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第十三章　三角形
13.2　与三角形有关的线段
13.2.1　三角形的边
情景导入
在我们的生活中几乎随处可见三角形，它简单有用．如：人字型屋顶钢架、风筝骨架，并从中抽象出数学图形，为什么要构成三角形形状呢？三角形有什么特殊的性质，又有哪些特殊线段呢？
1．如何表示三角形？
2．三角形的边可以怎么表示？
(2)三角形按边分类：
三边都不相等的三角形
等腰三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
3．三角形的分类：
(1)三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
新课导入
探究新知
探 究
任意画一个△ABC，从点 B 出发，沿三角形的边到点 C，有几条线路可以选择？
① BA → AC
② BC
线路②更短：两点之间线段最短
哪条线路较短？理由是什么？
三角形的两边之和大于第三边
这说明三角形的边之间有什么关系？
C
A
B
你能证明这个结论吗？
(三角形的三边关系)
C
A
B
证明：对于任意一个△ABC，
如果把其中任意两个顶点看成定点，
(例如B，C )
由“两点之间，线段最短”，可得
AB + AC > BC.
同理有
AC + BC > AB，
AB + BC > AC.
这样，就证明了，三角形的两边之和大于第三边.
C
A
B
AB + AC > BC.
进一步，由不等式②③，移项可得
AC + BC > AB，
AB + BC > AC.
这就是说，三角形的两边之差小于第三边.
②
BC > AB – AC，
BC > AC – AB.
③
思 考
对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？
现有 12 条已知长度的线段：
试一试
任意选择三条线段作三角形，使它的三条边长分别为你所选择的三条线段的长.
2 cm
3 cm
4 cm
5 cm
6 cm
在作三角形的过程中，可能会发现下列几种情况：
①
②
③
因此，并不是任意三条线段都可以组成一个三角形
归 纳
一般地，
如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形.
如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形.
探 究
(三角形的稳定性)
将三根木条用钉子定成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
三角形木架的形状不会改变
视频：三角形的稳定性
四边形的形状会改变
将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗
视频：四角形的稳定性
它的形状不会改变
在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗
点击观看视频
三角形是具有稳定性的图形.
探 究
(三角形的稳定性)
三角形的稳定性在生活中有着广泛的应用
起重机
钢架桥
建筑架构
归 纳
1．三角形的三边关系：
三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．
2．如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形；如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形．
3．三角形是具有稳定性的图形．
例题与练习
例1 已知在等腰三角形中，一边的长为9 cm，另一边的长为4 cm.
小伟：“这个三角形的周长为17 cm.”
小宇：“你说的不对，这个三角形的周长为22 cm.”
同学们，你认为谁说的对呢？说说你的理由．
解：小宇说的对.
∵当腰长为4 cm时，4＋4＜9，不能组成三角形，
∴该等腰三角形的腰长为9 cm，
周长为9＋9＋4＝22(cm)
例题与练习
例2
用一条长为 18 cm 的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底边长的 2 倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长是 4 cm 的等腰三角形吗？为什么？
解：
x + 2x + 2x = 18
解得 x = 3.6.
所以，三角形三边的长分别为 3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm.
（1）设底边长为 x cm，则腰长为 2x cm，则
解： （2）因为长为 4 cm 的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.
4 + 2x = 18
①如果 4 cm 长的边为底边，设腰长为 x cm，则
解得 x = 7.
2×4 + y = 18
②如果 4 cm 长的边为腰，设底边长为 y cm，则
解得 y = 10.
因为 4 + 4 < 10，不符合“三角形两边的和大于第三边”，所以不能围成腰长是 4 cm 的等腰三角形.
以上可知，可以围成底边长是 4 cm 的等腰三角形.
例题与练习
例3
已知：如图，点D是△ABC内一点．求证：AB＋AC＞BD＋CD.
A
B
D
C
证明：
A
B
E
D
C
在△ABE中，AB＋AE＞BE，
在△EDC中，ED＋EC＞CD，
∴AB＋AE＋ED＋EC＞BE＋CD.
∵AE＋EC＝AC，BE＝BD＋DE，
∴AB＋AC＋ED＞BD＋DE＋CD.
∴AB＋AC＞BD＋CD.
延长BD交AC于E.
练 习
1. 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（1）3，4，8；
（2）5，6，11；
（3）5，6，10.
×
×
√
因为 3 + 4 < 8
因为 5 + 6 = 11
因为 5 + 6 > 10，10 – 5 > 6
2. 一根 4 dm 长的木条和两根 1 dm 长的木条，能否组成一个等腰三角形？两根 4 dm 长的木条和一根 1 dm 长的木条呢？
解：一根 4 dm 长的木条和两根 1 dm 长的木条不能组成一个等腰三角形，
因为 1 dm + 1 dm < 4 dm；
两根 4 dm 长的木条和一根 1 dm 长的木条能组成一个等腰三角形，
因为 1 dm + 4 dm > 4 dm，4 dm – 1 dm > 4 dm.
3. 下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是
( )
C
A.房屋顶支撑架
B.自行车三角架
C.拉闸门
D.木门上钉一根木条
4．若等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为 ；若等腰三角形的两边长分别是3和4，则它的周长为 ．
17
10或11
5．已知△ABC 的两边AB＝2 cm，AC＝9 cm.
(1)求第三边 BC 的长的取值范围；
(2)若第三边 BC 的长是偶数，求 BC 的长；
(3)若△ABC 是等腰三角形，求其周长．
解：
(2)BC的长是8 cm或10 cm；
(1)7 cm＜BC＜11 cm；
(3)∵△ABC是等腰三角形
∴BC＝9 cm或 BC＝2 cm.
当BC＝2 cm时，2＋2＜9，不能组成三角形
∴BC＝9 cm.
∴△ABC的周长为2＋9＋9＝20(cm).
课堂小结
三角形的三边关系
三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
三条线段能组成三角形的条件
三角形的稳定性
完成学生用书对应课时练习
作业布置
教材P9　习题13.2第1，2，5，6题

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