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第十六章 整式的乘法
16.3 乘法公式
某些特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式，当遇到相同形式的多项式相乘时，就可以直接运用公式写出结果.
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学习目标
1.掌握平方差公式，能熟练地运用平方差公式进行计算.
2.掌握完全平方公式，能熟练地运用完全平方公式进行计算.
3.能灵活地运用平方差公式和完全平方公式，并结合添括号法则进行整式的乘法运算.
探究
计算下列多项式的积，你能发现什么规律
(1)(x+1)(x－1)=________； (2)(m+2)(m－2)=________；
(3)(2x+1)(2x－1) =________.
16.3.1 平方差公式
x2－1
m2－4
4x2－1
规律：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
上面的几个运算都是形如a+b的多项式与形如a－b的多项式相乘. 由于
所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，即
也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
这个公式叫作(乘法的)平方差公式.
思考
你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗
图右侧小长方形从竖直位置移到水平位置后，与大长方形的面积和不变，则位置移动前两个长方形的面积和为(a+b)(a－b)，位置移动后两个长方形的面积和为a2－b2，所以(a+b)(a－b)= a2－b2.
典例精析
例1 运用平方差公式计算：
典例精析
例1 运用平方差公式计算：
典例精析
例2 计算：
(x－1) (x+1) (x2+1) (2) (y+2) (y－2)－(y－1) (y+5)
(3) 102×98
=(x2－1) (x2+1)
= x4－1
= y2－22－(y2+4y－5)
= y2－4－y2－4y+5
= －4y+1
= 1002－22 = 10000－4
= 9996
当堂练习
1.下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
解：
当堂练习
2.计算：
当堂练习
2.计算：
当堂练习
3.运用平方差公式计算：
(1) 51×49； (2) 200×199.
= (50+1)×(50－1)
= 502－12
= 2500 －1
= 2499
= (200)×(200)
= 40000－
= 39999 .
16.3.2 完全平方公式
探究
计算下列多项式的积，你能发现什么规律
(p+1) = (p+1)(p+1)=_________；
(2)(m+2)2=(_______) (_______)=___________；
(3)(p－1)2=(_______) (_______)=___________；
(4)(m－2)2=(_______) (_______)=___________；
p2+2p+1
m+2
m+2
m2+4m+4
p－1
p2－2p+1
p－1
m－2
m2－4m+4
m－2
规律：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)
它们的积的2倍.
上面的几个运算都是形如(a±b)2的多项式相乘，因为
所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，即
也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
这两个公式叫作(乘法的)完全平方公式.
(a+b)2=a2+2ab+b2是多项式乘法(a+b)·(p+q)中p=a，q=b的特殊情形.
你能根据图 1 和图 2 中图形的面积说明完全平方公式吗
图 1
图 2
由图 1可知，大正方形的边长是a+b，所以大正方形的面积为(a+b)2，又因为大正方形由一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形和两个长为a、宽为b的长方形组成，所以大正方形的面积为a2+2ab+b，因此(a+b)2 = a2+2ab+b2.
由图 2可知，深色大正方形的边长为a－b，所以深色大正方形的面积为(a－b)2 ，又因为深色大正方形的面积是大正方形的面积a2减去两个长为a、宽为b的长方形的面积之和，即a2 －2ab，此时多减了右上角深色小正方形的面积b2，再加上后可得深色大正方形的面积为 a2 －2ab+b2，因此(a－b)2 = a2－2ab+ b2.
典例精析
例3 运用完全平方公式计算：
典例精析
例4 运用完全平方公式计算：
思考
(a+b)2与(－a－b)2相等吗 (a－b)与(b－a)2 相等吗 (a－b)2 与a2－b2 相等吗 为什么
当堂练习
1.下面的计算是否正确 如果不正确，应当怎样改正
解：
2.运用完全平方公式计算：
当堂练习
解：
3.运用完全平方公式计算：
当堂练习
(1) 982；
(2) 70.52；
=(100－2)2
=1002－2×100×2＋22
=10000－400＋4
=9604
=(70＋0.5)2
=702＋70×0.5×2＋0.52
=4900＋70＋0.25
=4970.25
运用乘法公式计算，有时要在式子中添括号. 在前面，我们学过去括号，由去括号法则可以得到
反过来，就得到
也就是说，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
典例精析
例5 运用乘法公式计算：
当堂练习
1.在等号右边的括号内填上适当的项.
b－c
b－c
－b＋c
－b－c
当堂练习
2.运用乘法公式计算：
当堂练习
3.运用乘法公式计算：
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