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第十八章 分式
18.4 整数指数幂
随着我们认识的数的范围不断扩大，数的运算也在不断推广. 例如，加法运算从非负整数范围推广到非负有理数范围，再到有理数范围. 同样地，对于幂的运算an，是否也可以从正整数指数幂推广到更大的范围呢？下面，我们从追溯幂的符号的演变开始.
新课导入
学习目标
1.理解负整数指数幂的意义，会进行简单的整数范围内的幂的运算.
2.能根据负整数指数幂的定义，运用科学计数法表示小于1的正数.
溯源
幂的符号的演变经历了漫长的时间，a2，a3，a4的一些表示如图所示.
， K，
3世纪
丢番图
韦达 (Vietè 1540-1603)
16世纪
Aq，Acu，Aqq
aa，aaa，aaaa
17世纪
哈里奥特
(Harriot 1560-1621)
笛卡儿
1637年
a2，a3，a4
an这种幂的符号不仅简单、利于运算，而且有助于幂的运算的推广. 1676年，牛顿 (Newton，1643 — 1727) 提出了一个设想：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4， …，所以我将，，，…写成a－1，a－ 2，a－ 3 ，….”
思考
你认为牛顿的这个设想合理吗？也就是说，如果am中的m可以是负整数，那么负整数指数幂am表示什么
由分式的约分可知，当a≠0时，
另一方面，如果把正整数指数幂的运算性质am÷an=am－n (a≠0，m，n是正整数，m>n) 中的条件m>n去掉，即假设这个性质对于像 a3÷a5 的情形也能使用，则有
引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数.
今后，如无特别说明，本单元中涉及的负整数指数幂的底数均不为0.
思考
引入负整数指数和0指数后，正整数指数幂的运算性质
am·an=am＋n (m, n是正整数) ①
能否推广到m，n是任意整数的情形？
am·an=am＋n (m, n是正整数)，这条性质能推广到m，n是任意整数的情形.
我们从特殊情形入手进行研究. 例如，
探究
类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他四个正整数指数幂的运算性质
(am)n=amn(m, n是正整数)，
(ab)=anbn (n是正整数)，
am÷an=am－n (a≠0，m, n是正整数, m＞n)，
()n = (n是正整数)
进行尝试，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用.
随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，其他正整数指数幂的运算性质也推广到整数指数幂.
典例精析
例1 计算：
根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，
因此
即同底数幂的除法am÷an可以转化为同底数幂的乘法am·a－n.
特别地，
所以
即商的乘方
可以转化为积的乘方
于是，整数指数幂的运算性质可以归纳为：
当堂练习
1. 填空：
1
1
1
当堂练习
2. 计算：
我们已经知道，一些较大的数适合用科学记数法表示. 例如，光速约为3×108m/s，太阳半径约为6.96×105km，有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示. 例如，0.000 01=1×10-5，0.000 025 7 = 2.57×10-5，0.000 000 025 7=2.57×10-8等.
一般地，小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式，其中1 ≤ a <10，n是正整数，这种形式更便于比较数的大小和运算，例如，自然科学和生活中经常用到的分(d)、厘(c)、毫(m)、微(μ)、纳(n)等国际单位制词头，其中微对应10-6，纳对应10-9. 微米(μm)、纳米(nm)都是长度单位1μm = 10-6m, 1 nm = 10-9 m.
思考
对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是多少？如果有m个0呢
10的指数是－9；如果有m个0，那么10的指数是－m－1.
典例精析
例2 碳纳米管是一种前沿纳米材料，有很多神奇的特性. 它是由呈六边形排列的碳原子构成的单层或多层的同轴圆管，其直径一般为2~20nm.通常一根头发丝的直径约为70μm, 一根头发丝的直径大约是碳纳米管直径的多少倍？
解： 70μm = 70×10－6m，2nm = 2×10－9 m，20nm=20×10－9m.
(70×10－6)÷(2×10－9) = 3.5×104.
(70×10－6)÷(20×10－9) = 3.5×103.
因此，一根头发丝的直径是碳纳米管直径的3.5×103 ~ 3.5×104倍.
当堂练习
1.用科学记数法表示下列数：
=1×10－9
=1.2×10－3
=3.45×10－7
=1.08×10－8
当堂练习
2.计算：
谢谢观看

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