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课时分层作业(四)
1．B　[显然B中直线与直线x－y－1＝0斜率相等但不重合．]
2．B　[∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2．]
3．B　[先看斜率，A、D选项中斜率为－，排除掉：直线与y轴交点需在y轴负半轴上，才能使直线不过第一象限，只有B选项符合．]
4．D　[当a≠0时，由l1⊥l2得k1·k2＝a·k2＝－1，∴k2＝－：当a＝0时，l1与x轴平行或重合，则l2与y轴平行或重合，故直线l2的斜率不存在．∴直线l2的斜率为－或不存在．]
5．C　[∵kAB＝－，kAC＝，∴kAB·kAC＝－1，即AB⊥AC．]
6．－　[由题意得－＝3，∴m＝－．]
7．－5　[l1、l2与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补．因为坐标轴垂直，故l1⊥l2，即2m＋10＝0，∴m＝－5．]
8．3x＋2y－11＝0　[kBC＝，
∴BC边上的高所在直线的斜率k＝－，
∴所求直线方程为y－1＝－(x－3)，
即3x＋2y－11＝0．]
9．解：设M(x，0)，∵M是以AB为直径的圆与x轴的交点，
∴AM⊥BM，
∴kAM·kBM＝－1，即＝－1，
∴x2－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2，
∴M(1，0)或M(2，0)．
10．解：∵A、B两点纵坐标不相等，
∴AB与x轴不平行．
∵AB⊥CD，∴CD与x轴不垂直，－m≠3，m≠－3．
①当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，
解得m＝－1．而m＝－1时，C，D纵坐标均为－1，
∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．
②当AB与x轴不垂直时，由斜率公式
kAB＝，
kCD＝．
∵AB⊥CD，
∴kAB·kCD＝－1，即·＝－1，
解得m＝1．综上m的值为1或－1．
11．C　[由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件．]
12．ABD　[由斜率公式知：
kPQ＝，kSR＝，
kPS＝，kQS＝＝－4，
kPR＝，所以PQ∥SR，PS⊥PQ，RP⊥QS．
而kPS≠kQS，所以PS与QS不平行，故A、B、D正确．]
13．ABD　[当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，A不正确：若两直线平行，那么它们的斜率可能都不存在，B不正确：显然 C正确：若两直线斜率都不存在，则两直线平行或重合，D不正确．]
14．(1)　(2)　[直线l2的斜率k2＝，由l1∥l2，得k1＝k2，∴，∴a＝．
由l1⊥l2，得k1·k2＝－1，
∴＝－1，∴a＝．]
15．解：设P(x，0)，
(1)∵∠MOP＝∠OPN，∴MO∥PN，∴kOM＝kNP，
又kOM＝＝1，kNP＝．
∴＝1，解得x＝7，即P(7，0)．
(2)∵∠MPN＝90°，∴MP⊥NP，
∴kMP·kNP＝－1，
∵kMP＝，kNP＝，
∴＝－1，解得x＝1或x＝6．
∴P(1，0)或(6，0)．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.4　两条直线的平行与垂直
学习任务 核心素养
1．掌握两条直线平行与垂直的条件．(重点) 2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直．(重点) 3．能利用两条直线平行或垂直进行实际应用．(难点) 1．通过对两条直线平行或垂直的应用，培养数学运算与直观想象素养． 2．通过判断两直线的平行与垂直，培养逻辑推理素养．
1．直线y＝x＋1与y＝x－1的斜率有什么关系？在y轴上的截距有什么关系？它们有什么位置关系？
2．直线y＝－x与y＝x的斜率有什么关系？它们有什么位置关系？
3．直线x＝a和x＝b有什么位置关系？
4．直线x＝a和y＝b有什么位置关系？
1．两条直线平行
设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2．则对应关系如下：
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 两直线斜率都不存在
图示
1．(1)如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，若l1∥l2，则α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？
(2)对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？
[提示]　(1)若l1∥l2，α1与α2之间的关系为α1＝α2；
对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2，当α1＝α2＝90°时，k1与k2不存在．
(2)一定有l1∥l2．
因为k1＝k2，所以tan α1＝tan α2，所以α1＝α2，所以l1∥l2．
2．两条直线垂直
类型 斜率存在 其中一条斜率不存在
前提条件 |α2－α1|＝90° α1＝0°，α2＝90°
对应关系 l1⊥l2 k1·k2＝－1 l1斜率为0，l2斜率不存在
图示
2．(1)当两条直线垂直时，它们的倾斜角有什么关系？
(2)当两条直线垂直时，它们的斜率之积一定是－1吗？
[提示]　(1)设两直线的倾斜角分别为α1，α2，若两直线垂直，则|α1－α2|＝90°．
(2)不一定．若一条直线的斜率为0，则与其垂直的直线斜率不存在．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若不重合的两条直线的斜率相等，则这两条直线平行． (　　)
(2)若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等． (　　)
(3)如果两条直线的斜率之积等于－1，那么这两条直线一定垂直． (　　)
(4)如果两条直线垂直，那么这两条直线的斜率之积一定等于－1． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(　　)
A．平行　　　　　 B．垂直
C．相交但不垂直 　 D．不能确定
C　[直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率为k2＝－，则k1≠k2，且k1k2≠－1．]
3．l1过点A(m，1)，B(－3，4)，l2过点C(0，2)，D(1，1)，且l1∥l2，则m＝________．
0　[∵l1∥l2，且k2＝＝－1，
∴k1＝＝－1，
∴m＝0．]
4．过两点A(1，1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)与过两点(3，2)，(0，－7)的直线垂直时实数m的值为________；
(2)与过两点(2，－3)，(－4，9)的直线平行时实数m的值为________．
(1)或－3　(2)或－1　[kAB＝．
(1)由＝3及垂直关系，得＝－，解得m＝或－3．
(2)令＝＝－2，解得m＝或－1．]
类型1　两直线平行、垂直的判定
【例1】　(1)“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的(　　)
A．充要条件　
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则实数a＝________．
[思路点拨]　(1)先求出两直线平行的充要条件，再判断．(2)利用k1·k2＝－1解题．
(1)C　(2)－1　[(1)直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的充要条件是－＝－且≠1，即ab＝4且a≠1，则“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的必要不充分条件．
(2)由题意知(a＋2)a＝－1，所以a2＋2a＋1＝0，则a＝－1．]
　判断两条不重合直线平行、垂直的步骤
[跟进训练]
1．已知直线l1经过点A(2，a)，B(a－1，3)，直线l2经过点C(1，2)，D(－3，a＋2)．
(1)若l1∥l2，求a的值；
(2)若l1⊥l2，求a的值．
[解]　设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若a＝3，则k1不存在，k2＝－，则l1与l2既不平行，也不垂直．
因此a≠3，k1＝＝－1，k2＝＝－．
(1)∵l1∥l2，∴k1＝k2，∴－1＝－，∴a＝4．
(2)∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，
∴(－1)＝－1，∴a＝－4．
类型2　利用两直线平行、垂直求直线方程
【例2】　【链接教材P17例17、P18例19】
已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求：
(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程．
[思路点拨]　利用两条直线的位置关系，设出直线的方程，然后由另一条件确定直线方程．
[解]　法一：∵直线l的方程为3x＋4y－20＝0，
∴kl＝－．
(1)设过点A与直线l平行的直线为l1，
∵kl＝∴＝－．
∴l1的方程为y－2＝－(x－2)，即3x＋4y－14＝0．
(2)设过点A与直线l垂直的直线为l2，
∵＝∴＝∴＝．
∴l2的方程为y－2＝(x－2)，即4x－3y－2＝0．
法二：(1)设所求直线方程为3x＋4y＋C＝0，
∵点(2，2)在直线上，
∴3×2＋4×2＋C＝0，∴C＝－14．
∴所求直线方程为3x＋4y－14＝0．
(2)设所求直线方程为4x－3y＋λ＝0，
∵点(2，2)在直线上，∴4×2－3×2＋λ＝0，
∴λ＝－2，即所求直线方程为4x－3y－2＝0．
[母题探究]
本例中条件“l：3x＋4y－20＝0”改为“l：x＝1”，求相应的直线方程．
[解]　(1)设所求直线为x－m＝0，∵过点(2，2)，则m＝2，∴所求直线方程为x－2＝0．
(2)易知l：x＝1的斜率不存在，∴所求直线的斜率k＝0，所以，所求直线方程为y＝2，即y－2＝0．
【教材原题·P17例17、P18例19】
例17　求经过点A(2，3)，且平行于直线l：2x＋y－1＝0的直线的方程．
[解]　依据条件，可知所求直线存在斜率，设所求直线的方程为y－3＝k(x－2)．
依题意可知直线l：2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1．
因为所求直线平行于直线l，所以k＝－2．
所以所求直线的方程为y－3＝－2(x－2)，即2x＋y－7＝0．
例19　求经过点A(2，3)，且垂直于直线l：2x＋y－1＝0的直线的方程．
[解]　依据条件，设所求直线的方程为y－3＝k(x－2)．
将直线l：2x＋y－1＝0化为y＝－2x＋1．
依题意，有－2k＝－1，得k＝．
所以所求直线的方程为y－3＝(x－2)，即x－2y＋4＝0．
　1．根据两直线的位置关系求出所求直线的斜率，用点斜式求解，或利用待定系数法求解．
2．直线方程的常用设法
(1)过定点P(x0，y0)，可设点斜式y－y0＝k(x－x0)(斜率存在)；斜率不存在时，x＝x0；
(2)知斜率k，设斜截式y＝kx＋b；
(3)与直线Ax＋By＋C＝0平行，设为Ax＋By＋m＝0；
(4)与直线Ax＋By＋C＝0垂直，设为Bx－Ay＋n＝0．
类型3　两条直线平行与垂直的综合应用
　求直线方程中参数的值
【例3】　已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0．
(1)若这两条直线垂直，求k的值；
(2)若这两条直线平行，求k的值．
[解]　(1)根据题意，得(k－3)×2(k－3)＋(4－k)×(－2)＝0，解得k＝．
∴若这两条直线垂直，则k＝．
(2)根据题意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，解得k＝3或k＝5．经检验，均符合题意．
∴若这两条直线平行，则k＝3或k＝5．
　1．利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时，要分斜率存在、不存在两种情况进行讨论．
2．当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系：
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0．
(1)l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；
(2)l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0．
[跟进训练]
2．若直线l1：ax＋4y－2＝0，l2：x＋ay＋1＝0，求a取何值时，l1∥l2，l1⊥l2．
[解]　将直线l1化成斜截式方程y＝－x＋，
当a＝0时，l2的方程为x＝－1，
l1的方程为y＝，此时l1⊥l2；
当a≠0时，l2的斜截式方程为y＝－x－．
若即a＝2时，l1∥l2；
若－＝－1，即＝－1，矛盾，
故l1与l2在a≠0时不垂直．
综上，当a＝2时，l1∥l2；当a＝0时，l1⊥l2．
　求点的坐标
【例4】　已知四边形ABCD的三个顶点坐标分别为B(6，－1)，C(5，2)，D(1，2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标．
[解]　①若∠A＝∠D＝90°，如图(1)，由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1)．
(1)
②若∠A＝∠B＝90°，如图(2)．
(2)
设A(a，b)，则kBC＝－3，kAD＝，kAB＝．
由AD∥BC kAD＝kBC，即＝－3；　①
由AB⊥BC kAB·kBC＝－1，
即·(－3)＝－1．　②
解①②，得故A．
综上所述，A点坐标为(1，－1)或．
　1．利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤
2．利用图形中的平行和垂直求点的坐标的方法
[跟进训练]
3．已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点D的坐标．
[解]　设第四个顶点D的坐标为(x，y)，
因为AD⊥CD，AD∥BC，所以kAD·kCD＝－1，
且kAD＝kBC．
所以
解得
所以第四个顶点D的坐标为(2，3)．
1．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　)
A．平行　　　 B．重合
C．相交但不垂直 　 D．垂直
D　[设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1．]
2．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)
A．x－2y－1＝0
B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0
D．x＋2y－1＝0
A　[∵所求直线与直线x－2y－2＝0平行，∴所求直线斜率k＝，排除C、D．又直线过点(1，0)，排除B，故选A．]
3．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝(　　)
A．2 　 B．－3
C．2或－3 　 D．－2或－3
C　[直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3．]
4．已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝2，l1⊥l2，则k2＝________．
－　[∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，∴k2＝＝－．]
5．已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接ABCD四点，试判定图形ABCD的形状．
[解]　由题意知，A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图，
由斜率公式可得
kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－．
所以kAB＝kCD，由图可知，AB与CD不重合，
所以AB∥CD，又kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．
1．两直线平行与垂直的判定
2．与直线y＝kx＋b平行的直线可设为y＝kx＋c(c≠b)；与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋D＝0(D≠C)．
3．设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2．若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之，若k1·k2＝－1，则l1⊥l2；已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0．
课时分层作业(四)　两条直线的平行与垂直
一、选择题
1．下列直线中与直线x－y－1＝0平行的是(　　)
A．x＋y－1＝0　　 B．x－y＋1＝0
C．x＋y＋1＝0 　 D．ax－ay－a＝0
B　[显然B中直线与直线x－y－1＝0斜率相等但不重合．]
2．已知直线l1的斜率k1＝1，直线l2的斜率k2＝－1，则l1与l2的位置关系是(　　)
A．平行 　 B．垂直
C．相交但不垂直 　 D．不确定
B　[∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2．]
3．下列直线中，与已知直线y＝－x＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是(　　)
A．3x＋4y＋7＝0 　 B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0 　 D．3x＋4y－42＝0
B　[先看斜率，A、D选项中斜率为－，排除掉；直线与y轴交点需在y轴负半轴上，才能使直线不过第一象限，只有B选项符合．]
4．如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　)
A． 　 B．a
C．－ 　 D．－或不存在
D　[当a≠0时，由l1⊥l2得k1·k2＝a·k2＝－1，∴k2＝－；当a＝0时，l1与x轴平行或重合，则l2与y轴平行或重合，故直线l2的斜率不存在．∴直线l2的斜率为－或不存在．]
5．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是(　　)
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
C　[∵kAB＝－，kAC＝，
∴kAB·kAC＝－1，即AB⊥AC．]
二、填空题
6．若直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：y＝3x－1平行，则m＝________．
－　[由题意得－＝3，∴m＝－．]
7．若直线l1：2x－5y＋20＝0，l2：mx－2y－10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为________．
－5　[l1、l2与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补．因为坐标轴垂直，故l1⊥l2，即2m＋10＝0，∴m＝－5．]
8．已知A(3，1)，B(－1，－1)，C(2，1)，则△ABC的BC边上的高所在的直线方程为________．
3x＋2y－11＝0　[kBC＝＝，
∴BC边上的高所在直线的斜率k＝－，
∴所求直线方程为y－1＝－(x－3)，
即3x＋2y－11＝0．]
三、解答题
9．已知点A(－1，3)，B(4，2)，以AB为直径的圆与x轴交于点M，求点M的坐标．
[解]　设M(x，0)，
∵M是以AB为直径的圆与x轴的交点，
∴AM⊥BM，
∴kAM·kBM＝－1，即＝－1，
∴x2－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2，
∴M(1，0)或M(2，0)．
10．已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
[解]　∵A、B两点纵坐标不相等，
∴AB与x轴不平行．
∵AB⊥CD，∴CD与x轴不垂直，－m≠3，m≠－3．
①当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，
解得m＝－1．而m＝－1时，C，D纵坐标均为－1，
∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．
②当AB与x轴不垂直时，由斜率公式
kAB＝＝，
kCD＝＝．
∵AB⊥CD，
∴kAB·kCD＝－1，即＝－1，
解得m＝1，
综上m的值为1或－1．
11．直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C　[由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件．]
12．(多选题)设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面四个结论中正确的是(　　)
A．PQ∥SR 　 B．PQ⊥PS
C．PS∥QS 　 D．RP⊥QS
ABD　[由斜率公式知：
kPQ＝＝－，kSR＝＝－，
kPS＝＝，kQS＝＝－4，
kPR＝＝，所以PQ∥SR，PS⊥PQ，RP⊥QS．
而kPS≠kQS，所以PS与QS不平行，故A、B、D正确．]
13．(多选题)下列说法中，不正确的是(　　)
A．若两直线斜率相等，则两直线平行
B．若l1∥l2，则k1＝k2
C．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交
D．若两直线斜率都不存在，则两直线平行
ABD　[当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，A不正确；若两直线平行，那么它们的斜率可能都不存在，B不正确；显然 C正确；若两直线斜率都不存在，则两直线平行或重合，D不正确．]
14．直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(1，2)，B(a－1，3)．
(1)若l1∥l2，则a的值为________．
(2)若l1⊥l2，则a的值为________．
(1)　(2)　[直线l2的斜率k2＝＝，由l1∥l2，得k1＝k2，∴＝，∴a＝．
由l1⊥l2，得k1·k2＝－1，
∴＝－1，∴a＝．]
15．已知O为坐标原点，点M(2，2)，N(5，－2)，点P在x轴上，分别求满足下列条件的点P的坐标．
(1)∠MOP＝∠OPN；
(2)∠MPN是直角．
[解]　设P(x，0)，
(1)∵∠MOP＝∠OPN，∴MO∥PN，∴kOM＝kNP，
又kOM＝＝1，kNP＝＝．
∴＝1，解得x＝7，即P(7，0)．
(2)∵∠MPN＝90°，∴MP⊥NP，
∴kMP·kNP＝－1，
∵kMP＝，kNP＝，
∴＝－1，解得x＝1或x＝6．
∴P(1，0)或(6，0)．
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第一章　直线与圆
§1　直线与直线的方程
1.4　两条直线的平行与垂直
学习任务 核心素养
1．掌握两条直线平行与垂直的条件．(重点)
2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直．(重点)
3．能利用两条直线平行或垂直进行实际应用．(难点) 1．通过对两条直线平行或垂直的应用，培养数学运算与直观想象素养．
2．通过判断两直线的平行与垂直，培养逻辑推理素养．
1．直线y＝x＋1与y＝x－1的斜率有什么关系？在y轴上的截距有什么关系？它们有什么位置关系？
2．直线y＝－x与y＝x的斜率有什么关系？它们有什么位置关系？
3．直线x＝a和x＝b有什么位置关系？
4．直线x＝a和y＝b有什么位置关系？
必备知识·情境导学探新知
1．两条直线平行
设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2．则对应关系如下：
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 ______ l1∥l2 两直线斜率都不存在
k1＝k2
类型 斜率存在 斜率不存在
图示

思考　1．(1)如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，若l1∥l2，则α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？
(2)对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一
定有l1∥l2？为什么？
[提示]　(1)若l1∥l2，α1与α2之间的关系为α1＝α2；
对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2，当α1＝α2＝90°时，k1与k2不存在．
(2)一定有l1∥l2．
因为k1＝k2，所以tan α1＝tan α2，所以α1＝α2，所以l1∥l2．
2．两条直线垂直
类型 斜率存在 其中一条斜率不存在
前提条件 |α2－α1|＝90° α1＝0°，α2＝90°
对应关系 l1⊥l2 k1·k2＝－1 l1斜率为__，l2斜率不存在
图示

0
思考　2．(1)当两条直线垂直时，它们的倾斜角有什么关系？
(2)当两条直线垂直时，它们的斜率之积一定是－1吗？
[提示]　(1)设两直线的倾斜角分别为α1，α2，若两直线垂直，则|α1－α2|＝90°．
(2)不一定．若一条直线的斜率为0，则与其垂直的直线斜率不存在．
√
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若不重合的两条直线的斜率相等，则这两条直线平行． (　　)
(2)若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等． (　　)
(3)如果两条直线的斜率之积等于－1，那么这两条直线一定垂直． (　　)
(4)如果两条直线垂直，那么这两条直线的斜率之积一定等于－1． (　　)
×
√
×
2．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(　　)
A．平行　　　　　 B．垂直
C．相交但不垂直 　 D．不能确定
√
3．l1过点A(m，1)，B(－3，4)，l2过点C(0，2)，D(1，1)，且l1∥l2，则m＝________．
0　
4．过两点A(1，1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)与过两点(3，2)，(0，－7)的直线垂直时实数m的值为________；
(2)与过两点(2，－3)，(－4，9)的直线平行时实数m的值为________．
关键能力·合作探究释疑难
类型1　两直线平行、垂直的判定
【例1】　(1)“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的(　　)
A．充要条件　
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
√
(2)已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则实数a＝________．
[思路点拨]　(1)先求出两直线平行的充要条件，再判断．(2)利用k1·k2＝－1解题．
－1
反思领悟　判断两条不重合直线平行、垂直的步骤
[跟进训练]
1．已知直线l1经过点A(2，a)，B(a－1，3)，直线l2经过点C(1，2)，D(－3，a＋2)．
(1)若l1∥l2，求a的值；
(2)若l1⊥l2，求a的值．
类型2　利用两直线平行、垂直求直线方程
【例2】　【链接教材P17例17、P18例19】
已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求：
(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程．
[思路点拨]　利用两条直线的位置关系，设出直线的方程，然后由另一条件确定直线方程．
(2)设所求直线方程为4x－3y＋λ＝0，
∵点(2，2)在直线上，∴4×2－3×2＋λ＝0，
∴λ＝－2，即所求直线方程为4x－3y－2＝0．
[母题探究]
本例中条件“l：3x＋4y－20＝0”改为“l：x＝1”，求相应的直线方程．
[解]　(1)设所求直线为x－m＝0，∵过点(2，2)，则m＝2，∴所求直线方程为x－2＝0．
(2)易知l：x＝1的斜率不存在，∴所求直线的斜率k＝0，所以，所求直线方程为y＝2，即y－2＝0．
【教材原题·P17例17、P18例19】
例17　求经过点A(2，3)，且平行于直线l：2x＋y－1＝0的直线的方程．
[解]　依据条件，可知所求直线存在斜率，设所求直线的方程为y－3＝k(x－2)．
依题意可知直线l：2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1．
因为所求直线平行于直线l，所以k＝－2．
所以所求直线的方程为y－3＝－2(x－2)，即2x＋y－7＝0．
例19　求经过点A(2，3)，且垂直于直线l：2x＋y－1＝0的直线的方程．
反思领悟　1．根据两直线的位置关系求出所求直线的斜率，用点斜式求解，或利用待定系数法求解．
2．直线方程的常用设法
(1)过定点P(x0，y0)，可设点斜式y－y0＝k(x－x0)(斜率存在)；斜率不存在时，x＝x0；
(2)知斜率k，设斜截式y＝kx＋b；
(3)与直线Ax＋By＋C＝0平行，设为Ax＋By＋m＝0；
(4)与直线Ax＋By＋C＝0垂直，设为Bx－Ay＋n＝0．
类型3　两条直线平行与垂直的综合应用
角度1　求直线方程中参数的值
【例3】　已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0．
(1)若这两条直线垂直，求k的值；
(2)若这两条直线平行，求k的值．
反思领悟　1．利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时，要分斜率存在、不存在两种情况进行讨论．
2．当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系：
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0．
(1)l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；
(2)l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0．
[跟进训练]
2．若直线l1：ax＋4y－2＝0，l2：x＋ay＋1＝0，求a取何值时，l1∥l2，l1⊥l2．
角度2　求点的坐标
【例4】　已知四边形ABCD的三个顶点坐标分别为B(6，－1)，C(5，2)，D(1，2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标．
[解]　①若∠A＝∠D＝90°，如图(1)，由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1)．
(1)
(2)
反思领悟　1．利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤
2．利用图形中的平行和垂直求点的坐标的方法
[跟进训练]
3．已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点D的坐标．
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　)
A．平行　　　 B．重合
C．相交但不垂直 　 D．垂直
D　[设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1．]
2．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)
A．x－2y－1＝0
B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0
D．x＋2y－1＝0
√
3．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝(　　)
A．2 　 B．－3
C．2或－3 　 D．－2或－3
√
4．已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝2，l1⊥l2，则k2＝________．
5．已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接ABCD四点，试判定图形ABCD的形状．
1．两直线平行与垂直的判定
2．与直线y＝kx＋b平行的直线可设为y＝kx＋c(c≠b)；与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋D＝0(D≠C)．
3．设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2．若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之，若k1·k2＝－1，则l1⊥l2；已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
课时分层作业(四)　两条直线的平行与垂直
一、选择题
1．下列直线中与直线x－y－1＝0平行的是(　　)
A．x＋y－1＝0　　 B．x－y＋1＝0
C．x＋y＋1＝0 　 D．ax－ay－a＝0
B　[显然B中直线与直线x－y－1＝0斜率相等但不重合．]
题号
2
1
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2．已知直线l1的斜率k1＝1，直线l2的斜率k2＝－1，则l1与l2的位置关系是(　　)
A．平行 　 B．垂直
C．相交但不垂直 　 D．不确定
√
B　[∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2．]
题号
2
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题号
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题号
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√
5．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是(　　)
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
题号
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二、填空题
6．若直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：y＝3x－1平行，则m＝________．
题号
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7．若直线l1：2x－5y＋20＝0，l2：mx－2y－10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为________．
－5　[l1、l2与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补．因为坐标轴垂直，故l1⊥l2，即2m＋10＝0，∴m＝－5．]
－5　
题号
2
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8．已知A(3，1)，B(－1，－1)，C(2，1)，则△ABC的BC边上的高所在的直线方程为__________________．
3x＋2y－11＝0
题号
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15
三、解答题
9．已知点A(－1，3)，B(4，2)，以AB为直径的圆与x轴交于点M，求点M的坐标．
题号
2
1
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10．已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
[解]　∵A、B两点纵坐标不相等，
∴AB与x轴不平行．
∵AB⊥CD，∴CD与x轴不垂直，－m≠3，m≠－3．
①当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，
解得m＝－1．而m＝－1时，C，D纵坐标均为－1，
∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．
题号
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题号
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11．直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题号
2
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C　[由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件．]
题号
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12．(多选题)设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面四个结论中正确的是(　　)
A．PQ∥SR 　 B．PQ⊥PS
C．PS∥QS 　 D．RP⊥QS
√
√
√
题号
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题号
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13．(多选题)下列说法中，不正确的是(　　)
A．若两直线斜率相等，则两直线平行
B．若l1∥l2，则k1＝k2
C．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交
D．若两直线斜率都不存在，则两直线平行
√
ABD　[当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，A不正确；若两直线平行，那么它们的斜率可能都不存在，B不正确；显然 C正确；若两直线斜率都不存在，则两直线平行或重合，D不正确．]
√
√
题号
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题号
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15．已知O为坐标原点，点M(2，2)，N(5，－2)，点P在x轴上，分别求满足下列条件的点P的坐标．
(1)∠MOP＝∠OPN；
(2)∠MPN是直角．
题号
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题号
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15课时分层作业(四)　两条直线的平行与垂直
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共107分
一、选择题
1．下列直线中与直线x－y－1＝0平行的是(　　)
A．x＋y－1＝0　　 B．x－y＋1＝0
C．x＋y＋1＝0 　 D．ax－ay－a＝0
2．已知直线l1的斜率k1＝1，直线l2的斜率k2＝－1，则l1与l2的位置关系是(　　)
A．平行 　 B．垂直
C．相交但不垂直 　 D．不确定
3．下列直线中，与已知直线y＝－x＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是(　　)
A．3x＋4y＋7＝0 　 B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0 　 D．3x＋4y－42＝0
4．如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　)
A． 　 B．a
C．－ 　 D．－或不存在
5．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是(　　)
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
二、填空题
6．若直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：y＝3x－1平行，则m＝________．
7．若直线l1：2x－5y＋20＝0，l2：mx－2y－10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为________．
8．已知A(3，1)，B(－1，－1)，C(2，1)，则△ABC的BC边上的高所在的直线方程为________．
三、解答题
9．已知点A(－1，3)，B(4，2)，以AB为直径的圆与x轴交于点M，求点M的坐标．
10．已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
11．直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．(多选题)设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面四个结论中正确的是(　　)
A．PQ∥SR 　 B．PQ⊥PS
C．PS∥QS 　 D．RP⊥QS
13．(多选题)下列说法中，不正确的是(　　)
A．若两直线斜率相等，则两直线平行
B．若l1∥l2，则k1＝k2
C．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交
D．若两直线斜率都不存在，则两直线平行
14．直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(1，2)，B(a－1，3)．
(1)若l1∥l2，则a的值为________．
(2)若l1⊥l2，则a的值为________．
15．已知O为坐标原点，点M(2，2)，N(5，－2)，点P在x轴上，分别求满足下列条件的点P的坐标．
(1)∠MOP＝∠OPN；
(2)∠MPN是直角．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.4　两条直线的平行与垂直
学习任务 核心素养
1．掌握两条直线平行与垂直的条件．(重点) 2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直．(重点) 3．能利用两条直线平行或垂直进行实际应用．(难点) 1．通过对两条直线平行或垂直的应用，培养数学运算与直观想象素养． 2．通过判断两直线的平行与垂直，培养逻辑推理素养．
1．直线y＝x＋1与y＝x－1的斜率有什么关系？在y轴上的截距有什么关系？它们有什么位置关系？
2．直线y＝－x与y＝x的斜率有什么关系？它们有什么位置关系？
3．直线x＝a和x＝b有什么位置关系？
4．直线x＝a和y＝b有什么位置关系？
1．两条直线平行
设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2．则对应关系如下：
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 ______ l1∥l2 两直线斜率都不存在
图示
1．(1)如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，若l1∥l2，则α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？
(2)对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2．两条直线垂直
类型 斜率存在 其中一条斜率不存在
前提条件 |α2－α1|＝90° α1＝0°，α2＝90°
对应关系 l1⊥l2 k1·k2＝－1 l1斜率为_，l2斜率不存在
图示
2．(1)当两条直线垂直时，它们的倾斜角有什么关系？
(2)当两条直线垂直时，它们的斜率之积一定是－1吗？
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若不重合的两条直线的斜率相等，则这两条直线平行． (　　)
(2)若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等． (　　)
(3)如果两条直线的斜率之积等于－1，那么这两条直线一定垂直． (　　)
(4)如果两条直线垂直，那么这两条直线的斜率之积一定等于－1． (　　)
2．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(　　)
A．平行　　　　　 B．垂直
C．相交但不垂直 　 D．不能确定
3．l1过点A(m，1)，B(－3，4)，l2过点C(0，2)，D(1，1)，且l1∥l2，则m＝________．
4．过两点A(1，1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)与过两点(3，2)，(0，－7)的直线垂直时实数m的值为________；
(2)与过两点(2，－3)，(－4，9)的直线平行时实数m的值为________．
类型1　两直线平行、垂直的判定
【例1】　(1)“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的(　　)
A．充要条件　
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则实数a＝________．
[思路点拨]　(1)先求出两直线平行的充要条件，再判断．(2)利用k1·k2＝－1解题．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　判断两条不重合直线平行、垂直的步骤
[跟进训练]
1．已知直线l1经过点A(2，a)，B(a－1，3)，直线l2经过点C(1，2)，D(－3，a＋2)．
(1)若l1∥l2，求a的值；
(2)若l1⊥l2，求a的值．
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类型2　利用两直线平行、垂直求直线方程
【例2】　【链接教材P17例17、P18例19】
已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求：
(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程．
[思路点拨]　利用两条直线的位置关系，设出直线的方程，然后由另一条件确定直线方程．
[尝试解答]　________________________________________________________
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[母题探究]
本例中条件“l：3x＋4y－20＝0”改为“l：x＝1”，求相应的直线方程．
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　1．根据两直线的位置关系求出所求直线的斜率，用点斜式求解，或利用待定系数法求解．
2．直线方程的常用设法
(1)过定点P(x0，y0)，可设点斜式y－y0＝k(x－x0)(斜率存在)；斜率不存在时，x＝x0；
(2)知斜率k，设斜截式y＝kx＋b；
(3)与直线Ax＋By＋C＝0平行，设为Ax＋By＋m＝0；
(4)与直线Ax＋By＋C＝0垂直，设为Bx－Ay＋n＝0．
类型3　两条直线平行与垂直的综合应用
　求直线方程中参数的值
【例3】　已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0．
(1)若这两条直线垂直，求k的值；
(2)若这两条直线平行，求k的值．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　1．利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时，要分斜率存在、不存在两种情况进行讨论．
2．当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系：
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0．
(1)l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；
(2)l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0．
[跟进训练]
2．若直线l1：ax＋4y－2＝0，l2：x＋ay＋1＝0，求a取何值时，l1∥l2，l1⊥l2．
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　求点的坐标
【例4】　已知四边形ABCD的三个顶点坐标分别为B(6，－1)，C(5，2)，D(1，2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　1．利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤
2．利用图形中的平行和垂直求点的坐标的方法
[跟进训练]
3．已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点D的坐标．
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1．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　)
A．平行　　　 B．重合
C．相交但不垂直 　 D．垂直
2．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)
A．x－2y－1＝0
B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0
D．x＋2y－1＝0
3．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝(　　)
A．2 　 B．－3
C．2或－3 　 D．－2或－3
4．已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝2，l1⊥l2，则k2＝________．
5．已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接ABCD四点，试判定图形ABCD的形状．
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1．两直线平行与垂直的判定
2．与直线y＝kx＋b平行的直线可设为y＝kx＋c(c≠b)；与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋D＝0(D≠C)．
3．设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2．若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之，若k1·k2＝－1，则l1⊥l2；已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0．
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