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(共41张PPT)
第十二章 定义 命题 证明 12.3
证明
苏科版（2024）七年级下册数学课件
01
新课导入
03
课堂总结
02
新课讲解
04
课堂练习
目录
新课导入
第一部分
PART 01
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1. 通过具体实例初步感受证明的必要性；
2. 了解证明的基本步骤和书写格式；
3. 感受并理解证明的必要性和逻辑性，初步树立言之有理、落笔有据的推理意识，发展初步的推理能力.
学习目标
通过观察、操作、实验等探索活动，发现了许多正确的结论. 所有探索活动中获得的结论都是正确的吗？
新课导入
新课讲解
第二部分
PART 02
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1. 观察图1，线段AB与CD哪条较长
从观察的角度来看,线段CD比线段AB短.
从测量的角度出发,线段CD和线段AB一样长.
C
A
B
D
图1
仅仅依靠观察是不够的，下结论需要有理有据.
新课讲解
2. 观察图2，位于中心位置的两个圆一样大吗
图2
新课讲解
生活经验告诉我们，“眼见不一定为实”. 数学中一般不能仅仅凭借观察来判断一个命题的真假，必须一步一步、有理有据地进行推理.
数学命题一般都由“条件”和“结论”两部分组成，如果我们从命题的“条件”出发，根据一些已知的事实，得出命题的“结论”成立，那么就可以说这个命题为真命题.
新课讲解
1. 判断命题“如果a，b是偶数，那么a＋b也是偶数”的真假性.
条件
结论
因为a，b都是偶数，
所以可以设a＝2m，b＝2n(m，n是整数)，
所以a＋b＝2m＋2n＝2(m＋n).
所以a＋b也是偶数.
命题的条件
偶数的定义
等量代换和分配律
根据偶数定义，得到命题的结论
所以，命题“如果a，b是偶数，那么a＋b也是偶数”为真命题.
新课讲解
因为a＜b，
在不等式两边都加上c，得a＋c＜b＋c，
因为c＜d，
在不等式两边都加上c，得b＋c＜b＋d，
因为a＋c＜b＋c，b＋c＜b＋d，
所以a＋c＜b＋d.
2. 判断命题“如果a＜b，c＜d，那么a＋b＜b＋d”的真假性.
条件
结论
命题的条件
不等式的基本性质
命题的条件
不等式的基本性质
根据传递性，得到命题的结论
所以，命题“如果a＜b，c＜d，那么a＋b＜b＋d”为真命题.
新课讲解
从命题的条件出发，根据一些已知的事实(如概念的定义，基本性质，真命题等),用“因为……,所以……”的形式一步一步推出命题的结论，从而确定这个命题为真命题的过程称为证明(proof)．
新课讲解
例1 证明：同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行.
分析：1. 这个命题的条件是什么？结论是什么？
2. 依据命题条件，怎么画出能体现这些条件的图形？
3. 将命题的条件和结论如何用符号语言准确表达？
例题讲解
例1 证明：同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行.
已知：如图，直线a、b、c是同一平面内的三条直线，a⊥c，b⊥c.
求证：a∥b.
想一想： 哪一个基本事实与平行线有关
a
b
c
2
1
例题讲解
例1 证明：同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行.
a
b
c
2
1
证明：
因为 a⊥c
所以∠1＝90°
因为b⊥c (已知)，
所以∠2＝90° (垂直的定义).
因为∠1＝∠2 (等量代换).
所以 a∥b
(已知)，
(垂直的定义).
(同位角相等，两直线平行).
因
果
依据
(条件)
(结论)
推理
例题讲解
证明：设这三个自然数分别为k－1，k，k＋1，其中k≥1.
所设三个自然数的和为(k－1)＋k＋(k＋1)＝3k，
∵ 3k能被3整除，
∴ 这三个自然数的和能被3整除.
例2 证明：三个连续自然数之和能被3整除.
为了书写方便，可以用“∵”表示“因为”，用“∴"表示“所以.
例题讲解
证明一个命题的一般步骤有哪些
1. 在“已知”后面写出命题的条件；
2. 在“求证”后面写出命题的结论；
3. 从已知出发，由“因为……，所以……组成一步推理；
4. 从已知和上一步推理的结果出发，通过一系列推理，推出“结论”.
新课讲解
“∵”“∴”的使用方法：
（1）一组“∵”“∴”称为一个推理，证明过程通常包含几个推理.
（2）有时“∴”后面会接着一个“∴”，这时前面的“∴”就是后面的条件，相当于“∵”.
新课讲解
(1)∵∠1＝∠3(已知)，
∴AB∥DC
( ).
(2)∵∠DAE＝∠CBE(已知)，
∴AD∥BC
( ).
(3)∵∠CDA＋∠DAB＝180°(已知)，
∴AB∥DC ( ).
A
B
C
D
E
1
2
4
3
1. 如图，点A、B、E在一条直线上. 在空格上填写推理的依据.
内错角相等，两直线平行
同位角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
新课讲解
2. 填空，完成下面的证明过程.
已知：如图，∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3.
求证：AD∥BC.
证明：∵∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3 ( )，
∴∠BAD－∠____＝∠DCB－∠____(等式性质)，
即 ∠___＝∠___.
∴AD∥BC ( ).
B
C
D
A
1
2
4
3
已知
1
3
2
4
内错角相等，两直线平行
新课讲解
3. 证明：两个奇数之和是偶数.
证明：∵a，b都是奇数，
∴可以设a＝2m＋1，b＝2n＋1(m，n是整数)，
∴ a＋b＝2m＋1＋2n＋1＝2(m＋n＋1).
∴ a＋b是偶数.
新课讲解
4. 证明：“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行．”
已知：如图，已知AB∥CD ，直线AB，CD被直线
EF所截，EG平分∠AEF ，FH平分∠EFD.
求证：EG∥FH ．
A
B
C
D
E
F
G
H
新课讲解
证明：
∵ AB∥CD
∴∠AEF ＝∠DFE
∵ EG平分∠AEF，FH平分∠EFD （已知）,
∴∠GEF＝∠AEF，∠EFH ＝∠EFD
（角平分线的定义）.
（已知）,
（两直线平行，内错角相等）.
4. 证明：“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行．”
A
B
C
D
E
F
G
H
∴∠GEF＝∠EFH（等量代换）.
∴ EG∥FH（同位角相等，两直线平行）.
新课讲解
课堂总结
第三部分
PART 03
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课堂总结
1. 证明的必要性
2. 证明的定义
3. 证明的基本步骤和书写格式
课堂练习
第四部分
PART 04
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基础过关
1. 如图，下列推论及所注依据正确的是(　C　)
A. ∵ ∠1＝∠B，∴ DE∥BC(两直线平行，同位角相等)
B. ∵ ∠2＝∠C，∴ DE∥BC(两直线平行，内错角相等)
C. ∵ ∠BAE＋∠B＝180°，
∴ DE∥BC(同旁内角互补，两直线平行)
D. ∵ ∠4＝∠1，∴ DE∥BC(对顶角相等)
C
A
B
C
D
E
1
F
2
3
4
课堂练习
2. 如图，小明利用两块相同的三角尺，分别在三角尺的边缘画直线AB和CD，并由此判定AB∥CD，这是根据____________________，两直线平行．
内错角相等
课堂练习
3. 已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，MG平分∠EMB，NH平分∠END. 求证：MG∥NH.
证明：
∵ AB∥CD
∴∠EMB＝∠END
∵ MG平分∠EMB，NH平分∠END (已知),
∴∠EMG＝∠EMB，∠ENH＝∠END
（角平分线的定义）.
∴∠EMG＝∠ENH（等量代换）.
∴MG∥NH（同位角相等，两直线平行）.
（已知）,
（两直线平行，同位角相等）.
A
B
C
D
E
F
M
N
G
H
课堂练习
4. 证明：如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条直线垂直．
证明：
已知：如图，直线a∥b，a⊥c.
a
b
c
2
1
求证：c⊥b.
∴∠1＝∠2 （两直线平行，同位角相等）.
∵a∥b（已知），
∵ a⊥c （已知），
∴ ∠1＝90°（垂直的定义）.
∴ c⊥b （垂直的定义） .
∴ ∠2＝90°（等量代换）.
课堂练习
5．下面是小明和小红的一段对话：
小明说：“我发现，对于代数式x(3x＋2)－3(x2＋3x)＋7x－2，当x＝2024和x＝2025时，结果居然是相等的．”
小红说：“不可能，对于不同的值，应该有不同的结果．”
你认为谁说得对？说明你的理由．
解：小明说得对．理由：
因为x(3x＋2)－3(x2＋3x)＋7x－2＝3x2＋2x－3x2－9x＋7x－2＝－2，
所以代数式的值与x的值无关，所以小明说得对．
课堂练习
能力提升
1. 与几何证明一样，代数推理也需要有理有据，请完成下题中依据的填写．
已知：有理数x，y满足x＞y＞0．
求证：x2＞y2．
证明：因为x＞y＞0，
所以x＋y＞0有理数的加法法则，x－y＞0不等式的基本性质．
所以(x＋y)(x－y)＞0__________________．
因为(x＋y)(x－y)＝x2－y2_____________，
所以x2－y2＞0等量代换．
所以x2＞y2________________________．
有理数的乘法法则
平方差公式
不等式的基本性质1
课堂练习
2. 如图，填空:
(1) ∵ ∠1＝∠2(已知)，
∴ 　DF ∥ 　C　 ( 　内错角相等，平行_____ )；
(2) ∵ ∠2＋∠DEC＝180°(已知)，
∴ 　　 ∥ 　　 ( 　同旁两直线平行　_____ )；
(3) ∵ ∠C＋∠DEC＝180°(已知)，
∴ 　DE ∥ 　AC ( 　同旁内角___互补，两直 ).
DF
BC
内错角相等，两直线平行
DF
BC
同旁内角互补，
两直线平行　
DE
AC
同旁内角互补，
两直线平行　
A
B
C
D
E
2
F
1
课堂练习
3．如图，AB∥CD，AB、DE 相交于点G，∠B＝∠D．
在下列括号内填写推理的依据：
∵AB∥CD (已知)，
∴∠EGA ＝∠D (________________________)．
又∵∠B ＝∠D (已知)，
∴∠EGA ＝∠B(__________)，
∴DE∥BF (________________________)．
C
D
A
B
E
G
F
两直线平行，同位角相等
等量代换
同位角相等，两直线平行
课堂练习
4. 已知：如图，EF∥AD，∠1＝∠2. 求证：DG∥AB.
A
B
C
D
E
G
1
F
2
证明：∵EF∥AD(已知)，
∴∠2＝∠BAD(两直线平行，同位角相等)．
∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠1＝∠BAD(等量代换)，
∴DG∥AB(内错角相等，两直线平行)．
课堂练习
证明：设两个连续奇数分别为，是整数
则
是的倍数，
两个连续奇数的平方差是的倍数 .
5. 证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数．
课堂练习
6. 证明：两直线平行，同旁内角互补．
F
2
3
1
A
B
C
D
E
已知：AB∥CD，
求证：∠1＋∠2＝180°，
证明：∵ AB∥CD (已知)，
∴ ∠2＝∠3b(两直线平行，同位角相等)，
∵ ∠1＋∠3＝180°(平角的定义)，
∴ ∠1＋∠2＝180°(等量代换)．
课堂练习
7. 如图所示，已知AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠1＝∠E.
求证：AD平分∠BAC.
A
B
C
D
E
G
1
证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），
∴∠ADC＝∠EGC＝90°（垂直的定义），
∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），
∠CAD＝∠E（两直线平行，同位角相等）.
又∵ ∠1＝∠E（已知），
∴∠BAD＝∠CAD（等量代换），
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）
课堂练习
8. 如图，给出下列三个论断：①∠B＋∠D＝180°;②AB∥CD；③BC∥DE.
请你以其中两个论断作为已知条件，填入“已知”栏中，以剩下的论断作为结论，填入“结论”栏中，使其成为一道由已知可得到结论的题目，并说明理由．
已知：________，结论：________．
A
B
C
D
E
符合题意的有3种情况，即：①②→③；①③→②；②③→①，选其中一种即可.
课堂练习
A
B
C
D
E
解：答案不唯一，如①②→③.
理由：因为AB∥CD（已知），
所以∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）.
又因为∠B＋∠D＝180°（已知），
所以∠C＋∠D＝180°（等量代换），
所以BC∥DE（同旁内角互补，两直线平行）.
8. 如图，给出下列三个论断：①∠B＋∠D＝180°;②AB∥CD；③BC∥DE.
请你以其中两个论断作为已知条件，填入“已知”栏中，以剩下的论断作为结论，填入“结论”栏中，使其成为一道由已知可得到结论的题目，并说明理由．
已知：________，结论：________．
课堂练习
第十二章 定义 命题 证明 12.3
证明
苏科版（2024）七年级下册数学课件

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