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第六章 圆周运动
6.3 向心加速度
目录
contents
匀速圆周运动的加速度方向
01
02
匀速圆周运动的加速度大小
03
拓展学习
04
典例分析
1.定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力。
3.方向：指向圆心(方向时刻变化)，与速度方向垂直，是变力。
4.作用效果：只改变速度的方向，不改变速度的大小。
2.符号：Fn
O
F
F
F
v
v
v
O
向心力的来源
向心力并不是一种新的性质的力，是效果力.
向心力的来源：可以是重力、弹力、摩擦力等性质的力，也可以是几个力的合力，还可以是某个力的分力。
精确的实验表明：
向心力的大小
F合
Fn
Ft
加速
变速圆周运动的向心力
Ft ：切向分力，改变线速度的大小.
Fn ：径向分力，提供向心力，
改变线速度的方向。
v
减速
v
运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，可以称为一般曲线运动。
一般的曲线运动
r1
r2
研究方法：把一般曲线分割为许多极短的小段，每一段都可以看作一小段圆弧。
模型区分
圆锥摆
水平面内匀速圆周运动
单摆
竖直面内变速圆周运动
匀速圆周运动中，合力充当向心力
mg
T
径向合力充当向心力
画受力分析
平面图
导入新课
天宫二号空间实验室在轨飞行时，可认为它绕地球做匀速圆周运动。尽管线速度大小不变，但方向却时刻变化，因此，它运动的加速度一定不为 0。那么，该如何确定它在轨飞行时加速度的方向和大小呢？
做匀速圆周运动的物体，它所受的力沿什么方向？
G
FN
F
合力
由牛顿第二定律知，物体的加速度方向跟合外力的方向相同。
想一想
结论: 做匀速圆周运动物体的合力时刻指向圆心，加速度也时刻指向圆心。
1.向心加速度：做匀速圆周运动的物体加速度总指向圆心，这个加速度称为向心加速度。
4.物理意义：描述速度方向变化的快慢
2.符号：an
3.方向：始终指向圆心（与线速度方向垂直）
5.说明：匀速圆周运动加速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是变加速运动。
（向心加速度只改变速度方向，不改变速度大小）
匀速圆周运动的加速度大小
02
1.产生：
3.说明：匀速圆周运动的向心加速度大小不变。
2.大小：根据牛顿第二定律和向心力表达式
由牛顿第二定律F=ma可得出向心加速度的大小：
由向心力产生
匀速圆周运动的向心加速度变不变？
向心加速度
想一想
向心加速度与半径的关系
an=
v2
r
an= ω2 r
角速度一定时，
向心加速度与半径成正比；
线速度一定时，
向心加速度与半径成反比；
AB两点
BC两点
当v一定时，a与r成反比
当ω一定时，a与r成正比
匀速圆周运动
G
N
F
变速圆周运动
合力全部
提供向心力
F合= Fn
合力的一部分
提供向心力
O
Fn
Fτ
F合
v
一般圆周运动的加速度
an只改变速度的方向，
aτ只改变速度的大小。
Fτ=maτ
圆周运动的加速度
3 ．对于匀速圆周运动，加速度即为向心加速度，因此其方向一定指向圆心。
4.向心加速度的公式适用于任何圆周运动。
(1)向心加速度只描述线速度方向变化的快慢，
切向加速度描述线速度大小变化的快慢。
注： 和 也适用于变速圆周运动(瞬时值)
例题
例1、下列关于向心加速度的说法中，正确的是 （ ）
A、向心加速度的方向始终与速度的方向垂直
B、向心加速度的方向保持不变
C、在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D、在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
A
【活学活用1】
关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法正确的是 （ )
A、向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量
B、向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C、向心加速度大小恒定，方向时刻改变.
D、匀速圆周运动是匀变速曲线运动
ABC
【活学活用2】
在匀速圆周运动中，下列物理量中变化的是 ( )
A、角速度 B、线速度
C、向心加速度 D、转速
BC
（多选）
（多选）
训练巩固
例3. 如图所示，为A、B两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A为双曲线的一个分支，由图可知 (　　)
A．A物体运动的线速度大小不变
B．A物体运动的角速度大小不变
C．B物体运动的角速度大小不变
D．B物体运动的线速度大小不变
AC
课堂小结
an =
v2
r
an = rω2
1.定义:匀速圆周运动的加速度
2.意义:描述速度方向变化的快慢
3.大小:
4.方向:始终指向圆心(时刻改变)
匀速圆周运动是变加速运动
向心加速度
an = r
4π2
T2
an = r
4π2
f 2

对应线速度、角速度
对应角速度
对应线速度



对应转速
对应频率
对应周期



作出a-r图像
a
ω一定
v一定
v不变时，an与r 成反比
ω不变时，an与r 成正比
r
课堂小结
向心力
向心加速度
牛顿第二定律
向心加速度的大小及方向
【例题】在长为l的细绳下端拴一个质量为m的小球，捏住绳子的上端，使小球在水平面内做圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。当绳子跟竖直方向的夹角为θ时，小球运动的向心加速度an的大小为多少 通过计算说明：要增大夹角 θ，应该增大小球运动的角速度ω。
分析：
由于小球在水平面内做圆周运动，向心加速度的方向始终指向圆心。可以根据受力分析，求出向心力的大小，进而求出向心加速度的大小。根据向心加速度公式，分析小球做圆周运动的角速度ω与夹角θ之间的关系。
【例题】在长为l的细绳下端拴一个质量为m的小球，捏住绳子的上端，使小球在水平面内做圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。当绳子跟竖直方向的夹角为θ时，小球运动的向心加速度an的大小为多少 通过计算说明：要增大夹角 θ，应该增大小球运动的角速度ω。
向心加速度： ，
所以当小球运动的角速度增大时，夹角也随之增大。因此，要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度ω。
解：根据对小球的受力分析，可得小球的向心力：
根据牛顿第二定律可得小球运动的向心加速度：
Fn = mg tan θ
根据几何关系可知小球做圆周运动的半径：
r = lsin θ
an = ω2r
已知地球半径R=6400km，自转周期T=24h，试计算在地球赤道和北纬300地面上物体的向心加速度大小。
①
②
A
O
R
r
1. 确定研究对象；
2. 运动分析：确定运动性质、轨道平面，圆心和半径（据几何关系求半径）；
3. 受力分析：求合力和向心力；
4. 根据牛顿第二定律列式求解相关量。
圆周运动的动力学解题思路
B
方法
总结
向心加速度公式的应用技巧
向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系.
(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同.
(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比.
（教材34页）
（教材34页）
拓展学习
03
我们从加速度的定义 的角度讨论向心加速度的大小
1.速度的变化量
甲
v1
△v
v2
（1）若v1 < v2
(1)直线运动的物体：如果初速度v1和末速度v2在同一方向上，如何表示速度的变化量△v △v是矢量还是标量？
乙
v1
△v
v2
（2）若v1 > v2
(2)曲线运动的物体：如果初速度v1和末速度v2不在同一直线上，如何表示速度的变化量△v
v1
△v
v2
设质点初速度为v1，末速度为v2，则速度的变化量Δv = v2 - v1，
移项得： v1+ Δv = v2
v1
v2
Δv
结论： 速度的变化量Δv可以用初速度v1末端指向末速度v2末端的有向线段来表示。
Δv
vB
vA
Δv
B
vB
vA
Δv
B
vB
vA
vA
根据加速度的定义式a=Δv/Δt,可知Δt→0时，瞬时加速度a的方向和Δt→0速度变化量Δv方向相同。
vA
vC
vA
Δv
Δv
O
A
B
各时间段内Δv方向
O
A
C
Δt→0时Δv方向
由图解可知Δt→0时，Δt内速度的变化量Δv方向指向圆心，所以匀速圆周运动在任意位置的加速度方向指向圆心。
2.向心加速度方向的推导
定义式：
则：
O
B
A
vA
vB
vA
Δv
Δ
θ
Δ
θ
=
AB
Δv
v
r
vA、vB、△v 组成的三角形与ΔABO相似
Δv =
AB
v
r
an = =
AB
v
r
Δv
Δt
Δt
当△t →0时，AB=AB=Δl
an = · v =
v
r
v2
r
Δl
= = = v
AB
Δt
Δt
AB
Δt
r
3.向心加速度大小的推导
= ω2r= ωv
【例2】关于加速度和速度的关系，下列说法正确的是 ( )
A、在单方向直线运动中，加速度表征速度大小变化的快慢
B、在匀速圆周运动中，加速度表征速度方向变化的快慢
C、在平抛运动中，加速度表征速度方向变化的快慢
D、加速度方向一定和速度变化量的方向相同
ABD
典例分析
04
【例题】下列关于向心加速度的说法中，正确的是 （ ）
A.向心加速度的方向始终与速度的方向垂直
B.向心加速度的方向保持不变
C.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D.在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
A
【例题】关于质点的匀速圆周运动，下列说法中正确的是（ ）
A.由 可知，an与r成反比
B.由an＝ω2r可知，an与r成正比
C.由v＝ωr可知，ω与r成反比
D.由ω＝2πf可知，ω与f成正比
解析　质点做匀速圆周运动的向心加速度与质点的线速度、角速度、半径有关.但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能确定.当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论，正确答案为D.
D
【例题】(多选)甲、乙两物体都在做匀速圆周运动，下列情况下，关于向心加速度的说法正确的是（ ）
A.当它们的角速度相等时，乙的线速度小则乙的向心加速度小
B.当它们的周期相等时，甲的半径大则甲的向心加速度大
C.当它们的线速度相等时，乙的半径小则乙的向心加速度小
D.当它们的线速度相等时，在相同的时间内甲与圆心的连线转过的角度比乙的大，则甲的向心加速度比乙的小
AB
【例题】(多选)关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是 ( )
A.它们的方向都沿半径指向地心
B.它们的方向都平行于赤道平面指向地轴
C.北京的向心加速度比广州的向心加速度大
D.北京的向心加速度比广州的向心加速度小
BD
O
R
θ
R'
O'
【例题】甲、乙两物体都在做匀速圆周运动，关于以下四种情况各举一个实际的例子。在这四种情况下，哪个物体的向心加速度比较大
A. 它们的线速度大小相等，乙的半径小
B. 它们的周期相等，甲的半径大
C. 它们的角速度相等，乙的线速度小
D. 它们的线速度大小相等，在相同时间内甲与圆心的连线扫过的角度比乙的大
an=
v2
r
an= ω v
an = r
4π2
T 2
an= ω v
乙的向心加速度大
甲的向心加速度大
甲的向心加速度大
甲的向心加速度大
【例题】一部机器与电动机通过皮带连接，机器皮带轮的半径是电动机皮带轮半径的3倍，皮带与两轮之间不发生滑动。已知机器皮带轮边缘上一点的向心加速度为0.10m/s2。
(1) 电动机皮带轮与机器皮带轮的转速之比n1：n2是多少
(2) 机器皮带轮上 A 点到转轴的距离为轮半径的一半，A点的向心加速度是多少
(3) 电动机皮带轮边缘上某点的向心加速度是多少
(1) 同轴传动，线速度大小相等：
(2) A点的向心加速度：
(3) 电动机皮带轮边缘上某点的向心加速度：
【例题】如图所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω匀速旋转，A、B为球体表面上两点，下列说法正确的是（ ）
A.A、B两点具有相同的角速度
B.A、B两点具有相同的线速度
C.A、B两点的向心加速度的方向都指向球心
D.A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
A
解析　A、B为球体表面上两点，因此，A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A对；
如图所示，A以P为圆心做圆周运动，B以Q为圆心做圆周运动，因此，A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错；
【例题】如图所示的皮带传动装置中，甲轮的轴和乙、丙轮的轴均为水平轴，其中，甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半.A、B、C三点分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，若传动中皮带不打滑，则（ ）
A.A、B两点的线速度大小之比为2∶1
B.B、C两点的角速度之比为1∶2
C.A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
D.A、C两点的向心加速度大小之比为1∶4
D
解析　传动中皮带不打滑，则A、B两点的线速度大小相等，A错误；
B、C两点绕同一轴转动，故B、C两点的角速度相等，故B错误；
由于B、C两点的角速度相等，由an＝ω2R可知B、C两点的向心加速度大小之比为1∶2，又A、B两点的向心加速度大小之比为1∶2，故D正确.

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