≠0．
巩固迁移2　已知数列{an}中，a1＝2，且an＝2an－1－n＋2(n≥2，n∈N*)．
(1)求a2，a3，并证明{an－n}是等比数列；
(2)求通项公式an．
[解]　(1)由a1＝2，an＝2an－1－n＋2(n≥2，n∈N*)，
得a2＝2a1－2＋2＝4，a3＝2a2－3＋2＝7，
∵an－n＝2an－1－2n＋2＝2[an－1－(n－1)]，
∴＝2(n≥2，n∈N*)，
又∵a1－1＝1，
∴{an－n}是首项为1，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知an－n＝1×2n-1，
∴an＝2n-1＋n．
考点三　等比数列的性质
1．等比数列的常用性质
(1)若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq，其中m，n，p，q∈N*．特别地，若2w＝m＋n，则＝am·an，其中m，n，w∈N*．
(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．
(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0)．
(4)若或则等比数列{an}递增．
若或则等比数列{an}递减．
2．等比数列前n项和的常用性质
若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，q＝－1且n为偶数时除外．
提醒：(1)由an＋1＝qan，q≠0，并不能断定{an}为等比数列，还要验证a1≠0．
(2)等比数列的前n项和Sn＝＝qn，令A＝－，可以写成Sn＝Aqn－A(其中A≠0，q≠1)．
[常用结论]
1．数列{an}是等比数列．
(1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，…成等比数列．
(2)若Sn是其前n项和，数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q或＝q．
2．三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，xq，xq3．
　项的性质
[典例3]　已知数列{an}是等比数列，若a2，a48是方程2x2－7x＋6＝0的两个根，则a1·a2·a25·a48·a49的值为(　　)
A． B．9
C．±9 D．243
C　[若a2，a48是2x2－7x＋6＝0的两个根，
则a2＋a48＝，a2·a48＝＝3，
因为数列{an}是等比数列，a2·a48＝＝3，
所以a25＝±，a1·a2·a25·a48·a49＝＝±9．故选C．]
反思领悟　在等比数列中，两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方，通过本例要树立这一“转化意识”．
巩固迁移3　(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________．
－2　[法一：设数列{an}的公比为q，则由a2a4a5＝a3a6，得a1q·a1q3·a1q4＝a1q2·a1q5．又因为a1≠0，且q≠0，所以可得a1q＝1．①
又因为a9a10＝a1q8·a1q9＝q17＝－8，②
所以由①②可得q15＝－8，q5＝－2，所以a7＝a1q6＝a1q·q5＝－2．
法二：设数列{an}的公比为q．因为a4a5＝a3a6≠0，所以a2＝1．
又因为a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2．]
　和的性质
[典例4]　(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　)
A．120 B．85
C．－85 D．－120
C　[法一：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1，则
化简整理得
所以S8＝＝×(1－44)＝－85．故选C．
法二：易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝．当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；当S2＝时，结合S4＝－5得化简可得q2＝－5，不成立，舍去．所以S8＝－85．故选C．]
反思领悟　本例方法一关键是把和q2都“整体看待”，减少了运算量．方法二利用在等比数列中，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…仍为等比数列，但求出S2后，要注意检验．
巩固迁移4　(1)(2025·山西大同模拟)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．
(2)(人教A版选择性必修第二册P37例9改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________．
(1)2　(2)　[(1)由题意，得
解得
所以q＝＝＝2．
(2)设等比数列{an}的公比为q，易知q≠－1，由等比数列前n项和的性质可知S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，
∴＝，
又由已知得S6＝3S3，
∴S9－S6＝4S3，
∴S9＝7S3，
∴＝．]
1．(2025·周口市川汇区模拟)在等比数列{an}中，a1，a8是方程3x2＋2x－6＝0的两个根，则a4·a5＝(　　)
A．－6 B．－2
C．－ D．2
B　[∵在等比数列{an}中，a1，a8是方程3x2＋2x－6＝0的两个根，
∴a4a5＝a1a8＝－＝－2．故选B．]
2．(多选)(2025·太原模拟)设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是(　　)
A．数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列
B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列
C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列
D．数列是公比为的等比数列
AD　[对于A，由＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列；对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C，当q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D，＝＝，所以数列是公比为的等比数列．故选AD．]
3．(2024·东北三校联考)已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，若a2a6＝－2a7，S3＝－6，则a6等于(　　)
A．－2或32 B．－2或64
C．2或－32 D．2或－64
B　[数列{an}为等比数列，
a2a6＝－2a7＝a1a7，解得a1＝－2，
设数列{an}的公比为q，则S3＝－6＝－2－2q－2q2，
解得q＝－2或q＝1，
当q＝－2时，a6＝(－2)6＝64，
当q＝1时，a6＝－2．故选B．]
4．在等比数列{an}中，已知a1a3＝36，a2＋a4＝60，则a1＋q＝________．
±5　[设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由等比数列的性质得a1a3＝＝36，又因为a2＋a4＝a2(1＋q2)＝60，所以a2>0，a2＝6，所以1＋q2＝10，解得q＝±3．当q＝3时，由a2＝a1q＝6，可得a1＝2；当q＝－3时，由a2＝a1q＝6，可得a1＝－2，所以或则a1＋q＝±5．]
【教用·备选题】 1．(2025·中山市模拟)数列{an}满足an＋1＝，a1＝，若an＝，则项数n为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C　[因为数列{an}满足an＋1＝an，a1＝， 所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，若an＝＝， 则项数n＝5． 故选C．] 2．(2025·衡阳模拟)已知{an}是等比数列，且a6－a4＝－24，a7－a5＝48，则a1＝(　　) A．－1 B． C．1 D．2 C　[因为{an}是等比数列，且a6－a4＝a4(q2－1)＝－24，a7－a5＝a5(q2－1)＝48， 两式相除可得，＝q＝－2， 所以a6－a4＝a1(q5－q3)＝－24a1＝－24， 所以a1＝1． 故选C．] 3．(2025·贵阳模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a4＝5，a3＋a5＝10，则S6＝(　　) A． B．63 C． D．31 A　[设等比数列{an}的公比为q，∵a2＋a4＝5，a3＋a5＝10， ∴q(a2＋a4)＝5q＝10，a1q2(1＋q2)＝10， 联立解得a1＝，q＝2，则S6＝＝． 故选A．] 4．(多选)(2025·南阳模拟)若数列{an}是等比数列，且an＞0(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　) A．数列}是等比数列 B．数列{an＋1－an}是等比数列　 C．数列{a2n}是等比数列 D．数列{lg an}是等比数列 AC　[设等比数列{an}的公比为q，因为an＞0(n∈N*)，所以q＞0， 对于＝＝q2，所以数列是等比数列，故A正确； 对于B，当q＝1时，等比数列{an}为正项常数列，此时an＋1－an＝0，所以数列{an＋1－an}不是等比数列，故B错误； 对于C，＝＝q2，所以数列{a2n}是等比数列，故C正确； 对于D，若an＝1，则lg an＝0，所以数列{lg an}不是等比数列，故D错误． 故选AC．] 5．(2025·辽宁模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，8S6＝7S3，若λ≥Sn恒成立，则λ的最小值为(　　) A． B． C． D．1 C　[设等比数列{an}的公比为q，由8S6＝7S3，得8(S6－S3)＝－S3， 则a4＋a5＋a6＝－(a1＋a2＋a3)，即q3(a1＋a2＋a3)＝－(a1＋a2＋a3)， 因为an≠0，所以q3＝－，解得q＝－，又因为a1＝，所以an＝， 所以Sn＝ ＝， 当n为奇数时，Sn＝，所以Sn≤S1＝， 当n为偶数时，Sn＝<，所以(Sn)max＝，所以λ≥． 故选C．] 6．(2025·黄山模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，a4－a2＝6，a5－a3＝12，当最小时，n的值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C　[因为{an}是等比数列，所以＝q＝＝2， 又因为a4－a2＝6＝a2(q2－1)＝3a2，a2＝2， 所以a1＝1，an＝2n-1， Tn＝20×21×22×…×2n-1＝20+1+2+…＋(n-1)＝， Sn＝＝2n－1，＝＝， 因为y＝2t在R上单调递增，t＝的图象开口向上，当n＝5时取最小值， 所以当n＝5时， 取最小值． 故选C．] 7．(多选)(2025·长沙模拟)设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，下列说法正确的是(　　) A．若T8＝T12，则a10a11＝1 B．若T8＝T12，则T20＝1 C．若a1＝1 024，且T10为数列{Tn}的唯一最大项，则1，即a11＜1，a10a11＞1，可知0＜q＜1， 由此得到T20＝(a10a11)10＞1，T21＝<1，当n≥21时，Tn均小于1． 综上所述，使得Tn＞1成立的n的最大值为20，故D正确．故选BCD．] 8．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为(　　) A．10 B．15 C．20 D．25 C　[由题意可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8， 由S8－2S4＝5，可得S8－S4＝S4＋5． 又由等比数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8成等比数列， 则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2． 于是a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝＝S4＋＋10≥2＋10＝20， 当且仅当S4＝5时等号成立． 所以a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20．故选C．] 9．(2025·韩城市模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞1，若a2＝8，S3＝28． (1)求{an}的通项公式； (2)证明：>Sn＋7． [解]　(1)等比数列{an}中，由于a2＝8，S3＝28， 则有 解得或(舍去)，所以an＝a1qn-1＝2n+1． (2)证明：因为Sn＝＝2×2n+1－4，且n∈N*， 所以－Sn－7＝(2n+1)2－2×2n+1－3＝(2n+1－3)(2n+1＋1)>0， 所以>Sn＋7．
课后习题(三十九)　等比数列
1．(湘教版选择性必修第一册P26例1改编)在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5等于(　　)
A．5　　　B．±5　　　C．4　　　D．±4
C　[∵＝a3a7＝2×8＝16，∴a5＝±4．
又∵a5＝a3q2＞0，∴a5＝4．故选C．]
2．(人教A版选择性必修第二册P37练习T1(3)改编)在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a2的值为(　　)
A． B．－3
C．－ D．－3或
D　[由S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q-2＋q-1＋1)，得
q-2＋q-1＋1＝3，即2q2－q－1＝0，
解得q＝1或q＝－．
∴a2＝＝或－3．故选D．]
3．(人教A版选择性必修第二册P34练习T3改编)朱载堉是中国明代一位杰出的音乐家、律学家和历学家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度十三个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为f1，第七个音的频率为f2，则＝(　　)
A．4 B．
C． D．
D　[依题意，十三个音的频率依次成等比数列，记为{an}，设公比为q，则a13＝a1q12，又∵a13＝2a1，
∴q＝，∴＝＝q4＝()4＝．故选D．]
4．(人教A版选择性必修第二册P41习题4.3T7(1)改编)已知正项数列{an}的前n项积为Tn，且满足an＝(n∈N*)．求证：数列为等比数列．
[证明]　∵an＝，且an＝(n≥2)，
∴＝(n≥2)，
∵an>0，∴Tn>0，∴3Tn－1＝Tn－1(n≥2)，
则Tn－＝(n≥2)，
当n＝1时，a1＝T1＝，得T1＝，
∴T1－＝，
∴数列是首项为，公比为的等比数列．
5．(2024·秦皇岛三模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，满足a4＋a5＋a6＝351，S6＝364，则数列{an}的公比为(　　)
A． B．2
C．3 D．4
C　[设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，
∵a1＋a2＋a3＝S6－(a4＋a5＋a6)＝364－351＝13，
∴＝＝27＝q3，∴q＝3．故选C．]
6．(2024·吕梁期末)已知正项等比数列{an}满足a4＝16，a6＝64，则S5＝(　　)
A．62 B．30或10
C．62或－22 D．30
A　[设正项等比数列{an}的公比为q(q＞0)，
则q2＝＝＝4，解得q＝2(负值舍去)，
故a1＝＝2，则S5＝＝62．故选A．]
7．(2025·烟台模拟)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝λ－2n+1，则λ＝(　　)
A．－1 B．1
C．－2 D．2
D　[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝＝－2n，
又∵a1＝S1＝λ－4，数列{an}是等比数列，
∴＝，即＝，解得λ＝2．故选D．]
8．(多选)(2025·齐齐哈尔市建华区模拟)在正项等比数列{an}中，已知a3＝8，a5＝2，其前n项和为Sn，则下列说法中正确的是(　　)
A．a1＝32 B．an＝26-n
C．＝4 D．S6＝63
ABD　[设公比为q(q>0)，因为a3＝8，a5＝2，所以q2＝＝，
即q＝，a1＝＝32，A正确；
an＝a1qn-1＝32·＝26-n，故B正确；
＝q2＝，故C错误；S6＝＝63，故D正确．故选ABD．]
9．(2024·厦门调研)等比数列{an}满足an＞0，且a2a8＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝________．
9　[由题意可得a2a8＝＝4，a5＞0，所以a5＝2，则原式＝log2(a1a2…a9)＝9log2a5＝9．]
10．(2025·北京模拟)设等比数列{an}满足a1＋a2＝48，a4＋a5＝6，则公比q＝________，log2(a1a2a3…an)的最大值为________．
　15　[因为a1＋a2＝48，所以由a4＋a5＝6，
可得q3(a1＋a2)＝6，q3＝，q＝．
由a1＋a2＝48，可得a1＋a1＝48，解得a1＝32，
所以an＝32·＝26-n，
log2(a1a2a3…an)＝log2(25·24·…·26-n)＝log2＝，
因为＝－＋，n∈N*，
所以当n＝5或n＝6时，有最大值，最大值为15．]
11．(2024·射洪市三模)等比数列{an}中，a1＝1，a7＝4a5．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝31，求m的值．
[解]　(1)∵等比数列{an}中，a1＝1，a7＝4a5，
∴1×q6＝4×(1×q4)，∴q2＝4，解得q＝±2，
当q＝2时，an＝2n-1，
当q＝－2时，an＝(－2)n-1，
∴{an}的通项公式为an＝2n-1或an＝(－2)n-1．
(2)当a1＝1，q＝－2时，Sn＝＝＝，
由Sm＝31，得＝31，m∈N*，无解；
当a1＝1，q＝2时，Sn＝＝＝2n－1，
由Sm＝31，得2m－1＝31，m∈N*，
解得m＝5．
综上，m的值为5．
12．(2025·海淀区模拟)已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝(n∈N*)．
(1)求证：数列是等比数列，并求出{an}的通项公式；
(2)若＋…＋<2 025，求满足条件的最大整数n．
[解]　(1)证明：在数列{an}中，a1＝，an＋1＝(n∈N*)，
所以＝，
所以－1＝＝，且－1＝，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以－1＝＝1＋，
{an}的通项公式为an＝．
(2)若＋…＋<2 025，
则n＋＋…＋＝n＋＝n＋1－＜2 025，
所以n＜2 024＋，n∈N*，所以满足条件的最大整数n为2 024．
1/1第3课时　等比数列
[考试要求]　1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．了解等比数列与指数函数的关系．
考点一　等比数列基本量的运算
1．通项公式：an＝____________＝amqn－m．
2．前n项和公式：Sn＝
提醒：(1)求等比数列前n项和时，若公比q不明确，需分类讨论．
(2)当q≠1时，等比数列{an}的前n项和Sn＝A＋B·Cn A＋B＝0，公比q＝C(A，B，C均不为零)．
[典例1]　(1)(2024·盐城一模)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋5a1，a5＝4，则a1＝(　　)
A． B．－
C． D．－
(2)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则等于(　　)
A．2n－1 B．2－21-n
C．2－2n-1 D．21-n－1
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　(1)等比数列的通项公式an＝a1qn-1与前n项和公式Sn＝＝(q≠1)中共涉及五个量a1，an，q，n，Sn．已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝．
巩固迁移1　(1)(2025·徐州模拟)已知数列{an}为等比数列，a2＝6，6a1＋a3＝30，则a4＝________．
(2)(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________．
考点二　等比数列的判定与证明
1．等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的比都等于__________(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的____，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．
2．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么__叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab．
提醒：“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．
[典例2]　(2025·八省联考节选)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝．
(1)证明：数列为等比数列；
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)求{an}的通项公式．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　通常用定义法证明一个数列为等比数列．即＝q(q≠0)．本例只需证明＝≠0．
巩固迁移2　已知数列{an}中，a1＝2，且an＝2an－1－n＋2(n≥2，n∈N*)．
(1)求a2，a3，并证明{an－n}是等比数列；
(2)求通项公式an．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点三　等比数列的性质
1．等比数列的常用性质
(1)若m＋n＝p＋q，则____·__________·____，其中m，n，p，q∈N*．特别地，若2w＝m＋n，则______·____，其中m，n，w∈N*．
(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为____(k，m∈N*)．
(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0)．
(4)若或则等比数列{an}递__．
若或则等比数列{an}递__．
2．等比数列前n项和的常用性质
若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，q＝－1且n为偶数时除外．
提醒：(1)由an＋1＝qan，q≠0，并不能断定{an}为等比数列，还要验证a1≠0．
(2)等比数列的前n项和Sn＝＝qn，令A＝－，可以写成Sn＝Aqn－A(其中A≠0，q≠1)．
[常用结论]
1．数列{an}是等比数列．
(1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，…成等比数列．
(2)若Sn是其前n项和，数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q或＝q．
2．三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，xq，xq3．
　项的性质
[典例3]　已知数列{an}是等比数列，若a2，a48是方程2x2－7x＋6＝0的两个根，则a1·a2·a25·a48·a49的值为(　　)
A． B．9
C．±9 D．243
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　在等比数列中，两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方，通过本例要树立这一“转化意识”．
巩固迁移3　(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________．
　和的性质
[典例4]　(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　)
A．120 B．85
C．－85 D．－120
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思领悟　本例方法一关键是把和q2都“整体看待”，减少了运算量．方法二利用在等比数列中，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…仍为等比数列，但求出S2后，要注意检验．
巩固迁移4　(1)(2025·山西大同模拟)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．
(2)(人教A版选择性必修第二册P37例9改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2025·周口市川汇区模拟)在等比数列{an}中，a1，a8是方程3x2＋2x－6＝0的两个根，则a4·a5＝(　　)
A．－6 B．－2
C．－ D．2
2．(多选)(2025·太原模拟)设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是(　　)
A．数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列
B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列
C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列
D．数列是公比为的等比数列
3．(2024·东北三校联考)已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，若a2a6＝－2a7，S3＝－6，则a6等于(　　)
A．－2或32 B．－2或64
C．2或－32 D．2或－64
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．在等比数列{an}中，已知a1a3＝36，a2＋a4＝60，则a1＋q＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
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