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第八章 整式乘法 8.4
乘法公式
苏科版（2024）七年级下册数学课件
第1课时 完全平方公式
01
新课导入
03
课堂总结
02
新课讲解
04
课堂练习
目录
新课导入
第一部分
PART 01
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1. 能推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算；
2. 通过几何图形面积的计算，了解乘法公式的几何意义，感悟数形结合的思想.
学习目标
如何进行多项式乘多项式的运算？
新课导入
多项式乘多项式的运算法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a＋b) (c＋d)
ac
＋
ad
＋
bc
＋
bd
新课导入
计算：(1) (a＋b)(a＋b)； (2) (mn－3)(mn－3).
解：(1) (a＋b)(a＋b)
＝a2＋ab＋ba＋b2
＝a2＋2ab＋b2；
(2) (mn－3)(mn－3)
＝m2n2－3mn－3mn＋9
＝m2n2－6mn＋9.
新课导入
如何计算下图的面积？
如果把图看成一个大正方形，那么它的面积为__________.
(a＋b)2
如果把图看成由2个小长方形和2个小正方形组成的，那么它的面积为______________.
a2＋2ab＋b2
两个代数式之间有何关系？
b
a
b
a
新课导入
新课讲解
第二部分
PART 02
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(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
你能从运算的角度说明这个等式成立吗？
(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝a2＋ab＋ba＋b2
＝a2＋2ab＋b2.
多项式乘多项式法则
合并同类项
新课讲解
解法1：
(a－b)2＝(a－b)(a－b)
＝a2－ab－ba＋b2
＝a2－2ab＋b2.
计算：(a－b)2.
解法2：
(a－b)2＝[a＋(－b)]2
＝a2＋2·a·(－b)＋(－b)2
＝a2－2ab＋b2.
新课讲解
完全平方公式：
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
记忆口诀：首平方，尾平方，积的2倍放中央，符号看前方.
新课讲解
完全平方公式有什么特点？
（1）两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅差一个“符号”不同；
（2）公式的右边都是二次三项式，其中两项是公式左边二项式中每一项的平方，简称“平方项”，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者仅差一个“符号”不同.
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
新课讲解
(1) (5＋3p)2；
例1 用完全平方公式计算：
(a＋b)2
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
解：(1)原式＝
52
＋
5·3p
2×
＋
(3p)2
＝ 25＋30p＋9p2；
例题讲解
(2) (2x－7y)2；
例1 用完全平方公式计算：
(a－b)2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
解：(2)原式＝
(2x)2－2·2x·7y＋(7y)2
＝4x2－28xy＋49y2；
例题讲解
(3) (－2a－5)2.
例1 用完全平方公式计算：
(a－b)2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
解：(3)原式＝
(－2a)2－2·(－2a)·5＋52
＝4a2＋20a＋25.
还有其他计算方法吗？
例题讲解
(3) (－2a－5)2.
例1 用完全平方公式计算：
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
解：(3)原式＝[－(2a＋5)]2
＝(2a)2＋2·2a·5＋52
＝4a2＋20a＋25.
其实(－2a－5)2与(2a＋5)2相等，先变形再化简会更方便.
＝(2a＋5)2
例题讲解
1. 下面的计算是否正确？如有错误，请改正.
(1) (x＋y)2＝x2＋y2；
(2) (－x－y)2＝－x2－2xy＋y2；
×
×
x2＋2xy＋y2
x2＋2xy＋y2
(3) (－m＋n)2＝－m2 ＋n2.
×
(－m＋n)2
＝ (－m)2＋2 (－m) n＋n2
＝ (－m)2＋2 (－m) n＋n2
新课讲解
2. 用完全平方公式计算：
(1) (1＋x)2；
(2) (y－3)2；
y2－6y＋9
1＋2x＋x2
(3) (－3x＋2)2；
(4) .
9x2－12x＋4
x2－xy＋ y2
新课讲解
例2 用完全平方公式计算：
(1) 1992；
解：(1)1992＝(200－1)2
＝2002－2×200×1＋12
＝40 000－400＋1
＝39 601；
(2) 2012.
(2)2012＝(200＋1)2
＝2002＋2×200×1＋12
＝40 000＋400＋1
＝40 401.
例题讲解
用完全平方公式计算：
(1) 1022； (2) 1972.
解：(1)1022
＝(100＋2)2
＝1002＋2×100×2＋22
＝10000＋400＋4
＝10404；
(2)1972
＝(200－3)2
＝2002－2×200×3＋32
＝40000－1200＋9
＝38809.
新课讲解
1. 一个奇数的平方一定是奇数吗？请说明理由.
解：设这个奇数为2n＋1(n为整数)，则
(2n＋1)2＝4n2＋4n＋1＝2(2n2＋2n)＋1.
∵n为整数，
∴2n2＋2n为整数，
∴2(2n2＋2n)＋1为奇数，
∴(2n＋1)2为奇数.
∴一个奇数的平方一定是奇数.
新课讲解
2. 计算
（a＋b＋c)2
解：（a＋b＋c)2
＝[(a＋b)＋c]2
＝(a＋b)2+2·(a＋b)·c＋c2
＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
把a＋b看成一个整体.
还有其他算法吗？
新课讲解
例3 用不同的代数式表示图中草坪的面积. 由此，你能得到怎样的等式？试用乘法公式说明这个等式成立.
解：观察图形可知，S＝20×20－2a×20＋a2
＝400－40a＋a2，
将图中的两条路平移至两边后，可得S＝(20－a)2，
∴ (20－a)2＝400－40a＋a2.
新课讲解
例4 已知m＋n＝8，mn＝6，求m2＋n2，(m－n)2 .
解：因为m＋n＝8，mn＝6，
所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝82－2×6＝52，
(m－n)2＝(m＋n)2－4mn＝82－4×6＝40.
新课讲解
常见的完全平方公式的变形：
完全平方公式 变形
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 ① a2＋b2＝(a＋b)2－2ab
② 2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)
(a－b)2＝a2－2ab＋b2 ① a2＋b2＝(a－b)2＋2ab
② 2ab＝(a2＋b2)－(a－b)2
③ (a－b)2＝(a＋b)2－4ab
④ (a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
新课讲解
课堂总结
第三部分
PART 03
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课堂总结
1. 完全平方公式的特点
2. 完全平方公式的运用
3. 完全平方公式的几何意义
课堂练习
第四部分
PART 04
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基础过关
1.计算：
(1) (2a＋3b)2；
(2) (2x－5y)2；
(3) 3 (a－b)2；
(4) (－x－2y)2.
4a2＋12ab＋9b2
4x2－20xy＋25y2
a2－2ab＋3b2
x2＋4xy＋4y2
课堂练习
(1) (a＋_____)2 ＝a2＋4ab＋4b2；
(2) (2a＋____)2 ＝4a2＋4ab＋b2；
(3) (3x－____)2 ＝9x2－12xy＋_____；
(4) (－x－___)2 ＝x2＋____＋1.
2b
b
2y
4y2
1
2x
课堂练习
3. 边长为am(a＞6) 的正方形花圃，如果边长减少6m，那么花圃的面积减少了多少？
6cm
6cm
a
解：a2－(a－6)2
＝a2－(a2－12a＋36)
＝a2－a2＋12a－36
＝(12a－36)m2.
答：花圃的面积减少了(12a－36)m2.
课堂练习
能力提升
1. 已知(y＋a)2＝y2－8y＋b，那么a，b的值分别为 (　　)
A．4，16 B．－4，－16
C．4，－16 D．－4，16
D
课堂练习
2. 小兵计算一个二项整式的平方式时，得到正确结果是4x2＋ ＋25y2，但中间一项不慎被污染了，这一项应是 ( )
A . 10xy B. 20xy C. ±10xy D. ±20xy
D
课堂练习
3．若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，则A为_______．
4ab
4．已知a＋＝4，则a2＋的值是________．
14
5．若a＋b＝3，ab＝2，则a－b＝_____．
±1
课堂练习
6. 先化简，再求值：(x－1)(3x＋1)－(x＋2)2＋5，其中x2－3x－1＝0.
解：原式＝3x2＋x－3x－1－x2－4x－4＋5＝2x2－6x.
因为x2－3x－1＝0，
所以x2－3x＝1.
所以原式＝2(x2－3x)＝2×1＝2.
课堂练习
7．已知a＋b＝8，ab＝3，求(a－b)2的值．
解： (a－b)2
＝(a＋b)2－4ab
＝82－4×3
＝52.
课堂练习
8. 图①是一个长为2m，宽为2n(m＞n)的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
按要求填空：①图②中阴影部分正方形的边长等于________．
①
②
m
n
n
m
m
m
n
n
m－n
课堂练习
8. 图①是一个长为2m，宽为2n(m＞n)的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积．
方法1：________________；
方法2：________________．
①
②
m
n
n
m
m
m
n
n
(m－n)2
(m＋n)2－4mn
课堂练习
8. 图①是一个长为2m，宽为2n(m＞n)的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
③观察图②，请写出(m＋n)2，(m－n)2，4mn这三个代数式之间的等量关系：______________________．
①
②
m
n
n
m
m
m
n
n
(m－n)2＝(m＋n)2－4mn
课堂练习
第八章 整式乘法 8.4
乘法公式
苏科版（2024）七年级下册数学课件
第1课时 完全平方公式

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