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第十三章　三角形
13.2　与三角形有关的线段
13.2.2
三角形的中线、角平分线、高
新课导入
问题1：图中共有多少个三角形？请将它们全部用符号表示出来.
答：图中共有5个三角形．
分别是△ABC，△ABD，△ACD，△ADE，△CDE.
新课导入
问题2：利用长为2 cm，3 cm，4 cm，5 cm的四条线段可以组成几个三角形？为什么？
答：可以组成3个三角形．
从四条线段中任选三条，共有四种选法：
①2 cm，3 cm，4 cm
其中满足“三角形两边之和大于第三边”的只有第①，②，④这三组．
②3 cm，4 cm，5 cm
③2 cm，3 cm，5 cm
④2 cm，4 cm，5 cm
探究新知
问题：
(1)如何作一个三角形的中线？
(2)一个三角形有几条中线？
(3)分别作出不同三角形的中线，你有什么发现？
C
A
B
(三角形的中线)
A
B
C
如图，连接△ABC 的顶点 A 和它所对的边 BC 的中点 D.
所得线段 AD 叫作△ABC 的边 BC 上的中线.
D
∵ BD = CD = BC ，
∴ AD 是△ABC 的中线.
几何符号语言：
F
你能画出几条中线？
E
三角形有3条边，所以一个三角形有3条中线.
探究新知
(三角形的中线)
画出直角三角形和钝角三角形的中线
A
B
C
D
F
E
A
B
C
A
B
C
F
D
E
F
D
E
你发现了什么？
三角形的三条中线相交于三角形内一点
三角形的重心
三角形的重心的实际意义
图中框架能被手指托起后保持平衡，是因为手指恰好托在了框架的重心上.
一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块木板的重心.
探究新知
问题：
(1)如何作一个三角形的角平分线？
(2)一个三角形有几条角平分线？
(3)三角形的角平分线与一个角的平分线有何区别？
(4)不同的三角形，它们的角平分线有何特点？
C
A
B
(三角形的角平分线)
如图，画△ABC 的∠A 的平分线 AD，交∠A 所对的边 BC 于点 D.
B
C
F
几何符号语言：
你能画出几条角平分线？
D
E
三角形有3个内角，所以可以画3条角平分线
∵ ∠1=∠2 = ∠BAC，
∴ AD 是△ABC 的角平分线.
所得线段 AD 叫作△ABC 的角平分线.
1
2
提示：可以折一折或用量角器
探究新知
(三角形的角平分线)
A
角的平分线是一条______，
三角形的角平分线是一条_______.
射线
线段
1
2
A
O
C
A
B
C
P
1
2
注意区分
画出直角三角形和钝角三角形的角平分线
A
B
C
A
B
C
你发现了什么？
三角形的三条角平分线相交于三角形内一点
F
D
E
F
D
E
A
B
C
F
D
E
探究新知
问题：
(1)如何作三角形的高？
(2)一个三角形有几条高？
(3)能用折纸的方法折出你准备好
的三角形的高吗？
(4)通过画不同的三角形的高，你能发现什么特点？三角形的高一定在三角形的内部吗？
C
A
B
(三角形的高)
过一点画已知直线的垂线
A
B
C
垂线在三角形内是什么？
探究新知
(三角形的高)
如图，从△ABC的顶点 A 向它所对的边 BC 所在直线画垂线，垂足为 D.
A
B
C
几何符号语言：
D
∴AD是△ABC 的高
∵AD⊥BC (∠BDA =∠CDA = 90°)
所得线段 AD 叫作△ABC 边 BC 上的高线.
三角形的高线简称三角形的高
A
B
C
D
E
F
O
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
锐角三角形的三条高交于三角形内一点. 这个点叫作三角形的垂心.
画出锐角三角形的三条高，你有什么发现？
探 究
画出直角三角形的三条高，你有什么发现？
A
B
C
直角边BC边上的高是_____；
直角边AC边上的高是_____；
AC
BC
斜边AB边上的高是_____；
D
CD
直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边，三条高的交点在直角顶点处.
探 究
画出钝角三角形的三条高，你有什么发现？
A
B
C
D
E
F
三条高的交点在三角形外部.
O
钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上.
探 究
3．从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作____，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高．
2．在三角形中，一个内角的_______和它所对的边相交于一点，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线．的高．
归 纳
1．在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的____，所得线段叫作三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，这个点叫作三角形的____．
中点
重心
平分线
垂线
例题与练习
例1 下列说法正确的是 ( )
①平分三角形内角的射线叫作三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；③每个三角形都有三条中线、三条高和三条角平分线；④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．
A．③④　 B．③　 C．②③ D．①④
B
例题与练习
例2
如图，已知△ABC，根据要求画图．
(1)画BC边上的高；
(2)画∠C的平分线；
(3)将△ABC分成面积相等的两部分．
A
B
C
(1)画BC边上的高；
(2)画∠C的平分线；
(3)将△ABC分成面积相等的两部分．
解:
A
B
C
(1)线段AD即为所求；
(2)CE即为∠ACB的平分线；
(3)中线BF将△ABC分成面积相等的两部分(答案不唯一).
D
E
F
练 习
1. 如图，过△ABC 的顶点 C，分别画出它的中线、角平分线和高.
A
B
C
D
E
F
解：如图，AD，AE，AF 分别是 △ABC 的中线、角平分线和高.
2. (1) 如图1，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线. 则BD = ____，AE= ____，AB= 2____；
DC
A
B
C
E
F
D
AC
AF
三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分
2. (2) 如图2，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线. 则∠1 = ____， ∠3 = ______， ∠ ACB= 2____.
∠2
A
B
C
E
F
D
∠ABC
∠4
1
2
3
4
3. 填空：
(1)BE＝_______＝______；
(2)∠BAD＝________＝________；
(3)∠AFB＝________＝90°；
(4)S△AEC＝________．
CE
BC
∠DAC
∠BAC
∠AFC
3
4．如图，已知△ABC.
(1)画出△ABC的∠ABC的平分线，交AC边于点D，并指出相等的角；
(2)画出△ABC的AC边上的中
线BE，并指出相等的线段；
(3)画出△ABC的BC边上的高AF，
并指出图中所有的直角三角形．
A
B
C
A
B
C
D
E
F
解：
(1)如图，BD是△ABC的∠ABC的平分线，∠ABD＝∠CBD；
(2)如图，BE是△ABC的AC边上的中线，AE＝CE；
(3)如图，线段AF为△ABC的BC边上的高．
∵AF⊥BC，
∴∠AFC＝90°
∴图中的直角三角形有△AFB和△AFC.
课堂小结
三角形的重要线段
A
B
C
E
D
F
A
B
C
D
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
F
中线
角平分线
高
完成学生用书对应课时练习
作业布置
教材P9　习题13.2第3，4，7题

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