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(共36张PPT)
第十二章 定义 命题 证明 12.4 第3课时
定理
苏科版（2024）七年级下册数学课件
01
新课导入
03
课堂总结
02
新课讲解
04
课堂练习
目录
新课导入
第一部分
PART 01
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1. 了解反证法及其原理与步骤；
2. 能用反证法证明简单命题；
3. 了解反例的作用，能通过举反例证明一个命题为假命题．
学习目标
所有的命题都能用从条件出发推导出结论的方法证明吗
新课导入
传说，王戎从小就非常聪明．他7岁时，有一次和几个小伙伴一块儿外出游玩，发现路边有几株李树，树上的枝条上，结满了李子，而且看上去一个个都熟透了．
小伙伴们一个个高兴地竞相攀折树枝，摘取
李子．唯有王戎站在一旁，一动也不动．有人问
他为什么不去摘李子．
王戎笑着回答：“那树上的李子肯定是苦的，
摘下来也不能吃．你看，这李树都长在道路旁，
上面结了那么多李子，却没有人摘，要不是苦的，能会这样吗？”将李子取下来尝了尝，相信了王戎的话．
新课导入
新课讲解
第二部分
PART 02
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要证明一个命题，一般需要从命题的条件出发，一步一步地推出命题的结论.有时候，我们也可以反过来考虑.
可以反过来考虑.如果这个命题不对，那么一个三角形就有两个或三个钝角.
新课讲解
假设△ABC中不止一个钝角，那么可能有两个钝角或三个钝角.
当有两个钝角时，不妨设∠A，∠B均为钝角，
即∠A＞90°，∠B＞90°，
则∠A+∠B＞180°，
所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，
这与∠A＋∠B＋∠C＝180°矛盾.
同理，当有三个钝角时，也与∠A＋∠B＋∠C＝180°矛盾.
所以假设不正确.
于是△ABC中最多只能有一个钝角.
如何证明“一个三角形最多有一个钝角”
新课讲解
我们通过否定命题的结论，发现了矛盾，从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法．
反证法是数学中一种基本的证明方法.
新课讲解
证明：假设a、c不平行，那么它们相交于一点P.
∵a∥b、b∥c，
∴过点P的两条直线a、c都与直线b平行.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与
这条直线平行”矛盾.
∴假设不成立，a∥c.
例1 已知：a、b、c是三条不同的直线，a∥b、b∥c.
求证：a∥c.
a
b
c
P
用反证法证明的一般步骤是什么？
例题讲解
用反证法证明的一般步骤：
(1) 否定结论—先假设命题的结论不成立.
(2) 发现矛盾—从这个假设出发，经过若干步推理，得出矛盾.
(3) 肯定结论—由矛盾判定假设不正确，从而肯定原来命题的结论成立.
新课讲解
平行于同一条直线的两条直线平行.
平行线的性质定理：
新课讲解
1. 用反证法证明：已知a、b、c是三条不同的直线，如果a∥b、a与c相交，那么b与c相交.
证明：假设b、c不相交，即b∥c.
∵a∥b、b∥c，
∴a∥c.
这与已知条件“a与c相交”矛盾.
∴假设不成立，b与c相交.
新课讲解
2. 用反证法证明平行线的性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
Q
P
B
D
G
A
C
H
F
E
证明：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD
于G、H ，即要证明∠BGF＝∠DHF.
假设∠BGF≠∠DHF ，
过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF，
∴PQ∥CD，
∵AB∥CD，且AB也过点G ，
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与
这条直线平行”矛盾.
∴ 假设不成立，∠BGF＝∠DHF .
新课讲解
例2 判断命题“对于任意的有理数a、b，如果a＞b，那么|a|＞|b|”的真假，并说明理由.
.
解：这是一个假命题. 理由如下：
取a＝1，b＝－2，此时a＞b，但是|a|＜|b|，
所以命题的结论|a|＞|b|不成立.
例题讲解
在说明一个命题是假命题时，常用“举反例”的方法.举反例的关键是找到一个符合命题条件，但不符合命题结论的例子.
新课讲解
(1) 如果|a|＝|b|，那么a＝b；
举反例说明下列命题是假命题：
解：(1) 当a＝－3，b＝3时，|a|＝|b|，但a≠b，这个命题是假命题.
(2) 任何数的平方都大于0；
解：(2) 0的平方等于0，0不大于0，这个命题是假命题.
新课讲解
(3) 两个锐角的和是钝角；
举反例说明下列命题是假命题：
解：(3) 如两个锐角的度数分别为30°、50°，它们的和是80°，但80°的角不是钝角，所以这个命题是假命题.
(4) 如果一点到线段两端的距离相等，那么这个点是这条线段的中点.
解：(4) 如图，等腰三角形ABC，AB＝AC，但点A不是线段BC的中点，这个命题是假命题.
B
A
C
新课讲解
课堂总结
第三部分
PART 03
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课堂总结
1. 反证法的概念
2. 反证法的步骤
3. 举反例说明一个命题为假命题
课堂练习
第四部分
PART 04
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基础过关
1．我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
A
课堂练习
3．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时 ，则首先应该假设这个四边形中（ 　 ）
A．至少有一个角是钝角或直角 B．没有一个角是锐角
C．没有一个角是钝角或直角 D．每一个角是钝角或直角
2．能说明命题“任何数a的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是（ ）
A． B． C． D．
B
C
课堂练习
4．反证法是从反方向证明命题的论证方法．如图、想要证明“如果直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，那么∠EOB=∠EO′D．”先假设∠EOB≠∠EO′D，过点O作直线A′B′，使∠EOB′=∠EO′D，
由“同位角相等，两直线平行”，可得A′B′∥CD．这样过点就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD，这与数学中的一条基本事实相矛盾，说明∠EOB≠∠EO′D的假设是不正确的，于是有∠EOB=∠EO′D，上述材料中的“基本事实”是指________________________________________.
经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行
课堂练习
5．用反证法证明“在同一平面内，已知，若，则”，证明时可以先假设 ．
c与b不垂直
6．对于命题“一个正数a的算术平方根大于a的立方根”，请举出一个反例，说明该命题是假命题： ．
a=1
课堂练习
7. 用反证法证明：△ABC中至少有两个内角是锐角.
证明：假设同一三角形中最多有一个锐角，
那么另外两个内角为直角或钝角，
此时三角形内角和超过180°，与三角形内角和定理矛盾，
故假设不成立，即△ABC中至少有两个内角是锐角.
课堂练习
8.判断命题的真假，并说明理由：任何正数的平方都大于这个数本身.
解：该命题是假命题，理由如下：
当x＝1时，x2＝1，此时x2＝x；
因此存在正数使得平方不大于原数，原命题不成立.
课堂练习
2.用反证法证明“中至少有两个锐角”，第一步应为（ ）
A．假设中至多有一个锐角 B．假设中有一个直角
C．假设中有两个直角 D．假设中有两个锐角
1.为说明命题“若，则”是假命题，所列举反例正确的是（ ）
A． B．
C． D．
C
A
课堂练习
能力提升
3．和能作为反例说明“同位角相等”是假命题的是（ ）
A． B． C． D．
A
课堂练习
4．用反证法证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”时，应假设__________________________________．
在中最少有两个直角或钝角
5．用一组a，b，c的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是a＝ ，b＝ ，c＝ ．
3
4
1
课堂练习
6．用反证法证明“在中，若，则”时，以下三个步骤正确的排列顺序是__________.
步骤如下：
①假设在中，．
②因此假设不成立，．
③由，得，即，
，这与“三角形三个内角的和等于”产生矛盾．
①③②
课堂练习
7．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空）．
已知：如图，直线，被直线所截； ．
求证：直线与 ．
证明：假设 ，
则 ．
这与 矛盾，故 不成立．
所以 ．
≠
不平行
∥
＝
(两直线平行，同旁内角互补)
∠1+∠2≠180°
假设
直线l1与l2不平行
课堂练习
8．判断“内错角相等”是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．
解：是假命题，如图与是内错角，.
课堂练习
9. 已知：m是正整数，且m2是偶数. 求证：m是偶数.
证明：假设m是奇数，则m可表示为2k＋1 (k为整数).
代入m2，得m2＝(2k＋1)2＝4k2＋4k＋1＝2(2k2＋2k)＋1，
这是一个奇数. 这与已知条件m2是偶数矛盾，
因此假设不成立，即m是偶数.
课堂练习
第十二章 定义 命题 证明 12.4 第3课时
定理
苏科版（2024）七年级下册数学课件

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