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第十二章 定义 命题 证明 12.4 第1课时
定理
苏科版（2024）七年级下册数学课件
01
新课导入
03
课堂总结
02
新课讲解
04
课堂练习
目录
新课导入
第一部分
PART 01
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1. 了解定理、推理的意义；初步理解定理在公理体系中的作用；
2. 通过证明三角形的内角和定理及其推论，进一步掌握证明的基本形式与规则.
学习目标
三角形三个内角的和是多少？
你是怎么知道的？
新课导入
三角形三个内角的和等于180°.
3
2
3
1
平角：180°
你认为这个结论正确吗？
怎么证明？
新课导入
证明一个命题的一般步骤有哪些
1. 在“已知”后面写出命题的条件；
2. 在“求证”后面写出命题的结论；
3. 从已知出发，由“因为……，所以……组成一步推理；
4. 从已知和上一步推理的结果出发，通过一系列推理，推出“结论”.
新课导入
新课讲解
第二部分
PART 02
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证明：三角形三个内角的和等于180°.
思考：1. 这个命题的条件是什么？结论是什么？
2. 根据命题的条件怎么画图形？
3. 结合图形，怎么写已知、求证？
新课讲解
证明：三角形三个内角的和等于180°.
A
B
C
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角.
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
结合上面的拼图过程，思考怎样将∠A、∠B、 ∠C“搬”到一起？
新课讲解
证明：三角形三个内角的和等于180°.
A
B
C
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角.
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
可以通过画平行线 实现拼图中的“搬”角.
F
E
新课讲解
证明：三角形三个内角的和等于180°.
A
B
C
F
E
证法1：作边BC的延长线CD，过点C
作CE∥AB.
∵CE∥AB，
∴∠1＝∠A (两直线平行，内错角相等)，
∠2＝∠B (两直线平行，同位角相等).
∵∠1＋∠2＋∠ACB＝180°(平角的定义)，
∴ ∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(等量代换).
新课讲解
证明：三角形三个内角的和等于180°.
A
B
C
D
1
2
证法2：如图，过点C作CD∥AB.
∵ CD∥AB，
∴∠B＝∠1，∠A＝∠2
(两直线平行,内错角相等).
∵∠1＋∠ACB＋∠2＝180°(平角的定义)
∴∠B＋∠ACB＋∠A＝180°(等量代换).
新课讲解
三角形内角和定理的证明思路是什么？
运用平行线的性质,将三个内角“搬”到一个顶点处，合并成一个平角即可证明.
新课讲解
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
A
B
C
符号语言：
在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.
新课讲解
一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理(theorem).定理可以作为证明后续命题的依据.
新课讲解
例1 证明：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
D
A
B
C
已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，∠A、∠B是与它不相邻的两个内角.
求证：∠ACD＝∠A＋∠B.
∴∠ACD＝180°－∠ACB，
∠A＋∠B＝180°－∠ACB (等式性质).
∴∠ACD＝∠A＋∠B (等量代换).
证明：∵∠ACD ＋∠ACB＝180° (平角的定义)，
∠A＋∠B ＋∠ACB ＝180° (三角形内角和定理)，
例题讲解
由一个定理直接推出的重要结论，一般叫作这个定理的推论.它和定理一样，也可以作为后续证明的依据.
新课讲解
三角形内角和定理的推论：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
符号语言：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A＋∠B.
D
A
B
C
新课讲解
例2 已知：如图，D是△ABC内的任意一点.
求证：∠BDC＝∠1＋∠A＋∠2.
A
B
D
C
Q
1
2
P
你能想到几种证明方法？
新课讲解
例2 已知：如图，D是△ABC内的任意一点.
求证：∠BDC＝∠A＋∠1＋∠2.
A
B
D
C
1
2
P
证明：∵ ∠BDC是△DPC的一个外角(已知)
∴ ∠BDC＝∠DPC＋∠2
(三角形内角和定理的推论 ).
同理可得 ∠DPC＝∠A＋∠1.
∴ ∠BDC＝∠A＋∠1＋∠2. (等量代换).
新课讲解
1. 已知：如图，如图, AC、BD相交于点O.
求证: ∠A＋∠B＝∠C＋∠D.
C
B
A
D
O
证法1：在△ABO中， ∠ A＋∠B＋∠AOB＝180°
(三角形内角和定理)，
∴ ∠A＋∠B＝180° －∠AOB (等式性质).
在△CDO中，同理可得
∠C＋∠D ＝180 ° －∠COD.
∵ ∠ AOB ＝∠COD (对顶角相等)，
∴ ∠A＋∠B＝∠C＋∠D (等量代换).
新课讲解
1. 已知：如图，如图, AC、BD相交于点O.
求证: ∠A＋∠B＝∠C＋∠D.
C
B
A
D
O
证法2：∵ ∠AOD是△AOB的一个外角(已知)
∴ ∠AOD＝∠A＋∠B
(三角形内角和定理的推论 ).
同理可得 ∠AOD＝∠C＋∠D.
∴ ∠A＋∠B＝∠C＋∠D (等量代换).
新课讲解
变式 如图，∠A与∠B的和等于∠OCD与∠ODC的和吗？为什么？
C
B
A
D
O
证明：在△ABO中， ∠ A＋∠B＋∠AOB＝180°
(三角形内角和定理)，
∴ ∠A＋∠B＝180° －∠O (等式性质).
在△CDO中，同理可得
∠OCD＋∠ODC＝180 ° －∠O.
∴ ∠A＋∠B＝∠C＋∠D (等量代换).
新课讲解
解：逆命题为“有两个角互余的三角形是直角三角形”.这个逆命题是真命题.
2. 写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并给出证明.
A
C
B
已知：如图，△ABC中，∠A与∠B互余 .
求证：△ABC是直角三角形.
证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和定理)，
∵∠A与∠B互余(已知)，
∴∠C＝180 °－(∠A＋∠B) (等式性质).
∴ ∠A＋∠B＝90 ° (互余的定义).
∴∠C＝180 °－90 ° ＝90 ° (等量代换).
∴△ABC是直角三角形 (直角三角形的定义).
新课讲解
课堂总结
第三部分
PART 03
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课堂总结
1. 三角形内角和定理
2. 三角形内角和定理的推论
3. 定理和推论的概念
4. 定理和推论的关系
课堂练习
第四部分
PART 04
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基础过关
1. 如图，在△ABC中，∠A＝27°，∠B＝48°，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD等于( )
A．75° B． 80° C．105° D． 54°
A
D
A
B
C
课堂练习
2. 如图，AB、CD相交于点O，且∠A＝38°，∠B＝58°，∠C＝44°，则∠D＝ 　64°　 .
64°
B
D
A
C
O
课堂练习
3. 已知∠A，∠B为直角三角形ABC的两个锐角，若∠B＝54°，则∠A的度数为 　85°　 .
A
B
C
36°
课堂练习
4. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线.若∠B＝35°，∠ACE＝60°，
则∠A的度数为 　85°　 .
85°
D
A
B
C
E
课堂练习
5. 已知：如图，在直角三角形ABC 中∠ACB＝90°，D 是AB 上一点，
且∠ACD ＝∠B ．
求证：CD⊥AB．
A
B
C
D
证明： ∵∠ACB＝90° (已知)，
∴ ∠A＋∠B ＝90° (直角三角形的两个锐角互余).
∵ ∠ACD ＝∠B (已知)，
∴∠A＋∠ACD ＝90° (等量代换).
∴ ∠ADC＝90°(有两个角互余的三角形是直角三角形),
即CD⊥AB (垂直定义).
课堂练习
1. 含30°角的直角三角尺与直线l1、l2的位置关系如图所示，若l1∥l2，∠ACD＝∠A，则∠1的度数为 (　B　)
A
B
C
D
l1
1
l2
B
A. 70°
C. 40°
B. 60°
D. 30°
课堂练习
能力提升
2. 如图，在△ACB中，∠A＋∠B＝90°，CD⊥AB，DE⊥AC，垂足分别为D、E，则图中共有 　5　 个直角三角形.
5
A
B
C
D
E
课堂练习
3. 如图是一个五角星，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E等于______.
180°
A
C
D
E
B
2
1
╮
╰
课堂练习
证明：在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°(三角形内角和定理).
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A(等式性质).
∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠1＝∠ABC、∠2＝ ∠ACB (角平分线定义).
∴∠1+∠2＝∠ABC＋∠ACB (等式性质).
＝ (等量代换).
由上面的结论可得∠BDC＝∠1＋∠A＋∠2.
∴∠BDC＝＋∠A＝90 °＋∠A.
4. (1)若D是△ABC内的角平分线交点. 求证：∠BDC＝90°＋∠A.
C
B
A
D
1
2
课堂练习
4. (2)若∠A＝70°，则∠BDC＝________；
若∠BDC＝155°，则∠A＝________.
125°
130°
C
B
A
D
1
2
课堂练习
第十二章 定义 命题 证明 12.4 第1课时
定理
苏科版（2024）七年级下册数学课件

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