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第八章 整式乘法 8.4
乘法公式
苏科版（2024）七年级下册数学课件
第3课时 乘法公式的综合应用
01
新课导入
03
课堂总结
02
新课讲解
04
课堂练习
目录
新课导入
第一部分
PART 01
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1. 能熟练掌握乘法公式，用乘法公式进行相关计算；
2. 在运用乘法公式的过程中，感悟公式的逆用与整体转化的数学思想.
学习目标
乘法公式的内容是什么？
新课导入
完全平方公式：
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
平方差公式：
(a＋b) (a－b)＝a2－b2.
记忆口诀：一同一反，平方相减.
记忆口诀：首平方，尾平方，积的2倍放中央，符号看前方.
新课导入
新课讲解
第二部分
PART 02
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(1) a－2b－c＝a－(__________)；
2b＋c
(2) a－2b＋c＝a－(__________)；
2b－c
(3) a＋b－c＝a＋(__________)；
b－c
(4) a－b＋c－d＝ (a－d)＋(__________)．
c－b
1．在括号里填上适当的项：
新课讲解
2. 计算
（a－b＋c)2
解：（a－b＋c)2
＝[(a－b)＋c]2
＝(a－b)2＋2·(a－b)·c＋c2
＝a2－2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2
＝a2＋b2＋c2－2ab＋2ac－2bc.
把a－b看成一个整体.
还有其他算法吗？
新课讲解
(1) (x－3)(x＋3)(x2＋9)；
例1 计算：
(a＋b) (a－b)＝a2－b2
解：(1)原式＝(x2－9)(x2＋9)
＝(x2)2－92
＝x4－81；
平方差公式
平方差公式
例题讲解
(2) (2x＋3)2(2x－3)2.
例1 计算：
anbn=(ab)n (n是整数)
解：(1)原式＝[(2x＋3)(2x－3)]2
＝(4x2－9)2
＝(4x2)2－2×4x2×9＋92
＝16x4－72x2＋81.
完全平方公式
逆用积的乘方运算性质
例题讲解
例2 计算：
(a＋b) (a－b)＝a2－b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
构造出平方差的形式
平方差公式、完全平方公式
去括号(注意符号)
合并同类项
(1) (2a＋b)(b－2a)－(a－3b)2；
解：(1)原式＝(b＋2a)(b－2a)－(a－3b)2
＝b2－4a2－(a2－6ab＋9b2)
＝b2－4a2－a2＋6ab－9b2
＝－5a2＋6ab－8b2；
例题讲解
例2 计算：
(a＋b) (a－b)＝a2－b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
(2) (x＋y＋4)(x＋y－4)
解：(2)原式＝[(x＋y)＋4][(x＋y)－4]
把x＋y看成整体
＝(x＋y)2－42
＝x2＋2xy＋y2－16.
例题讲解
如何用平方差公式计算： (x＋y－3)(x－y＋3)？
(a＋b) (a－b)＝a2－b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
解：原式＝[x＋(y－3)][x－(y－3)]
把y－3看成整体
＝x2－(y－3)2
＝x2－(y2－6y＋9)
＝x2－y2＋6y－9.
新课讲解
(1) a2＋(b－a)(b＋a)；
1. 计算：
(2) (a－1)(a＋1)(a2－1)；
(3) (3x＋1)2(3x－1)2；
(4) (x－y＋z)(x－y－z).
b2
a4－2a2＋1
81x4－18x2＋1
x2－2xy＋y2－z2
新课讲解
(1) (2a－b)2－4(a＋b)(a－b)；
2. 计算：
(2) 3(x＋y)(－x－y)－(3x＋y)(－3x＋y).
5b2－4ab；
6x2－6xy－4y2.
新课讲解
3. 如图，4个完全相同的长方形围成一个正方形.用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，由此，你能得到怎样的等式？试用乘法公式说明这个等式成立.
b
a
解：阴影部分的面积为：4ab或(a＋b)2－(a－b)2，
所以(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.
∵(a＋b)2－(a－b)2
＝a2＋2ab＋b2－(a2－2ab＋b2)
＝a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2
＝4ab，
∴(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.
新课讲解
例3 运用平方差公式计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)＋1.
解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)＋1
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)＋1
＝(24－1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)＋1
＝(28－1)(28＋1)(216＋1)＋1
＝(216－1)(216＋1)＋1
＝232－1＋1
＝232.
新课讲解
课堂总结
第三部分
PART 03
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课堂总结
1. 谈谈你这节课的收获.
课堂练习
第四部分
PART 04
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基础过关
(1) (x－y)2－(x＋y)2；
1. 计算：
(2) (3a－b)2＋(b＋3a)2；
(3) (2x－1)(2x＋1)(4x2＋1)；
(4) (2m＋3n)2(3n－2m)2；
－4xy
18a2＋2b2
16x4－1
81n4－72m2n2＋16m4
课堂练习
(5) 4(a＋2)2－7(a＋3)(a－3)＋3(a－1)2；
(6) (2a－b－3)(2a＋b－3).
10a＋82
4a2－12a＋9－b2
课堂练习
(1) (3－4y)(3＋4y)＋(3＋4y)2，其中y＝0.4；
(2) (2a＋b)2－(3a－b)2＋5a(a－b)，其中a＝，b＝.
原式＝18＋24y；
2. 计算：
27.6.
原式＝5ab；
.
课堂练习
能力提升
1. 下列算式中，能连续两次用平方差公式计算的是(　　)
A．(x＋y)(x2＋y2)(x－y) B．(x＋1)(x2－1)(x＋1)
C．(x＋y)(x2－y2)(x－y) D．(x－y)(x2＋y2)(x－y)
A
课堂练习
2．计算20242－2025×2023时可以选用的乘法公式是 (　　)
A．完全平方公式和平方差公式 B．完全平方公式
C．平方差公式 D．不能确定
C
课堂练习
3．用四个全等的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用a，b分别表示长方形的长和宽(a＞b)，则下列关系中不正确的是(　　)
A．a＋b＝12
B．a－b＝2
C．ab＝35
D．a2＋b2＝84
D
课堂练习
4. 若(x－y)3(x＋y)3＝8，则3－x2＋y2＝____．
1
5. 若(x＋1)(x－1)(x2＋1)(x4＋1)＝xn－1，则n＝____．
8
6. 把一个正方形的一边增加2 cm，另一边增加4 cm，所得的长方形面积比正方形面积增加26 cm2，那么原来正方形的边长应是____cm.
3
课堂练习
7．计算：(1)(2x＋3y－1)(－2x－3y－1)；
解：原式＝－[(2x＋3y)－1][( 2x＋3y)＋1]
＝－[(2x＋3y)2－12]
＝1－4x2－12xy－9y2.
课堂练习
(2) (2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)．
解：原式＝(2x＋5＋y－z)(2x＋5－y＋z)
＝[(2x＋5)＋(y－z)][(2x＋5)－(y－z)]
＝(2x＋5)2－(y－z)2
＝(4x2＋20x＋25)－(y2－2yz＋z2)
＝4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z2
＝4x2－y2－z2＋2yz＋20x＋2
课堂练习
解：原式＝
＝
＝．
当，时，
原式＝＝．
8．先化简，再求值：，
其中，．
课堂练习
9. 已知x＋y＝6，xy＝7，求(3x＋y)2＋(x＋3y)2的值．
解：原式＝9x2＋6xy＋y2＋x2＋6xy＋9y2
＝10x2＋12xy＋10y2
＝10(x2＋y2)＋12xy
＝10(x＋y)2－8xy，
当x＋y＝6，xy＝7时，
原式＝10×36－8×7＝304.
课堂练习
10．如图为杨辉三角的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋b)n(n为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，利用杨辉三角解决下列问题．
(a＋b)＝a＋b
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
1
1　1
1　2　1
1　3　3　1
……
(1) (a＋b)4展开式中的第二项是______；
4a3b
课堂练习
(2)求(2a－1)5的展开式．
解：(2a－1)5
＝(2a)5－5(2a)4＋10(2a)3－10(2a)2＋5(2a)－1
＝32a5－80a4＋80a3－40a2＋10a－1.
课堂练习
11．如图，从边长为a的正方形ABCD中剪去一个边长为b的正方形CGEF．
(1)若a－b＝3，a2－b2＝21，求a＋b的值；
解：(1) ∵a－b＝3，
a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝21，
∴ a＋b＝7；
课堂练习
(2)请根据图中阴影部分面积验证平方差公式；
H
解：(2)如图，过点E作EH⊥AB于点H，
∵图中阴影部分面积为
或
，
∴；
课堂练习
(3)计算：．
(3)解：原式
．
课堂练习
12．(1)请同学们观察：用4个长为a宽为b的长方形硬纸片拼成的图形(如图)，根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：
；
课堂练习
(2)根据(1)中的等量关系，解决如下问题：
①已知，，请利用上述等式求的值；
(2)①由(1)可得
∵，，
∴，
∴．
课堂练习
②若，，求的值．
②∵，
又，，
∴
＝，
∴．
课堂练习
第八章 整式乘法 8.4
乘法公式
苏科版（2024）七年级下册数学课件
第3课时 乘法公式的综合应用

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