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13.3 三角形的内角与外角
13.3.1 三角形的内角
第1课时　三角
新课导入
1．问题：三角形的内角和是多少度？
2．在直角△ABC中，∠C＝90°，则∠A与∠B的关系是__________________．
3．三角形的三个内角之比为1∶3∶5，那么这个三角形的最大内角为______．
∠A＋∠B＝90°
100°
用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B，C为定点，A为动点(如图所示)，放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们观察点A变化时所形成的一系列的三角形：△A1BC，△A2BC，△A3BC，……，其内角会产生怎样的变化呢？从中你对△ABC三个内角的和有何猜想呢？在小学我们通过测量的方法得到三角形的内角和是180°，有没有能证明三角形的内角和是180°的方法呢？
探究新知
(三角形的内角和)
现在有一副三角尺．
问题：
(1)每个三角尺的每个角各是多少度？
(2)每个三角尺三个内角的和各是多少度？
(3)猜一猜，任意一个三角形的三个内角和都相同吗？等于多少度？
探 究
你还记得在小学是如何通过剪拼的方法得出三角形的内角和吗？
A
B
C
A
B
C
B
C
B
A
B
C
A
A
B
C
···
将三个角拼合到一起的目的是什么？
为了得到一个平角. 有了平角，根据平角定义，就得到了180°
从下图给出的操作过程中，你能发现证明的思路吗？
B
B
C
C
A
l
A
B
C
l
1
2
3
4
5
直线 l 与△ABC 的边 BC 有什么关系？
直线 l∥BC
证明思路
过点A作直线l//BC
由平行线的性质转移∠B和∠C
由平角定义得到 180°
A
B
C
l
1
2
3
4
5
例：已知：△ABC.求证：∠A +∠B +∠C = 180°
证明：如图，过点 A 作直线 l，使 l // BC.
∵l // BC，∴∠2 =∠4
(两直线平行，内错角相等)
同理 ∠3 =∠5.
∵∠1，∠4，∠5 组成平角，
∴∠1 +∠2 + ∠3 = 180°(等量代换)
∴∠1 +∠4 + ∠5 = 180°(平角定义)
有其他证法吗？
归 纳
三角形的内角和定理
A
B
C
三角形的内角和等于180°
几何语言：
在△ABC 中，
∠A +∠B +∠C = 180°
B
B
C
A
A
l
从下图给出的操作过程中，你能发现其他证明的思路吗？
A
B
C
l
1
2
3
4
5
拓展探究
延长 BC，过点 C 作直线 l，使 l // AB.
∵l // AB，∴∠1 =∠4
(两直线平行，内错角相等)
且 ∠2 =∠5.
∵∠3，∠4，∠5 组成平角，
∴∠1 +∠2 + ∠3 = 180°(等量代换)
∴∠3 +∠4 + ∠5 = 180°(平角定义)
A
B
C
l
1
2
3
4
5
(两直线平行，同位角相等)
证法2：
通过前面的操作和证明过程，你有什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？
C
A
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
C
A
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
n
C
A
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
n
借助平行线“移角”功能，将三个角转化成一个平角.
转化思想
①依据平角定义，得到180°
除了构造平角得到180°外, 还有其他方式吗？
利用平行线的性质，转移角
添加平行线(辅助线)
②两直线平行，同旁内角互补
A
B
C
l
2
1
F
1
4
2
3
D
E
A
B
C
例题与练习
例 1 如图，在△ABC 中，∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线. 求∠ADB 的度数.
A
C
B
D
解：由∠BAC ＝ 40°，AD 是△ABC 的角平分线，
在△ABD 中，
∠BAD ＝∠BAC ＝ 20°
A
C
B
D
得
∠ADB = 180° – ∠B – ∠BAD
= 180° – 75° – 20°
= 85°
例2：下图是 A，B，C 三岛的平面图,C 岛在 A 岛的北偏东 50°方向,B 岛在 A 岛的北偏东 80°方向, C 岛在 B 岛的北偏西 40° 方向. 从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 呢？
北
北
C
A
B
D
E
80°
40°
？
50°
？
分析：A，B，C 三岛的连线构成△ABC，所求的∠ABC ，∠ACB 是△ABC 的内角. 如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求∠ACB.
北
北
C
A
B
D
E
80°
40°
？
50°
？
北
北
C
A
B
D
E
80°
40°
50°
解：∠CAB =∠BAD–∠CAD = 80°– 50°= 30°
由 AD // BE，得 ∠BAD +∠ABE =180°
所以∠ABE =180°–∠BAD=180°–80°=100°
∠ABC=∠ABE–∠EBC=100°–40°=60°
在△ABC 中，
∠ACB=180°–∠ABC–∠CAB
=180°–60°–30°=90°
答：从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是 60°， 从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 是 90°.
所以∠ABC =180°–∠BAD–∠4=180°–80°–40°=60°
由 AD // BE，得 ∠BAD +∠ABE = 180°
答：从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是 60°， 从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 是 90°.
北
北
C
A
B
D
E
80°
40°
50°
∴∠1 = ∠3 ，∠2 = ∠4
解：过点 C 作 CF // AD，则 CF // BE
(两直线平行，内错角相等)
∴∠ACB=∠1+∠2=∠3+∠4
=50°+40°=90°(等量代换)
1
2
F
3
4
例3　若△ABC的一个内角∠A是另一个内角∠B的，也是第三个内角∠C的，求△ABC三个内角的度数．
解：由题意，得∠A＝∠B，∠A＝∠C
∴∠B＝∠A，∠C＝∠A.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠A＋∠A＝180°，
∴∠A＝48°，∠B＝72°，∠C＝60°.
例4　如图，将△ABC沿EF折叠，使点C落在点C′处，试探求∠1，∠2与∠C的数量关系．
2
1
A
B
C
E
F
C′
解：由折叠的性质，
得∠CEF＝∠C′EF，∠CFE＝∠C′FE.
∴∠1＝180°－2∠CEF，
∠2＝180°－2∠CFE，
∴∠1＋∠2＝360°－2(∠CEF＋∠CFE)
＝360°－2(180°－∠C)＝2∠C
即∠1＋∠2＝2∠C.
2
1
A
B
C
E
F
C′
练 习
1. 如图，从 A 处观测 C 处的仰角 ∠CAD = 30°，从 B 处观测 C 处的仰角 ∠CBD = 45°. 从 C 处观测 A，B 两处的视角∠ACB 是多少度？
C
A
B
D
解：在△ABC 中，
在△BCD 中，
∴∠ACB =∠ACD –∠BCD = 60° – 45° = 15°
C
A
B
D
∠ACD = 180° – (∠BAD +∠CAD)
= 180° – (30° + 90°) = 60°
∠BCD = 180° – (∠CBD +∠D)
= 180° – (45° + 90°) = 45°
2. 如图，在△ABC 中，∠A = 40°，求∠B + ∠C + ∠ADE + ∠AED 的度数.
C
A
B
D
E
解：在△ADE 中，
在△ABC 中，
∴∠B+∠C+∠ADE+∠AED=140°+140°=280°
C
A
B
D
E
∠ACD+∠AED=180°–∠A
=180°– 40°=140°
∠B+∠C=180°– ∠A
=180°– 40°=140°
3．如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝20°，∠COD＝100°，则∠C的度数是 ( )
　A．80° B．70° C．60° D．50°
C
4．如图，AB∥CD，AD平分∠BAC.若∠BAD＝70°，则∠ACD的度数是 ( )
A．40° B．35° C．50° D．45°
A
5．当三角形中的一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为____．
30°
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ABC，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，求∠BPC的度数．
解：∵∠A＝40°，∠ACB＝∠ABC，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°
又∵∠1＝∠2，
∴∠BCP＝∠ABP
∴∠2＋∠BCP＝∠2＋∠ABP
＝∠ABC＝70°
∴∠BPC＝180°－(∠2＋∠BCP)
＝180°－70°＝110°
课堂小结
三角形的内角和等于180°
转化为一个平角或同旁内角互补
求角度
三角形的内角和定理
证法：
应用：
完成学生用书对应课时练习
作业布置

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