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第十五章 轴对称
15.3 等腰三角形
有些几何图形是轴对称图形，利用它们的轴对称性，可以帮助我们研究图形的性质，本节我们利用轴对称研究等腰三角形.
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学习目标
1.通过对等腰三角形性质和判定过程的探究，体会轴对称在研究几何中的作用.
2.理解等边三角形的定义.
3.掌握等边三角形的性质和判定定理.
4.掌握含30°角的直角三角形的性质.
15.3.1 等腰三角形
探究
如图，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来. 将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，找出其中重合的线段和角.
由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
A
B
C
D
重合的线段有：AB和AC，CD和BD；重合的角有：∠CAD和∠BAD，∠BDA和∠CDA，∠B和∠C.
猜想：等腰三角形的两个底角相等，等腰三角形底边上的高、顶角的平分线、底边上的中线是同一条线段. 操作后发现猜想仍然成立.
我们可以发现等腰三角形的性质：
等腰三角形的两个底角相等 (简写成“等边对等角”);
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 (简写成“三线合一”).
由上面的操作过程获得启发，我们可以利用三角形的全等证明这些性质.
由上面的探究过程获得启发，可以利用三角形的全等证明这些性质.
如图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，则BD=CD.
在△ABD和△ACD中，
AB=AC，
BD=CD,
AD=AD,
∴△ABD≌△ACD (SSS).
∴∠B=∠C.
这样就证明了“等边对等角”.
由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，从而AD⊥BC. 这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC. 用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边. 这也就证明了等腰三角形“三线合一”.
从以上证明也可以得出，沿底边上的中线翻折等腰三角形，两部分重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线 (顶角的平分线、底边上的高) 所在直线就是它的对称轴.
典例精析
例1 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，BC=AD. 且BD=BC=AD. 求△ABC各角的度数.
当堂练习
1.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°. 求∠B和∠C的度数.
解：∵AB=AD，∠BAD=26°，
∴∠B=∠ADB=(180°－26°) ÷2=77°.
∴∠ADC=180°－77°=103°.
又∵AD=DC, ∴∠DAC=∠C=(180°－103°)÷2=38.5°.
当堂练习
解：相等的线段有AB=AC，BD=AD=CD.
2.如图，△ABC是等腰直角三角形 (AB=AC, ∠BAC=90°)，AD是底边BC上的高. 标出∠B，∠C，∠BAD，∠DAC的度数，并写出图中所有相等的线段.
当堂练习
2.求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
解：如图：
思考
我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等. 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系
如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等.
如图，在△ABC中，∠B=∠C.
作△ABC的角平分线AD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD (AAS).
∴AB=AC.
由上面的推理过程，可以得到等腰三角形的判定方法：
有两个角相等的三角形是等腰三角形 (简写成“等角对等边”).
典例精析
例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
已知：如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，
AD∥BC.
求证：AB=AC.
分析：要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C. 因为∠1=∠2. 所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系.
证明：∵AD∥BC，
∴ ∠1=∠B，∠2=∠C.
又AD平分∠CAE,
∴ ∠1=∠2.
∴ ∠B =∠C.
∴ AB=AC.
典例精析
例3 尺规作图：已知等腰三角形底边长为a，底边上高的长为h (图(1))，求作这个等腰三角形.
(2)
(1)
分析：根据等腰三角形“三线合一”的性质，当底边确定时，底边所对的顶点在底边的垂直平分线上. 由此，作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形.
(2)
(1)
作法：
(1)作线段 AB=a.
(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.
(3)在MN上取一点C，使DC=h.
(4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.
当堂练习
1.如图，∠A=36，∠DBC=36°，∠C=72°. 分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形.
当堂练习
2.如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗 为什么
解：是等腰三角形.
如图所示.
∵AD∥BC，∴∠3=∠2.
又∵∠1=∠2 ，∴∠1=∠3.
∴BF=FD.
即△BFD是等腰三角形.
当堂练习
3.如图，AC和BD相交于点O，且AB∥CD，OA=OB.
求证OC=OD.
证明：因为OA=OB，所以∠A=∠B.
因为AB∥DC，所以∠C=∠A，∠D=∠B. 所以∠C=∠D. 所以 OC=OD.
15.3.2 等边三角形
我们知道，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形. 对于等边三角形，我们同样从它的边、角关系出发，研究它的性质和判定.
探究
把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论 一个三角形满足什么条件才是等边三角形
把等腰三角形的性质用于等边三角形仍然成立. 每一条边作为底边时，都有“三线合一”. 当一个三角形的三个角都相等时，这个三角形是等边三角形.
由等腰三角形的性质和判定方法，可以得到：
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.
三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
请你自己证明这些结论.
典例精析
例4 如图， △ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E. 求证：△ADE是等边三角形.
当堂练习
1.试画出等边三角形的三条对称轴. 你能发现什么
解：如图所示
对称轴是顶角平分线或底边上的高或底边上的中线所在的直线，并且三条对称轴交于一点.
当堂练习
2.如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中有哪些与BD相等的线段 证明你的结论.
解：BE，ED，FD，CD，CF，AE，AF.
如图，连接EF.
利用等边三角形的性质和判定，可以发现并证明直角三角形的一个性质.
探究
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ A=30°测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论 再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗 证明你的结论.
由图可知∠BAD=30°×2=60°=∠B=∠D，则△ABD是等边三角形，由等边三角形的性质可知，AC也是BD边上的中线，所以 BC=BD =∠AB，即直角边 BC的长等于斜边AB的长的一半.
通过测量发现：在Rt△ABC中，如果∠A=30°，那么直角边BC等于斜边AB的一半，下面证明这一结论.
要证明BC=AB，只要证明2BC=AB. 为此可以构造长为2BC的线段，证明它和AB相等即可.
30°
如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线，所以AB=AD. 又因为∠B=90°－∠BAC =90°－30°=60°，所以△ABD是等边三角形，所以BD=AB，又BD=2BC，所以BC=AB ，由此可以得到：
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°. 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
你还有其他证明方法吗？
典例精析
例5 下图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°. 求立柱BC，DE的长.
当堂练习
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度 边AB与BC之间有什么关系
当堂练习
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∠B和∠A各是多少度
解：如图：
谢谢观看

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