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13.3 三角形的内角与外角
13.3.2　三角形的外角
1．三角形的内角和是多少度？
2．直角三角形的两个锐角______；
有两个角互余的三角形是____________．
复习巩固
答：三角形的内角和是180°
互余
直角三角形
导入新课
如图，是由两块较长钢板A，B搭建的人字架，资料表明，当∠1＝70°，∠3＝110°时，人字架最稳定，由于客观原因，∠3不可度量，那么∠2为多少度时，人字架最稳定？
(三角形的外角)
探究新知
D
如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD.
∠ACD 是 △ABC 的一个外角
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③角的另一边是三角形某边的延长线.
A
B
C
像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
A
B
C
想一想：△ABC 有多少个外角？
1
2
4
3
5
6
一共有 6 个外角：
∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6
每个顶点处都有两个外角，它们是_______.
对顶角
研究时，通常只在每个顶点处取一个外角进行讨论.
D
A
B
C
外角
相邻的内角
对于外角∠ACD 来说，
∠ACB 是与它相邻的内角，
不相邻的内角
∠A，∠B是与它不相邻的内角.
如图，在△ABC 中，∠A = 70°，∠B = 60°，∠ACD 是△ABC 的一个外角，你能求出∠ACD 的度数吗？∠ACD 与∠A，∠B 的大小有什么关系？
D
A
B
C
70°
60°
∠ACD = 180°–∠ACB
= 60°+70°
任意一个三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角是否都有这种关系？
思 考
=∠A+∠B
= 130°
猜想：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
已知：____________________________________
求证：____________________
△ABC中，∠ACD 是△ABC 的一个外角.
∠A +∠B =∠ACD.
∠A +∠B +∠ACB = 180°
证明：由三角形的内角和等于180°，得
D
A
B
C
又∵ ∠ACD +∠ACB = 180°
∴∠A +∠B =∠ACD (等量代换)
∠1 = ∠A
(两直线平行，内错角相等)
过 C 作 CE 平行于 AB
∴∠2 = ∠B
(两直线平行，同位角相等)
∴∠ACD
已知：____________________________________
求证：____________________________
△ABC中，∠ACD 是△ABC 的一个外角.
∠A +∠B =∠ACD.
D
A
B
C
E
1
2
证法二：
= ∠1 + ∠2
= ∠A + ∠B
推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
D
A
B
C
外角
符号语言：
推论是由定理直接推出的结论. 和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据.
∵∠ACD是△ABC 的一个外角
∴∠ACD =∠A +∠B
∠ACD ______∠A
∠ACD ______∠B
判断：
∠ACD = ∠A +∠B
＞
＞
推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角
D
A
B
C
外角
归 纳
1．三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的________．
2．三角形的外角等于____________的两个内角的______．
外角
与它不相邻
和
例题与练习
例 1 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是 △ABC 的三个外角，它们的和是多少？
A
B
C
E
F
D
1
2
3
解： 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
A
B
C
E
F
D
1
2
3
得∠BAE =∠2 + ∠3
∠CBF =∠1 +∠3，∠ACD =∠1 +∠2.
所以∠BAE +∠CBF +∠ACD
= 2(∠1 +∠2 +∠3)
由∠1 +∠2 +∠3 = 180°
得∠BAE +∠CBF +∠ACD
= 2×180°
= 360°
解法二：
A
B
C
E
F
D
1
2
3
如图，∠BAE +∠1 = 180° ①
∠CBF +∠2 = 180° ②
∠ACD +∠3 = 180° ③
又知∠1 +∠2 +∠3 = 180°
① + ② + ③ 得
∠BAE +∠CBF +∠ACD+ (∠1+∠2+∠3) = 540°
所以∠BAE +∠CBF+∠ACD=540°–180°=360°
A
B
C
E
F
D
1
2
3
所以∠ACD = ∠EAM，
∠CBF = ∠BAM，
所以
M
过 A 作 AM 平行于 BC，
∠BAE +∠CBF +∠ACD
= ∠BAE +∠BAM +∠EAM
= 360°
解法三：
例题与练习
例 2 如图，点D，B，C在同一条直线上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°，求∠1的度数．
A
B
C
E
D
1
解：
∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°
∠A＝60°，∠C＝50°
∴∠ABC＝180°－∠A－∠C
＝180°－60°－50°＝70°
又∵∠ABC＝∠1＋∠D
∴∠1＝∠ABC－∠D
＝70°－25°＝45°
A
B
C
E
D
1
例题与练习
例 3 如图，在五角星ABCDE中，试说明：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
A
B
C
E
D
A
B
C
E
D
F
G
解：
设BE与AC，AD分别交于点G，F
∵∠AGF＝∠C＋∠E
∠AFG＝∠B＋∠D
且∠A＋∠AGF＋∠AFG＝180°
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°
随堂检测
∠1 = 40°
∠2 = 140°
∠1 = 110°
∠2 = 70°
∠1 = 50°
∠2 = 140°
1. 说出下列各图形中∠1 和∠2 的度数
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
∠1 = 55°
∠2 = 70°
∠1 = 80°
∠2 = 40°
∠1 = 60°
∠2 = 30°
2. 如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为 ( )
A．28° B．38°
C．48° D．88°
A
B
C
E
D
20°
68°
C
3. 一副三角尺以如图所示的方式叠放在一起，则∠DFC的度数是 ( )
A. 165°
B．120°
C．150°
D．135°
A
4．在△ABC中，如果∠A，∠B，∠C的相邻的外角之比为4∶2∶3，那么∠A的度数为 ( )
　A．20° B．40°
C．70° D．80°
A
5．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝60°，∠BDC＝95°，求△BDE各内角的度数．
A
B
C
E
D
60°
95°
解：∵BD是∠ABC的平分线
A
B
C
E
D
60°
95°
∴∠ABD＝∠CBD
∵DE∥BC
∴∠CBD＝∠BDE
∴∠EBD＝∠BDE
∵∠BDC是△ABD的外角
∴∠A＋∠ABD＝∠BDC
∴∠EBD＝∠BDC－∠A
＝95°－60°＝35°
∴∠BDE＝∠EBD＝35°
∴∠BED＝180°-∠EBD-∠BDE
＝180°-35°-35°=110°
课堂小结
三角形的外角
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
定 义
性 质
完成学生用书对应课时练习
作业布置
教材P16～17　习题13.3第2，5，6，8，9，11题

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