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四川省雅安市2024-2025学年高三下学期第二次诊断性考试（4月二模）数学试卷
1．（2025·雅安模拟）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·雅安模拟）下列函数中为奇函数的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·雅安模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·雅安模拟）已知向量，，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·雅安模拟）记为等差数列的前项和，若，，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·雅安模拟）已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2，则球的体积为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·雅安模拟）已知双曲线渐近线的斜率的绝对值大于，则该双曲线离心率的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·雅安模拟）已知，且，对于任意均有，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·雅安模拟）已知函数，下列说法正确的是（　　）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增
D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则
10．（2025·雅安模拟）已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线，则下列说法中正确的是（　　）
A．曲线的方程为
B．的最大值为6
C．点到直线的距离的最大值为2
D．设直线与曲线的另一个交点为，则
11．（2025·雅安模拟）某次考试结束后，甲、乙两人去询问分数.老师对两人说：你们的分数相同，是一个两位的素数，并将这个素数的十位、个位数字分别告诉甲、乙.两人写出所有两位素数（11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97）后，对话如下：
甲：我不知道这个素数是多少.
乙：我早就知道你不可能知道.
甲：我还是不知道.
乙：我也早就知道你刚才不可能知道.
甲：我现在知道了.
则这个素数（　　）
A．不是97 B．十位数字不是3，6
C．是43 D．是73
12．（2025·雅安模拟）椭圆上一点到其两焦点，的距离之和等于20，则椭圆的标准方程为　 　.
13．（2025·雅安模拟）展开式中含项的系数为　 　.
14．（2025·雅安模拟）在公比不为1的等比数列中，若，且有成立，则　 　.
15．（2025·雅安模拟）国产动画电影《哪吒之魔童闹海》现已登顶全球动画电影票房榜榜首，并刷新多项世界票房纪录.下表截取了该电影上映后10日的单日累计票房：
日期 1月29日 1月30日 1月31日 2月1日 2月2日 2月3日 2月4日
日期代码 1 2 3 4 5 6 7
累计票房（亿元） 4.88 9.68 15.87 23.19 31.32 39.76 48.43
日期 2月5日 2月6日 2月7日 　 　 　 　
日期代码 8 9 10 　 　 　 　
累计票房（亿元） 54.92 60.78 66.20 　 　 　 　
（1）请根据这10日数据：
（i）计算，的平均值，；
（ii）求关于的经验回归方程；
（2）用上面求出的经验回归方程预测该电影上映半年后的票房，得到的结果合理吗？为什么？
附：
参考公式：经验回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；
参考数据：，.
16．（2025·雅安模拟）记锐角的内角，，的对边分别为，，，.
（1）求角；
（2）若，求面积的取值范围.
17．（2025·雅安模拟）已知函数.
（1）若，，求的单调区间和极值；
（2）若，证明：当时，.
18．（2025·雅安模拟）如图，已知四面体中，，，，平面平面.
（1）求证：；
（2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（3）在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为.试比较，，的大小.
19．（2025·雅安模拟）已知抛物线：.
（1）若点为抛物线上一点，证明：抛物线在点处的切线方程为；
（2）设，是抛物线：上两点，过点，分别作的切线交于点，点，分别在线段，的延长线上，直线与抛物线相切于点.
（i）证明：；
（ii）记，的面积分别为，，求的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对于A，令，，又因为，
则，，
所以是非奇非偶函数，故A错误；
对于B，令，，
又因为，
所以是偶函数，故B错误；
对于C，令，，
又因为，
所以是奇函数，故C正确；
对于D，因为的定义域为，
所以是非奇非偶函数，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据奇函数的定义，从而逐项判断找出奇函数.
3．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，
得.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和复数的除法运算法则，从而得出复数z.
4．【答案】A
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，且，
所以，
解得.
故答案为：A.
【分析】根据向量垂直的坐标表示和已知条件，从而得出x的值.
5．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为是等差数列，
根据等差数列的性质可得，则，
又因为，所以，解得.
设等差数列的公差为，
根据等差数列通项公式，
可得，
解得，，
根据等差数列的前项和公式，
可得，
将代入，
可得.
故答案为：D.
【分析】根据等差数列的性质求出与的值，再利用等差数列的通项公式求出数列的首项和公差的值，再根据等差数列的前项和公式求出，从而得出的表达式.
6．【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图，作正四棱锥，连结，，交于点，连结，
则平面，
则，，
根据立体图形的对称性，
又因为正四棱锥的外接球球心在高的延长线上，设为E，连接EC，
则球的半径，
则，
在内，由，
可得，解得，
故正四棱锥外接球的体积为﹒
故答案为：B．
【分析】先作正四棱锥，为底面中心，从而得出线面垂直和OP的长，再利用立体几何图形的对称性判断其外接球球心在高的延长线上，设球心为，在中，根据勾股定理得出正四棱柱外接球的半径，再利用球的体积公式得出正四棱锥外接球的体积．
7．【答案】D
【知识点】直线的斜率；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：当焦点在轴上时，则，
所以；
当焦点在轴上时，则，
所以
所以，
综上所述，该双曲线离心率的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】分焦点在轴和轴上两种情况讨论，再结合双曲线的渐近线公式和双曲线的离心率公式，再利用已知条件得出该双曲线离心率的取值范围.
8．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，
所以且，
设，
则的零点为，
当时，则，，
要使，必有，则，不合题意；
当时，则或，
所以或，
综上所述，一定有.
故答案为：B.
【分析】对分与两种情况讨论，再结合三次函数的零点和方程的根的等价关系，再根据数形结合得出，从而找出正确的选项.
9．【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于选项A，
在函数中，的最小正周期，故选项A正确；
对于选项B，对于余弦函数，其对称轴方程为，
令，解得，
令，解得，故选项B错误；
对于选项C，对于余弦函数，其单调递增区间为，
令，
解不等式得：，
当时，，
所以在上单调递增，故选项C正确；
对于选项D，将的图象向左平移个单位长度，
根据“左加右减”的原则，得到，
则，
根据诱导公式，可得，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用余弦型函数的最小正周期公式，则判断出选项A；先求出函数的对称轴方程，令，解出，再看取整数时能否得到，则判断出选项B；先找出余弦型函数的单调递增区间，当时，该范围包含，则判断出选项C；根据“左加右减”原则，从而得出函数，再利用诱导公式得出，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：对于A，设动点，
由，得，
化简得：，
则，故A正确；
对于B，因为点的轨迹为以为圆心，半径的圆，则，
所以的最大值为，故B正确；
对于C，要使点到直线的距离最大，
则直线与圆相切，
设此时直线的方程为，
则，
所以，
解得，
则当直线与圆相切时，直线的方程为，
即，此时点到直线的距离为，
则点到直线的距离的最大值为，故C错误；
对于D，当直线的斜率不存在时，满足；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，
联立，
得，
则，
则
，
所以直线与直线的倾斜角互补，
则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】设动点，根据题意列方程化简，从而得出曲线C的方程，则可判断选项A；结合圆的几何性质求两点距离最大值和点到直线的距离公式的最大值，则判断出选项B和选项C；分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，再联立直线方程与圆的方程得出韦达定理式，再利用两点求斜率公式得出直线与直线的倾斜角互补，从而得出，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,B,C
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：将所有两位素数列表如下：
　 1 3 7 9
1 11 13 17 19
2 　 23 　 29
3 31 　 37 　
4 41 43 47 　
5 　 53 　 59
6 61 　 67 　
7 71 73 　 79
8 　 83 　 89
9 　 　 97 　
第一句话：甲不知道说明不是，故A正确；
第二句话：乙笃定甲不知道，说明个位数不是，排除，
第三句话：甲回答还是不知道，说明十位数不是，排除，故B正确；
第四句话：乙还是笃定刚才甲不知道，说明个位数不是，
第五句话：甲回答知道了，说明该素数十位数划去列后剩下唯一素数，只有满足条件，
故C正确、D错误.
故答案为：ABC.
【分析】将所有两位素数列表，再逐一分析五句话，再利用排除法逐项判断，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：由题意可知，椭圆的焦点在轴上，
设其标准方程为，
由题意可知，焦距，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
故答案为：.
【分析】根据题意得出椭圆的焦点在轴上，从而设出椭圆的标准方程，再利用椭圆的定义和焦距公式以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出的值，进而得出椭圆C的标准方程.
13．【答案】
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：对于，其展开式的通式为，
则展开式中含项的系数为.
故答案为：.
【分析】先利用二项式定理得出的展开式的通项，再根据的次数选择对应的系数求和计算，从而得出展开式中含项的系数.
14．【答案】10或4049
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，且，
由，得，
故，
因为，
，
，即，
，
又因为，
，
，
化简整理得，
所以，
解得或，均满足.
故答案为：或.
【分析】设等比数列的公比为，由可得，再利用等比数列的通项公式化简条件等式，从而可得，再解一元二次方程和m的取值范围，从而得出满足条件的m的值.
15．【答案】（1）解：（i）由题意，
可得，
.
（ii）因为，
所以，
，
所以关于的经验回归方程为.
（2）解：由（1）知，，
当时，，
则预测该电影上映半年后的票房为亿元，
这样的预测结果显然不合理，电影的票房一般在刚上映的一段时间内增长较快，
随着时间的推移，增长速度会逐渐放缓，
而所求的经验回归方程是假设变量之间具有线性关系，
不能准确反映电影票房在较长时间内的变化趋势，
所以用这个方程预测半年后的票房是不合理的.
【知识点】众数、中位数、平均数；线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）（i）根据平均数的定义和已知条件，从而得出，的平均值，.
（ii）根据参考公式和最小二乘法，从而得出关于的经验回归方程.
（2）根据，代值计算可得到预测结果，再结合变量的变化趋势判断是否合理.
（1）由题意，，
，
，
则，
，
所以关于的经验回归方程为.
（2）由（1）知，，
当时，，
则预测该电影上映半年后的票房为亿元，
这样的预测结果显然不合理，电影的票房一般在刚上映的一段时间内增长较快，
随着时间的推移，增长速度会逐渐放缓，
而所求的经验回归方程是假设变量之间具有线性关系，
不能准确反映电影票房在较长时间内的变化趋势，
所以用这个方程预测半年后的票房是不合理的.
16．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理，得，
在锐角中，，
所以，
又因为，
所以.
（2）解：因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，
所以.
【知识点】二倍角的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和正弦定理化边为角，再结合锐角三角形中角的正弦值的正负，从而得出角C的余弦值，再利用三角形中角C的取值范围，从而得出角C的值.
（2）利用正弦定理结合两角和的正弦公式和同角三角函数基本关系式，则，再利用锐角三角形中角的取值范围和三角形内角和定理，从而得出角B的取值范围，再结合正切型函数求值域的方法和三角形的面积公式，从而得出面积的取值范围.
（1）因为，
由正弦定理得，
又因为在锐角中，
所以，
又，所以；
（2）因为，
所以，
因为，所以，
所以，所以
所以.
17．【答案】（1）解：若，，
则，
则，
令，得；令，得，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，函数的极小值为，无极大值.
（2）证明：若，
则，
则，
当时，函数在上都是增函数，
所以，函数在上是增函数，
当时，；当时，，
所以存在唯一实数，使得，
则，
令，则；令，则，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以
，
当且仅当时，即当时取等号，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；基本不等式在最值问题中的应用；函数极限
【解析】【分析】（1）先求导，再根据导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间，再根据函数的单调性，从而得出函数的极值.
（2）利用导数判断函数的单调性和函数求极限的方法，从而得出存在唯一实数，使得，则，再利用导数判断函数的单调性和基本不等式求最值的方法，从而得出函数的最小值，即证出当时，.
（1）若，，则，
则，
令，得，令，得，
所以函数的增区间为，减区间为，
所以函数的极小值为，无极大值；
（2）若，则，
则，
当时，函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
又当时，，当时，，
所以存在唯一实数，使得，即，
令，则，令，则，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以.
18．【答案】（1）证明：过作，交于，
因为平面平面，
平面平面平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又因为平面，
所以平面，
又因为平面，
所以；
（2）解：由（1）得，，
因为平面，
所以平面，
因为，
所以，
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，
设，
所以
设平面的法向量为，
则，
所以，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
则
解得，
则为的中点，
所以.
（3）解：6条棱中任选2条，共有种情况，
其中相互垂直的棱有5对：，
故，
4个面任选2个面，共有种情况，
其中相互垂直的面有3对：
平面平面，平面平面，平面平面，
故，
任选1个面和不在此面上的1条棱，
先从4个平面任选1个平面，共有种情况，
再从不在此面上的3条棱中选1条，有种情况，
故共有种情况，
其中满足垂直关系的有2种，分别为平面和棱，平面和棱，
故，
所以．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）过作，交于，根据面面垂直的性质定理可得平面，再结合线面垂直的性质定理与判定定理，从而证出.
（2）由（1）得，，利用线线垂直证出线面垂直，再结合勾股定理，则以为原点，建立空间直角坐标系，则得出点的坐标，设，则得出向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式以及已知条件，从而得出t的值，从而得出点E为BD的中点，进而得出的值.
（3）分别列举出相互垂直的棱、相互垂直的面和一个面垂直不在此面上的一条棱的基本事件，再结合古典概率公式得出，，的值，从而比较出，，的大小.
（1）过作，交于，因为平面平面，
平面平面平面，
所以平面，又平面，所以，
又因为平面，
所以平面，
又平面，所以；
（2）由（1）得，又平面，
所以平面，因为，
故，
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，设，
所以，
设平面的法向量为，则有，
即，令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
解得，故为的中点，
所以；
（3）6条棱中任选2条，共有种情况，其中相互垂直的棱有5对：
，故，
4个面任选2个面，共有种情况，其中相互垂直的面有3对：
平面平面，平面平面，平面平面，
故。
任选1个面和不在此面上的1条棱，先从4个平面任选1个平面，共有种情况，
再从不在此面上的3条棱中选1条，有种情况，故共有种情况，
其中满足垂直关系的有2种，分别为平面和棱，平面和棱，
故，
所以．
19．【答案】（1）证明：因为二次函数为，求导得，
则抛物线在点切线的斜率为，
则切线方程为，
又因为，整理得，
所以，抛物线在点处的切线方程为.
（2）（i）证明：令，
设点的横坐标分别为，
由（1）知，直线的方程分别为，，，
联立可得，
因此，
同理可得，
所以.
（ii）解：由（i），令，
则
所以的值为2.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先求出函数的导数，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式证出抛物线在点处的切线方程为.
（2）（i）利用（1）的结论，设出切点坐标，从而求出直线的方程，再两两联立直线方程，从而求出交点的横坐标，再利用两点距离公式证出.
（ii）令，利用割补法结合三角形面积比列式，从而计算得出的值.
（1）二次函数，求导得，抛物线在点切线的斜率为，
则切线方程为，而，整理得，
所以抛物线在点处的切线方程为.
（2）（i）令，设点的横坐标分别为，
由（1）知，直线的方程分别为，，，
联立，
因此，同理，
所以.
（ii）由（i），令，
则，
，
，
，
，
所以的值为2.
1 / 1四川省雅安市2024-2025学年高三下学期第二次诊断性考试（4月二模）数学试卷
1．（2025·雅安模拟）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和交集的运算法则，从而得出集合.
2．（2025·雅安模拟）下列函数中为奇函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对于A，令，，又因为，
则，，
所以是非奇非偶函数，故A错误；
对于B，令，，
又因为，
所以是偶函数，故B错误；
对于C，令，，
又因为，
所以是奇函数，故C正确；
对于D，因为的定义域为，
所以是非奇非偶函数，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据奇函数的定义，从而逐项判断找出奇函数.
3．（2025·雅安模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，
得.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和复数的除法运算法则，从而得出复数z.
4．（2025·雅安模拟）已知向量，，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，且，
所以，
解得.
故答案为：A.
【分析】根据向量垂直的坐标表示和已知条件，从而得出x的值.
5．（2025·雅安模拟）记为等差数列的前项和，若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为是等差数列，
根据等差数列的性质可得，则，
又因为，所以，解得.
设等差数列的公差为，
根据等差数列通项公式，
可得，
解得，，
根据等差数列的前项和公式，
可得，
将代入，
可得.
故答案为：D.
【分析】根据等差数列的性质求出与的值，再利用等差数列的通项公式求出数列的首项和公差的值，再根据等差数列的前项和公式求出，从而得出的表达式.
6．（2025·雅安模拟）已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2，则球的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图，作正四棱锥，连结，，交于点，连结，
则平面，
则，，
根据立体图形的对称性，
又因为正四棱锥的外接球球心在高的延长线上，设为E，连接EC，
则球的半径，
则，
在内，由，
可得，解得，
故正四棱锥外接球的体积为﹒
故答案为：B．
【分析】先作正四棱锥，为底面中心，从而得出线面垂直和OP的长，再利用立体几何图形的对称性判断其外接球球心在高的延长线上，设球心为，在中，根据勾股定理得出正四棱柱外接球的半径，再利用球的体积公式得出正四棱锥外接球的体积．
7．（2025·雅安模拟）已知双曲线渐近线的斜率的绝对值大于，则该双曲线离心率的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】直线的斜率；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：当焦点在轴上时，则，
所以；
当焦点在轴上时，则，
所以
所以，
综上所述，该双曲线离心率的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】分焦点在轴和轴上两种情况讨论，再结合双曲线的渐近线公式和双曲线的离心率公式，再利用已知条件得出该双曲线离心率的取值范围.
8．（2025·雅安模拟）已知，且，对于任意均有，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，
所以且，
设，
则的零点为，
当时，则，，
要使，必有，则，不合题意；
当时，则或，
所以或，
综上所述，一定有.
故答案为：B.
【分析】对分与两种情况讨论，再结合三次函数的零点和方程的根的等价关系，再根据数形结合得出，从而找出正确的选项.
9．（2025·雅安模拟）已知函数，下列说法正确的是（　　）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增
D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则
【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于选项A，
在函数中，的最小正周期，故选项A正确；
对于选项B，对于余弦函数，其对称轴方程为，
令，解得，
令，解得，故选项B错误；
对于选项C，对于余弦函数，其单调递增区间为，
令，
解不等式得：，
当时，，
所以在上单调递增，故选项C正确；
对于选项D，将的图象向左平移个单位长度，
根据“左加右减”的原则，得到，
则，
根据诱导公式，可得，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用余弦型函数的最小正周期公式，则判断出选项A；先求出函数的对称轴方程，令，解出，再看取整数时能否得到，则判断出选项B；先找出余弦型函数的单调递增区间，当时，该范围包含，则判断出选项C；根据“左加右减”原则，从而得出函数，再利用诱导公式得出，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2025·雅安模拟）已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线，则下列说法中正确的是（　　）
A．曲线的方程为
B．的最大值为6
C．点到直线的距离的最大值为2
D．设直线与曲线的另一个交点为，则
【答案】A,B,D
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：对于A，设动点，
由，得，
化简得：，
则，故A正确；
对于B，因为点的轨迹为以为圆心，半径的圆，则，
所以的最大值为，故B正确；
对于C，要使点到直线的距离最大，
则直线与圆相切，
设此时直线的方程为，
则，
所以，
解得，
则当直线与圆相切时，直线的方程为，
即，此时点到直线的距离为，
则点到直线的距离的最大值为，故C错误；
对于D，当直线的斜率不存在时，满足；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，
联立，
得，
则，
则
，
所以直线与直线的倾斜角互补，
则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】设动点，根据题意列方程化简，从而得出曲线C的方程，则可判断选项A；结合圆的几何性质求两点距离最大值和点到直线的距离公式的最大值，则判断出选项B和选项C；分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，再联立直线方程与圆的方程得出韦达定理式，再利用两点求斜率公式得出直线与直线的倾斜角互补，从而得出，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2025·雅安模拟）某次考试结束后，甲、乙两人去询问分数.老师对两人说：你们的分数相同，是一个两位的素数，并将这个素数的十位、个位数字分别告诉甲、乙.两人写出所有两位素数（11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97）后，对话如下：
甲：我不知道这个素数是多少.
乙：我早就知道你不可能知道.
甲：我还是不知道.
乙：我也早就知道你刚才不可能知道.
甲：我现在知道了.
则这个素数（　　）
A．不是97 B．十位数字不是3，6
C．是43 D．是73
【答案】A,B,C
【知识点】进行简单的合情推理
【解析】【解答】解：将所有两位素数列表如下：
　 1 3 7 9
1 11 13 17 19
2 　 23 　 29
3 31 　 37 　
4 41 43 47 　
5 　 53 　 59
6 61 　 67 　
7 71 73 　 79
8 　 83 　 89
9 　 　 97 　
第一句话：甲不知道说明不是，故A正确；
第二句话：乙笃定甲不知道，说明个位数不是，排除，
第三句话：甲回答还是不知道，说明十位数不是，排除，故B正确；
第四句话：乙还是笃定刚才甲不知道，说明个位数不是，
第五句话：甲回答知道了，说明该素数十位数划去列后剩下唯一素数，只有满足条件，
故C正确、D错误.
故答案为：ABC.
【分析】将所有两位素数列表，再逐一分析五句话，再利用排除法逐项判断，从而找出正确的选项.
12．（2025·雅安模拟）椭圆上一点到其两焦点，的距离之和等于20，则椭圆的标准方程为　 　.
【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：由题意可知，椭圆的焦点在轴上，
设其标准方程为，
由题意可知，焦距，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
故答案为：.
【分析】根据题意得出椭圆的焦点在轴上，从而设出椭圆的标准方程，再利用椭圆的定义和焦距公式以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出的值，进而得出椭圆C的标准方程.
13．（2025·雅安模拟）展开式中含项的系数为　 　.
【答案】
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：对于，其展开式的通式为，
则展开式中含项的系数为.
故答案为：.
【分析】先利用二项式定理得出的展开式的通项，再根据的次数选择对应的系数求和计算，从而得出展开式中含项的系数.
14．（2025·雅安模拟）在公比不为1的等比数列中，若，且有成立，则　 　.
【答案】10或4049
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，且，
由，得，
故，
因为，
，
，即，
，
又因为，
，
，
化简整理得，
所以，
解得或，均满足.
故答案为：或.
【分析】设等比数列的公比为，由可得，再利用等比数列的通项公式化简条件等式，从而可得，再解一元二次方程和m的取值范围，从而得出满足条件的m的值.
15．（2025·雅安模拟）国产动画电影《哪吒之魔童闹海》现已登顶全球动画电影票房榜榜首，并刷新多项世界票房纪录.下表截取了该电影上映后10日的单日累计票房：
日期 1月29日 1月30日 1月31日 2月1日 2月2日 2月3日 2月4日
日期代码 1 2 3 4 5 6 7
累计票房（亿元） 4.88 9.68 15.87 23.19 31.32 39.76 48.43
日期 2月5日 2月6日 2月7日 　 　 　 　
日期代码 8 9 10 　 　 　 　
累计票房（亿元） 54.92 60.78 66.20 　 　 　 　
（1）请根据这10日数据：
（i）计算，的平均值，；
（ii）求关于的经验回归方程；
（2）用上面求出的经验回归方程预测该电影上映半年后的票房，得到的结果合理吗？为什么？
附：
参考公式：经验回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；
参考数据：，.
【答案】（1）解：（i）由题意，
可得，
.
（ii）因为，
所以，
，
所以关于的经验回归方程为.
（2）解：由（1）知，，
当时，，
则预测该电影上映半年后的票房为亿元，
这样的预测结果显然不合理，电影的票房一般在刚上映的一段时间内增长较快，
随着时间的推移，增长速度会逐渐放缓，
而所求的经验回归方程是假设变量之间具有线性关系，
不能准确反映电影票房在较长时间内的变化趋势，
所以用这个方程预测半年后的票房是不合理的.
【知识点】众数、中位数、平均数；线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【分析】（1）（i）根据平均数的定义和已知条件，从而得出，的平均值，.
（ii）根据参考公式和最小二乘法，从而得出关于的经验回归方程.
（2）根据，代值计算可得到预测结果，再结合变量的变化趋势判断是否合理.
（1）由题意，，
，
，
则，
，
所以关于的经验回归方程为.
（2）由（1）知，，
当时，，
则预测该电影上映半年后的票房为亿元，
这样的预测结果显然不合理，电影的票房一般在刚上映的一段时间内增长较快，
随着时间的推移，增长速度会逐渐放缓，
而所求的经验回归方程是假设变量之间具有线性关系，
不能准确反映电影票房在较长时间内的变化趋势，
所以用这个方程预测半年后的票房是不合理的.
16．（2025·雅安模拟）记锐角的内角，，的对边分别为，，，.
（1）求角；
（2）若，求面积的取值范围.
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理，得，
在锐角中，，
所以，
又因为，
所以.
（2）解：因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，
所以.
【知识点】二倍角的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和正弦定理化边为角，再结合锐角三角形中角的正弦值的正负，从而得出角C的余弦值，再利用三角形中角C的取值范围，从而得出角C的值.
（2）利用正弦定理结合两角和的正弦公式和同角三角函数基本关系式，则，再利用锐角三角形中角的取值范围和三角形内角和定理，从而得出角B的取值范围，再结合正切型函数求值域的方法和三角形的面积公式，从而得出面积的取值范围.
（1）因为，
由正弦定理得，
又因为在锐角中，
所以，
又，所以；
（2）因为，
所以，
因为，所以，
所以，所以
所以.
17．（2025·雅安模拟）已知函数.
（1）若，，求的单调区间和极值；
（2）若，证明：当时，.
【答案】（1）解：若，，
则，
则，
令，得；令，得，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，函数的极小值为，无极大值.
（2）证明：若，
则，
则，
当时，函数在上都是增函数，
所以，函数在上是增函数，
当时，；当时，，
所以存在唯一实数，使得，
则，
令，则；令，则，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以
，
当且仅当时，即当时取等号，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；基本不等式在最值问题中的应用；函数极限
【解析】【分析】（1）先求导，再根据导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间，再根据函数的单调性，从而得出函数的极值.
（2）利用导数判断函数的单调性和函数求极限的方法，从而得出存在唯一实数，使得，则，再利用导数判断函数的单调性和基本不等式求最值的方法，从而得出函数的最小值，即证出当时，.
（1）若，，则，
则，
令，得，令，得，
所以函数的增区间为，减区间为，
所以函数的极小值为，无极大值；
（2）若，则，
则，
当时，函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
又当时，，当时，，
所以存在唯一实数，使得，即，
令，则，令，则，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以.
18．（2025·雅安模拟）如图，已知四面体中，，，，平面平面.
（1）求证：；
（2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（3）在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为.试比较，，的大小.
【答案】（1）证明：过作，交于，
因为平面平面，
平面平面平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又因为平面，
所以平面，
又因为平面，
所以；
（2）解：由（1）得，，
因为平面，
所以平面，
因为，
所以，
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，
设，
所以
设平面的法向量为，
则，
所以，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
则
解得，
则为的中点，
所以.
（3）解：6条棱中任选2条，共有种情况，
其中相互垂直的棱有5对：，
故，
4个面任选2个面，共有种情况，
其中相互垂直的面有3对：
平面平面，平面平面，平面平面，
故，
任选1个面和不在此面上的1条棱，
先从4个平面任选1个平面，共有种情况，
再从不在此面上的3条棱中选1条，有种情况，
故共有种情况，
其中满足垂直关系的有2种，分别为平面和棱，平面和棱，
故，
所以．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）过作，交于，根据面面垂直的性质定理可得平面，再结合线面垂直的性质定理与判定定理，从而证出.
（2）由（1）得，，利用线线垂直证出线面垂直，再结合勾股定理，则以为原点，建立空间直角坐标系，则得出点的坐标，设，则得出向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式以及已知条件，从而得出t的值，从而得出点E为BD的中点，进而得出的值.
（3）分别列举出相互垂直的棱、相互垂直的面和一个面垂直不在此面上的一条棱的基本事件，再结合古典概率公式得出，，的值，从而比较出，，的大小.
（1）过作，交于，因为平面平面，
平面平面平面，
所以平面，又平面，所以，
又因为平面，
所以平面，
又平面，所以；
（2）由（1）得，又平面，
所以平面，因为，
故，
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，设，
所以，
设平面的法向量为，则有，
即，令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
解得，故为的中点，
所以；
（3）6条棱中任选2条，共有种情况，其中相互垂直的棱有5对：
，故，
4个面任选2个面，共有种情况，其中相互垂直的面有3对：
平面平面，平面平面，平面平面，
故。
任选1个面和不在此面上的1条棱，先从4个平面任选1个平面，共有种情况，
再从不在此面上的3条棱中选1条，有种情况，故共有种情况，
其中满足垂直关系的有2种，分别为平面和棱，平面和棱，
故，
所以．
19．（2025·雅安模拟）已知抛物线：.
（1）若点为抛物线上一点，证明：抛物线在点处的切线方程为；
（2）设，是抛物线：上两点，过点，分别作的切线交于点，点，分别在线段，的延长线上，直线与抛物线相切于点.
（i）证明：；
（ii）记，的面积分别为，，求的值.
【答案】（1）证明：因为二次函数为，求导得，
则抛物线在点切线的斜率为，
则切线方程为，
又因为，整理得，
所以，抛物线在点处的切线方程为.
（2）（i）证明：令，
设点的横坐标分别为，
由（1）知，直线的方程分别为，，，
联立可得，
因此，
同理可得，
所以.
（ii）解：由（i），令，
则
所以的值为2.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先求出函数的导数，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式证出抛物线在点处的切线方程为.
（2）（i）利用（1）的结论，设出切点坐标，从而求出直线的方程，再两两联立直线方程，从而求出交点的横坐标，再利用两点距离公式证出.
（ii）令，利用割补法结合三角形面积比列式，从而计算得出的值.
（1）二次函数，求导得，抛物线在点切线的斜率为，
则切线方程为，而，整理得，
所以抛物线在点处的切线方程为.
（2）（i）令，设点的横坐标分别为，
由（1）知，直线的方程分别为，，，
联立，
因此，同理，
所以.
（ii）由（i），令，
则，
，
，
，
，
所以的值为2.
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