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第十六章 整式的乘法
16.2 整式的乘法
前面，我们学习了幂的运算性质. 本节我们将以运算律及幂的运算性质为基础，研究整式的乘法.
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学习目标
1.掌握单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的乘法法则，并能熟练地运用这些法则进行有关计算.
2.理解零指数幂的意义，掌握同底数幂相除、单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，并能进行有关计算.
问题1 光的速度约是3×105km/s，太阳光照射到地球上需要的时间约是5×102s，你知道地球与太阳的距离约是多少吗
根据乘法的意义，地球与太阳的距离约是(3×105) ×(5×102)km.
思考
(1)怎样计算(3×105) ×(5×102)？计算过程中用到哪些运算律及幂的运算性质？
(2)如果将上式中的数字改为字母，比如ac5·bc2，怎样计算这个式子？
(3×105) ×(5×102)=(3×5) ×(105×102)=15×107=1.5×108.
计算过程中用到了乘法交换律、乘法结合律及同底数幂的乘法的运算性质.
ac5·bc2=(a·b)·(c5·c2)=abc5+2= abc7.
(3×105) ×(5×102)是3×105与5×102相乘，利用乘法交换律、结合律及同底数幂的运算性质，可以得到
(3×105) ×(5×102)=(3×5) ×(105×102)
=15×107
=1.5×108.
一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
ac5·bc2是单项式ac5与bc2相乘，由于其中的字母表示数，所以同样可以利用乘法交换律、结合律以及同底数幂的运算性质来计算：
ac5·bc2=(a·b)·(c5·c2) （乘法的交换律、结合律）
=abc5+2 （同底数幂的运算性质）
= abc7.
典例精析
例1 计算：
(1)3xy2·2y3 (2)(－5a2b)(－3a)
=(3×2)x·(y2·y3)
=6xy5；
=[(－5)×(－3)](a2·a)·b
=15a b；
典例精析
例1 计算：
(3)(2x)3(－5xy2) (4)(－3x2y)2 (－xy3)2
=8x3·(－5xy2)
=[8×(－5)] (x3·x)·y2
= －40x4y2；
=9x4y2·x2y6
=9(x4·x2) (y2·x6)
=9x6y8.
由(ab)n=anbn，可知anbn =(ab)n，据此你能给出例1(4)的其他解法吗
当堂练习
1.下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(1)3a3·2a2=6a6； (2) 3x2·(－4x2)=－12x2；
(3)5y3·3y5=15y15; (4)x2·y2(－xy3)2=x4y8.
解：
当堂练习
2.计算：
(1)3x2·5x3； (2) 6x2·3xy；
(3)4y·(－2xy2); (4)－2ab2·(－3ab).
=15x5
=18x3y
=－8xy3
=6a2b3
当堂练习
3.计算：
当堂练习
4.卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）是7.9×103m/s，
求卫星绕地球运行1h飞过的路程.
解： 7.9×103×3600
=7.9×103×3.6×103
=2.844×107(m)
答：卫星绕地球运行1h飞过的路程是2.844×107 m.
为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长p m，宽b m的长方形绿地，向两边分别加宽a m和c m，你能用几种方法表示扩大后的绿地面积 不同的表示方法之间有什么关系
下面来看本章引言中提出的问题.
为了求扩大后的绿地面积，可以先求扩大后的绿地的边长，再求面积，即
p(a+b+c). ①
也可以先分别求原来绿地和新增绿地的面积，再求它们的和，即
pa+pb+pc. ②
由于①②表示同一个数量，所以
p(a+b+c)= pa+pb+pc.
你能根据分配律得到这个等式吗？
上面的等式提供了单项式与多项式相乘的方法. 这个结果也可以由右图看出.
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
典例精析
例2 计算：
典例精析
例2 计算：
与数的混合运算一样，整式的混合运算要注意运算顺序.
当堂练习
1.下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(1)(－2x)(x2－x) = －2x3－2x2；
(2)a(b－c)＋b(c－a)＋c(a－b)=0.
不正确，应该为－2x3＋2x2
正确
当堂练习
2.计算：
当堂练习
3.化简
当堂练习
4.求值：
，其中x= .
问题3 如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m、宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m，你能用几种方法求出扩大后的绿地面积
扩大后的绿地可以看成长为(a＋b)m，宽为(p＋q)m的长方形，所以这块绿地的面积(单位：m2)为
(a＋b) (p＋q).
扩大后的绿地还可以看成由四个小长方形组成所以这块绿地的面积(单位：m2)为
上面的等式提供了多项式与多项式相乘的方法. 计算(a＋b) (p＋q)，可以先把其中的一个多项式，如力(p＋q) ，看成一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得
再利用单项式与多项式相乘的法则，得
总体上看， (a＋b) (p＋q)的结果可以看作由a＋b的每一项乘p＋q的每一项，再把所得的积相加而得到的，即
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
典例精析
例3 计算：
(1) (a+3) (a－2) (2) (3x+1)(x+2);
= a·a+a·(－2)+3·a+3×(－2)
= a2－2a+3a－6
= a2＋a－6；
= (3x)·x+(3x)·2+1·x+1×2
= 3x2+6x+x+2
= 3x2+7x+2；
典例精析
例3 计算：
(3) (x－8y) (x－y) (4) (a+b) (a2－ab+b2)
= x2－xy－8xy+8y2
= x2－9xy+8y2
= a3－a2b+ab2+a2b－ab2+b3
= a3 + b3
1.计算:
当堂练习
1.计算:
当堂练习
当堂练习
2.计算：
由上面计算的结果找规律，观察右图，填空：
(x+p) (x+q) = ( )2＋( )x＋( ).
x
p+q
pq
当堂练习
3.求值：(x－y) (x2+xy+y2)－(x+y)(x2－y2)，其中x = ，y=5.
解：
在整式的运算中，有时还会遇到两个整式相除的情况. 像利用数的乘法研究数的除法那样，可以利用整式的乘法来研究整式的除法.
首先来看同底数幂相除的情况.
我们来计算am÷an，(a≠0，m，n都是正整数，m>n).
我们知道，计算被除数除以除数所得的商，就是求一个数，使它与除数积等于被除数. 类似地，计算am÷an，就是求一个式子，使它与an的积等于am.
因为
所以
同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如am÷an ，根据除法的意义可知所得的商为1. 另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有am÷an =am－m = a0.
于是规定
典例精析
例4 计算：
对于单项式除以单项式，例如，计算(12a3b2x3)÷ (3ab2)，就是要求一个单项式，使它与3ab2 的乘积等于12a3b2x3.
因为(4a2x3)·(3ab )=12a3b2x3,
所以(12a3b2x3)÷(3ab )=4a2x3
上面的商式4a2x3的系数4=12÷3，a的指数2=3－1，b的指数0=2－2，而b0=1，x的指数 3=3－0.
一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
对于多项式除以单项式，例如，计算(am+bm)÷m，就是要求一个多项式，使它与m的积等于am+bm.
因为
所以
所以
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
把多项式除以单项式的问题转化为单项式除以单项式的问题.
典例精析
例5 计算：
(1) (28x4y2)÷(7x3y) (2) (－5a5b3c)÷(15a4b)
(3) (12a3－6a2+3a)÷(3a)
= (28÷7) x4－3y2－1
= 4xy；
= [(－5)÷15]a5－4b3－1c
= －ab2c；
= (12a3)÷(3a)－(6a2)÷(3a)+(3a)÷(3a)
= 4a2－2a+1.
当堂练习
1.计算：
=x2
=1
=a3
=x2y2
当堂练习
2.计算：
当堂练习
3.计算：
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