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10.1.3 古典概型
古典概型的定义
一
复习引入
通过试验和观察的方法，我们可得到一些事件的概率的估计值。
掷次硬币，得到正面向上的频率在附近，由此估计掷一枚硬币正面向上的概率为.
研究随机现象,最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件的概率用表示．
探究：在10.1.1节中，我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验.样本空间是什么？它们的共同特征有哪些？
试验1：掷一枚质地均匀的硬币一次,出现的结果：
2种
正面朝上
反面朝上
试验2：掷一颗质地均匀的骰子一次,出现的结果：
6种
1点
2点
3点
4点
5点
6点
①样本空间的样本点只有有限个
②每个样本点发生的可能性相等；
特点：①有限性
②等可能性
一、古典概型：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等；
将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
练习：判断下列概率模型是否是古典概型：
(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；
(2)从区间[1,10]内任意取出一个整数，求取到2的概率；
(3)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
(4)掷一枚质地均匀的骰子的试验中，求事件“出现的点数是2的倍数”的概率
(5)某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果有：
“命中10环”、“命中9环”、“命中8环”、“命中7环”、“命中6环”、
“命中5环”和“不中环”。
不符合有限性
不符合等可能性
是
古典概型的特点：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等；
是
不符合等可能性
二
古典概型概率的计算
思考：考虑下面这个随机试验，如何度量事件发生的可能性大小？
抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件“恰好一次正面朝上”.
解：我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，
则，
共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型.
●事件发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点与样本空间包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量.
因为，所以事件发生的可能性大小为.
二、古典概型概率计算公式：
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数.
例1：单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？
解：试验有选、、、共4种可能结果，则样本空间为.
考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以是一个古典概型.设“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以.所以，考生随机选择一个答案，答对的概率.
解：多选题更难.理由如下：
多选题可能的答案为：.
所以多选题一共有11种可能的结果，多选题正确的概率为.
而单选题正确的概率为，因此多选题更难.
变式：在标准化考试中也有多选题，多选题是从四个选项中选出所有正确的答案(四个选项中至少有两个选项是正确的).你认为单选题和多选题哪种更难选对？为什么？
较复杂的古典概型的概率计算
三
例2：抛掷两枚质地均匀的骰子(标号为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
(1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
解：该试验的所有样本点用表格表示如下：
共有36个样本点.
●由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.
I号 II号 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) (5，4) (6，4)
5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6，5)
6 (1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6)
I号 II号 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) (5，4) (6，4)
5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6，5)
6 (1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6)
例2：抛掷两枚质地均匀的骰子(标号为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
(2)求下列事件的概率：“两个点数之和是5”；“两个点数相等”；
“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.
I号 II号 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) (5，4) (6，4)
5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6，5)
6 (1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6)
I号 II号 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) (5，4) (6，4)
5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6，5)
6 (1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6)
例2：抛掷两枚质地均匀的骰子(标号为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
(2)求下列事件的概率：“两个点数之和是5”；“两个点数相等”；
“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.
.
I号 II号 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) (5，4) (6，4)
5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6，5)
6 (1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6)
I号 II号 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) (5，4) (6，4)
5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6，5)
6 (1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6)
例2：抛掷两枚质地均匀的骰子(标号为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
(2)求下列事件的概率：“两个点数之和是5”；“两个点数相等”；
“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.
I号 II号 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) (5，4) (6，4)
5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6，5)
6 (1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6)
思考：在上题中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？
I号 II号 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) (5，4) (6，4)
5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6，5)
6 (1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6)
不能区分所抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子，如抛掷出的结果是1点和2点，有可能是第一枚骰子为1点，也有可能是第二枚骰子为1点.
思考：在上题中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？
解：这样，和的结果将无法区别.
●当不标记号时，样本空间,
则
其中“两个点数之和是5”的结果变为，
这时
思考：同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？
思考：同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？
I号 II号 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) (5，4) (6，4)
5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6，5)
6 (1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6)
合并为21个结果时，和发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率，因此是错误的.
归纳：求解古典概型问题的一般思路：
(1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表、树状图可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)；
(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.
列举法解决古典概型问题
一
例3：袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
(1)“第一次摸到红球”；(2)“第二次摸到红球”；
(3)“两次都摸到红球”.
解：将两个红球编号为1,2，三个黄球编号为3,4,5.
第一次摸球时有5种等可能的结果
第二次摸球时有4种等可能的结果
将两次摸球的结果配对，
组成20种等可能的结果，
用表表示.
5×4=20
第一次 第二次 1 2 3 4 5
1 (1，2) (1，3) (1，4) (1，5)
2 (2，1) (2，3) (2，4) (2，5)
3 (3，1) (3，2) (3，4) (3，5)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，5)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4)
第一次 第二次 1 2 3 4 5
1 (1，2) (1，3) (1，4) (1，5)
2 (2，1) (2，3) (2，4) (2，5)
3 (3，1) (3，2) (3，4) (3，5)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，5)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4)
例3：袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
(1)“第一次摸到红球”；
所以
第一次 第二次 1 2 3 4 5
1 (1，2) (1，3) (1，4) (1，5)
2 (2，1) (2，3) (2，4) (2，5)
3 (3，1) (3，2) (3，4) (3，5)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，5)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4)
第一次 第二次 1 2 3 4 5
1 (1，2) (1，3) (1，4) (1，5)
2 (2，1) (2，3) (2，4) (2，5)
3 (3，1) (3，2) (3，4) (3，5)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，5)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4)
例3：袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
(2)“第二次摸到红球”；
所以
第一次 第二次 1 2 3 4 5
1 (1，2) (1，3) (1，4) (1，5)
2 (2，1) (2，3) (2，4) (2，5)
3 (3，1) (3，2) (3，4) (3，5)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，5)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4)
第一次 第二次 1 2 3 4 5
1 (1，2) (1，3) (1，4) (1，5)
2 (2，1) (2，3) (2，4) (2，5)
3 (3，1) (3，2) (3，4) (3，5)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，5)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4)
例3：袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
(3)“两次都摸到红球”.
所以.
例3：袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，
从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
追问1：若改成同时摸出2个球，求.
追问2：若改成有放回地依次摸出2个球，求.
第一次 第二次 1 2 3 4 5
1 (1，2) (1，3) (1，4) (1，5)
2 (2，1) (2，3) (2，4) (2，5)
3 (3，1) (3，2) (3，4) (3，5)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，5)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4)
第一次 第二次 1 2 3 4 5
1 (1，2) (1，3) (1，4) (1，5)
2 (2，1) (2，3) (2，4) (2，5)
3 (3，1) (3，2) (3，4) (3，5)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，5)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4)
例3：袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，
从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
追问1：若改成同时摸出2个球，求.
所以.
无顺序
第一次 第二次 1 2 3 4 5
1 (1，2) (1，3) (1，4) (1，5)
2 (2，1) (2，3) (2，4) (2，5)
3 (3，1) (3，2) (3，4) (3，5)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，5)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4)
第一次 第二次 1 2 3 4 5
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5)
例3：袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，
从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
所以.
追问2：若改成有放回地依次摸出2个球，求.
例3：袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，
从中不放回地依次随机摸出2个球，求.
追问1：若改成同时摸出2个球，求.
追问2：若改成有放回地依次摸出2个球，求.
解：.
解：.
从总体中逐个不放回的随机抽取个个体作为样本
一次性批量随机抽取个个体作为样本，
解：.
(1)解题时要注意是“有放回抽取”还是“无放回抽取”，若是“有放回抽取”，则在每次抽取之前，产品种类及个数都不发生变化，因此某件新产品被抽到的概率也不变；若是“无放回抽取”(假设每次抽取的结果都可知)，则在每次抽取之前，所剩产品种类及个数都在发生变化，因此某件产品被抽到的概率也在不断变化.
(2)利用列举法判断样本点的个数时，可利用树状图、图表等多种方法.
反
思
感
悟
二
概率与统计相结合
　　　从某校高二年级800名男生中随机抽取50名测量其身高(单位：cm，被测学生的身高全部在155 cm到195 cm之间)，将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155，160)，第二组[160，165)，…，第八组[190，195]，绘制成的频率分布直方图如图所示，若从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名，记他们的身高分别为x，
y，则|x-y|≤5的概率为
A. B.
C. D.
例 2
√
由频率分布直方图，可知身高在[180，185)
的人数为0.016×5×50=4，分别记为a，b，
c，d；
身高在[190，195]的人数为0.008×5×50=2，
分别记为A，B；
则可用数组(x，y)表示样本点，记M=“从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名”，若x，y∈[180，185)，则M={(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}，共6个样本点；
若x，y∈[190，195]，则M={(A，B)}，共1
个样本点；
若x∈[180，185)，y∈[190，195](或x∈[190，
195]，y∈[180，185))，则M={(a，A)，(b，
A)，(c，A)，(d，A)，(a，B)，(b，B)，(c，
B)，(d，B)}，共8个样本点.所以样本点的总数为6+1+8=15，而事件“|x-y|≤5”所包含的样本点个数为6+1=7，
故P(|x-y|≤5)=.
第一次 第二次
4、从两名男生(记为和)、两名女生(记为和)中任意抽取两人.
(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.
(2)在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.
解：设第一、二次抽取的人记为，，则可用数组表示样本点.
第一次 第二次
①有
放
回
设事件“抽到两名男生”
4×4=16
第一次 第二次




4、从两名男生(记为和)、两名女生(记为和)中任意抽取两人.
(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.
(2)在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.
第一次 第二次




②
不
放
回
设事件“抽到两名男生”
解：设第一、二次抽取的人记为，，则可用数组表示样本点.
4×3=12
4、从两名男生(记为和)、两名女生(记为和)中任意抽取两人.
(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.
(2)在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.
解：按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，
③分层抽样
设事件“抽到两名男生”
无顺序
2×2=4
抽样类型 总样本的个数 事件A包含的样本点 P(A)
有放回简单随机抽样 4×4=16 (B1,B1),(B1,B2), (B2,B1),(B2,B2)
不放回简单随机抽样 4×3=12 (B1,B2),(B2,B1)
按性别等比例 分层抽样 2×2=4 无
思考：通过上题，感受不同的抽样方法有什么区别？
同一个事件“抽到两名男生”发生的概率，在性别等比例分层抽样时最小，在不放回简单随机抽样时次之，在有放回简单随机抽样时最大.
因此，抽样方法不同，则样本空间不同，每个事件发生的概率也可能不同.
上一章我们研究过通过抽样调查估计树人中学高一学生平均身高的问题.我们知道，简单随机抽样使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现全是男生的“极端”样本，这就可能高估总体的平均身高.
●用有放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率为0.25；
●用不放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率约为0.167，可以有效地降低出现“极端”样本的概率.
●特别是,在按性别等比例分层抽样中，全是男生的样本出现的概率为0，真正避免了这类极端样本的出现.
所以，改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要.
二、古典概型：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等；
将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
三、古典概型概率计算公式：
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数.
一、随机事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件的概率用表示.

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