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第2课时 一次函数与正比例函数的概念
第四章 一次函数
2.认识一次函数
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
如果设蛤蟆的数量为 x，y 分别表示蛤蟆嘴的数量，眼睛的数量，腿的数量，扑通声，你能列出相应的函数关系式吗？
一个蛤蟆一张嘴，
两只眼睛四条腿，
扑通一声跳下水.
两个蛤嫫两张嘴，
四只眼睛八条腿，
扑通、扑通跳下水
壹
新知初探
贰
新知初探
探究一：一次函数与正比例函数
贰
情景一
(2) 你能写出 y 与 x 之间的关系式吗？
y = 3 + 0.5x
某弹簧的自然长度为 3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量 x 每增加 1 千克，弹簧长度 y 增加 0.5 cm.
(1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg，2 kg，3 kg，4 kg， 5 kg 时的长度，并填入下表：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm
3
3.5
4
4.5
5
5.5
新知初探
贰
某辆汽车油箱中原有油 60 L，汽车每行驶 50 km 耗油 6 L.
(1) 完成下表：
汽车行驶路程 x/km 0 50 100 150 200 300
耗油量 y/L
60
54
48
42
36
30
情景二
新知初探
贰
(2) 你能写出耗油量 y (L) 与汽车行驶路程 x (km) 之间
的关系式吗？
(3) 你能写出油箱剩余油量 z (L) 与汽车行驶路程 x (km)之间的关系式吗？
或 y＝0.12x
或 z＝60－0.12x
汽车行驶路程 x/km 0 50 100 150 200 300
耗油量 y/L
60
54
48
42
36
30
新知初探
贰
问题 认真观察下列出现的三个函数表达式，分别说出哪些是函数、常量和自变量．
函数表达式 函数 常量 自变量
y＝3 + 0.5x
y＝0.12x
y＝60-0.12x
这些函数表达式都包含常数与自变量的乘积的形式！
3,0.5
x
y
0.12
x
y
y
60,-0.12
x
y
k
x
＝
这些函数表达式有什么共同点？
b +
新知初探
贰
知识要点
若两个变量 x，y 间的对应关系可以表示成 y＝kx＋b
(k，b为常数，k≠0) 的形式，则称 y 是 x 的一次函数.
特别地，当 b = 0 时，称 y 是 x 的正比例函数.
函数是一次函数
函数是正比例函数
关系式为：y = kx
( k 为常数，k≠0)
关系式为：y = kx + b
(k为常数，k≠0)
新知初探
贰
1. 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1) y＝－x－4； (2) y＝5x2－6； (3) y＝2πx；
(6) y＝8x2＋x(1－8x).
解：(1)是一次函数，不是正比例函数；
(2)不是一次函数，也不是正比例函数；
(3)是一次函数，也是正比例函数；
(4)是一次函数，也是正比例函数；
(5)不是一次函数，也不是正比例函数；
(6)是一次函数，也是正比例函数．
随堂练习
新知初探
贰
1.判定一个函数是一次函数的条件：
2.判定一个函数是正比例函数的条件：
一次函数
正比例函数
正比例函数是一种特殊的一次函数.
归纳总结
① k 是常数，k ≠ 0；
② x 的次数是 1.
① k 是常数，k ≠ 0；
② x 的次数是 1.
③ b = 0.
新知初探
探究二：典型例题
贰
例1 写出下列各题中 y 与 x 之间的关系式，并判断：y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？
(1) 汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 y (km)与行驶时间 x (h) 之间的关系；
解：由路程 = 速度×时间，得 y = 60x，
y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数.
解：由圆的面积公式，得 y = πx2，
y 不是 x 的一次函数，也不是 x 的正比例函数.
(2) 圆的面积 y (cm2) 与它的半径 x (cm) 之间的关系.
新知初探
贰
解：这个水池每小时增加 5 m3 水，x h 增加 5x m3 水，
因而 y = 15 + 5x.
y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数.
(3) 某水池有水 15 m3，现打开进水管进水，进水速度为 5 m3/h，x h 后这个水池有水 y m3.
新知初探
贰
（2）一般地，k、b对一次函数y = kx + b有怎样的影响？与同伴交流。
思考·交流
（1）例1中，两个一次函数的一次项系数k和常数项b分别是多少，它们的实际意义是什么？
新知初探
贰
例2 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1s其速度减少35km/h。
（1）假设该汽车以120km/h的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度y（单位：km/h）与刹车后所经过的时间t（单位：s）之间的关系式y = kt + b，并说明k和b的实际意义；
（2）求出（1）中汽车从刹车到停止所需的时间。
解：（1）刹车开始时汽车的速度为120km/h，每过1s汽车的速度减少35km/h，于是经过t s汽车的速度减少35t km/h，所以y与t的关系式是y=-35t + 120。其中，k=-35表示每秒汽车速度的变化量，b=120表示刹车开始时汽车的速度。
（2）汽车停止时速度y=0，解方程0=-35t+120，得t= 24/7≈3.43。因此，该汽车从刹车到停止所需的时间大约为3.43s。
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1.下列说法正确的是（ ）
A. 一次函数是正比例函数
B. 正比例函数不是一次函数
C. 不是正比例函数就不是一次函数
D. 正比例函数是一次函数
D
2. 在函数 y = (m - 2)x + (m2 - 4)中，当 m 时，y 是 x 的一次函数；当 m 时，y 是 x 的正比例函数.
≠2
= -2
叁
当堂达标
叁
3. 已知函数 y = (m - 1)x|m|+1 是一次函数，求 m 的值.
4. 若函数 y = (m + 3)x + m2 - 9 是正比例函数，求 m 的值.
解：根据题意，得∣m∣=1，
解得 m = ±1.
又∵ m - 1≠0，即 m≠1，
∴ m = -1.
解：根据题意，得 m2 - 9 = 0，
解得 m = ±3.
又∵ m + 3≠0，即 m≠-3，
∴ m = 3.
叁
当堂达标
叁
5. 有一块 10 公顷的成熟麦田，用一台收割速度为 0.5 公顷每小时的小麦收割机来收割.
(1) 求收割的面积 y (单位：公顷) 与收割时间 x (单位：时) 之间的函数关系式；
(2) 求收割完这块麦田需用的时间.
解：(1) y = 0.5x；
(2) 把 y = 10 代入 y = 0.5x 中，得 10 = 0.5x.
解得 x = 20，即收割完这块麦田需要 20 小时.
叁
叁
课堂小结
肆
课堂小结
肆
一次函数
一次函数的概念
正比例函数的概念
函数关系式的确定
叁
肆
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,5,8题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第9题
谢
谢

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