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复习讲义
第一篇 吃透考点
专题二 方程（组）与不等式（组）
第9讲 一元一次不等式和不等式组
聚焦核心
1.不等式的相关概念
（1）不等式的定义：用不等号（“ ”“ ”“ ”“ ”或“ ”）表示
_______关系的式子叫作不等式．
（2）不等式的解的定义：能使不等式成立的未知数的____，叫作不等
式的解．
（3）不等式的解集的定义：含有未知数的不等式的______的解，叫作
不等式的解集；不等式的解集可以用______来表示．
不等
值
所有
数轴
（4）不等式的解与解集的区别：不等式的解是解集中的一个数值；不
等式的解集是这个不等式所有解的全体．
2.不等式的基本性质
性质1 如果，那么___
性质2 如果，，那么___或 ___
性质3 如果，，那么___或 ___
性质4 如果，那么___
性质5 如果，，那么___
3.一元一次不等式
（1）定义：只含有____个未知数，且未知数的次数是___的不等式，叫
作一元一次不等式．
（2）解法：与解一元一次方程的步骤类似，都有去分母、________、
______、____________、未知数的系数化为1，这几个步骤．
一
1
去括号
移项
合并同类项
4.一元一次不等式组
（1）定义：把含有相同________的几个一元一次不等式合在一起，就
组成一个一元一次不等式组．
（2）解集：几个不等式的解集的__________，叫作由它们所组成的不
等式组的解集．
（3）解法：
①求出每个不等式的解集；
②确定这些解集的__________．
未知数
公共部分
公共部分
（4）一元一次不等式组的解集的四种类型：（设 ）
不等式组 数轴表示 解集
_______________________________________ ______
_________________________________________ ______
_________________________________________ __________
_______________________________________ ______
无解
5.列一元一次不等式解应用题
基本步骤：审题，设未知数，列不等式，解不等式，按实际问题检验并
写出答案．
第9讲 一元一次不等式和不等式组
案例分析
考点一 一元一次不等式（组）的解法
名师指导
1.解一元一次不等式与解一元一次方程的方法类似，不同的是当不
等式的两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变.
2.解不等式，去分母时，在不等式的两边同时乘各分母的最小公倍
数，分子是多项式的不要忘记将分子作为一个整体加上括号，也不要漏
乘没有分母的项.
3.不等式或不等式组的解集在数轴上表示时，要注意确定边界和方
向．
（1）边界：有等号的用实心圆点，无等号的用空心圆圈.
（2）方向：大于向右，小于向左．
例1 （2024·天津·中考）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答.
（1）解不等式①，得______.
（2）解不等式②，得________.
思路点拨 根据解一元一次不等式的步骤，分别解两个不等式，再将两
个不等式的解集在同一个数轴上表示出来，即得不等式组的解集.
（3）把不等式①和②的解集在图1的数轴上表示出来.
图1
解：在数轴上表示不等式组的解集如图2.
图2
（4）原不等式组的解集为____________.
考点专练
1.（2024·江苏盐城·中考）求不等式 的正整数解.
解：去分母，得.
去括号，得 .
移项，得.
合并同类项，得.
系数化为1，得 .
所以不等式的正整数解为1，2.
2.（2024·广西南宁·模拟改编）解不等式组 并把解
集在图2的数轴上表示出来.
图2
解：解不等式①，得 .
解不等式②，得 .
所以原不等式组的解集为 .
在数轴上表示不等式组的解集如图3.
图3
考点二 由不等式组解的情况求未知系数的值或取值范围
名师指导
由不等式组的解的情况求未知系数的值或取值范围时，先用未知系数
表示出不等式组的解集，再根据不等式组的解的情况（如：根据不等式组
的整数解的个数，确定其整数解是什么），确定未知系数的值或取值范围，
此时要考虑是否能取“”，这是解题的关键，可借助数轴进行分析．
例2 一题多问（2023·黑龙江·中考改编）已知关于 的不等式组
（1）若该不等式组有3个整数解，则实数 的取值范围是____________．
【解析】因为该不等式组有3个整数解，所以该不等式组的解集是
，整数解是，，.
所以 .
解得 .
提示:解不等式.得.解不等式 ,得.
（2）若该不等式组有解，则实数 的取值范围是________．
【解析】因为该不等式组有解，所以.解得 .
（3）若该不等式组无解，则实数 的取值范围是________．
【解析】因为该不等式组无解，所以.解得 .
（4）若该不等式组的解集是，则实数 的值是___．
0
【解析】因为该不等式组的解集是，所以 .解得
.
思路点拨 只要用含 的式子表示出两个不等式的解集，就可以根据不
等式组解的情况得出关于 的不等式（组），解不等式（组）即可解决
问题.解题时，可借助数轴进行分析.
考点专练
3.开放性题（2024·山东烟台·中考）关于的不等式 有正数
解， 的值可以是_________________.（写出一个即可）
0（答案不唯一）
提示：解不等式，得.因为不等式 有正数解，
所以.解得.所以 的值可以是小于1的任何实数.
考点三 一元一次不等式的应用
名师指导
1.利用不等式解决实际问题时,关键是读懂题意,找到“小于”“大于”
“不足”“不超过”“不低于”“至少”“以上”等关键词语，并从这些词语中寻
找不等关系,据此建立不等式.
2.求出不等式的解集后,要结合实际情况确定符合题意的解.
3.有关一元一次不等式的应用的中考命题趋势：常与二元一次方程
组、一元二次方程、分式方程等相结合，进行综合考查.
例3 （2024·广西贵港·模拟）一家游泳馆暑期推出两种游泳付费方式.
方式一：每次入场需购买30元券.
方式二：办理实名制会员证150元，仅限本人使用，每次入场需凭证再
购买18元券.
（1）当宁阿姨计划去游泳8次时，选择哪种方式更合算？请说明理由.
解：去游泳8次时，按方式一需付款 （元），按方式二需付款（元）.
因为 ，所以选择方式一更合算.
思路点拨（1）分别计算出两种方式需要的付款金额即可得出答案.
（2）当宁阿姨计划去游泳至少多少次时，选择方式二比方式一合算？
请说明理由.
解：设去游泳 次时，方式二比方式一合算，根据题意，得1.
解得.
因为为整数，所以 的最小值为13.
答：当宁阿姨计划去游泳至少13次时，选择方式二比方式一合算.
思路点拨（2）根据“选择方式二比方式一划算”可列不等式求解.
考点专练
4.（2023·广东·中考）某商品进价4元，标价5元出售.商家准备打折销售，
但其利润率不能少于 ，则最低可打____折.
8.8
提示：设打折.由题意，得.解得 .
图3
5.（2024·江西·中考）如图3，书架宽 ，在
该书架上按图3所示的方式摆放数学书和语文书.
已知每本数学书厚，每本语文书厚 .
（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，
求书架上数学书和语文书各多少本.
解：设书架上有本数学书，有 本语文书.根据题意，得
解得
答：书架上有60本数学书，30本语文书．
（2）如果书架上已摆放10本语文书，那么最多还可以摆多少本数学书？
图3
解：设能摆本数学书.
根据题意，得 .
.
所以最多还可以摆90本数学书．
第9讲 一元一次不等式和不等式组
靶向锤炼
靶向练
1.（2023·长春·中考） 在数轴上表示正确的是( ).
C
A.
B.
C.
D.
2.（2024·广西北海·模拟）已知 ，则下列不等式正确的是( ).
D
A. B. C. D.
3.（2024·四川眉山·中考）一元一次不等式组 的解集是
( ).
D
A. B. C.或 D.
4.（2023·内蒙古·中考）关于的一元一次不等式 的解集在数
轴上的表示如图1所示，则 的值为( ).
图1
B
A.3 B.2 C.1 D.0
5.开放性题（2024·山东·中考）写出满足不等式组 的一个整
数解：__________________________________________.
（答案不唯一，取值满足即可）
6.（2024·江苏连云港·中考）解不等式 ，并把解集在数轴上
表示出来.
图1
解：去分母，得.
去括号，得 .
移项，得.
合并同类项，得.
系数化为1，得 .
不等式的解集在数轴上表示如图1.
7.（2024·北京·中考）解不等式组：
解：解不等式①，得.
不等式②，得 .
所以不等式组的解集为 ．
8.（2024·黑龙江哈尔滨·中考改编）某校在校本课程的实施过程中，计
划组织学生编织大、小两种中国结.已知编织1个大号中国结需用绳 ，
编织1个小号中国结需用绳 .某中学决定编织这两种中国结共50个，
且所用绳长不超过 ，那么该中学最多可以编织多少个大号中国结？
解：设该中学编织个大号中国结，则编织 个小号中国结.
根据题意，得.
得 .
答：该中学最多可以编织15个大号中国结．
攻坚练
9.（2023·四川遂宁·中考）若关于的不等式组 的解
集为，则 的取值范围是( ).
D
A. B. C. D.
提示：解题中两个不等式，分别得， .因为原不等式组的解集
为，所以 .
10.（2023·重庆·中考）若关于的一元一次不等式组 至少有2
个整数解，且关于的分式方程 有非负整数解，则所有满
足条件的整数 的值之和是___.
4
提示：解不等式组，得 .因为不等式组至少有2个整数解，
所以.解得.解分式方程，得 .因为分式方程有非负
整数解，所以是非负整数且.所以 可以取1，3.故所有满足条
件的整数的值之和是 .
11.（2024·四川成都·中考改编）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实
农业基础，推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售，
在水果收获的季节，该合作社购进 单价为10元的A种水果.已知
A种水果运输和仓储过程中质量损失 ，合作社计划A种水果至少要获
得 的利润（不计其他费用），求A种水果的最低销售单价.
解：设A种水果的销售单价为每千克 元.
由题意，得.
解得 .
元.
拔尖练
12.（2024·广东深圳·中考）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2
楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息：
信息 1 购物车的尺寸如图2所示.为节省空间，工作人员常将购物车叠放
在一起形成购物车列.如图3，3辆购物车叠放所形成的购物车列
的长度为
信息 2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运.为安全起见，该超市
的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次能转运2
列长度不超过 的购物车列
图2
图3
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）当辆购物车按图3的方式叠放时，形成购物车列的长度为 ，则
与 的关系式是_____________.
（2）求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量.
图2
图3
解：根据题意，得.
解得 .
因为直立电梯一次能转运2列长度不超过 的购物车列，所以直立电梯一次最多能转运16辆购物车.
（3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几
种使用电梯次数的分配方案？请说明理由.
图2
图3
图2
图3
解：设使用扶手电梯次，则使用直立电梯 次.
根据题意，得2.
解得.
因为为整数，且.
所以 可取3，4，5.
故共有三种分配方案.
方案一，使用扶手电梯3次，直立电梯1次；
方案二，使用扶手电梯4次，直立电梯1次；
方案三，使用扶手电梯5次.

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