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(共23张PPT)
第十七章 因式分解
17.2 用公式法分解因式
对于某些特殊的多项式相乘，可以直接运用公式写出结果. 类似地，对于某些特殊的多项式，也可以利用公式分解因式.
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学习目标
1.掌握利用平方差公式进行因式分解的方法.
2.掌握利用完全平方公式进行因式分解的方法.
思考
多项式a2－b2有什么特点 你能将它分解因式吗
特点：这个多项式是两个数的平方差的形式.
这个多项式是两个数的平方差的形式. 由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整式乘法的平方差公式
的等号两边互换，就得到
运用这个公式，可以把形如平方差的多项式分解因式.
典例精析
例1 分解因式：
分析：在(1)中，由于4x2=(2x)2，9=32，所以4x2－9=(2x)2 －32，即可以利用平方差公式分解因式；在(2)中，由于25b2=(5b)2，所以a2－25b2 = a2－(5b)2，即可以利用平方差公式分解因式.
(1) 4x2－9 (2) a2－25b2
解：(1) 4x2－9
=(2x)2 －32
=(2x＋3) (2x－3)
(2) a2－25b2
= a2－(5b)2
= (a＋5b) (a－5b)
例2 分解因式：
典例精析
(1) x2－y4； (2) (x＋p)2－(x＋q)2.
分析：在(1)中，y4=(y2)2，所以x2－y4 = x2－(y2)2，即可以利用平方差公式分解因式；在(2)中，可以x＋p和x＋q各看成一个整体，设x＋p=a， x＋q=b，则原式化为a2－b2，即可以利用平方差公式分解因式.
解：(1) x2－y4
= x2－(y2)2
= (x＋y2) (x－y2)
(2) (x＋p)2－(x＋q)2
= [(x＋p)＋(x＋q)] [(x＋p)－(x＋q)]
= (2x＋p＋q) (p－q)
当堂练习
1.下列多项式能否利用平方差公式分解因式 为什么
解：(1)(4)不能. 因为多项式不符合平方差公式的形式.
(2)(3)能. 因为多项式符合平方差公式的形式.
当堂练习
2.分解因式：
(1) 36－m2
(2) 49n2－1
(3) a2－b2
(4) 81a2－16b2
(5) 4b2－(b＋c)2
(6) (m＋2n)2－(m－2n)2
思考
多项式a2+2ab+b2 与 a2－2ab+b2 有什么特点 你能将它们分解因式吗
特点：它们都是两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍.
a2+2ab+b2=(a+b)2， a2－2ab+b2=(a－b)2.
这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，这恰是两个数的和或差的平方，我们把a2+2ab+b2和a2－2ab+b2这样的式子叫作完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式.
把整式乘法的完全平方公式
的等号两边互换位置，就得到
典例精析
例3 分解因式：
(1) x2＋4x＋4； (2) 16x2－24x＋9.
分析：在(1)中，由于4=22，4x=2·x·2，所以x2＋4x＋4，是一个完全平方式，即
x2＋4x＋4 = x2＋2·x·2＋22
a2＋2·a·b＋b2
在(2)中，由于16x2 =(4x)2，9=32 ，24x=2·4x·3，所以16x2－24x＋9是一个完全平方式.
典例精析
例3 分解因式：
(1) x2＋4x＋4； (2) 16x2－24x＋9.
解：(1) x2＋4x＋4
= x2＋2·x·2＋22
= (x＋2)2；
(2) 16x2－24x＋9
= (4x)2－2·4x·3＋32
= (4x－3)2.
(1) (a+b)2－12(a+b)+36 (2) －x2+4xy－4y2
典例精析
例4 分解因式：
分析：在(1)中，由于a+b看作一个整体，设a+b=m，则原式化为完全平方式m2－12m+36；对于(2)，可通过添括号将原式写成－(x2－4xy＋4y2)，括号内的式子为完全平方式.
典例精析
(1) (a+b)2－12(a+b)+36 (2) －x2+4xy－4y2
例4 分解因式：
解：(1) (a+b)2－12(a+b)+36
=(a+b)2－2·(a+b)·6+62
=(a+b－6)2
(2) －x2+4xy－4y2
=－(x2+4xy－4y2)
=－[x2－2·x·2y+(2y)2]
=－(x2－2y)2
可以看出，把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式. 运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法.
当堂练习
1.下列多项式是不是完全平方公式 为什么
当堂练习
2.分解因式：
(1) a2＋2a＋1 (2) x2－12x＋36
(3) 4x2－4x＋1 (4) 4p2＋12pq＋9q2
(5) (x＋y)2－10(x＋y)＋25
(6) －2xy－x2－y2
对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法.
典例精析
(1) x4－y4； (2) a3b－ab
例5 分解因式：
分析：在(1)中， x4－y4 可以写成(x2)2－(y2)2的形式，可用公式法分解因式；对于(2)，a3b－ab的两项有公因式ab，可以先提出公因式，再进一步分解因式.
解：(1) x4－y4
= (x2＋y2) (x2－y2)
= (x2＋y2) (x＋y) (x－y)
(2) a3b－ab
= ab(a2－1)
= ab(a＋1) (a－1)
分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
典例精析
(1) 3ax2＋6axy＋3ay2； (2) －ax2＋2a2x－a3
例6 分解因式：
分析：先提出公因式，再用公式法进一步分解因式.
解：(1) 3ax2＋6axy＋3ay2
= 3a (x2＋2xy＋y2)
= 3a (x＋y)2
(2) －ax2＋2a2x－a3
= －a(x2－2ax＋a2)
= －a(x－a)2
当堂练习
1.分解因式：
(1) x2y－4y
(2) a3－2a2＋a
(3) ax2＋2a2x＋a3
当堂练习
1.分解因式：
(4) －a4＋16
(5) 3a－6ax＋3ax2
(6) －4bx2＋8bxy－4by2
当堂练习
2.分解因式：
(1) (a－b)2＋4ab (2) (p－4) (p＋1)＋3p
= a2＋b2－2ab＋4ab
= a2＋b2＋2ab
= (a＋b)2
= p2－3p－4＋3p
= p2－4
= (p＋2) (p－2)
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