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13.3 三角形的内角与外角
13.3.1 三角形的内角
第2课时
直角三角形中两锐角的关系
新课导入
如图，将一根旗杆MN竖直固定在地面上，为了安全起见，在旗杆的点A处安装拉线，使拉线AB与旗杆的夹角∠BAN＝60°，为了保证角度准确，在地面固定拉线端点B时，应使拉线与地面的夹角∠ABN的度数是多少？
三角形中求角的度数问题，当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°建立方程来解决．
A
B
C
探究新知
(直角三角形的性质)
如图，在直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，∠A 与∠B 有什么关系？
∠A +∠B +∠C = 180°
由三角形的内角和定理，得
【直角三角形的两个锐角互余】
A
B
C
也就是说
即 ∠A +∠B + 90° = 180°
所以 ∠A +∠B = 90°
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC .
直角三角形的表示方法
A
B
C
文字语言 几何语言
直角三角形的两个锐角互余
如图，在Rt△ABC中，
∵∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 90°
探究新知
(直角三角形的判定)
我们知道了如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余，反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
C
A
B
思 考
？
即△ABC 是直角三角形.
A
B
C
猜想：有两个角互余的三角形是直角三角形.
已知：____________________________
求证：____________________________
△ABC中，∠A +∠B = 90°
∠C＝90°
∠A +∠B +∠C = 180°
证明：由三角形的内角和等于180°，得
又∵ ∠A +∠B = 90°
∴∠C = 180° – 90° = 90°
文字语言 几何语言
直角三角形的判定
A
B
C
有两个角互余的三角形是直角三角形
如图，在△ABC中，
∵∠A +∠B = 90°，
∴△ABC是直角三角形
归 纳
直角三角形的两个锐角______．
A
B
C
有两个角互余的三角形是______三角形．
互余
直角
例题与练习
例 1 如图，∠C =∠D = 90°，AD，BC 相交于点 E，比较∠CAE 与∠DBE 的大小.
A
C
D
E
B
解：在Rt△AEC 中，∠CAE = 90° –∠AEC
∵∠AEC =∠BED
在Rt△BDE 中，∠DBE = 90° –∠BED
∴∠CAE =∠DBE
A
C
D
E
B
例 2 如图，已知D是线段BC的延长线上一点，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求证：△AOE是直角三角形．
A
C
D
O
B
E
证明：
∵∠ACD＋∠ACB＝180°，∠ACD＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACB＝90°
∵∠AOE＝∠COD，∠COD＝∠B
∴∠AOE＝∠B
∵∠BAC＋∠B＝90°
∴∠BAC＋∠AOE＝90°
∴∠AEO＝90°，即△AOE是直角三角形．
A
C
D
O
B
E
例 3 (1)如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E.试猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；
1
2
A
C
D
E
B
解：∠1＝∠2. 理由如下：
1
2
A
C
D
E
B
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴△ABD和△BCE都是直角三角形，
∴∠1＋∠B＝90°，
∴∠1＝∠2；
∠2＋∠B＝90°，
例 3 (2)如图②，在△ABC中，如果∠BAC是钝角，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．
A
C
D
E
B
1
2
3
4
解：结论仍然成立．理由如下：
A
C
D
E
B
1
2
3
4
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠D＝∠E＝90°，
∴∠1＋∠4＝90°，
∠2＋∠3＝90°.
又∵∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2.
练 习
1.如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D. ∠ACD 与∠B 有什么关系？为什么？
A
C
D
B
解：∠ACD =∠B. 理由：
∵ ∠ACB = 90°，CD⊥AB
∴ ∠ACD + ∠BCD = 90°
∠B + ∠BCD = 90°
∴∠ACD =∠B
2. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且∠1 ＝∠2，△ADE 是直角三角形吗？为什么？
1
2
A
B
C
D
E
∵∠C = 90°，
∴∠ADE = 90°
∵∠1 = ∠2，
解：是直角三角形. 理由：
∴△ADE 是直角三角形
∴∠A +∠2 = 90°
∴∠A +∠1 = 90°
3．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，BE平分∠ABC交边AC于点E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的度数是 ( )
A．15° B．20°
C．25° D．30°
B
4．如图，将有一块含有60°角的直角三角尺的两个顶点分别放在长方形的对边上．如果∠1＝18°，那么∠2的度数是______．
12°
5．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，试说明△EPF为直角三角形．
解：∵AB∥CD
∴∠BEF＋∠DFE＝180°
∵EP为∠BEF的平分线，
FP为∠DFE的平分线，
∴∠PEF＝∠BEF，
∠PFE＝∠DFE，
∴∠PEF＋∠PFE
∴△EPF为直角三角形．
＝(∠BEF＋∠DFE)＝90°
课堂小结
直角三角形的两个锐角互余
有两个角互余的三角形是直角三角形
直角三角形的性质
直角三角形的判定
完成学生用书对应课时练习
作业布置
教材P16～17　习题13.3第4，10题

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