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第六章 平面图形的初步认识 6.2.2
角——
补角、余角、角的大小比较
苏科版（2024）七年级上册数学课件
01
学习目标
03
课堂练习
02
新课讲解
04
课后总结
目录
学习目标
第一部分
PART 01
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学习目标
01 理解补角、余角的概念与性质
02 会用叠合的方法进行角的大小比较，
03 会用尺规作一个与已知角相等的角
04 理解角的平分线的概念，会用尺规作一个角的平分线
新课讲解
第二部分
PART 02
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活动——在桌面上，分别把一副三角板摆成如图的位置，
判断∠α与∠β有怎样的关系。
∠α+∠β=90°
∠α+∠β=180°
新课讲解
补角、余角
补角的概念
如果两个角的度数之和等于180°，那么这两个角互为补角，简称互补。
eg：∠1=60°，∠2=120°，则∠1和∠2互为补角；
如图，∠α+∠β=180°，则∠α与∠β互补，∠α是∠β的补角，∠β是∠α的补角。
新课讲解
余角的概念
如果两个角的度数之和等于90°，那么这两个角互为余角，简称互余。
eg：∠3=20°，∠4=70°，则∠3和∠4互为余角；
如图，∠α+∠β=90°，则∠α与∠β互余，∠α是∠β的余角，∠β是∠α的余角。
新课讲解
练一练——1.填表：
∠α 50° n°(0∠α余角 45°
∠α的补角 120°
40°
130°
45°
135°
60°
30°
(90-n)°
(180-n)°
新课讲解
2.已知3组角：
A组 B组 C组
(1)对A组中的每一个角，在B组中找出它的补角，并用线连接；
(2)B组中有哪些角的余角在C组中 分别找出这些角，并用线连接。
新课讲解
问题——如果∠α与∠β互为补角，∠α与∠γ互为补角，
那么∠β与∠γ有怎样的数量关系
∵∠α与∠β互为补角，即∠α+∠β=180°，
∴∠β=180°-∠α，
同理，∠γ=180°-∠α，
∴∠β=∠γ。
新课讲解
补角、余角的性质
于是，我们得到如下结论：
你能证明出余角的性质吗？
同角（等角）的补角相等。
类似地，可以得到：
同角（等角）的余角相等。
新课讲解
如果∠α与∠β互为余角，∠α与∠γ互为余角，
证明：∠β=∠γ。
∵∠α与∠β互为余角，即∠α+∠β=90°，
∴∠β=90°-∠α，
同理，∠γ=90°-∠α，
∴∠β=∠γ。
新课讲解
例1、(1)若∠A=53°18'，则∠A的补角的度数为（　　）
A．36°42' B．36°82' C．126°42' D．126°82'
【分析】由补角的定义可得：
∠A=180°-53°18′=126°42′。
C
例题讲解
例1、(2)若钝角∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系满足（　　）
A．∠1-∠3=90° B．∠1+∠3=90°
C．∠1+∠3=180° D．∠1=∠3
【分析】由补角、余角的定义可得：∠1+∠2=180°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=180°-∠1，∠2=90°-∠3，
∴180°-∠1=90°-∠3，
∴∠1-∠3=90°。
A
例题讲解
例1、(3)若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【分析】设这个角为α，
则由补角、余角的定义可得：它的余角为90°-α，它的补角为180°-α，
∵一个角的余角是它的补角的，
∴90°-α=(180°-α)，解得：α=30°。
A
例题讲解
例2、如图，若将三个含45°的直角三角板的直角顶点重合放置，若∠2=25°，∠3=35°，则∠1的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】∵∠COD=∠AOB=90°，
∴∠4=∠2=25°（同角的余角相等），
∴∠1=∠EOF-∠2-∠3=90°-25°-35°=30°。
B
例题讲解
如果已知两个角的度数，那么可以通过度数来比较角的大小，
如果不知道两个角的度数，那么如何确定它们之间的大小关系呢
问题——下面两个钟面的大小相同，指针之间的夹角哪一个更大
新课讲解
角的大小比较、尺规作图、角的平分线
用叠合的方法比较大小。
O
B
A
O’
B’
A’
比较AB与A’B’的长短。
B’
A’
A
B
新课讲解
【法一】用叠合的方法比较大小的具体操作：
移动∠A’O’B’，使顶点O’与O重合，边O’B’与边OB重合，并使O’A’与OA在OB的同侧。
图1
O’
B’
A’
O
B
A
图2
O
B
A
O’
B’
A’
①若O’A’落在∠AOB的外部，则∠A’O’B’>∠AOB。
②若O’A’与OA重合，则∠A’O’B’=∠AOB。
③若O’A’落在∠AOB的内部，则∠A’O’B’<∠AOB。
叠合法比较角的大小
新课讲解
【法二】比较AB与A’B’的长短。
①若A’B’>AB，则∠A’O’B’>∠AOB。
②若A’B’=AB，则∠A’O’B’=∠AOB。
③若A’B’B’
A’
A
B
O
O’
新课讲解
角的大小比较
对于任意的∠α和∠β，下列三种关系中有且只有一种成立：
∠α<β，∠α=∠β，∠α>∠β。
新课讲解
如图，∠AOB可以看成是OB从OA出发，绕点O按逆时针方向旋转形成的，当点A，B之间的距离确定时，∠AOB的大小也随之确定。
利用上面的思路，我们可以用直尺和圆规作一个角等于已知角。
A
B
O
新课讲解
操作——尺规作图：如图，已知∠AOB，作∠A’O’B’，
使∠A’O’B’=∠AOB。
①以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点C，D。
O
A
B
O
A
B
C
D
②作射线O’A’，以点O’为圆心，OC长为半径作弧PQ，交O’A’于点C’。
O’
A’
C’
P
Q
尺规作一个与已知角相等的角
新课讲解
③以点C’为圆心，CD长为半径作弧，交弧PQ于点D’。
④过点O’，D’作射线O’B’。
∠A’O’B’即为所求。
O’
A’
C’
D’
P
Q
O’
A’
B’
C’
D’
P
Q
尺规作一个与已知角相等的角
新课讲解
活动——在透明纸上画一个角，把这个角对折，使角的两边重合，再展开纸片，折痕把这个角分成的两个角相等吗
Yes
新课讲解
角的平分线
如果从角的顶点出发的一条射线把这个角分成两个相等的角，那么，这条射线叫作这个角的平分线。
如图，如果OC是∠AOB的平分线，
那么∠AOC=∠BOC=∠AOB或
∠AOB=2∠AOC=2∠BOC。
注意：角的平分线是一条射线。
新课讲解
操作——只用直尺和圆规，怎样作一个已知角(∠AOB)的平分线？
作法 图形
1.以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
2.分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧在∠AOB的内部相交于点C； 3.画射线OC。射线OC即为所求。
尺规作一个角的平分线
新课讲解
讨论——如图，射线OC从∠AOB的边OA出发，
绕点O向边OB旋转，∠1和∠2的大小关系发生了怎样的变化
O
A
C
B
1
2
【分析】∠1逐渐增大，∠2的逐渐减小。
如图，作∠AOB的角平分线OD，
D
当射线OC绕点O旋转至射线OD前，∠1<∠2；
当射线OC绕点O旋转至射线OD时，∠1=∠2；
当射线OC绕点O旋转过射线OD后，∠1>∠2。
新课讲解
例1、如图，小明在用量角器度量∠AOB的大小时，将边OB放在0刻度线上，但是顶点O放在中心点的右侧，此时边OA刚好过50°刻度线，则∠AOB________50°。（选填“＜”，“=”或“＞”）
【分析】
设中心点是点C，过点C作CD∥AO。
＞
C
D
例题讲解
例2、如图，OC为∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是（　　）
A．∠AOC=∠BOC
B．∠AOC+∠COB=∠AOB
C．∠AOB=2∠BOC
D．∠AOC＝∠AOB
B
例题讲解
课堂练习
第三部分
PART 03
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例3、(1)如图，OA方向是北偏西40°方向，OB平分∠AOC，则∠BOC的度数为（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
D
【分析】
∵OA方向是北偏西40°方向，
∴∠AOC=40°+90°=130°，
∵OB平分∠AOC，
∴∠BOC=∠AOC=65°。
课堂练习
例3、(2)如图，点O在直线AE上，OC平分∠AOE，∠DOB是直角，若∠1=25°，那么∠AOB的度数是_________。
25°
【分析】
∵点O在直线AE上，∴∠AOE=180°，
∵OC平分∠AOE，∴∠AOC=∠AOE=90°,
∴∠AOB+∠BOC=90°，
∵∠DOB是直角，∴∠DOB=∠BOC+∠1=90°,
∴∠AOB=∠1=25°。
课堂练习
例3、(3)如图，∠AOB=120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（　　）
A．∠DOE的度数不能确定 B．∠AOD=∠EOC
C．∠AOD+∠BOE=60° D．∠BOE=2∠COD
C
【分析】∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，
∴∠AOD=∠COD=∠AOC，∠BOE=∠COE=∠BOC，
∴∠AOD+∠BOE=∠DOE=(∠BOC+∠AOC)=∠AOB=60°。
课堂练习
例4、OC、OD是∠AOB内部任意两条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，若∠MON=m°，∠COD=n°，则∠AOB=__________°（用含m、n的代数式表示）。
【分析】设∠AOM=α，∠BON=β，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠COM=∠AOM=α，∠DON=∠BON=β，
∴∠AOC=2∠AOM=2α，∠DOB=2∠DON=2β，
∵∠MON=∠COM+∠COD+∠DON，
∴α+n°+β=m°，即α+β=m°-n°，
∴∠AOB=∠AOC+∠COD+∠DOB=2α+n°+2β=2(α+β)+n°=2m°-n°。
(2m-n)
课堂练习
课后总结
第四部分
PART 04
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补角、余角的概念：
如果两个角的度数之和等于180°，那么这两个角互为补角，简称互补。
如果两个角的度数之和等于90°，那么这两个角互为余角，简称互余。
补角、余角的性质：同角（等角）的补角相等。同角（等角）的余角相等。
角的大小比较：对于任意的∠α和∠β，下列三种关系中有且只有一种成立：∠α<β，∠α=∠β，∠α>∠β。
角的平分线：如果从角的顶点出发的一条射线把这个角分成两个相等的角，那么，这条射线叫作这个角的平分线。
课后总结
第六章 平面图形的初步认识 6.2.2
角——
补角、余角、角的大小比较
苏科版（2024）七年级上册数学课件

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