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滚动测试卷(三)　第一～六章
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，若B A，则a＝(　　)
[A]　2 [B]　1
[C]　－2 [D]　－1
2．已知复数z满足|z－3＋4i|＝1，则z在复平面内对应的点位于(　　)
[A]　第一象限 [B]　第二象限
[C]　第三象限 [D]　第四象限
3．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a3a5＝2a2a4，则＝(　　)
[A]　5 [B]　4
[C]　3 [D]　2
4．已知平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝|b|＝1，|c|＝，则a与b的夹角为(　　)
[A]　 [B]　
[C]　 [D]　
5．(2025·湖北武汉模拟)已知数列满足a1＝－，an＋1＝1－，则a6＝(　　)
[A]　－ [B]　
[C]　 [D]　5
6．已知公差为负数的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3，a4，a7是等比数列，则当Sn取最大值时，n＝(　　)
[A]　2或3 　 [B]　2
[C]　3 [D]　4
7．已知函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能是(　　)
[A]　f (x)＝sin (tan x) [B]　f (x)＝tan (sin x)
[C]　f (x)＝cos (tan x) [D]　f (x)＝tan (cos x)
8．已知正项数列{an}满足＋…＋＝(n∈N*)，若a5－2a6＝7，则a1＝(　　)
[A]　 [B]　1
[C]　 [D]　2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量a，b不共线，向量a＋b平分a与b的夹角，则下列结论一定正确的是(　　)
[A]　a·b＝0
[B]　(a＋b)⊥(a－b)
[C]　向量a与b在a＋b上的投影向量相等
[D]　|a＋b|＝|a－b|
10．已知等差数列的前n项和为Sn，正项等比数列的前n项积为Tn，则(　　)
[A]　数列是等差数列
[B]　数列是等比数列
[C]　数列是等差数列
[D]　数列是等比数列
11．已知定义在R上的函数f (x)满足以下条件：①对于任意的x，y∈R，f (x＋y)＋f (x－y)＝2f (x)f (y)；②f (0)≠0；③f (k)＝0，其中k是正常数．则下列结论正确的是(　　)
[A]　f (0)＝1
[B]　f (2k)＝1
[C]　f (x)是偶函数
[D]　f (x＋2k)＋f (x)＝0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量a，b，c在网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则(a－b)·c＝________，a·b＝________．
13．(2024·盐城调研)写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{an}的通项公式an＝________．
①anan＋1<0；②|an|<|an＋1|．
14．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E(第二段圆弧)，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝8，a6＝12．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若Sn＝20，求n的值．
16．(15分)设数列{an}的前n项和为Sn，an＋Sn＝1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}满足anbn＝cos ，求{bn}的前50项和T50．
17．(15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m＝(2sin A，sin A＋cos A)，n＝(cos A，cos A－sin A)，f (A)＝m·n，A∈．
(1)求函数f (A)的最大值；
(2)若f (A)＝0，a＝，sin B＋sin C＝，求△ABC的面积．
18．(17分)(2025·西安市未央区校级模拟)已知等差数列{an}的首项为1，公差为2．正项数列{bn}的前n项和为Sn，且2Sn＝＋bn．
(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
(2)若cn＝，求数列{cn}的前2n项和．
19．(17分)已知函数f (x)＝－aex，a∈R．
(1)当a＝0时，求曲线y＝f (x)在x＝1处的切线方程；
(2)当a＝1时，求f (x)的单调区间和极值；
(3)若对任意x∈R，f (x)≤ex-1恒成立，求实数a的取值范围．
1/1滚动测试卷(三)　第一～六章
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，若B A，则a＝(　　)
A．2 B．1
C．－2 D．－1
A　[因为B A，所以a＋2＝3或a＋2＝a2．
由a＋2＝3，得a＝1(舍去)．
由a＋2＝a2，得a＝－1(舍去)或a＝2．故选A．]
2．已知复数z满足|z－3＋4i|＝1，则z在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D　[由|z－3＋4i|＝1及复数的几何意义，可得复数z在复平面内对应的点Z(a，b)的轨迹是以(3，－4)为圆心、1为半径的圆，该圆的方程为(a－3)2＋(b＋4)2＝1，所以z在复平面内对应的点位于第四象限．故选D．]
3．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a3a5＝2a2a4，则＝(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
C　[法一：设等比数列{an}的公比为q，由a3a5＝2a2a4，得a1q2·a1q4＝2a1q·a1q3，又a1≠0，q≠0，所以q2＝2，所以＝＝1＋q2＝3．故选C．
法二：设等比数列{an}的公比为q，由a3a5＝2a2a4，
得a3a5＝2a2a4＝，
因为a3≠0，所以a5＝2a3，
所以q2＝2，所以＝＝1＋＝1＋＝1＋q2＝3．故选C．]
4．已知平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝|b|＝1，|c|＝，则a与b的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
B　[由题意得(a＋b)2＝2＋2a·b＝2＋2|a||b|·cos 〈a，b〉＝2＋2cos 〈a，b〉＝3，所以cos 〈a，b〉＝．
又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝．故选B．]
5．(2025·湖北武汉模拟)已知数列满足a1＝－，an＋1＝1－，则a6＝(　　)
A．－ B．
C． D．5
B　[由题意得a1＝－，a2＝1－＝5，a3＝1－＝，
a4＝1－＝－，a5＝1－＝5，a6＝1－＝．
故选B．]
6．已知公差为负数的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3，a4，a7是等比数列，则当Sn取最大值时，n＝(　　)
A．2或3 　 B．2
C．3 D．4
B　[设等差数列的公差为d(d<0)，则由a3，a4，a7是等比数列，得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，整理得d(2a1＋3d)＝0，所以2a1＋3d＝0，即a1＝－d，所以Sn＝na1＋d＝n2－2dn＝－2d．因为d<0，所以当n＝2时，Sn取得最大值－2d．故选B．]
7．已知函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能是(　　)
A．f (x)＝sin (tan x) B．f (x)＝tan (sin x)
C．f (x)＝cos (tan x) D．f (x)＝tan (cos x)
D　[根据题图可知函数f (x)的图象关于y轴对称，所以函数f (x)为偶函数，且定义域为R．对于A，C，函数f (x)的定义域为，不满足题意，故排除A，C；对于B，f (－x)＝tan [sin (－x)]＝tan (－sin x)＝－tan (sin x)＝－f (x)，f (x)为奇函数，不满足题意，故排除B．故选D．]
8．已知正项数列{an}满足＋…＋＝(n∈N*)，若a5－2a6＝7，则a1＝(　　)
A． B．1
C． D．2
D　[当n＝1时，＝，即a1a2＝3，
当n≥2时，由＋…＋＝，得＋…＋＝＝，以上两式相减，得＝＝，又a1a2＝3，所以anan＋1＝4n2－1(n∈N*)，所以a5a6＝4×52－1＝99，又a5－2a6＝7，所以a5＝18，a6＝．因为a4a5＝4×42－1＝63，所以a4＝．因为a3a4＝4×32－1＝35，所以a3＝10．因为a2a3＝4×22－1＝15，所以a2＝，所以a1＝2．故选D．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量a，b不共线，向量a＋b平分a与b的夹角，则下列结论一定正确的是(　　)
A．a·b＝0
B．(a＋b)⊥(a－b)
C．向量a与b在a＋b上的投影向量相等
D．|a＋b|＝|a－b|
BC　[在 ABCD中，令＝a，＝b，由题意可知， ABCD为菱形，所以||＝||，即|a|＝|b|，a＋b＝，a－b＝．对于A，因为a·b＝|a|·|b|cos 〈a，b〉，所以只有当〈a，b〉＝时，才有a·b＝0，故A不正确；对于B，由菱形的性质知AC⊥BD，即(a＋b)⊥(a－b)，故B正确；对于C，因为a2＝b2，所以a2＋a·b＝b2＋a·b，即a·(a＋b)＝b·(a＋b)，因为a在a＋b上的投影向量为·(a＋b)，b在a＋b上的投影向量为·(a＋b)，所以向量a与b在a＋b上的投影向量相等，故C正确；对于D，菱形的对角线不一定相等，故D不正确．综上，故选BC．]
10．已知等差数列的前n项和为Sn，正项等比数列的前n项积为Tn，则(　　)
A．数列是等差数列
B．数列是等比数列
C．数列是等差数列
D．数列是等比数列
ABD　[设的公差为d，的公比为q，
则Sn＝n2＋n ＝n＋，
所以＝是常数，故A正确；
易知＝＝3d是常数，故B正确；
由ln Tn－ln Tn－1＝ln bn不是常数，故C错误；
÷＝＝q2是常数，故D正确．
故选ABD．]
11．已知定义在R上的函数f (x)满足以下条件：①对于任意的x，y∈R，f (x＋y)＋f (x－y)＝2f (x)f (y)；②f (0)≠0；③f (k)＝0，其中k是正常数．则下列结论正确的是(　　)
A．f (0)＝1
B．f (2k)＝1
C．f (x)是偶函数
D．f (x＋2k)＋f (x)＝0
ACD　[f (x＋y)＋f (x－y)＝2f (x)f (y)对任意x，y∈R都成立，
对于A，令x＝y＝0，得2f (0)＝2[f (0)]2，因为f (0)≠0，所以f (0)＝1，所以选项A正确；
对于B，令x＝y＝k，得f (2k)＋f (0)＝2[f (k)]2，因为f (0)＝1，f (k)＝0，所以f (2k)＝－1，所以选项B错误；
对于C，令x＝0，得f (y)＋f (－y)＝2f (0)f (y)，因为f (0)＝1，所以f (－y)＝f (y)，所以函数f (x)是偶函数，所以选项C正确；
对于D，令y＝k，且x＋k代换x，得f (x＋2k)＋f (x)＝2f (x＋k)f (k)，因为f (k)＝0，所以f (x＋2k)＋f (x)＝0，所以选项D正确．综上，故选ACD．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量a，b，c在网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则(a－b)·c＝________，a·b＝________．
2　3　[建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，所以a－b＝(0，2)，a·b＝4－1＝3，所以(a－b)·c＝2．
]
13．(2024·盐城调研)写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{an}的通项公式an＝________．
①anan＋1<0；②|an|<|an＋1|．
(－2)n(答案不唯一)　[设等比数列{an}的公比为q，
由anan＋1<0，可知q<0，
又|an|<|an＋1|，所以|q|>1，
所以q<－1，所以q可取－2，
设a1＝－2，
则an＝－2·(－2)n-1＝(－2)n(答案不唯一)．]
14．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E(第二段圆弧)，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为________．
44π　[由题意知每段圆弧所对的圆心角都是，第n段圆弧的半径为n，弧长记为an，
则an＝·n，
所以前11段圆弧的长度S11＝(1＋2＋…＋11)＝44π．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝8，a6＝12．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若Sn＝20，求n的值．
[解]　(1)∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝8，a6＝12，
∴解得a1＝2，d＝2，
∴数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n．
(2)∵Sn＝20，
∴Sn＝(a1＋an)＝(2＋2n)＝n2＋n＝20，
解得n＝4或n＝－5，∵n∈N*，∴n的值为4．
16．(15分)设数列{an}的前n项和为Sn，an＋Sn＝1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}满足anbn＝cos ，求{bn}的前50项和T50．
[解]　(1)由an＋Sn＝1，得an－1＋Sn－1＝1(n≥2)，
两式相减得an－an－1＋an＝0(n≥2)，
即an＝an－1(n≥2)，
当n＝1时，2a1＝1，得a1＝≠0，
所以＝(n≥2)，故{an}是首项为，公比为的等比数列．
故an＝．
(2)由(1)得bn＝2n cos ，
所以T50＝－22＋24－26＋28－…－250
＝
＝－(1＋425)．
17．(15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m＝(2sin A，sin A＋cos A)，n＝(cos A，cos A－sin A)，f (A)＝m·n，A∈．
(1)求函数f (A)的最大值；
(2)若f (A)＝0，a＝，sin B＋sin C＝，求△ABC的面积．
[解]　由题知，f (A)＝m·n
＝(2sin A，sin A＋cos A)·(cos A，cos A－sin A)
＝2sin A cos A＋cos2A－sin2A
＝sin2A＋cos 2A
＝2sin ．
因为≤A≤，所以≤2A＋，
所以－1≤sin ，
所以f (A)∈[－2，]，
所以函数f (A)的最大值为．
(2)因为f (A)＝2sin ＝0，
所以2A＋＝kπ，k∈Z，
所以A＝，k∈Z．
因为A∈，所以A＝．
在△ABC中，由正弦定理得，＝＝＝＝2，
所以b＋c＝(sin B＋sin C)＝，
所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝6，①
由余弦定理得b2＋c2－2bc cos A＝a2，
即b2＋c2－bc＝3，②
由①②解得bc＝1，
所以S△ABC＝bc sin A＝×1×＝．
18．(17分)(2025·西安市未央区校级模拟)已知等差数列{an}的首项为1，公差为2．正项数列{bn}的前n项和为Sn，且2Sn＝＋bn．
(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
(2)若cn＝，求数列{cn}的前2n项和．
[解]　(1)依题意可得an＝1＋2(n－1)＝2n－1，
由2Sn＝＋bn，得2Sn－1＝＋bn－1(n≥2)，
两式相减得2bn＝＋bn－bn－1，则(bn＋bn－1)(bn－bn－1－1)＝0(n≥2)，
∵bn＞0，∴bn－bn－1＝1，
令n＝1，得2S1＝2b1＝＋b1，得b1＝1或b1＝0(舍去)，
∴bn＝1＋(n－1)×1＝n，
综上可得，an＝2n－1，bn＝n．
(2)由(1)可得cn＝＝，
∴c1＋c2＋…＋c2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n)＝(1＋5＋…＋4n－3)＋(22＋24＋…＋
22n)＝＝(2n－1)n＋，
∴{cn}的前2n项和为(2n－1)n＋．
19．(17分)已知函数f (x)＝－aex，a∈R．
(1)当a＝0时，求曲线y＝f (x)在x＝1处的切线方程；
(2)当a＝1时，求f (x)的单调区间和极值；
(3)若对任意x∈R，f (x)≤ex-1恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　(1)当a＝0时，f (x)＝，则f ′(x)＝，f′(1)＝0，又f (1)＝，
所以曲线y＝f (x)在x＝1处的切线方程为y＝．
(2)当a＝1时，f (x)＝xe－x－ex，则f ′(x)＝(1－x)e－x－ex＝．
令g(x)＝1－x－e2x，则g′(x)＝－1－2e2x<0，
故g(x)在R上单调递减，又g(0)＝0，
因此0是g(x)在R上的唯一零点，
即0是f′(x)在R上的唯一零点．
当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 －
f (x) 单调递增 －1 单调递减
所以f (x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)，
f (x)的极大值为f (0)＝－1，无极小值．
(3)由题意知xe－x－aex≤ex-1，即a≥，即a≥．
设m(x)＝，则m′(x)＝＝，
令m′(x)＝0，解得x＝，
当x∈时，m′(x)>0，m(x)单调递增，当x∈时，m′(x)<0，m(x)单调递减，
所以m(x)max＝m＝＝－．
所以a≥－，即实数a的取值范围为．
1/1

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