资源简介 §1 空间直角坐标系1.1 点在空间直角坐标系中的坐标学习任务 核心素养1.了解空间直角坐标系的建立方法及有关概念.(重点) 2.会在空间直角坐标系中用三元有序实数组刻画空间中点的位置.(重点、难点) 1.通过对空间直角坐标系的有关概念的学习,培养数学抽象素养. 2.借助在空间直角坐标系中点的位置的刻画,培养直观想象与逻辑推理素养.飞机在空中飞行时,只给飞机在地面的经度和纬度,能确定飞机的位置吗?再给出高度,能确定飞机的位置吗?在空间中,如何确定点的位置?1.空间直角坐标系的建立(1)空间直角坐标系:过空间任意一点O,作三条两两垂直的直线,并以点O为原点,在三条直线上分别建立数轴:_____________,这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.(2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则:①伸出右手,让四指与大拇指垂直.②四指先指向_轴正方向.③让四指沿____方向旋转90°指向y轴正方向.④______的指向即为z轴正方向.(3)有关名称如图所示,①点_叫作坐标原点.②_________统称为坐标轴.③通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面.______确定的平面记作xOy平面,______确定的平面记作yOz平面,______确定的平面记作xOz平面.2.空间直角坐标系中点的坐标(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置,可用唯一的一个______________来表示.(2)三元有序实数组(x,y,z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标,记作P(x,y,z).x叫作点P的__坐标,y叫作点P的__坐标,z叫作点P的__坐标.(3)空间直角坐标系中:点与三元有序实数组________.如何确定空间中点P的坐标?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标一定是的形式. ( )(2)空间直角坐标系中,在xOz平面内的点的坐标一定是的形式. ( )(3)空间直角坐标系中,点(1,,2)关于yOz平面的对称点为(-1,,2). ( )(4)空间直角坐标系中,点(1,,2)关于坐标原点O的对称点为(-1,-,-2). ( )2.点A(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是( )A.y轴上 B.xOy平面上C.xOz平面上 D.yOz平面上类型1 根据点的坐标确定点的位置【例1】 在空间直角坐标系中,作出点M(2,-6,4).[尝试解答] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1.先确定点(x0,y0,0)在xOy平面上的位置,再由竖坐标确定点(x0,y0,z0)在空间直角坐标系中的位置.2.以原点O为一个顶点,构造棱长分别为|x0|,|y0|,|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0,y0,z0的符号一致),则长方体中与O相对的顶点即为所求的点.[跟进训练]1.在空间直角坐标系中作出点M(2,3,4)._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型2 已知点的位置写出点的坐标【例2】 已知棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′,建立如图所示的不同空间直角坐标系.试分别写出正方体各顶点的坐标.(1) (2)[尝试解答] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[母题探究]把本例中正方体的棱长变为,且建立如图所示的空间直角坐标系,求正方体各顶点的坐标._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1.已知点M的位置,求其坐标的方法作MM′垂直平面xOy,垂足为M′,求M′的x轴坐标,y轴坐标,即点M的x轴坐标,y轴坐标,再求点M在z轴上投影的z轴坐标,即点M的z轴坐标,于是得到点M的坐标(x,y,z).2.在空间直角坐标系中,三条坐标轴和三个坐标平面上的点的坐标形式如下表所示.其中x,y,z∈R.分类 坐标轴 坐标平面x轴 y轴 z轴 xOy平面 yOz平面 xOz平面坐标形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z) (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)类型3 空间中点的对称问题 关于点对称【例3】 点M关于点(a,b,c)的对称点的坐标为________.[思路点拨] 类比平面直角坐标系中点的对称问题来求解,其中线段的对称中心是线段的中点.[尝试解答] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 关于坐标轴对称【例4】 求点M(a,b,c)关于坐标轴的对称点的坐标.[思路点拨] 从分析对称点的性质入手.[尝试解答] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 关于坐标平面对称【例5】 求点M(a,b,c)关于坐标平面的对称点的坐标.[思路点拨] 从分析对称点的性质入手.[尝试解答] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1.关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点:2.点的对称可简单记为“关于谁对称,谁不变,其他的变为相反数;关于原点对称,都变”.[跟进训练]2.在空间直角坐标系中,点P与Q(1,-1,-1)两点间的位置关系是( )A.关于x轴对称 B.关于xOz平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对3.点M(a,b,c)关于原点的对称点的坐标为________.4.在空间直角坐标系中,点P1关于xOy平面的对称点为点P2,点P2关于yOz平面的对称点为点P3,点P3关于zOx平面的对称点为点P4,则点P4的坐标为________.1.点Q(0,0,3)的位置是( )A.在x轴上 B.在y轴上C.在z轴上 D.在面xOy内2.点A(-3,1,5),点B(4,3,1)的中点坐标是( )A. B.C.(-12,3,5) D.3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点P在直线DB1上,则x,y,z所满足的条件是( )A. B.C. D.x=y=z4.点P1(-1,1,4)关于坐标平面yOz对称的点为P2,则点P2关于坐标平面xOy的对称点P3的坐标为________.5.在平行四边形ABCD中,已知点A(1,0,0),B(3,1,2),C(0,-2,1),求D点坐标._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.确定空间定点M的坐标的步骤(1)过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于P,Q和R.(2)确定P,Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标x,y和z.(3)得出点M的坐标为(x,y,z).2.已知M点坐标为(x,y,z)确定点M位置的步骤(1)在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x,y和z的点P,Q,R.(2)过P,Q,R分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面.(3)三个平面的唯一交点就是M.3.建立空间直角坐标系时,要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算,一般是(1)要根据图形对称性建立空间直角坐标系;(2)要使尽量多的点落在坐标轴上.21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(十八)1.B [由于x=z=0,y=2,∴P在y轴上.]2.B [设点P在面xOz的投影为P',则|PP'|=|b|.]3.D [两个点关于x轴对称,那么这两个点的横坐标不变,纵坐标与竖坐标均互为相反数,故有λ=2,7=-(3-μ),-6=-(-1+v),∴λ=2,μ=10,v=7.]4.D [由空间点的坐标的定义,知点Q 的坐标为(1,,0).]5.B [DD1C1C所在的平面平行于xOz面,且与xOz面的距离为2,上面任意一点的纵坐标都是-2,而横、竖坐标可取任意实数.]6.(0,2,1) [∵C(0,2,0),|CN|=1,∴N(0,2,1).]7.(2,0,0) (0,3,0) (0,0,4) [P(2,3,4)在x轴上的投影为(2,0,0),在y轴上的投影为(0,3,0),在z轴上的投影为(0,0,4).]8.④9.解:因为OB'与BD'相交于点Q,所以点Q在xOy平面内的投影应为OB与AC的交点,所以Q的坐标为.同理可知点Q在xOz平面内的投影也应为AD'与OA'的交点,所以点Q的坐标为.10.解:长方体的对称中心为坐标原点O,∵顶点A(-2,-3,-1).∴A关于原点的对称点C1的坐标为(2,3,1).又∵C与C1关于坐标平面xOy对称,∴C(2,3,-1).而A1与C关于原点对称,∴A1(-2,-3,1).又∵C与D关于坐标平面yOz对称,∴D(-2,3,-1).∵B与C关于坐标平面xOz对称,∴B(2,-3,-1).又∵B1与B关于坐标平面xOy对称,∴B1(2,-3,1).同理,D1(-2,3,1).综上知长方体其他七个顶点的坐标为C1(2,3,1),C(2,3,-1),A1(-2,-3,1),B(2,-3,-1),B1(2,-3,1),D(-2,3,-1),D1(-2,3,1).11.B [点P(3,4,5) 与Q(3,4,-5) 两点的横、纵坐标相同,而竖坐标互为相反数,所以两点关于xOy平面对称.]12.D [(2,2,z)表示过点(2,2,0)且与z轴平行的直线,即与平面xOy垂直的直线.]13.(-2,0,-3) (2,-4,3) [点M在xOz平面上的投影为(-2,0,-3),点M(-2,4,-3)关于原点对称的坐标为(2,-4,3).]14.解:以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系.∵点E在z轴上,且为D1D的中点,∴点E坐标为.过F作FM⊥AD,FN⊥DC,则|FM|=|FN|=,故点F坐标为.∵点G在y轴上,又|GD|=,∴点G坐标为.过H作HK⊥CG于点K,由于H为C1G的中点,故|HK|=,|CK|=,∴|DK|=,故点H的坐标为.21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(十八) 点在空间直角坐标系中的坐标说明:选择题每题5分,填空题每题5分,本试卷共100分一、选择题1.点P(0,2,0)在( )A.x轴上 B.y轴上C.xOy平面内 D.yOz平面内2.点P(a,b,c)到坐标平面xOz的距离是( )A.|a| B.|b|C.|c| D.以上都不对3.已知点A(2,3-μ,-1+v)关于x轴的对称点为A′(λ,7,-6),则λ,μ,v的值分别为( )A.λ=-2,μ=-4,v=-5B.λ=2,μ=-4,v=-5C.λ=2,μ=10,v=8D.λ=2,μ=10,v=74.点P(1,)为空间直角坐标系中的点,过点P作平面xOy的垂线,垂足为Q,则点Q的坐标为( )A.(0,0,) B.(0,)C.(1,0,) D.(1,,0)5.长方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示,且AB=3,AD=2,AA1=1,则DD1C1C所在平面上点的坐标形式是( )A.(0,-2,-1) B.(x,-2,z)C.(-3,-2,-1) D.(-3,y,z)二、填空题6.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则CC1中点N的坐标为________.7.写出点P(2,3,4)在三条坐标轴上的投影的坐标________,________,________.8.在空间直角坐标系中的点P(a,b,c),有下列叙述:①点P(a,b,c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a,-b,c);②点P(a,b,c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a,-b,-c);③点P(a,b,c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a,-b,c);④点P(a,b,c)关于坐标原点的对称点为P4(-a,-b,-c).其中正确命题的序号是________.三、解答题9.如图,在棱长为a的正方体OABC-D′A′B′C′中,对角线OB′与BD′相交于点Q,顶点O为坐标原点,OA,OC分别在x轴、y轴的正半轴上,试写出点Q的坐标.10.如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1的对称中心为坐标原点,交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面,顶点A(-2,-3,-1),求其他七个顶点的坐标.11.在空间直角坐标系中,点P(3,4,5)与Q(3,4,-5)两点间的位置关系是( )A.关于x轴对称B.关于xOy平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对12.设z为任一实数,则点(2,2,z)表示的图形是( )A.z轴B.与平面xOy平行的一直线C.平面xOyD.与平面xOy垂直的一直线13.在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3)在xOz平面上的射影的坐标是________,点M(-2,4,-3)关于原点对称的点的坐标是________.14.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,G在棱CD上,且CG=CD,H为C1G的中点,试建立适当的直角坐标系,写出点E,F,G,H的坐标.21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共53张PPT)第三章 空间向量与立体几何§1 空间直角坐标系1.1 点在空间直角坐标系中的坐标学习任务 核心素养1.了解空间直角坐标系的建立方法及有关概念.(重点)2.会在空间直角坐标系中用三元有序实数组刻画空间中点的位置.(重点、难点) 1.通过对空间直角坐标系的有关概念的学习,培养数学抽象素养.2.借助在空间直角坐标系中点的位置的刻画,培养直观想象与逻辑推理素养.飞机在空中飞行时,只给飞机在地面的经度和纬度,能确定飞机的位置吗?再给出高度,能确定飞机的位置吗?在空间中,如何确定点的位置?必备知识·情境导学探新知1.空间直角坐标系的建立(1)空间直角坐标系:过空间任意一点O,作三条两两垂直的直线,并以点O为原点,在三条直线上分别建立数轴:_______________,这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.x轴、y轴和z轴 (2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则:①伸出右手,让四指与大拇指垂直.②四指先指向__轴正方向.③让四指沿_____方向旋转90°指向y轴正方向.④_______的指向即为z轴正方向.x 握拳 大拇指 (3)有关名称如图所示,①点__叫作坐标原点.②__________统称为坐标轴.③通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面._______确定的平面记作xOy平面,_______确定的平面记作yOz平面,_______确定的平面记作xOz平面.O x,y,z轴 x,y轴 y,z轴 x,z轴2.空间直角坐标系中点的坐标(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置,可用唯一的一个_______________来表示.(2)三元有序实数组(x,y,z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标,记作P(x,y,z).x叫作点P的__坐标,y叫作点P的__坐标,z叫作点P的__坐标.(3)空间直角坐标系中:点与三元有序实数组_________.三元有序实数组 横纵 竖 一一对应思考 如何确定空间中点P的坐标?[提示] 过点P分别向坐标轴作垂面,与三条坐标轴分别交于点A,B,C,若点A,B,C的坐标分别为(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z),则点P的坐标为(x,y,z).×√√√2.点A(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是( )A.y轴上 B.xOy平面上C.xOz平面上 D.yOz平面上√C [注意到y=0,可知点A在xOz平面上.]关键能力·合作探究释疑难类型1 根据点的坐标确定点的位置【例1】 在空间直角坐标系中,作出点M(2,-6,4).[解] 法一:先确定点M′(2,-6,0)在xOy平面上的位置,因为点M的竖坐标为4,则|MM′|=4,且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧,这样就可确定点M的位置了(如图所示).法二:以O为一个顶点,构造三条棱长分别为2,6,4的长方体,使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上,则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略).反思领悟 1.先确定点(x0,y0,0)在xOy平面上的位置,再由竖坐标确定点(x0,y0,z0)在空间直角坐标系中的位置.2.以原点O为一个顶点,构造棱长分别为|x0|,|y0|,|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0,y0,z0的符号一致),则长方体中与O相对的顶点即为所求的点.[跟进训练]1.在空间直角坐标系中作出点M(2,3,4).[解] 如图,在xOy平面内确定点M1(2,3,0),作M1M平行于z轴,在M1M上沿z轴的正方向取|M1M|=4,则点M的坐标为(2,3,4).类型2 已知点的位置写出点的坐标【例2】 已知棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′,建立如图所示的不同空间直角坐标系.试分别写出正方体各顶点的坐标.(1) (2)[解] (1)因为D是坐标原点,A,C,D′分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上,正方体的棱长为1,所以D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),D′(0,0,1).因为B点在xDy平面上,所以B(1,1,0).同理,A′(1,0,1),C′(0,1,1).因为B′B垂直于xDy平面且与z轴正半轴在xDy平面同侧,且|B′B|=1,所以B′(1,1,1).(2)因为D′是坐标原点,A′,C′分别在x轴、y轴的正半轴上,D在z轴的负半轴上,且正方体的棱长为1,所以A′(1,0,0),C′(0,1,0),D(0,0,-1),D′(0,0,0).同(1)得B′(1,1,0),A(1,0,-1),C(0,1,-1),B(1,1,-1).反思领悟 1.已知点M的位置,求其坐标的方法作MM′垂直平面xOy,垂足为M′,求M′的x轴坐标,y轴坐标,即点M的x轴坐标,y轴坐标,再求点M在z轴上投影的z轴坐标,即点M的z轴坐标,于是得到点M的坐标(x,y,z).2.在空间直角坐标系中,三条坐标轴和三个坐标平面上的点的坐标形式如下表所示.其中x,y,z∈R.分类 坐标轴 坐标平面x轴 y轴 z轴 xOy平面 yOz平面 xOz平面坐标形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z) (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)[思路点拨] 类比平面直角坐标系中点的对称问题来求解,其中线段的对称中心是线段的中点. 角度2 关于坐标轴对称【例4】 求点M(a,b,c)关于坐标轴的对称点的坐标.[思路点拨] 从分析对称点的性质入手.[解] 关于x轴的对称点M0的坐标为(a,-b,-c),关于y轴的对称点M1的坐标为(-a,b,-c),关于z轴的对称点M2的坐标为(-a,-b,c).角度3 关于坐标平面对称【例5】 求点M(a,b,c)关于坐标平面的对称点的坐标.[思路点拨] 从分析对称点的性质入手.[解] 点M关于xOy平面的对称点M1的坐标为(a,b,-c),关于xOz平面的对称点M2的坐标为(a,-b,c),关于yOz平面的对称点M3的坐标为(-a,b,c).反思领悟 1.关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点:2.点的对称可简单记为“关于谁对称,谁不变,其他的变为相反数;关于原点对称,都变”.√3.点M(a,b,c)关于原点的对称点的坐标为_________________.(-a,-b,-c) [关于原点对称的点M的坐标为(-a,-b,-c).](-a,-b,-c) 学习效果·课堂评估夯基础√1.点Q(0,0,3)的位置是( )A.在x轴上 B.在y轴上C.在z轴上 D.在面xOy内C [只有竖坐标不为0,显然在z轴上.]√√4.点P1(-1,1,4)关于坐标平面yOz对称的点为P2,则点P2关于坐标平面xOy的对称点P3的坐标为______________.(1,1,-4) [P1(-1,1,4) P2(1,1,4) P3(1,1,-4).](1,1,-4) 5.在平行四边形ABCD中,已知点A(1,0,0),B(3,1,2),C(0,-2,1),求D点坐标.1.确定空间定点M的坐标的步骤(1)过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于P,Q和R.(2)确定P,Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标x,y和z.(3)得出点M的坐标为(x,y,z).2.已知M点坐标为(x,y,z)确定点M位置的步骤(1)在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x,y和z的点P,Q,R.(2)过P,Q,R分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面.(3)三个平面的唯一交点就是M.3.建立空间直角坐标系时,要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算,一般是(1)要根据图形对称性建立空间直角坐标系;(2)要使尽量多的点落在坐标轴上.章末综合测评(一) 动量守恒定律题号13524687910111213√14课时分层作业(十八) 点在空间直角坐标系中的坐标一、选择题1.点P(0,2,0)在( )A.x轴上 B.y轴上C.xOy平面内 D.yOz平面内B [由于x=z=0,y=2,∴P在y轴上.]题号21345687910111213142.点P(a,b,c)到坐标平面xOz的距离是( )A.|a| B.|b|C.|c| D.以上都不对√B [设点P在面xOz的投影为P′,则|PP′|=|b|.]题号21345687910111213143.已知点A(2,3-μ,-1+v)关于x轴的对称点为A′(λ,7,-6),则λ,μ,v的值分别为( )A.λ=-2,μ=-4,v=-5B.λ=2,μ=-4,v=-5C.λ=2,μ=10,v=8D.λ=2,μ=10,v=7√D [两个点关于x轴对称,那么这两个点的横坐标不变,纵坐标与竖坐标均互为相反数,故有λ=2,7=-(3-μ),-6=-(-1+v),∴λ=2,μ=10,v=7.]题号2134568791011121314√题号21345687910111213145.长方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示,且AB=3,AD=2,AA1=1,则DD1C1C所在平面上点的坐标形式是( )A.(0,-2,-1) B.(x,-2,z)C.(-3,-2,-1) D.(-3,y,z)√B [DD1C1C所在的平面平行于xOz面,且与xOz面的距离为2,上面任意一点的纵坐标都是-2,而横、竖坐标可取任意实数.]题号2134568791011121314二、填空题6.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则CC1中点N的坐标为__________.(0,2,1) [∵C(0,2,0),|CN|=1,∴N(0,2,1).](0,2,1) 题号21345687910111213147.写出点P(2,3,4)在三条坐标轴上的投影的坐标_________,__________,__________.(2,0,0) (0,3,0) (0,0,4) [P(2,3,4)在x轴上的投影为(2,0,0),在y轴上的投影为(0,3,0),在z轴上的投影为(0,0,4).](2,0,0) (0,3,0)(0,0,4)题号21345687910111213148.在空间直角坐标系中的点P(a,b,c),有下列叙述:①点P(a,b,c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a,-b,c);②点P(a,b,c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a,-b,-c);③点P(a,b,c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a,-b,c);④点P(a,b,c)关于坐标原点的对称点为P4(-a,-b,-c).其中正确命题的序号是________.④题号2134568791011121314三、解答题9.如图,在棱长为a的正方体OABC-D′A′B′C′中,对角线OB′与BD′相交于点Q,顶点O为坐标原点,OA,OC分别在x轴、y轴的正半轴上,试写出点Q的坐标.题号2134568791011121314题号213456879101112131410.如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1的对称中心为坐标原点,交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面,顶点A(-2,-3,-1),求其他七个顶点的坐标.题号2134568791011121314[解] 长方体的对称中心为坐标原点O,∵顶点A(-2,-3,-1).∴A关于原点的对称点C1的坐标为(2,3,1).又∵C与C1关于坐标平面xOy对称,∴C(2,3,-1).而A1与C关于原点对称,∴A1(-2,-3,1).又∵C与D关于坐标平面yOz对称,∴D(-2,3,-1).题号2134568791011121314∵B与C关于坐标平面xOz对称,∴B(2,-3,-1).又∵B1与B关于坐标平面xOy对称,∴B1(2,-3,1).同理,D1(-2,3,1).综上知长方体其他七个顶点的坐标为C1(2,3,1),C(2,3,-1),A1(-2,-3,1),B(2,-3,-1),B1(2,-3,1),D(-2,3,-1),D1(-2,3,1).√题号213456879101112131411.在空间直角坐标系中,点P(3,4,5)与Q(3,4,-5)两点间的位置关系是( )A.关于x轴对称B.关于xOy平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对B [点P(3,4,5) 与Q(3,4,-5) 两点的横、纵坐标相同,而竖坐标互为相反数,所以两点关于xOy平面对称.]题号213456879101112131412.设z为任一实数,则点(2,2,z)表示的图形是( )A.z轴B.与平面xOy平行的一直线C.平面xOyD.与平面xOy垂直的一直线√D [(2,2,z)表示过点(2,2,0)且与z轴平行的直线,即与平面xOy垂直的直线.]题号213456879101112131413.在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3)在xOz平面上的射影的坐标是_______________,点M(-2,4,-3)关于原点对称的点的坐标是________________.(-2,0,-3) (2,-4,3) [点M在xOz平面上的投影为(-2,0,-3),点M(-2,4,-3)关于原点对称的坐标为(2,-4,3).](-2,0,-3) (2,-4,3)题号2134568791011121314题号2134568791011121314[解] 以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系.题号2134568791011121314§1 空间直角坐标系1.1 点在空间直角坐标系中的坐标学习任务 核心素养1.了解空间直角坐标系的建立方法及有关概念.(重点) 2.会在空间直角坐标系中用三元有序实数组刻画空间中点的位置.(重点、难点) 1.通过对空间直角坐标系的有关概念的学习,培养数学抽象素养. 2.借助在空间直角坐标系中点的位置的刻画,培养直观想象与逻辑推理素养.飞机在空中飞行时,只给飞机在地面的经度和纬度,能确定飞机的位置吗?再给出高度,能确定飞机的位置吗?在空间中,如何确定点的位置?1.空间直角坐标系的建立(1)空间直角坐标系:过空间任意一点O,作三条两两垂直的直线,并以点O为原点,在三条直线上分别建立数轴:x轴、y轴和z轴,这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.(2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则:①伸出右手,让四指与大拇指垂直.②四指先指向x轴正方向.③让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向.④大拇指的指向即为z轴正方向.(3)有关名称如图所示,①点O叫作坐标原点.②x,y,z轴统称为坐标轴.③通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面.x,y轴确定的平面记作xOy平面,y,z轴确定的平面记作yOz平面,x,z轴确定的平面记作xOz平面.2.空间直角坐标系中点的坐标(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置,可用唯一的一个三元有序实数组来表示.(2)三元有序实数组(x,y,z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标,记作P(x,y,z).x叫作点P的横坐标,y叫作点P的纵坐标,z叫作点P的竖坐标.(3)空间直角坐标系中:点与三元有序实数组一一对应.如何确定空间中点P的坐标?[提示] 过点P分别向坐标轴作垂面,与三条坐标轴分别交于点A,B,C,若点A,B,C的坐标分别为(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z),则点P的坐标为(x,y,z).1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标一定是的形式. ( )(2)空间直角坐标系中,在xOz平面内的点的坐标一定是的形式. ( )(3)空间直角坐标系中,点(1,,2)关于yOz平面的对称点为(-1,,2). ( )(4)空间直角坐标系中,点(1,,2)关于坐标原点O的对称点为(-1,-,-2). ( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2.点A(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是( )A.y轴上 B.xOy平面上C.xOz平面上 D.yOz平面上C [注意到y=0,可知点A在 xOz平面上.]类型1 根据点的坐标确定点的位置【例1】 在空间直角坐标系中,作出点M(2,-6,4).[解] 法一:先确定点M′(2,-6,0)在xOy平面上的位置,因为点M的竖坐标为4,则|MM′|=4,且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧,这样就可确定点M的位置了(如图所示).法二:以O为一个顶点,构造三条棱长分别为2,6,4的长方体,使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上,则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略). 1.先确定点(x0,y0,0)在xOy平面上的位置,再由竖坐标确定点(x0,y0,z0)在空间直角坐标系中的位置.2.以原点O为一个顶点,构造棱长分别为|x0|,|y0|,|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0,y0,z0的符号一致),则长方体中与O相对的顶点即为所求的点.[跟进训练]1.在空间直角坐标系中作出点M(2,3,4).[解] 如图,在xOy平面内确定点M1(2,3,0),作M1M平行于z轴,在M1M上沿z轴的正方向取|M1M|=4,则点M的坐标为(2,3,4).类型2 已知点的位置写出点的坐标【例2】 已知棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′,建立如图所示的不同空间直角坐标系.试分别写出正方体各顶点的坐标.(1) (2)[解] (1)因为D是坐标原点,A,C,D′分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上,正方体的棱长为1,所以D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),D′(0,0,1).因为B点在xDy平面上,所以B(1,1,0).同理,A′(1,0,1),C′(0,1,1).因为B′B垂直于xDy平面且与z轴正半轴在xDy平面同侧,且|B′B|=1,所以B′(1,1,1).(2)因为D′是坐标原点,A′,C′分别在x轴、y轴的正半轴上,D在z轴的负半轴上,且正方体的棱长为1,所以A′(1,0,0),C′(0,1,0),D(0,0,-1),D′(0,0,0).同(1)得B′(1,1,0),A(1,0,-1),C(0,1,-1),B(1,1,-1).[母题探究]把本例中正方体的棱长变为,且建立如图所示的空间直角坐标系,求正方体各顶点的坐标.[解] 依题意知|OA|=|OB|=|OC|=|OD|=1,∴A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0).∵AA′⊥平面xOy,且|AA′|=,∴A′(1,0,),B′(0,1,),C′(-1,0,),D′(0,-1,). 1.已知点M的位置,求其坐标的方法作MM′垂直平面xOy,垂足为M′,求M′的x轴坐标,y轴坐标,即点M的x轴坐标,y轴坐标,再求点M在z轴上投影的z轴坐标,即点M的z轴坐标,于是得到点M的坐标(x,y,z).2.在空间直角坐标系中,三条坐标轴和三个坐标平面上的点的坐标形式如下表所示.其中x,y,z∈R.分类 坐标轴 坐标平面x轴 y轴 z轴 xOy平面 yOz平面 xOz平面坐标形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z) (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)类型3 空间中点的对称问题 关于点对称【例3】 点M关于点(a,b,c)的对称点的坐标为________.[思路点拨] 类比平面直角坐标系中点的对称问题来求解,其中线段的对称中心是线段的中点. [由中点坐标公式得,点M关于点(a,b,c)的对称点的坐标为M′.] 关于坐标轴对称【例4】 求点M(a,b,c)关于坐标轴的对称点的坐标.[思路点拨] 从分析对称点的性质入手.[解] 关于x轴的对称点M0的坐标为(a,-b,-c),关于y轴的对称点M1的坐标为(-a,b,-c),关于z轴的对称点M2的坐标为(-a,-b,c). 关于坐标平面对称【例5】 求点M(a,b,c)关于坐标平面的对称点的坐标.[思路点拨] 从分析对称点的性质入手.[解] 点M关于xOy平面的对称点M1的坐标为(a,b,-c),关于xOz平面的对称点M2的坐标为(a,-b,c),关于yOz平面的对称点M3的坐标为(-a,b,c). 1.关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点:2.点的对称可简单记为“关于谁对称,谁不变,其他的变为相反数;关于原点对称,都变”.[跟进训练]2.在空间直角坐标系中,点P与Q(1,-1,-1)两点间的位置关系是( )A.关于x轴对称 B.关于xOz平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对A [点P与Q两点的横坐标相同,而纵、竖坐标互为相反数,所以两点关于x轴对称.]3.点M(a,b,c)关于原点的对称点的坐标为________.(-a,-b,-c) [关于原点对称的点M的坐标为(-a,-b,-c).]4.在空间直角坐标系中,点P1关于xOy平面的对称点为点P2,点P2关于yOz平面的对称点为点P3,点P3关于zOx平面的对称点为点P4,则点P4的坐标为________.[答案] 1.点Q(0,0,3)的位置是( )A.在x轴上 B.在y轴上C.在z轴上 D.在面xOy内C [只有竖坐标不为0,显然在z轴上.]2.点A(-3,1,5),点B(4,3,1)的中点坐标是( )A. B.C.(-12,3,5) D.B [中点x==,y==2,z==3.]3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点P在直线DB1上,则x,y,z所满足的条件是( )A. B.C. D.x=y=z[答案] D4.点P1(-1,1,4)关于坐标平面yOz对称的点为P2,则点P2关于坐标平面xOy的对称点P3的坐标为________.(1,1,-4) [P1(-1,1,4) P2(1,1,4) P3(1,1,-4).]5.在平行四边形ABCD中,已知点A(1,0,0),B(3,1,2),C(0,-2,1),求D点坐标.[解] 可设D(x,y,z),由A,C的中点与B,D的中点重合得,===,所以x=-2,y=-3,z=-1,故D点坐标为(-2,-3,-1).1.确定空间定点M的坐标的步骤(1)过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于P,Q和R.(2)确定P,Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标x,y和z.(3)得出点M的坐标为(x,y,z).2.已知M点坐标为(x,y,z)确定点M位置的步骤(1)在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x,y和z的点P,Q,R.(2)过P,Q,R分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面.(3)三个平面的唯一交点就是M.3.建立空间直角坐标系时,要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算,一般是(1)要根据图形对称性建立空间直角坐标系;(2)要使尽量多的点落在坐标轴上.课时分层作业(十八) 点在空间直角坐标系中的坐标一、选择题1.点P(0,2,0)在( )A.x轴上 B.y轴上C.xOy平面内 D.yOz平面内B [由于x=z=0,y=2,∴P在y轴上.]2.点P(a,b,c)到坐标平面xOz的距离是( )A.|a| B.|b|C.|c| D.以上都不对B [设点P在面xOz的投影为P′,则|PP′|=|b|.]3.已知点A(2,3-μ,-1+v)关于x轴的对称点为A′(λ,7,-6),则λ,μ,v的值分别为( )A.λ=-2,μ=-4,v=-5B.λ=2,μ=-4,v=-5C.λ=2,μ=10,v=8D.λ=2,μ=10,v=7D [两个点关于x轴对称,那么这两个点的横坐标不变,纵坐标与竖坐标均互为相反数,故有λ=2,7=-(3-μ),-6=-(-1+v),∴λ=2,μ=10,v=7.]4.点P(1,)为空间直角坐标系中的点,过点P作平面xOy的垂线,垂足为Q,则点Q的坐标为( )A.(0,0,) B.(0,)C.(1,0,) D.(1,,0)D [由空间点的坐标的定义,知点Q 的坐标为(1,,0).]5.长方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示,且AB=3,AD=2,AA1=1,则DD1C1C所在平面上点的坐标形式是( )A.(0,-2,-1) B.(x,-2,z)C.(-3,-2,-1) D.(-3,y,z)B [DD1C1C所在的平面平行于xOz面,且与xOz面的距离为2,上面任意一点的纵坐标都是-2,而横、竖坐标可取任意实数.]二、填空题6.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则CC1中点N的坐标为________.(0,2,1) [∵C(0,2,0),|CN|=1,∴N(0,2,1).]7.写出点P(2,3,4)在三条坐标轴上的投影的坐标________,________,________.(2,0,0) (0,3,0) (0,0,4) [P(2,3,4)在x轴上的投影为(2,0,0),在y轴上的投影为(0,3,0),在z轴上的投影为(0,0,4).]8.在空间直角坐标系中的点P(a,b,c),有下列叙述:①点P(a,b,c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a,-b,c);②点P(a,b,c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a,-b,-c);③点P(a,b,c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a,-b,c);④点P(a,b,c)关于坐标原点的对称点为P4(-a,-b,-c).其中正确命题的序号是________.[答案] ④三、解答题9.如图,在棱长为a的正方体OABC-D′A′B′C′中,对角线OB′与BD′相交于点Q,顶点O为坐标原点,OA,OC分别在x轴、y轴的正半轴上,试写出点Q的坐标.[解] 因为OB′与BD′相交于点Q,所以点Q在xOy平面内的投影应为OB与AC的交点,所以Q的坐标为.同理可知点Q在xOz平面内的投影也应为AD′与OA′的交点,所以点Q的坐标为.10.如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1的对称中心为坐标原点,交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面,顶点A(-2,-3,-1),求其他七个顶点的坐标.[解] 长方体的对称中心为坐标原点O,∵顶点A(-2,-3,-1).∴A关于原点的对称点C1的坐标为(2,3,1).又∵C与C1关于坐标平面xOy对称,∴C(2,3,-1).而A1与C关于原点对称,∴A1(-2,-3,1).又∵C与D关于坐标平面yOz对称,∴D(-2,3,-1).∵B与C关于坐标平面xOz对称,∴B(2,-3,-1).又∵B1与B关于坐标平面xOy对称,∴B1(2,-3,1).同理,D1(-2,3,1).综上知长方体其他七个顶点的坐标为C1(2,3,1),C(2,3,-1),A1(-2,-3,1),B(2,-3,-1),B1(2,-3,1),D(-2,3,-1),D1(-2,3,1).11.在空间直角坐标系中,点P(3,4,5)与Q(3,4,-5)两点间的位置关系是( )A.关于x轴对称B.关于xOy平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对B [点P(3,4,5) 与Q(3,4,-5) 两点的横、纵坐标相同,而竖坐标互为相反数,所以两点关于xOy平面对称.]12.设z为任一实数,则点(2,2,z)表示的图形是( )A.z轴B.与平面xOy平行的一直线C.平面xOyD.与平面xOy垂直的一直线D [(2,2,z)表示过点(2,2,0)且与z轴平行的直线,即与平面xOy垂直的直线.]13.在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3)在xOz平面上的射影的坐标是________,点M(-2,4,-3)关于原点对称的点的坐标是________.(-2,0,-3) (2,-4,3) [点M在xOz平面上的投影为(-2,0,-3),点M(-2,4,-3)关于原点对称的坐标为(2,-4,3).]14.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,G在棱CD上,且CG=CD,H为C1G的中点,试建立适当的直角坐标系,写出点E,F,G,H的坐标.[解] 以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系.∵点E在z轴上,且为D1D的中点,∴点E坐标为.过F作FM⊥AD,FN⊥DC,则|FM|=|FN|=,故点F坐标为.∵点G在y轴上,又|GD|=,∴点G坐标为.过H作HK⊥CG于点K,由于H为C1G的中点,故|HK|=,|CK|=,∴|DK|=,故点H的坐标为.21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 北师大版高中数学选择性必修第一册第三章空间向量与立体几何1.1点在空间直角坐标系中的坐标学案(学生用).docx 北师大版高中数学选择性必修第一册第三章空间向量与立体几何1.1点在空间直角坐标系中的坐标学案(教师用).docx 北师大版高中数学选择性必修第一册第三章空间向量与立体几何1.1点在空间直角坐标系中的坐标课件.ppt 北师大版高中数学选择性必修第一册课时分层作业18点在空间直角坐标系中的坐标(学生用).docx 课时分层作业18答案.docx