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第十四章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
性质和判定是几何研究的主要内容. 在上一节，我们学习了全等三角形的性质，知道了全等三角形的对应边相等、对应角相等. 反过来，具备什么条件的两个三角形全等呢？我们从构成三角形的元素——边、角的关系出发，研究三角形全等的判定方法.
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学习目标
1.掌握用“SAS”“ASA”“SSS”和“AAS”证明两个三角形全等的方法.
2.能根据条件灵活选择三角形全等的判定方法，并能综合运用全等三角形的性质证明线段相等和角相等.
3.能用直尺和圆规作一个角等于已知角.
4.通过作图过程，理解尺规作图的基本原理和方法，发展空间观念.
5.会用“HL”证明两个直角三角形全等.
6.借助全等三角形的有关知识解决实际生活中的问题.
根据全等三角形的定义，如果△ABC与△A’B’C’满足三条边分别相等，三个角分别相等，即
一定要满足三条边分别相等，三个角也分别相等，才能保证两个三角形全等吗 上述六个条件中，有些条件是相关的，能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢
我们按照条件由多到少的顺序进行研究.
探究1
先任意画出一个△ABC. 再画一个△A’B’C’ ，使△ABC与△A’B’C’满足上述六个条件中的一个 (一边或一角分别相等) 或两个 (两边、一边一角或两角分别相等). 你画出的△ABC与△A’B’C’一定全等吗
画出的△A’B’C’与△ABC不一定全等.
通过画图容易举出△ABC和△A’B’C’不全等的例子，因此满足上述六个条件中的一个或两个， △ABC和△A’B’C’不一定全等. 满足上述六个条件中的三个，能保证△ABC与△A’B’C’全等吗
我们分情况进行讨论.
探究2
如图，直观上，如果∠A，AB，AC的大小确定了，△ABC的形状，大小也就确定了，也就是说，在△A’B’C’与△ABC中，如果∠A’=∠A，A’ B’=AB，A’ C’=AC，那么△A’B’C’ ≌△ABC. 这个判断正确吗
A
B
C
B’
C’
A’
正确.
如图，由∠A’=∠A 可知，如果使点 A’与点A重合，并且使射线A’ B’与射线AB重合，那么射线A’ C’与射线AC重合. 再由A’ B’ =AB，A’ C’ =AC，可知点B’ ，C’分别与点B，C重合. 这样，△A’B’C’的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合， △A’B’C’与△ABC能够完全重合，因而△A’B’C’ ≌△ABC.
B(B’)
C(C’)
A(A’)
由探究2可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等：
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
因为全等三角形的对应边相等，所以在证明线段相等或角相等时，可以通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.
典例精析
例1 如图， AC=AD，AB平分∠CAD，求证∠C=∠D.
A
B
C
D
分析：如果能证明△ABC≌△ABD，就可以得出∠C=∠D. 由题意可知，△ABC与△ABD具备“边角边”的条件.
证明：∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB=∠DAB.
在△ABC和△ABD中，
AC=AD，
∠CAB=∠DAB，
AB=AB
∴△ABC≌△ABD (SAS).
∴∠C=∠D.
AB既是△ABC的边又是△ABD的边. 我们称它为这两个三角形的公共边.
思考
我们知道，如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等. 如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等吗？
两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
当堂练习
1.如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B. 连接AC并延长到点D，使CD=CA.连接BC并延长到点E，使CE=CB. 连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离. 为什么
解：
当堂练习
2.如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证∠A=∠D.
解：
探究3
如图，直观上，AB，∠A，∠B的大小确定了，△ABC的形状、大小也就确定了. 也就是说，在△A’B’C’与△ABC中，如果A’B’ =AB， ∠A’ = ∠A ， ∠B’ = ∠B，那么△A’B’C’ ≌△ABC. 这个判断正确吗
正确
前面我们研究了两个三角形的两边和一角分别相等的情况. 接下来研究两个三角形的两角和一边分别相等的情况.
如图，由A’B’=AB可知，如果使点A’与点A重合，点B’在射线AB上，那么点B’与点B重合再由∠A’ =∠A ， ∠B’ =∠B，可知射线 A’ C’与射线 AC 重合，射线 B’C’与射线BC重合，于是射线A’ C’ ，B’C’的交点C’与射线 AC，BC的交点C重合，这样，△A’B’C’的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合， △A’B’C’与△ABC能够完全重合，因而△A’B’C’ ≌△ABC.
A(A’)
B(B’)
C(C’)
由探究3可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等：
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
典例精析
例2 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C. 求证 AD=AE.
分析：如果能证明△ACD≌△ABE，就可以得出AD=AE，由题意可知， △ACD和△ABE具备“角边角”的条件.
两个三角形的两角和一边分别相等，除了两角和它们的夹边分别相等，还有两角和其中一组等角的对边分别相等的情况.
思考
如果两个三角形的两角和其中一组等角的对边分别相等，那么这两个三角形全等吗
全等
根据三角形的内角和定理，如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们的另一个角也相等. 这样，由两个三角形的两角和其中一组等角的对边分别相等，可以得到这两个三角形的两角和它们的夹边分别相等，进而利用“角边角”的基本事实，就可以判定这两个三角形全等.
如图，△A’B’C’ 和△ABC中，∠A=∠A’，∠B=∠B’，BC=B’ C’ . 请你按照上述思路证明△ABC≌△A’B’C’ .
由此，我们可以得到下面的结论：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.
当堂练习
1.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，∠1= ∠2. 求证 AB=AD.
证明：
当堂练习
2.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长. 为什么
解：
探究3
如图，直观上，AB，BC，CA的大小确定了，△ABC的形状、大小也就确定了. 也就是说，在△A’B’C’与△ABC中，如果A’B’ =AB，B’C’ = BC ，C’ A’ = CA ，那么△A’B’C’ ≌△ABC. 这个判断正确吗
正确
前面我们研究了两个三角形的两边和一角分别相等的情况以及两角和一边分别相等的情况. 接下来研究三边分别相等的情况.
如图，由A’B’=AB可知，如果使点A’与点 A 重合，点B’在射线 AB上，那么点B’与点B重合. 另外，使点C’落在直线AB的含有点C的一侧，由于点C是以点A为圆心、AC为半径的圆和以点B为圆心、BC为半径的圆的交点，点C’是以点A’为圆心、A’ C’为半径的圆和以点B’为圆心、 B’ C’为半径的圆的交点，所以由A’ C’ =AC， B’ C’ =BC可知点C’与点C重合. 这样， △A’B’C’的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A’B’C’与△ABC能够完全重合，因而△A’B’C’ ≌△ABC.
由探究4可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等：
三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
利用这个基本事实，可以说明我们曾经做过的实验的结果：将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架的形状、大小就不变了，也就是三角形具有稳定性.
上述分析过程也告诉我们：已知三角形的三边，也可以利用直尺和圆规作一个三角形.
如图，已知三条线段a，b，c（其中任意两条线段的和大于第三条线段），求作△ABC，是其三边分别为a，b，c.
a
b
c
作法：如右图.
(1)作线段AB=c；
(2)分别以点A，B为圆心，线段b，a为半径作弧，两弧相交于点C；
(3)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的三角形.
典例精析
例3 在如图所示的三角形钢架中，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架. 求证AD⊥BC.
分析：如果△ABD≌△ACD，那么∠ADB=∠ADC，从而有AD⊥BC. 而△ABD与△ACD具备“边边边”的条件.
∴ ∠ADB=∠ADC.
又 ∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=90°.
∴AD⊥BC.
最后来看两个三角形的三角分别相等的情况.
思考
三角分别相等的两个三角形全等吗？解答这个问题后，把三角形全等的判定方法做一个小结.
三角分别相等的两个三角形不一定全等.
小结：三角形全等的判定方法有SAS, ASA, AAS, SSS.
典例精析
1.如图，AC=BD，BC=AD. 求证∠ABC=∠BAD.
证明：
典例精析
2.工人师傅常用角尺平分一个任意角. 如图，在∠AOB的边OA，OB 上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合. 过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线. 为什么
解：
下面，利用三角形全等的判定方法，我们再来研究一些尺规作图问题.
思考
线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素. 我们已经学习了作一条线段等于已知线段的尺规作图，如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢？
如图 (1)，已知角∠AOB，要用直尺和圆规作一个角与其相等，关键是能用直尺和圆规确定∠AOB的大小.
对于一个三角形，其三条边、三个角是确定的. 如果能将∠AOB“放在”某个三角形中，作为其一个角，而我们又能用直尺和圆规作出这个三角形，那么就说明可以用直尺和圆规确定∠AOB. 进而再作出与这个三角形全等的三角形，根据全等三角形的性质，∠AOB的对应角就是要求作的角.
A
B
O
(1)
A
B
O
C
D
(2)
O’
C’
D’
(3)
显然，这样的三角形是容易作出的. 如图(2)，在∠AOB的边，OA，OB上分别取点C，D，连接C，D，得到△COD，∠AOB就是△COD的一个内角. 再作出△C’O’D’ (图 (3))，使 △C’O’D’ ≌ △COD， 则∠C’O’D’=∠COD=∠AOB.
为了作图方便，一般取OC=OD.
由此我们得到作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB 的方法.
作法：如下图.
(1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点C，D;
(2)作一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC 为半径作弧，交 O'A'于点C';
(3)以点C'为圆心，CD为半径作弧，与上一步作的弧相交于点D';
(4)过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B' =∠AOB.
与“作一条线段等于已知线段”一样，“作一个角等于已知角”也是基本、常用的尺规作图，利用它可以进一步完成其他尺规作图.
典例精析
例4 如图(1)，已知直线AB及直线AB外一点C. 利用直尺和圆规过点C作直线AB的平行线CD.
分析：我们知道，同位角相等，两直线平行，可以利用这个结论，过点C作直线AB的平行线CD，为此需要先作出截线，再作出相等的同位角.
(1)
B
(2)
作法：如图(2).
(1)过点C作一条直线，与直线AB相交于点E;
(2)在点C处作∠CEB的同位角∠FCD，使∠FCD =∠CEB;
(3)反向延长CD，得直线CD，则直线 CD//AB.
还可以利用“内错角相等，两直线平行”作图.
典例精析
例5 如图(1)，已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使AB=a，AC=b，∠A=∠α.
(1)
(2)
作法：如图(2).
(1)作∠DAE=∠α;
(2)在射线AD上作AB=a，在射线AE上作AC=b；
(3)连接BC，则△ABC就是所求作的三角形.
当堂练习
1.如图，用直尺和圆规作一条直线，使这条直线过△ABC的顶点A，
并且与边BC平行.
当堂练习
2.如图，用直尺和圆规作一个三角形，使这个三角形的两角分别等于∠α，∠β，这两角的夹边等于线段α.
下面我们来研究直角三角形全等的判定.
前面学习的三角形全等的判定方法，对满足条件的三角形都是适用的，同样也是用于直角三角形. 因为两个直角三角形的直角相等，所以对于两个直角三角形，满足一直角边和它相对(或相邻)的锐角分别相等，或斜边和一锐角分别相等，或两直角边分别相等，这两个直角三角形就全等了. 如果满足斜边和一直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？
A
B
C
A’
B’
C’
探究5
如图，在△ABC 和△A'B'C'中， ∠C'=∠C= 90°中，A'B'=AB，B'C'=BC. 这两个三角形全等吗
全等
如图，由∠C'=∠C=90°可知，如果使点C'与点C重合，并且使射线C'A'与射线CA重合，那么射线C'B'与射线CB重合.再由B'C' = BC，可知点B'与点B重合.
为了判断点A'与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C，A外的点与点B的连线和边AB的大小关系.
设点M在直角边AC（不包括端点）上，连接BM，则∠BMA＞∠C，∠BMA是钝角. 若过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M' ，则有AB＞BM＞BM. 设点N在线段CA的延长线上，连接BN，同理可得BN＞AB. 因此，在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个. 再由点A在射线CA上，A'B'=AB，可知点A'与点A重合. 这样， △A'B'C'与△ABC的三个顶点与的三个顶点分别重合，△A'B'C'与△ABC能够完全重合，因而△A’B’C’ ≌△ABC.
在今后的学习中，我们将用勾股定理证明这个判定方法.
一般地，有如下判定直角三角全等的方法：
斜边和一直角分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
典例精析
例6 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD. 求证BC=AD.
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C=∠D=90°
分析：如果能证明Rt△ABC≌Rt△BAD，就可以得出BC=AD. 由题意可知，
Rt△ABC和Rt△BAD具备“斜边、直角边”的条件.
当堂练习
1.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地. DA⊥AB，EB⊥AB. D，E到路段AB的距离相等吗 为什么
解：相等
当堂练习
2.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF.
求证AE=DF.
证明：
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