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课时分层作业(二十五)　直线的方向向量与平面的法向量
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共102分
一、选择题
1．下列说法不正确的是(　　)
A．若直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量
B．若n是平面α的一个法向量，则n与平面α内任意一条直线的方向向量均垂直
C．0是任意一个平面的一个法向量
D．一个平面的法向量是不唯一的
2．若＝(1，2，3)，＝(－1，3，4)，则以下向量中，能成为平面OAB的法向量的是(　　)
A．(1，7，5)　　　　　 B．(1，－7，5)
C．(－1，－7，5)　　　 D．(1，－7，－5)
3．已知平面α内有一个点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量是n＝(2，－1，2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)
A．P(2，3，3)　　　　　 　 B．P(－2，0，1)
C．P(－4，4，0)　　　　 　 D．P(3，－3，4)
4．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是(　　)
A．(－1，1，1)　　　　 　 B．(1，－1，1)
C．(1，1，1) 　 D．(1，1，－1)
5．已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于(　　)
A．0　　　　 B．1　　
C．　　　　 D．3
二、填空题
6．若n是坐标平面xOy的一个法向量，则n的坐标可以表示为________．
7．如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，O为底面中心，则平面SBD的法向量与的夹角等于________．
8．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数z＝________，x＋y＝________．
三、解答题
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形且PD＝AD，E，F分别是PC，PB的中点．
(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量；
(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量．
10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
11．(多选题)已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则下列说法不正确的是(　　)
A．与是共线向量
B．与同向的单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面ABC的一个法向量是(1，－2，5)
12．(多选题)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是(　　)
A．　　　 B．　
C．　　　 D．
13．在空间直角坐标系O-xyz中，已知点P(2cos x＋1，2cos 2x＋2，0)和点Q(cos x，－1，3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．
14．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．
(1)求证：PA⊥底面ABCD；
(2)求四棱锥P-ABCD的体积；
(3)对于向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，c＝(x3，y3，z3)，定义一种运算：(a×b)·c＝x1y2z3＋x2y3z1＋x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1，试计算()·的绝对值的值；说明其与四棱锥P-ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算()·的绝对值的几何意义．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(二十五)
1．C　[对于A，根据直线的方向向量的定义及平面的法向量的定义可知，若直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量，是正确的：
对于B，由平面的法向量的定义可知，若n是平面α的一个法向量，则n与平面α内任意一条直线的方向向量均垂直，是正确的：
对于C，由平面的法向量的定义可知，0是任意一个平面的一个法向量，是错误的：
对于D，由平面的法向量的定义可知，一个平面的法向量是不唯一的，是正确的．
故选C．]
2．C　[经检验，只有向量(－1，－7，5)分别与垂直，故选C．]
3．A　[由题意知，点P在平面α内 ⊥n ·n＝0，经检验选项A符合题意．]
4．C　[设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，
则 ∴x＝y＝z．]
5．A　[∵A(0，y，3)和B(－1，2，z)，＝(－1，2－y，z－3)，
∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，
故设＝km．
∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k．
解得k＝－，y＝z＝．∴y－z＝0．]
6．，其中z≠0
7．45°　[∵正四棱锥底面为正方形，∴BD⊥AC，SO⊥AC，又∵BD∩SO＝O，∴AC⊥平面SBD．
∴为平面SBD的一个法向量．
∴<>＝45°．]
8．4　　[∵，
∴·＝0，
即3＋5－2z＝0，得z＝4，
又BP⊥平面ABC，
∴，
则
∴x＋y＝．]
9．解：(1)取AD的中点M，连接MF，
∵E，F分别是PC，PB的中点，
∴EF∥BC且EF＝BC，
又BC∥AD且BC＝AD，
∴EF∥AD且EF＝AD，
则由EF∥DM且EF＝DM知四边形DEFM是平行四边形，
∴MF∥DE，∴就是直线DE的一个方向向量．
(2)∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥BC，又BC⊥CD，PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，
∵DE 平面PCD，
∴DE⊥BC，又PD＝CD，E为PC中点，
∴DE⊥PC，从而DE⊥平面PBC，
∴是平面PBC的一个法向量，由(1)可知，
∴就是平面PBC的一个法向量．
10．解：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，，0)，E，B(1，0，0)，C(1，，0)，
于是＝(1，，0)．
设n＝(x，y，z)为平面ACE的一个法向量，
则
所以
令y＝－1，则x＝z＝．
所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)．
11．AC　[依题意得＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)，不存在实数λ，使得成立，即不共线，A不正确：
与×(2，1，0)＝，B正确：
＝(－3，1，1)，则，C不正确：
设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，
则
令x＝1，则y＝－2，z＝5，即n＝(1，－2，5)是平面ABC的一个法向量，D正确． 故选AC．]
12．BC　[∵AA1⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，
∴可以作为平面ABC的法向量．]
13．　[由OP⊥OQ，得·＝0．
即(2cos x＋1)·cos x＋(2cos 2x＋2)·(－1)＝0．
∴cos x＝0或cos x＝．
∵x∈[0，π]，∴x＝．]
14．解：(1)证明：∵·＝－2－2＋4＝0，
∴AP⊥AB．
又∵·＝－4＋4＋0＝0，
∴AP⊥AD．
∵AB，AD是底面ABCD上的两条相交直线，
∴AP⊥底面ABCD．
(2)设的夹角为θ，则cos θ＝，
V＝|·||·sin θ·|＝16．
(3)|()·|＝|－4－32－4－8|＝48，它是四棱锥P ABCD体积的3倍．
猜测：|()·|在几何上可表示以AB，AD，AP为棱的平行六面体的体积．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)§4　向量在立体几何中的应用
4.1　直线的方向向量与平面的法向量
学习任务 核心素养
1．理解直线的方向向量和平面的法向量及其意义．(重点) 2．会求直线的方向向量和平面的法向量．(重点、难点) 1．通过对直线的方向向量和平面的法向量的学习，提升数学抽象素养． 2．通过求直线的方向向量和平面的法向量，培养直观想象与数学运算素养．
1．给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线吗？可以确定唯一一条过点A且垂直于向量a的直线吗？
2．给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定唯一一个过点A且垂直于向量a的平面吗？可以确定唯一一个过点A且平行于向量a的平面吗？
1．直线的方向向量
设l是空间一直线，A，B是直线l上不重合的任意两点，则称为直线l的方向向量．
如图所示，已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量，那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得＝ta．把这个式子称为直线l的向量表示．
2．平面的法向量
(1)如果一条直线l与一个平面α垂直，那么把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量．
如图所示，设点M是平面α内给定的一点，向量n是平面α的一个法向量，那么对于平面α内任意一点P，必有·n＝0．把此式称为平面α的一个向量表示式．
直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，直线的方向向量之间的关系是怎样的？平面的法向量之间的关系是怎样的？
[提示]　直线的方向向量和平面的法向量不是唯一的，直线的不同方向向量是共线向量，平面的不同法向量是共线向量．
(2)在空间直角坐标系中，若n＝(A，B，C)，点M的坐标为(x0，y0，z0)，则对于平面α内任意一点P(x，y，z)，有＝(x－x0，y－y0，z－z0)，则方程A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0，称为平面α的方程．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)一条直线有无穷多个方向向量，这些向量都是共线向量． (　　)
(2)一个平面的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量． (　　)
(3)直线的单位方向向量有两个，它们是相反向量． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√
2．若点A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　)
A．(2，2，6)　　 B．(－1，1，3)
C．(3，1，1) 　 D．(－3，0，1)
[答案]　A
3．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________．
2∶3∶(－4)　[＝＝，由法向量的定义得，a·＝0，a·＝0，所以x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．]
类型1　直线的方向向量及应用
【例1】　在空间直角坐标系O-xyz中，已知直线l过点A，其方向向量为n＝．
(1)求直线l的向量表达式；
(2)求直线l与坐标平面xOy的交点B的坐标．
[解]　(1)直线l的向量表达式为＝＋tn．
(2)由(1)知，＝，令2＋3t＝0，得t＝－，所以点B的坐标为．
　1．求直线的方向向量时，要充分利用几何体中的平行关系，平行直线的方向向量共线．
2．在空间中，过点A，方向向量为n的直线可以表示为＝＋tn．
[跟进训练]
1．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有(　　)
A．8个　　　　　 B．7个
C．6个 　 D．5个
A　[与向量平行的向量就是直线AB的方向向量，有，共8个，故选A．]
类型2　求平面的法向量
【例2】　【链接教材P122例4】
求△ABC所在平面的单位法向量，其中A(－1，－1，0)，B(1，1，1)，C(3，4，3)．
[解]　∵＝(2，2，1)，＝(4，5，3)，设n＝(x，y，z)．
则由得
取z＝1，得n＝．于是单位法向量为±＝±＝±．
【教材原题·P122例4】
例4　已知点A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(2，1，3)，求平面ABC的一个法向量的坐标．
[解]　由已知可得＝(1，1，0)，＝(2，0，2)．
设n＝(x，y，z)是平面ABC的一个法向量，则
即
不妨取x＝1，得y＝z＝－1．
所以平面ABC的一个法向量的坐标为(1，－1，－1)．
　求平面法向量的方法与步骤
(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如；
(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；
(3)联立方程并求解；
(4)所求向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)，便可得到平面的一个法向量．
[跟进训练]
2．四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1．在如图所示的坐标系A-xyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量．
[解]　由题意知，A(0，0，0)，D(1，0，0)，C(2，2，0)，S(0，0，2)．∵AD⊥平面SAB，
∴＝(1，0，0)是平面SAB的一个法向量．
设平面SCD的一个法向量为n＝(1，y，z)，
则n·＝(1，y，z)·(1，2，0)＝1＋2y＝0，
∴y＝－．
又n·＝(1，y，z)·(－1，0，2)＝－1＋2z＝0，
∴z＝．
∴n＝，
即为平面SCD的一个法向量．
类型3　平面的法向量的应用
【例3】　已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)
A．(1，－1，1) 　　　 B．
C． 　 　 D．
B　[要判断点P是否在平面α内，只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直，即·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验．
对于选项A，＝(1，0，1)，
则·n＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A；
对于选项B，＝，
则·n＝·(3，1，2)＝0，故B正确；
同理可排除C，D．故选B．]
　若平面α过点A，n＝是它的一个法向量，则平面α的方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0．
[跟进训练]
3．已知平面α过点A，n＝是平面α的一个法向量．
(1)求平面α的方程；
(2)求平面α与坐标轴的交点坐标．
[解]　(1)设P(x，y，z)是平面α上一点，则＝．
∵⊥n，
∴·n＝0，即1×＋2＝0，故平面α的方程为x－y＋2z－8＝0．
(2)令y＝z＝0，得x＝8，所以平面α与x轴的交点为(8，0，0)；
令x＝z＝0，得y＝－8，所以平面α与y轴的交点为(0，－8，0)；
令x＝y＝0，得z＝4，所以平面α与z轴的交点为(0，0，4)．
1．设平面α内两个向量的坐标分别为a＝，b＝，则下列向量中，是平面的法向量的是(　　)
A．(－1，－2，5)　　 B．(－1，1，－1)
C．(1，1，1) 　 D．(1，－1，－1)
B　[由平面的法向量的定义知：平面α的法向量与向量a，b均垂直．经检验选项B符合题意．]
2．已知平面α内有一点A(2，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列四个点中在平面α内的是(　　)
A．P1(0，1，4) 　 B．P2(1，3，1)
C．P3(1，－3，5) 　 D．P4(－1，3，－5)
A　[设所求点的坐标为P(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)，
因为平面α的一个法向量为n＝(3，1，2)，
所以n·＝3(x－2)＋(y＋1)＋2(z－2)＝3x＋y＋2z－9＝0，
对于选项A，3x＋y＋2z－9＝3×0＋1＋2×4－9＝0，
对于选项B，3x＋y＋2z－9＝3×1＋3＋2×1－9≠0，
对于选项C，3x＋y＋2z－9＝3×1－3＋2×5－9≠0，
对于选项D，3x＋y＋2z－9＝3×(－1)＋3＋2×(－5)－9≠0．故选A．]
3．已知平面α内的两个向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4，1)．若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为(　　)
A．－1，2 　 B．1，－2
C．1，2 　 D．－1，－2
A　[c＝ma＋nb＋(4，－4，1)＝(m，m，m)＋(0，2n，－n)＋(4，－4，1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)．
由c为平面α的法向量，得
即解得故选A．]
4．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(1，2，3) 　 B．(1，3，2)
C．(2，1，3) 　 D．(3，2，1)
A　[由题意可得直线l的一个方向向量＝(2，4，6)，
又∵(1，2，3)＝(2，4，6)，
∴(1，2，3)是直线l的一个方向向量．故选A．]
5．在△ABC中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设M(x，y，z)是平面ABC内任意一点．
(1)求平面ABC的一个法向量；
(2)求x，y，z满足的关系式．
[解]　(1)设平面ABC的一个法向量n＝(a，b，c)．
因为＝(2，4，－1)，＝(2，2，1)，
所以所以
令b＝2，则a＝－3，c＝2．
所以平面ABC的一个法向量为n＝(－3，2，2)．
(2)因为点M(x，y，z)是平面ABC内任意一点，所以＝(x－1，y＋1，z－2)，
所以⊥n，
所以－3(x－1)＋2(y＋1)＋2(z－2)＝0，整理得，3x－2y－2z－1＝0．
故x，y，z满足的关系式为3x－2y－2z－1＝0．
1．若要证明一个向量是一条直线的方向向量，只要证明向量所在直线与直线平行或重合即可；若要证明一个向量是一个平面的法向量，只要证明向量所在直线垂直于平面即可．
2．直线的方向向量与平面的法向量是本章的两个重要概念，它是研究与直线、平面有关的位置关系与数量关系的基础，要掌握其求法．
课时分层作业(二十五)　直线的方向向量与平面的法向量
一、选择题
1．下列说法不正确的是(　　)
A．若直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量
B．若n是平面α的一个法向量，则n与平面α内任意一条直线的方向向量均垂直
C．0是任意一个平面的一个法向量
D．一个平面的法向量是不唯一的
C　[对于A，根据直线的方向向量的定义及平面的法向量的定义可知，若直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量，是正确的；
对于B，由平面的法向量的定义可知，若n是平面α的一个法向量，则n与平面α内任意一条直线的方向向量均垂直，是正确的；
对于C，由平面的法向量的定义可知，0是任意一个平面的一个法向量，是错误的；
对于D，由平面的法向量的定义可知，一个平面的法向量是不唯一的，是正确的．
故选C．]
2．若＝(1，2，3)，＝(－1，3，4)，则以下向量中，能成为平面OAB的法向量的是(　　)
A．(1，7，5)　　　　　 B．(1，－7，5)
C．(－1，－7，5)　　　 D．(1，－7，－5)
C　[经检验，只有向量(－1，－7，5)分别与垂直，故选C．]
3．已知平面α内有一个点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量是n＝(2，－1，2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)
A．P(2，3，3)　　　　　 　 B．P(－2，0，1)
C．P(－4，4，0)　　　　 　 D．P(3，－3，4)
A　[由题意知，点P在平面α内 ⊥n ·n＝0，经检验选项A符合题意．]
4．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是(　　)
A．(－1，1，1)　　　　 　 B．(1，－1，1)
C．(1，1，1) 　 D．(1，1，－1)
C　[设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，
则化简得∴x＝y＝z．]
5．已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于(　　)
A．0　　　　 B．1　　
C．　　　　 D．3
A　[∵A(0，y，3)和B(－1，2，z)，＝(－1，2－y，z－3)，
∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，
故设＝km．
∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k．
解得k＝－，y＝z＝．∴y－z＝0．]
二、填空题
6．若n是坐标平面xOy的一个法向量，则n的坐标可以表示为________．
[答案]　，其中z≠0
7．如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，O为底面中心，则平面SBD的法向量与的夹角等于________．
45°　[∵正四棱锥底面为正方形，∴BD⊥AC，SO⊥AC，又∵BD∩SO＝O，∴AC⊥平面SBD．
∴为平面SBD的一个法向量．
∴〈〉＝45°．]
8．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数z＝________，x＋y＝________．
4　　[∵⊥，
∴＝0，
即3＋5－2z＝0，得z＝4，
又BP⊥平面ABC，
∴⊥⊥，
则
解得
∴x＋y＝＝．]
三、解答题
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形且PD＝AD，E，F分别是PC，PB的中点．
(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量；
(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量．
[解]　(1)取AD的中点M，连接MF，
∵E，F分别是PC，PB的中点，
∴EF∥BC且EF＝BC，
又BC∥AD且BC＝AD，
∴EF∥AD且EF＝AD，
则由EF∥DM且EF＝DM知四边形DEFM是平行四边形，
∴MF∥DE，∴就是直线DE的一个方向向量．
(2)∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥BC，又BC⊥CD，PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，
∵DE 平面PCD，
∴DE⊥BC，又PD＝CD，E为PC中点，
∴DE⊥PC，从而DE⊥平面PBC，
∴是平面PBC的一个法向量，由(1)可知＝，∴就是平面PBC的一个法向量．
10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
[解]　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，，0)，E，B(1，0，0)，C(1，，0)，
于是＝＝(1，，0)．
设n＝(x，y，z)为平面ACE的一个法向量，
则即
所以
令y＝－1，则x＝z＝．
所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)．
11．(多选题)已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则下列说法不正确的是(　　)
A．与是共线向量
B．与同向的单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面ABC的一个法向量是(1，－2，5)
AC　[依题意得＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)，不存在实数λ，使得＝λ成立，即与不共线，A不正确；
与同方向的单位向量是＝×(2，1，0)＝，B正确；
＝(－3，1，1)，则与夹角的余弦值是cos〈〉＝＝＝，C不正确；
设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，则即
令x＝1，则y＝－2，z＝5，即n＝(1，－2，5)是平面ABC的一个法向量，D正确． 故选AC．]
12．(多选题)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是(　　)
A．　　　 B．　
C．　　　 D．
BC　[∵AA1⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，
∴与可以作为平面ABC的法向量．]
13．在空间直角坐标系O-xyz中，已知点P(2cos x＋1，2cos 2x＋2，0)和点Q(cos x，－1，3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．
或　[由OP⊥OQ，得＝0．
即(2cos x＋1)·cos x＋(2cos 2x＋2)·(－1)＝0．
∴cos x＝0或cos x＝．
∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝．]
14．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．
(1)求证：PA⊥底面ABCD；
(2)求四棱锥P-ABCD的体积；
(3)对于向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，c＝(x3，y3，z3)，定义一种运算：(a×b)·c＝x1y2z3＋x2y3z1＋x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1，试计算()·的绝对值的值；说明其与四棱锥P-ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算()·的绝对值的几何意义．
[解]　(1)证明：∵＝－2－2＋4＝0，
∴AP⊥AB．又∵＝－4＋4＋0＝0，
∴AP⊥AD．
∵AB，AD是底面ABCD上的两条相交直线，
∴AP⊥底面ABCD．
(2)设与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，
V＝||·||·sin θ·||＝＝16．
(3)|()·|＝|－4－32－4－8|＝48，它是四棱锥P-ABCD体积的3倍．
猜测：|()·|在几何上可表示以AB，AD，AP为棱的平行六面体的体积．
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第三章　空间向量与立体几何
§4　向量在立体几何中的应用
4.1　直线的方向向量与平面的法向量
学习任务 核心素养
1．理解直线的方向向量和平面的法向量及其意义．(重点)
2．会求直线的方向向量和平面的法向量．(重点、难点) 1．通过对直线的方向向量和平面的法向量的学习，提升数学抽象素养．
2．通过求直线的方向向量和平面的法向量，培养直观想象与数学运算素养．
1．给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线吗？可以确定唯一一条过点A且垂直于向量a的直线吗？
2．给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定唯一一个过点A且垂直于向量a的平面吗？可以确定唯一一个过点A且平行于向量a的平面吗？
必备知识·情境导学探新知
方向向量
法向量
思考　直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，直线的方向向量之间的关系是怎样的？平面的法向量之间的关系是怎样的？
[提示]　直线的方向向量和平面的法向量不是唯一的，直线的不同方向向量是共线向量，平面的不同法向量是共线向量．
A(x－x0)＋B( y－y0)＋C(z－z0)＝0
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)一条直线有无穷多个方向向量，这些向量都是共线向量． (　　)
(2)一个平面的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量． (　　)
(3)直线的单位方向向量有两个，它们是相反向量． (　　)
√
×
√
2．若点A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　)
A．(2，2，6)　　 B．(－1，1，3)
C．(3，1，1) 　 D．(－3，0，1)
√
2∶3∶(－4)
关键能力·合作探究释疑难
√
[跟进训练]
1．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有(　　)
A．8个　　　　　 B．7个
C．6个 　 D．5个
类型2　求平面的法向量
【例2】　【链接教材P122例4】
求△ABC所在平面的单位法向量，其中A(－1，－1，0)，B(1，1，1)，C(3，4，3)．
[跟进训练]
2．四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1．在如图所示的坐标系A-xyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量．
√
学习效果·课堂评估夯基础
√
B　[由平面的法向量的定义知：平面α的法向量与向量a，b均垂直．经检验选项B符合题意．]
√
2．已知平面α内有一点A(2，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列四个点中在平面α内的是(　　)
A．P1(0，1，4) 　
B．P2(1，3，1)
C．P3(1，－3，5) 　
D．P4(－1，3，－5)
3．已知平面α内的两个向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4，1)．若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为
(　　)
A．－1，2 　 B．1，－2
C．1，2 　 D．－1，－2
√
√
4．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(1，2，3) 　 B．(1，3，2)
C．(2，1，3) 　 D．(3，2，1)
5．在△ABC中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设M(x，y，z)是平面ABC内任意一点．
(1)求平面ABC的一个法向量；
(2)求x，y，z满足的关系式．
1．若要证明一个向量是一条直线的方向向量，只要证明向量所在直线与直线平行或重合即可；若要证明一个向量是一个平面的法向量，只要证明向量所在直线垂直于平面即可．
2．直线的方向向量与平面的法向量是本章的两个重要概念，它是研究与直线、平面有关的位置关系与数量关系的基础，要掌握其求法．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
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11
12
13
√
14
课时分层作业(二十五)　直线的方向向量与平面的法向量
一、选择题
1．下列说法不正确的是(　　)
A．若直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量
B．若n是平面α的一个法向量，则n与平面α内任意一条直线的方向向量均垂直
C．0是任意一个平面的一个法向量
D．一个平面的法向量是不唯一的
C　[对于A，根据直线的方向向量的定义及平面的法向量的定义可知，若直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量，是正确的；
对于B，由平面的法向量的定义可知，若n是平面α的一个法向量，则n与平面α内任意一条直线的方向向量均垂直，是正确的；
对于C，由平面的法向量的定义可知，0是任意一个平面的一个法向量，是错误的；
对于D，由平面的法向量的定义可知，一个平面的法向量是不唯一的，是正确的．
故选C．]
题号
1
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3．已知平面α内有一个点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量是n＝(2，－1，2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)
A．P(2，3，3)　　　　　 　 B．P(－2，0，1)
C．P(－4，4，0)　　　　 　 D．P(3，－3，4)
√
题号
2
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4．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是(　　)
A．(－1，1，1)　 　 B．(1，－1，1)
C．(1，1，1) 　 D．(1，1，－1)
√
题号
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二、填空题
6．若n是坐标平面xOy的一个法向量，则n的坐标可以表示为______________________．
题号
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45°　
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三、解答题
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形且PD＝AD，E，F分别是PC，PB的中点．
(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量；
(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量．
题号
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13．在空间直角坐标系O-xyz中，已知点P(2cos x＋1，2cos 2x＋2，0)和点Q(cos x，－1，3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．
题号
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14§4　向量在立体几何中的应用
4.1　直线的方向向量与平面的法向量
学习任务 核心素养
1．理解直线的方向向量和平面的法向量及其意义．(重点) 2．会求直线的方向向量和平面的法向量．(重点、难点) 1．通过对直线的方向向量和平面的法向量的学习，提升数学抽象素养． 2．通过求直线的方向向量和平面的法向量，培养直观想象与数学运算素养．
1．给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线吗？可以确定唯一一条过点A且垂直于向量a的直线吗？
2．给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定唯一一个过点A且垂直于向量a的平面吗？可以确定唯一一个过点A且平行于向量a的平面吗？
1．直线的方向向量
设l是空间一直线，A，B是直线l上不重合的任意两点，则称为直线l的________．
如图所示，已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量，那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得＝ta．把这个式子称为直线l的向量表示．
2．平面的法向量
(1)如果一条直线l与一个平面α垂直，那么把直线l的方向向量n叫作平面α的______．
如图所示，设点M是平面α内给定的一点，向量n是平面α的一个法向量，那么对于平面α内任意一点P，必有·n＝0．把此式称为平面α的一个向量表示式．
直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，直线的方向向量之间的关系是怎样的？平面的法向量之间的关系是怎样的？
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
(2)在空间直角坐标系中，若n＝(A，B，C)，点M的坐标为(x0，y0，z0)，则对于平面α内任意一点P(x，y，z)，有＝(x－x0，y－y0，z－z0)，则方程_________________________________，称为平面α的方程．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)一条直线有无穷多个方向向量，这些向量都是共线向量． (　　)
(2)一个平面的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量． (　　)
(3)直线的单位方向向量有两个，它们是相反向量． (　　)
2．若点A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　)
A．(2，2，6)　　 B．(－1，1，3)
C．(3，1，1) 　 D．(－3，0，1)
3．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________．
类型1　直线的方向向量及应用
【例1】　在空间直角坐标系O-xyz中，已知直线l过点A，其方向向量为n＝．
(1)求直线l的向量表达式；
(2)求直线l与坐标平面xOy的交点B的坐标．
[尝试解答]　________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
　1．求直线的方向向量时，要充分利用几何体中的平行关系，平行直线的方向向量共线．
2．在空间中，过点A，方向向量为n的直线可以表示为＝＋tn．
[跟进训练]
1．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有(　　)
A．8个　　　　　 B．7个
C．6个 　 D．5个
类型2　求平面的法向量
【例2】　【链接教材P122例4】
求△ABC所在平面的单位法向量，其中A(－1，－1，0)，B(1，1，1)，C(3，4，3)．
[尝试解答]　________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
　求平面法向量的方法与步骤
(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如；
(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；
(3)联立方程并求解；
(4)所求向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)，便可得到平面的一个法向量．
[跟进训练]
2．四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1．在如图所示的坐标系A-xyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
类型3　平面的法向量的应用
【例3】　已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)
A．(1，－1，1) 　　　 B．
C． 　 　 D．
[尝试解答]　________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
　若平面α过点A，n＝是它的一个法向量，则平面α的方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0．
[跟进训练]
3．已知平面α过点A，n＝是平面α的一个法向量．
(1)求平面α的方程；
(2)求平面α与坐标轴的交点坐标．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1．设平面α内两个向量的坐标分别为a＝，b＝，则下列向量中，是平面的法向量的是(　　)
A．(－1，－2，5)　　 B．(－1，1，－1)
C．(1，1，1) 　 D．(1，－1，－1)
2．已知平面α内有一点A(2，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列四个点中在平面α内的是(　　)
A．P1(0，1，4) 　 B．P2(1，3，1)
C．P3(1，－3，5) 　 D．P4(－1，3，－5)
3．已知平面α内的两个向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4，1)．若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为(　　)
A．－1，2 　 B．1，－2
C．1，2 　 D．－1，－2
4．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(1，2，3) 　 B．(1，3，2)
C．(2，1，3) 　 D．(3，2，1)
5．在△ABC中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设M(x，y，z)是平面ABC内任意一点．
(1)求平面ABC的一个法向量；
(2)求x，y，z满足的关系式．
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
1．若要证明一个向量是一条直线的方向向量，只要证明向量所在直线与直线平行或重合即可；若要证明一个向量是一个平面的法向量，只要证明向量所在直线垂直于平面即可．
2．直线的方向向量与平面的法向量是本章的两个重要概念，它是研究与直线、平面有关的位置关系与数量关系的基础，要掌握其求法．
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