资源简介 课时分层作业(二十二)1．B [由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，所以2k－12＝0，解得k＝6．]2．C [由·b＝0，得2a·b＋b2＝0，设a与b的夹角为θ，∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0．∴cos θ＝－，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°．]3．A [因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，·＝0，排除D．又因为AD⊥AB，所以AD⊥PB，所以·＝0，同理·＝0，排除B，C．故选A．]4．C [因为，所以···＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC＝12．]5．B [因为＝()＋()＝，所以()·()＝||2－||2＝0，所以||，即△ABC是等腰三角形．]6．0 [原式＝···()＝·()＋·()＝··＝0．]7．3 [由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b＝1，得32－2×1＋|b|2＝25，所以|b|＝3．]8．90° [不妨设棱长为2，则，cos<＝＝0，所以<>＝90°．]9．解：(1)．因为·＝0，·＝0，·＝0，所以··．又|，所以cos<．(2)证明：因为)，所以·＝0，所以．10．解：(1)·>＝5×3×cos 60°＝7.5．(2)||2＝()2＝||2＋||2＋||2＋2(···)＝52＋32＋72＋2(5×3×cos 60°＋5×7×cos 45°＋3×7×cos 45°)＝98＋56，所以AC'≈13.3．11．C [根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得··＝0，所以·＝()··|2＋·|2＝1，所以cos<，所以AB与CD所成的角为60°．]12．A [因为)－，所以||2＝)2＝···)．又由已知得||＝2，·＝2，所以||2＝(4＋4＋4＋4)＝4．所以||＝2，即EF＝2．]13．ABC [只有D是假命题．]14．60° 1 [法一：连接A1D，则∠PA1D就是所成角．连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即所成角的大小为60°．因此·×cos 60°＝1．法二：根据向量的线性运算可得·＝()·＝1．由题意可得PA1＝B1C＝，则>＝1，从而<>＝60°．]15．解：(1)证明：．因为BB1⊥平面ABC，所以·＝0，·＝0．又△ABC为正三角形，所以<．因为·＝()·()＝···＝||·||·cos<＝－1＋1＝0，所以AB1⊥BC1．(2)结合第一问知·|·||·cos<－1．又||．所以cos<，所以||＝2，即侧棱长为2．21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共57张PPT)第三章 空间向量与立体几何§2 空间向量与向量运算2.2 空间向量的运算(三)学习任务 核心素养1．了解空间向量夹角的概念并会求两空间向量夹角．(重点)2．掌握空间向量数量积的计算方法及运算律．(重点、难点)3．理解投影向量与投影数量的概念以及它们之间的关系．(难点) 1．通过对空间向量夹角与数量积等概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助对空间向量数量积的计算，提升数学运算与直观想象素养．平面向量的数量积是如何定义的？空间向量的数量积可以像平面向量的数量积那样定义吗？为什么？必备知识·情境导学探新知1．空间向量的夹角定义记法 ________范围 ______________向量垂直〈a，b〉 0≤≤π 零向量思考 1．〈a，b〉＝〈b，a〉吗？〈a，b〉与〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉有什么关系？[提示] 〈a，b〉＝〈b，a〉，〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉，〈－a，－b〉＝〈a，b〉．2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个空间向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b．(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝_________(λ∈R)交换律 a·b＝______分配律 a·(b＋c)＝___________λ(a·b) b·a a·b＋a·c(3)数量积的性质两个向量数量积的性质 若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|．|a·b|≤|a|·|b|(2)如图，____________称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为______．|a|cos〈a，b〉 (3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影数量|b|cos〈a，b〉的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上投影数量|a|cos〈a，b〉的乘积．思考 2．空间向量的数量积运算满足结合律吗？[提示] 数量积运算不满足结合律．√×√×2．已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b＝( )A．－2 B．－1 C．±1 D．2√√2 [由a与2b－a互相垂直得，a·(2b－a)＝0，所以2a·b－a2＝0，即2|a|·|b|·cos 45°－a2＝0，所以2|a|－|a|2＝0，解得|a|＝2或|a|＝0(舍去)．]2 关键能力·合作探究释疑难反思领悟 求空间向量的数量积可仿照平面向量的数量积的求法进行，注意观察空间向量的方向，正确求出其夹角是求解的关键．√学习效果·课堂评估夯基础√√√5．(教材P133例11改编)如图，在平面角为120°的二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC α，BD β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，求线段CD的长． 1．本节课的重点(1)空间向量的数量积的求法；(2)利用空间向量的数量积的性质求两向量的夹角、求向量的模及判断两向量垂直．2．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止．章末综合测评(一) 动量守恒定律题号13524687910111213√1415课时分层作业(二十二) 空间向量的运算(三)一、选择题1．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )A．－6 B．6 C．3 D．－3题号135246879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415√题号213456879101112131415√题号213456879101112131415√题号2134568791011121314150题号213456879101112131415题号2134568791011121314158．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．90° 题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415√题号21345687910111213141511．已知在空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是( )A．30° B．45°C．60° D．90°题号213456879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号213456879101112131415√√√ABC [只有D是假命题．]题号21345687910111213141560° 1 题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415课时分层作业(二十二) 空间向量的运算(三)说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分一、选择题1．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )A．－6 B．6 C．3 D．－32．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，·b＝0，则a与b的夹角为( )A．30° B．60° C．120° D．150°3．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是 ( )A．与 B．与C．与 D．与4．如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( )A．6 B．6C．12 D．1445．设空间中有四个互异的点A，B，C，D，已知(－2)·()＝0，则△ABC是( )A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形二、填空题6．在空间四边形ABCD中，＝________．7．若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________．8．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．三、解答题9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1．(1)求〈〉的余弦值；(2)求证：⊥．10．(源自人教A版教材)如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝5，AD＝3，AA′＝7，∠BAD＝60°，∠BAA′＝∠DAA′＝45°．求：(1)；(2)AC′的长(精确到0.1)．11．已知在空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是( )A．30° B．45°C．60° D．90°12．在三棱锥O-ABC中，OA⊥OB，OA⊥OC，∠BOC＝60°，OA＝OB＝OC＝2，若E为OA的中点，F为BC的中点，则EF＝( )A．2 B．4C． D．313．(多选题)已知a，b是两个非零向量，下列结论中，正确的是( )A．a·b＞0 〈a，b〉∈B．a·b＝0 〈a，b〉＝C．a·b＜0 〈a，b〉∈D．|a·b|＝|a||b| 〈a，b〉＝014．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为________，＝________．15．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为．(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2 空间向量的运算(三)学习任务 核心素养1．了解空间向量夹角的概念并会求两空间向量夹角．(重点) 2．掌握空间向量数量积的计算方法及运算律．(重点、难点) 3．理解投影向量与投影数量的概念以及它们之间的关系．(难点) 1．通过对空间向量夹角与数量积等概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助对空间向量数量积的计算，提升数学运算与直观想象素养．平面向量的数量积是如何定义的？空间向量的数量积可以像平面向量的数量积那样定义吗？为什么？1．空间向量的夹角定义 已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角记法 ________范围 ______________向量垂直 当〈a，b〉＝时，a⊥b 规定：______与任意向量垂直1．〈a，b〉＝〈b，a〉吗？〈a，b〉与〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉有什么关系？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个空间向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b．(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝_________(λ∈R)交换律 a·b＝____分配律 a·(b＋c)＝__________(3)数量积的性质两个 向量 数量 积的 性质 若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|．特别地：a·a＝|a|2或|a|＝cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)|a·b|≤|a|·|b|3．投影向量与投影数量(1)如图，已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，过A向直线OB作垂线，垂足为点A′，称向量为向量a在向量b方向上的投影向量，其长度等于||a|cos〈a，b〉|．(2)如图，________________称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为________．(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影数量|b|cos〈a，b〉的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上投影数量|a|cos〈a，b〉的乘积．2．空间向量的数量积运算满足结合律吗？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)向量与的夹角和向量与的夹角互补． ( )(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0． ( )(3)a·b＝|a||b|是a与b共线的充分条件． ( )(4)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c． ( )2．已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b＝( )A．－2 B．－1 C．±1 D．23．在如图所示的正方体中，下列夹角为45°的一组向量是 ( )A．与 B．与C．与 D．与4．已知非零向量a，b满足：|b|＝，〈a，b〉＝45°，且a与2b－a互相垂直，则向量a的模为________．类型1 空间向量的数量积运算【例1】 已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求(1)；(2)．[尝试解答] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[母题探究]若本例的条件不变，计算．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 求空间向量的数量积可仿照平面向量的数量积的求法进行，注意观察空间向量的方向，正确求出其夹角是求解的关键．类型2 利用数量积求夹角【例2】 已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，(1)求向量与所成角的余弦值；(2)求直线OE与BF所成角的余弦值．[尝试解答] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 求两个向量的夹角的两种方法(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围．(2)先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉．[跟进训练]1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求向量与的夹角的大小，并求异面直线BC1与AC所成的角．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型3 利用数量积求两点间的距离【例3】 如图，在三棱锥A-BCD中，底面边长与侧棱长均为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝ND，求MN的长．[尝试解答] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 求两点间的距离或线段长度的方法(1)将此线段用向量表示．(2)利用|a|＝，计算出|a|，即得所求距离．[跟进训练]2．已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为( )A．6 B． C．3 D．1．已知|p|＝|q|＝1，且〈p，q〉＝90°，a＝3p－2q，b＝p＋q，则a·b＝( )A．1 B．2 C．3 D．42．已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈〉的值为( )A． B．C．－ D．03．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为( )A．a2 B．a2C．a2 D．a24．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝______．5．(教材P133例11改编)如图，在平面角为120°的二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC α，BD β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，求线段CD的长．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．本节课的重点(1)空间向量的数量积的求法；(2)利用空间向量的数量积的性质求两向量的夹角、求向量的模及判断两向量垂直．2．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止．21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2 空间向量的运算(三)学习任务 核心素养1．了解空间向量夹角的概念并会求两空间向量夹角．(重点) 2．掌握空间向量数量积的计算方法及运算律．(重点、难点) 3．理解投影向量与投影数量的概念以及它们之间的关系．(难点) 1．通过对空间向量夹角与数量积等概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助对空间向量数量积的计算，提升数学运算与直观想象素养．平面向量的数量积是如何定义的？空间向量的数量积可以像平面向量的数量积那样定义吗？为什么？1．空间向量的夹角定义 已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角记法 〈a，b〉范围 0≤〈a，b〉≤π向量垂直 当〈a，b〉＝时，a⊥b 规定：零向量与任意向量垂直1．〈a，b〉＝〈b，a〉吗？〈a，b〉与〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉有什么关系？[提示] 〈a，b〉＝〈b，a〉，〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉，〈－a，－b〉＝〈a，b〉．2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个空间向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b．(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)交换律 a·b＝b·a分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c(3)数量积的性质两个 向量 数量 积的 性质 若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|．特别地：a·a＝|a|2或|a|＝cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)|a·b|≤|a|·|b|3．投影向量与投影数量(1)如图，已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，过A向直线OB作垂线，垂足为点A′，称向量为向量a在向量b方向上的投影向量，其长度等于||a|cos〈a，b〉|．(2)如图，|a|cos〈a，b〉称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为．(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影数量|b|cos〈a，b〉的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上投影数量|a|cos〈a，b〉的乘积．2．空间向量的数量积运算满足结合律吗？[提示] 数量积运算不满足结合律．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)向量与的夹角和向量与的夹角互补． ( )(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0． ( )(3)a·b＝|a||b|是a与b共线的充分条件． ( )(4)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b＝( )A．－2 B．－1 C．±1 D．2[答案] A3．在如图所示的正方体中，下列夹角为45°的一组向量是 ( )A．与 B．与C．与 D．与[答案] A4．已知非零向量a，b满足：|b|＝，〈a，b〉＝45°，且a与2b－a互相垂直，则向量a的模为________．2 [由a与2b－a互相垂直得，a·(2b－a)＝0，所以2a·b－a2＝0，即2|a|·|b|·cos 45°－a2＝0，所以2|a|－|a|2＝0，解得|a|＝2或|a|＝0(舍去)．]类型1 空间向量的数量积运算【例1】 已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求(1)；(2)．[解] 如图所示，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0．(1)＝·()＝b·＝|b|2＝42＝16．(2)＝()·()＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0．[母题探究]若本例的条件不变，计算．[解] ＝()·()＝＝＝(－a＋b＋c)·＝－|a|2＋|b|2＝2． 求空间向量的数量积可仿照平面向量的数量积的求法进行，注意观察空间向量的方向，正确求出其夹角是求解的关键．类型2 利用数量积求夹角【例2】 已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，(1)求向量与所成角的余弦值；(2)求直线OE与BF所成角的余弦值．[解] (1)设＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，则a·b＝b·c＝c·a＝．因为＝)＝(a＋b)，＝＝＝c－b，||＝||＝，所以＝(a＋b)·(c－b)＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－，设与所成的角为θ，则cos θ＝＝＝－．所以向量与向量所成角的余弦值是－．(2)直线OE与BF所成角的余弦值为＝． 求两个向量的夹角的两种方法(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围．(2)先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉．[跟进训练]1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求向量与的夹角的大小，并求异面直线BC1与AC所成的角．[解] 法一：如图，连接AD1，CD1，因为＝，所以∠CAD1的大小就等于〈〉．因为△ACD1为等边三角形，所以∠CAD1＝60°．所以向量与的夹角的大小为60°，异面直线BC1与AC所成的角的大小也为60°．法二：设正方体的棱长为1，则||＝，||＝．＝()·()＝()·()＝＋||2＋＝0＋||2＋0＋0＝||2＝1．cos〈〉＝＝＝，所以〈〉＝60°．即向量与的夹角的大小为60°，异面直线BC1与AC所成的角的大小也为60°．类型3 利用数量积求两点间的距离【例3】 如图，在三棱锥A-BCD中，底面边长与侧棱长均为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝ND，求MN的长．[解] 因为＝＝＋()＋)＝－，所以＝＝－＋＝＝a2，所以||＝a，即MN的长为a． 求两点间的距离或线段长度的方法(1)将此线段用向量表示．(2)利用|a|＝，计算出|a|，即得所求距离．[跟进训练]2．已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为( )A．6 B． C．3 D．B [设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，因此a·b＝b·c＝c·a＝．由＝a＋b＋c得||2＝＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6．所以||＝，故选B．]1．已知|p|＝|q|＝1，且〈p，q〉＝90°，a＝3p－2q，b＝p＋q，则a·b＝( )A．1 B．2 C．3 D．4[答案] A2．已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈〉的值为( )A． B．C．－ D．0D [＝·()＝＝||||cos ∠AOC－||||cos ∠AOB＝||||－||||＝0，所以⊥．所以cos〈〉＝0．]3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为( )A．a2 B．a2C．a2 D．a2C [＝)·＝)＝＝a2．]4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝______．[答案] 5．(教材P133例11改编)如图，在平面角为120°的二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC α，BD β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，求线段CD的长．[解] 因为AC⊥AB，BD⊥AB，所以＝0，＝0，又因为二面角α-l-β的平面角为120°，所以〈〉＝60°，所以CD2＝||2＝()2＝＋＋＋2()＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，所以CD＝12．1．本节课的重点(1)空间向量的数量积的求法；(2)利用空间向量的数量积的性质求两向量的夹角、求向量的模及判断两向量垂直．2．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止．课时分层作业(二十二) 空间向量的运算(三)一、选择题1．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )A．－6 B．6 C．3 D．－3B [由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，所以2k－12＝0，解得k＝6．]2．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，·b＝0，则a与b的夹角为( )A．30° B．60° C．120° D．150°C [由·b＝0，得2a·b＋b2＝0，设a与b的夹角为θ，∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0．∴cos θ＝－＝－＝－，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°．]3．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是 ( )A．与 B．与C．与 D．与A [因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，＝0，排除D．又因为AD⊥AB，所以AD⊥PB，所以＝0，同理＝0，排除B，C．故选A．]4．如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( )A．6 B．6C．12 D．144C [因为＝，所以＝＋＋＋2＋2＋2＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC＝12．]5．设空间中有四个互异的点A，B，C，D，已知(－2)·()＝0，则△ABC是( )A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形B [因为－2＝()＋()＝，所以()·()＝－||2＝0，所以||＝||，即△ABC是等腰三角形．]二、填空题6．在空间四边形ABCD中，＝________．0 [原式＝·()＝·()＋·()＝＝0．]7．若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________．3 [由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b＝1，得＝25，所以|b|＝3．]8．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．90° [不妨设棱长为2，则＝＝，cos〈〉＝＝＝0，所以〈〉＝90°．]三、解答题9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1．(1)求〈〉的余弦值；(2)求证：⊥．[解] (1)＝＝＝＝＝．因为＝0，＝0，＝0，所以＝＝．又||＝||＝，所以cos〈〉＝．(2)证明：因为＝＝＝＝－)，所以＝0，所以⊥．10．(源自人教A版教材)如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝5，AD＝3，AA′＝7，∠BAD＝60°，∠BAA′＝∠DAA′＝45°．求：(1)；(2)AC′的长(精确到0.1)．[解] (1)＝||||cos〈〉＝5×3×cos 60°＝7.5．(2)||2＝＝＋2()＝52＋32＋72＋2(5×3×cos 60°＋5×7×cos 45°＋3×7×cos 45°)＝98＋56，所以AC′≈13.3．11．已知在空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是( )A．30° B．45°C．60° D．90°C [根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得＝＝0，所以＝()·＝＋||2＋＝||2＝1，所以cos〈〉＝＝，所以AB与CD所成的角为60°．]12．在三棱锥O-ABC中，OA⊥OB，OA⊥OC，∠BOC＝60°，OA＝OB＝OC＝2，若E为OA的中点，F为BC的中点，则EF＝( )A．2 B．4C． D．3A [因为＝＝)－，所以||2＝)2＝＋＋＋2－2－2)．又由已知得||＝||＝||＝2，⊥⊥＝2×2×＝2，所以||2＝(4＋4＋4＋4)＝4．所以||＝2，即EF＝2．]13．(多选题)已知a，b是两个非零向量，下列结论中，正确的是( )A．a·b＞0 〈a，b〉∈B．a·b＝0 〈a，b〉＝C．a·b＜0 〈a，b〉∈D．|a·b|＝|a||b| 〈a，b〉＝0ABC [只有D是假命题．]14．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为________，＝________．60° 1 [法一：连接A1D，则∠PA1D就是与所成角．连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即与所成角的大小为60°．因此＝×cos 60°＝1．法二：根据向量的线性运算可得＝()·＝＝1．由题意可得PA1＝B1C＝，则×cos〈〉＝1，从而〈〉＝60°．]15．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为．(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．[解] (1)证明：＝＝．因为BB1⊥平面ABC，所以＝0，＝0．又△ABC为正三角形，所以〈〉＝π－〈〉＝π－＝．因为＝()·()＝＋＝||·||·cos〈〉＋＝－1＋1＝0，所以AB1⊥BC1．(2)结合第一问知＝||·||·cos〈〉＋＝－1．又||＝＝＝||．所以cos〈〉＝＝，所以||＝2，即侧棱长为2．21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 北师大版高中数学选择性必修第一册第三章空间向量与立体几何2.2空间向量的运算(三)学案（学生用）.docx 北师大版高中数学选择性必修第一册第三章空间向量与立体几何2.2空间向量的运算(三)学案（教师用）.docx 北师大版高中数学选择性必修第一册第三章空间向量与立体几何2.2空间向量的运算(三)课件.ppt 北师大版高中数学选择性必修第一册课时分层作业22空间向量的运算(三)（学生用）.docx 课时分层作业22答案.docx
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