资源简介 课时分层作业(二十八) 空间中的距离问题说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分一、选择题1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则点A1与对角线BC1所在直线间的距离是( )A．a B．a C．a D．2．如图，已知ABC-A1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C1到平面AB1D的距离为( )A．a B．aC．a D．a3．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD＝G．则三棱锥B1-EFD1的体积V等于( )A． B．C． D．164．△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于( )A．5 B． C．4 D．25．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )A．a B．aC．a D．a二、填空题6．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为________．7．设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为________．8．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．三、解答题9．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E是AD1的中点，求点E到直线BD的距离．10．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，试求点F到平面A1D1E的距离．11．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值是( )A．a B．aC．a D．a12．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则点P到平面BQD的距离为( )A． B．C． D．13．(多选题)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AC，AA1，AB的中点．则下列结论正确的是( )A．AC1与EF相交B．B1C1∥平面DEFC．EF与AC1所成的角为90°D．点B1到平面DEF的距离为14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则(1)点B1到平面ABC1的距离为________；(2)点C到平面ABC1的距离为________．15．如图，已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．(1)设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A-B1D1-A1的大小为β．求证：tan β＝tan α；(2)若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高．21世纪教育网(www.21cnjy.com)第2课时 空间中的距离问题学习任务 核心素养1．理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念．(重点) 2．掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．(重点) 通过利用空间向量解决距离问题，提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养．1．如图，已知向量s是直线l的方向向量，点P在直线l上，点A是空间中一点，则向量在s上的投影数量是什么？其几何意义是什么？2．如何利用在s上的投影数量求点A到直线l的距离？1．点到平面的距离(1)定义：如图所示，设点P是平面α外一点，点A是平面α内的已知点，n0是平面α的单位法向量．过点P作PP′⊥平面α，垂足为点P′，则线段PP′的长度就是点P到平面α的距离．(2)求法：点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d＝|·n0|，n0＝．2．点到直线的距离(1)定义：如图所示，设点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，过点P作直线l的垂线，垂足为点P′，则垂线段PP′的长度就是点P到直线l的距离．(2)求法：若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离为d＝，l0＝．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)点A到平面α的距离是点A与平面α上所有点连线的最小值． ( )(2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离． ( )(3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√2．若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是( )A． B． C． D．D [以P为坐标原点，分别以PA，PB，PC所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)．可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)，则d＝＝．]3．已知直线l与平面α相交于点O，A∈l，B为线段OA的中点，若点A到平面α的距离为10，则点B到平面α的距离为________．[答案] 54．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E是CC1的中点，则E到A1B的距离为________．3 [建立如图所示的空间直角坐标系，连接A1E，BE，作EH⊥A1B于H，则A1(4，0，4)，B(4，4，0)，E(0，4，2)，∴＝(－4，4，－2)，＝(0，4，－4)，∴||＝＝6，||＝＝4，∴||＝＝3，∴||＝＝＝3．]类型1 求点到平面的距离【例1】 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1＝，在底面△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，求点B1到平面A1BC的距离．[思路点拨] 建立坐标系，确定向量的坐标并找出平面A1BC的一个法向量n，代入d＝求解．[解] 如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，A1(1，0，)，B1(0，1，)，C1(0，0，)，∴＝(－1，1，－)，＝(－1，0，－)，＝(1，－1，0)．设平面A1BC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即取z＝1，得n＝(－，0，1)，所以点B1到平面A1BC的距离d＝＝． 求点到平面的距离的四个步骤[跟进训练]1．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求点A1到平面AD1C的距离．[解] 如图建立空间直角坐标系，则＝(0，0，1)，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，设平面AD1C的一个法向量为n＝(x，y，1)，则得则∴n＝(1，1，1)，∴d＝＝＝．类型2 求点到直线的距离【例2】 【链接教材P139例15】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，求点D1到直线GF的距离．[思路点拨] 先求的坐标，再代入公式d＝计算．[解] 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，F(1，1，0)，G(0，2，1)，于是有＝(1，－1，－1)，＝(0，－2，1)，所以＝＝，||＝，所以点D1到直线GF的距离d＝＝＝．【教材原题·P139例15】例15 如图3－57，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3．用向量的方法求点B到直线A′C的距离．图3－57[解] 依题意有A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)．所以＝(1，2，－3)，＝(0，2，0)，在方向上的投影数量为＝ ．所以点B到直线A′C的距离为d＝＝＝． 用向量法求点到直线的距离时，需要注意以下几点：(1)点P可以在直线l上任意选取，因此可选取易求得坐标的特殊点；(2)直线l的方向向量可任意选取；(3)点到直线的距离公式中l0是单位向量，在求得直线l的方向向量l后，要将其单位化．[跟进训练]2．已知ABCD-EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝，则P到AB的距离为( )A． B． C． D．A [建立如图所示空间直角坐标系，则＝×(1，0，0)＋×(0，1，0)＋×(0，0，1)＝．又∵＝(1，0，0)，∴在上的投影数量为＝，∴点P到AB的距离为＝．]类型3 求直线与平面的距离【例3】 如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点．求直线A1B1与平面ABE的距离．[思路点拨] 因为直线A1B1平行于平面ABE，可将其转化为点A1到平面ABE的距离求解．[解] 如图所示，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，，1)，过C作AB的垂线交AB于F，易得BF＝，∴B(1，2，0)，∴＝(0，2，0)，＝(－1，－，1)．设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由得∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1，0，1)．∵直线A1B1∥平面ABE，∴直线A1B1到平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离．∵＝(0，0，2)，∴直线A1B1到平面ABE的距离为＝＝． 求直线与平面的距离，在直线与平面平行的条件下，往往转化为点到平面的距离求解，但这个点要适当选取，以求解简单为准则，另外，在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离过渡．[跟进训练]3．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．(1)证明：DE∥平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离．[解] (1)以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则P(0，0，2)，F(1，0，0)，B(2，2，0)，E(0，1，1)，＝(－1，0，2)，＝(1，2，0)，＝(0，1，1)，∴＝．∴∥平面PFB．又∵DE 平面PFB，∴DE∥平面PFB．(2)∵DE∥平面PFB，∴E到平面PFB的距离等于D到平面PFB的距离．设平面PFB的一个法向量n＝(x，y，z)，则即取x＝2，得n＝(2，－1，1)，又＝(－1，0，0)，∴D到平面PFB的距离为d＝＝＝．1．已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为n＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离为( )A． B． C． D．A [＝(－2，0，－1)，||＝＝，则点P到直线l的距离d＝＝＝．]2．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是( )A． B．C． D．B [建立如图所示空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，O，所以＝(1，0，1)，＝，由题意知为平面ABC1D1的法向量，∴O到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝．]3．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，则点B1到平面A1BC1的距离为________． [如图所示建立空间直角坐标系， 则A1(4，0，3)，B1(4，6，3)，B(4，6，0)，C1(0，6，3)，所以＝(－4，6，0)，＝(0，6，－3)，＝(0，6，0)，设平面A1BC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，由得取x＝1得，n＝．所以d＝＝．]4．(源自人教A版教材)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．(1)求点B到直线AC1的距离；(2)求直线FC到平面AEC1的距离．[解] 以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E，F，所以＝(0，1，0)，＝(－1，1，－1)，＝，＝＝＝．(1)取a＝＝(0，1，0)，u＝＝(－1，1，－1)，则a2＝1，a·u＝．所以，点B到直线AC1的距离为＝＝．(2)因为＝＝，所以FC∥EC1，所以FC∥平面AEC1．所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离．设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)，则所以所以取z＝1，则x＝1，y＝2．所以，n＝(1，2，1)是平面AEC1的一个法向量．又因为＝，所以点F到平面AEC1的距离为＝＝．即直线FC到平面AEC1的距离为．空间距离包括点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离．异面直线间的距离设直线a，b异面，向量a，b分别为它们的一个方向向量，如何求出这两条异面直线间的距离呢？图(1)如图(1)，过直线a上任意一点A作b′∥b，过直线b上任意一点B作a′∥a，则a∩b′＝A，a′∩b＝B，于是a与b′，a′与b均可确定一个平面，依次记作α，β．由立体几何的知识可以证明：平面α，β均由直线a，b唯一确定，与点A，B的位置无关，且α∥β．于是，异面直线a，b的距离就转化为平行平面α，β的距离，故只需先求出这两个平行平面的法向量，再求在此法向量上的投影向量的长度即可．如何求这两个平行平面的法向量呢？设n是平行平面α，β的一个法向量，显然有n⊥a，n⊥b．因为向量a，b不共线，所以满足这个条件的所有向量都平行．也就是说，只需找到与向量a，b均垂直的向量即可．图(2)如图(2)，设点A，B分别是异面直线a，b上任意一点，向量a，b分别是直线a，b的方向向量，向量n是与向量a，b均垂直的向量，则异面直线a，b的距离为d＝．课时分层作业(二十八) 空间中的距离问题一、选择题1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则点A1与对角线BC1所在直线间的距离是( )A．a B．a C．a D．A [如图建立空间直角坐标系，则A1(a，0，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a)．∴＝(0，a，－a)，||＝a，＝(－a，0，a)，||＝a．∴点A1到BC1的距离d＝＝＝a．]2．如图，已知ABC-A1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C1到平面AB1D的距离为( )A．a B．aC．a D．aA [∵ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1，又平面AB1D⊥平面ABB1A1，∴A1B⊥平面AB1D，∴是平面AB1D的一个法向量，由于C1D＝CD，所以C1到平面AB1D的距离等于C到平面AB1D的距离，设点C到平面AB1D的距离为d，则d＝＝＝＝＝a．]3．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD＝G．则三棱锥B1-EFD1的体积V等于( )A． B．C． D．16C [以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，E(2，0)，F(，2，0)，∴＝(2，－4)，＝(，2，－4)，＝(2，2，0)，∴cos〈〉＝＝＝，∴sin 〈〉＝，∴＝||·||·sin 〈〉＝ ×＝5，又∵平面D1EF的法向量为n＝，∴点B1到平面D1EF的距离d＝＝，∴＝·d＝×5×＝．]4．△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于( )A．5 B． C．4 D．2A [由已知得，＝(0，4，－3)，＝(4，－5，0)，||＝＝5，||＝＝，∴＝＝－4，∴点B到AC的距离，即AC边上的高BD＝＝＝5．]5．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )A．a B．aC．a D．aD [以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1，1)，由A(a，0，0)，B(a，a，0)，得＝(0，－a，0)，则两平面间的距离d＝||＝＝a．]二、填空题6．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为________． [建立空间直角坐标系，如图，则C(1，1，0)，C1(1，1，1)，E，所以＝，＝(0，0，1)，所以在上的投影数量为＝＝－，所以点C1到直线EC的距离d＝＝＝．]7．设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为________． [设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，∵n·＝0，n·＝0，∴取z＝－2，则n＝(3，2，－2)．又＝(－7，－7，7)，∴点D到平面ABC的距离为d＝＝＝＝．]8．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________． [如图建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，∴＝(2，0，0)，＝(2，0，2)，＝(2，2，0)，设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝1，得n＝(1，－1，－1)，∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝．]三、解答题9．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E是AD1的中点，求点E到直线BD的距离．[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，E，∴＝(1，1，0)，＝，∴＝＝，∴点E到直线BD的距离为d＝＝＝．10．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，试求点F到平面A1D1E的距离．[解] 以A为坐标原点，取AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．如图，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，F，D1(0，1，1)．∴＝＝(0，1，0)．设平面A1D1E的一个法向量为n＝(x，y，z)．则即取z＝2，得n＝(1，0，2)．又＝，∴点F到平面A1D1E的距离d＝＝＝．11．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值是( )A．a B．aC．a D．aA [设M(0，m，m)(0≤m≤a)，＝(－a，0，a)，直线AD1的一个单位方向向量s0＝，由＝(0，－m，a－m)，故点M到直线AD1的距离d＝＝＝，故当m＝－＝时，d取最小值a．]12．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则点P到平面BQD的距离为( )A． B．C． D．B [如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(3，0，0)，D(0，4，0)，P(0，0，2)，Q(0，0，1)，＝(3，0，－1)，＝(－3，4，0)，＝(0，0，1)．设平面BQD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝4，则y＝3，z＝12，∴n＝(4，3，12)．∴点P到平面BQD的距离d＝＝．]13．(多选题)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AC，AA1，AB的中点．则下列结论正确的是( )A．AC1与EF相交B．B1C1∥平面DEFC．EF与AC1所成的角为90°D．点B1到平面DEF的距离为BCD [对于选项A，由题图知AC1 平面ACC1A1，EF∩平面ACC1A1＝E，且E AC1．由异面直线的定义可知AC1与EF异面，故A错误；对于选项B，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC．∵D，F分别是AC，AB的中点，∴FD∥BC，∴B1C1∥FD．又∵B1C1 平面DEF，DF 平面DEF，∴B1C1∥平面DEF．故B正确；对于选项C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(2，0，2)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)，D(1，0，0)，E(2，0，1)，F(1，1，0)．∴＝(－1，1，－1)，＝(－2，0，2)．∵＝2＋0－2＝0，∴⊥，∴EF与AC1所成的角为90°．故C正确；对于选项D，设向量n＝(x，y，z)是平面DEF的一个法向量．∵＝(1，0，1)，＝(0，1，0)，∴由即得取x＝1，则z＝－1，∴n＝(1，0，－1)，设点B1到平面DEF的距离为d．又∵＝(－1，2，2)，∴d＝＝＝，∴点B1到平面DEF的距离为，故D正确．]14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则(1)点B1到平面ABC1的距离为________；(2)点C到平面ABC1的距离为________．(1) (2) [(1)法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，则＝＝(0，1，0)，＝(0，1，－1)．设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，1)，则有解得n＝，则所求距离为＝＝．法二：连接AB1(图略)，＝＝AB＝．设点B1到平面ABC1的距离为h，则＝＝AB×＝，所以h＝．(2)连接B1C与BC1相交于点D(图略)，则D为B1C的中点，所以点B1到平面ABC1的距离与点C到平面ABC1的距离相等．所以点C到平面ABC1的距离为．]15．如图，已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．(1)设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A-B1D1-A1的大小为β．求证：tan β＝tan α；(2)若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高．[解] 设正四棱柱的高为h．(1)证明：连AO1，∵AA1⊥底面A1B1C1D1，∴∠AB1A1是AB1与底面A1B1C1D1所成的角，∴∠AB1A1＝α．∵在等腰△AB1D1中，AO1⊥B1D1．又A1C1⊥B1D1，∴∠AO1A1是二面角A-B1D1-A1的一个平面角，∴∠AO1A1＝β．在Rt△AB1A1中，tan α＝＝h；在Rt△AO1A1中，tan β＝＝h．∴tan β＝tan α．(2)如图建立空间直角坐标系，有A(0，0，h)，B1(1，0，0)，D1(0，1，0)，C(1，1，h)，则＝(1，0，－h)，＝(0，1，－h)，＝(1，1，0)．设平面AB1D1的法向量为n＝(u，v，w)．∵n⊥，n⊥，∴n·＝0，n·＝0．由得u＝hw，v＝hw，∴n＝(hw，hw，w)．取w＝1，得n＝(h，h，1)．由点C到平面AB1D1的距离为d＝＝＝，解得高h＝2．§5 数学探究活动(一)：正方体截面探究(略)21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(二十八)1．A [如图建立空间直角坐标系，则A1(a，0，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a)．∴＝(0，a，－a)，|a，＝(－a，0，a)，|a．∴点A1到BC1的距离d＝a．]2．A [∵ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1，又平面AB1D⊥平面ABB1A1，∴A1B⊥平面AB1D，∴是平面AB1D的一个法向量，由于C1D＝CD，所以C1到平面AB1D的距离等于C到平面AB1D的距离，设点C到平面AB1D的距离为d，则d＝＝a．]3．C [以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，E(2，0)，F(，2，0)，∴＝(2，－4)，＝(，2，－4)，＝(2，2，0)，∴cos<，∴sin<，∴|·||·sin<＝5，又∵平面D1EF的法向量为n＝，∴点B1到平面D1EF的距离d＝，∴··d＝．]4．A [由已知得，＝(0，4，－3)，＝(4，－5，0)，|＝5，|，∴·＝－4，∴点B到AC的距离，即AC边上的高BD＝＝5．]5．D [以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1，1)，由A(a，0，0)，B(a，a，0)，得＝(0，－a，0)，则两平面间的距离d＝|·a．]6． [建立空间直角坐标系，如图，则C(1，1，0)，C1(1，1，1)，E，所以＝(0，0，1)，所以上的投影数量为，所以点C1到直线EC的距离d＝．]7． [设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，∵n·＝0，n·＝0，∴取z＝－2，则n＝(3，2，－2)．又＝(－7，－7，7)，∴点D到平面ABC的距离为d＝．]8． [如图建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，∴＝(2，0，0)，＝(2，0，2)，＝(2，2，0)，设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝1，得n＝(1，－1，－1)，∴点D1到平面A1BD的距离d＝．]9．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，E，∴＝(1，1，0)，，∴·，∴点E到直线BD的距离为d＝．10．解：以A为坐标原点，取AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．如图，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，F，D1(0，1，1)．∴＝(0，1，0)．设平面A1D1E的一个法向量为n＝(x，y，z)．则取z＝2，得n＝(1，0，2)．又，∴点F到平面A1D1E的距离d＝．11．A [设M(0，m，m)(0≤m≤a)，＝(－a，0，a)，直线AD1的一个单位方向向量s0＝，由＝(0，－m，a－m)，故点M到直线AD1的距离d＝，故当m＝－时，d取最小值a．]12．B [如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(3，0，0)，D(0，4，0)，P(0，0，2)，Q(0，0，1)，＝(3，0，－1)，＝(－3，4，0)，＝(0，0，1)．设平面BQD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝4，则y＝3，z＝12，∴n＝(4，3，12)．∴点P到平面BQD的距离d＝．]13．BCD [对于选项A，由题图知AC1 平面ACC1A1，EF∩平面ACC1A1＝E，且E AC1．由异面直线的定义可知AC1与EF异面，故A错误：对于选项B，在直三棱柱ABC A1B1C1中，B1C1∥BC．∵D，F分别是AC，AB的中点，∴FD∥BC，∴B1C1∥FD．又∵B1C1 平面DEF，DF 平面DEF，∴B1C1∥平面DEF．故B正确：对于选项C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(2，0，2)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)，D(1，0，0)，E(2，0，1)，F(1，1，0)．∴＝(－1，1，－1)，＝(－2，0，2)．∵·＝2＋0－2＝0，∴，∴EF与AC1所成的角为90°．故C正确：对于选项D，设向量n＝(x，y，z)是平面DEF的一个法向量．∵＝(1，0，1)，＝(0，1，0)，∴由取x＝1，则z＝－1，∴n＝(1，0，－1)，设点B1到平面DEF的距离为d．又∵＝(－1，2，2)，∴d＝，∴点B1到平面DEF的距离为，故D正确．]14．(1) (2) [(1)法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，则＝(0，1，0)，＝(0，1，－1)．设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，1)，则有解得n＝，则所求距离为．法二：连接AB1(图略)，．设点B1到平面ABC1的距离为h，则·h，，所以h＝．(2)连接B1C与BC1相交于点D(图略)，则D为B1C的中点，所以点B1到平面ABC1的距离与点C到平面ABC1的距离相等．所以点C到平面ABC1的距离为．]15．解：设正四棱柱的高为h．(1)证明：连AO1，∵AA1⊥底面A1B1C1D1，∴∠AB1A1是AB1与底面A1B1C1D1所成的角，∴∠AB1A1＝α．∵在等腰△AB1D1中，AO1⊥B1D1．又A1C1⊥B1D1，∴∠AO1A1是二面角A B1D1 A1的一个平面角，∴∠AO1A1＝β．在Rt△AB1A1中，tan α＝＝h：在Rt△AO1A1中，tan β＝h．∴tan β＝tan α．(2)如图建立空间直角坐标系，有A(0，0，h)，B1(1，0，0)，D1(0，1，0)，C(1，1，h)，则＝(1，0，－h)，＝(0，1，－h)，＝(1，1，0)．设平面AB1D1的法向量为n＝(u，v，w)．∵n⊥，n⊥，∴n·＝0，n·＝0．由得u＝hw，v＝hw，∴n＝(hw，hw，w)．取w＝1，得n＝(h，h，1)．由点C到平面AB1D1的距离为d＝，解得高h＝2．21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共83张PPT)第三章 空间向量与立体几何§4 向量在立体几何中的应用4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系第2课时 空间中的距离问题学习任务 核心素养1．理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念．(重点)2．掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．(重点) 通过利用空间向量解决距离问题，提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养．必备知识·情境导学探新知1．点到平面的距离(1)定义：如图所示，设点P是平面α外一点，点A是平面α内的已知点，n0是平面α的单位法向量．过点P作PP′⊥平面α，垂足为点P′，则线段PP′的长度就是点P到平面α的距离．距离√√1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)点A到平面α的距离是点A与平面α上所有点连线的最小值． ( )(2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离． ( )(3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离． ( )√√3．已知直线l与平面α相交于点O，A∈l，B为线段OA的中点，若点A到平面α的距离为10，则点B到平面α的距离为________．54．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E是CC1的中点，则E到A1B的距离为________．关键能力·合作探究释疑难反思领悟 求点到平面的距离的四个步骤[跟进训练]1．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求点A1到平面AD1C的距离．类型2 求点到直线的距离【例2】 【链接教材P139例15】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，求点D1到直线GF的距离．图3－57反思领悟 用向量法求点到直线的距离时，需要注意以下几点：(1)点P可以在直线l上任意选取，因此可选取易求得坐标的特殊点；(2)直线l的方向向量可任意选取；(3)点到直线的距离公式中l0是单位向量，在求得直线l的方向向量l后，要将其单位化．√[思路点拨] 因为直线A1B1平行于平面ABE，可将其转化为点A1到平面ABE的距离求解．反思领悟 求直线与平面的距离，在直线与平面平行的条件下，往往转化为点到平面的距离求解，但这个点要适当选取，以求解简单为准则，另外，在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离过渡．[跟进训练]3．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．(1)证明：DE∥平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离．学习效果·课堂评估夯基础√√3．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，则点B1到平面A1BC1的距离为________． 4．(源自人教A版教材)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．(1)求点B到直线AC1的距离；(2)求直线FC到平面AEC1的距离．空间距离包括点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离．阅读材料·拓展数学大视野异面直线间的距离设直线a，b异面，向量a，b分别为它们的一个方向向量，如何求出这两条异面直线间的距离呢？图(1)图(2)章末综合测评(一) 动量守恒定律题号13524687910111213√1415课时分层作业(二十八) 空间中的距离问题题号135246879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号213456879101112131415二、填空题6．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为________． 题号213456879101112131415题号2134568791011121314157．设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为________． 题号213456879101112131415题号2134568791011121314158．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________． 题号213456879101112131415题号213456879101112131415三、解答题9．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E是AD1的中点，求点E到直线BD的距离．[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，题号213456879101112131415题号21345687910111213141510．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，试求点F到平面A1D1E的距离．题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415√√√题号213456879101112131415BCD [对于选项A，由题图知AC1 平面ACC1A1，EF∩平面ACC1A1＝E，且E AC1．由异面直线的定义可知AC1与EF异面，故A错误；对于选项B，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC．∵D，F分别是AC，AB的中点，∴FD∥BC，∴B1C1∥FD．又∵B1C1 平面DEF，DF 平面DEF，∴B1C1∥平面DEF．故B正确；题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号21345687910111213141514．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则 (1)点B1到平面ABC1的距离为________；(2)点C到平面ABC1的距离为________． 题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415第2课时 空间中的距离问题学习任务 核心素养1．理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念．(重点) 2．掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．(重点) 通过利用空间向量解决距离问题，提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养．1．如图，已知向量s是直线l的方向向量，点P在直线l上，点A是空间中一点，则向量在s上的投影数量是什么？其几何意义是什么？2．如何利用在s上的投影数量求点A到直线l的距离？1．点到平面的距离(1)定义：如图所示，设点P是平面α外一点，点A是平面α内的已知点，n0是平面α的单位法向量．过点P作PP′⊥平面α，垂足为点P′，则线段PP′的长度就是点P到平面α的距离．(2)求法：点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d＝|·n0|，n0＝．2．点到直线的距离(1)定义：如图所示，设点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，过点P作直线l的垂线，垂足为点P′，则垂线段PP′的长度就是点P到直线l的____．(2)求法：若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离为d＝，l0＝．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)点A到平面α的距离是点A与平面α上所有点连线的最小值． ( )(2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离． ( )(3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离． ( )2．若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是( )A． B． C． D．3．已知直线l与平面α相交于点O，A∈l，B为线段OA的中点，若点A到平面α的距离为10，则点B到平面α的距离为________．4．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E是CC1的中点，则E到A1B的距离为________．类型1 求点到平面的距离【例1】 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1＝，在底面△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，求点B1到平面A1BC的距离．[思路点拨] 建立坐标系，确定向量的坐标并找出平面A1BC的一个法向量n，代入d＝求解．[尝试解答] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 求点到平面的距离的四个步骤[跟进训练]1．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求点A1到平面AD1C的距离．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型2 求点到直线的距离【例2】 【链接教材P139例15】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，求点D1到直线GF的距离．[思路点拨] 先求的坐标，再代入公式d＝计算．[尝试解答] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 用向量法求点到直线的距离时，需要注意以下几点：(1)点P可以在直线l上任意选取，因此可选取易求得坐标的特殊点；(2)直线l的方向向量可任意选取；(3)点到直线的距离公式中l0是单位向量，在求得直线l的方向向量l后，要将其单位化．[跟进训练]2．已知ABCD-EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝，则P到AB的距离为( )A． B． C． D．类型3 求直线与平面的距离【例3】 如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点．求直线A1B1与平面ABE的距离．[思路点拨] 因为直线A1B1平行于平面ABE，可将其转化为点A1到平面ABE的距离求解．[尝试解答] _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 求直线与平面的距离，在直线与平面平行的条件下，往往转化为点到平面的距离求解，但这个点要适当选取，以求解简单为准则，另外，在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离过渡．[跟进训练]3．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．(1)证明：DE∥平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为n＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离为( )A． B． C． D．2．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是( )A． B．C． D．3．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，则点B1到平面A1BC1的距离为________．4．(源自人教A版教材)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．(1)求点B到直线AC1的距离；(2)求直线FC到平面AEC1的距离．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________空间距离包括点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离．异面直线间的距离设直线a，b异面，向量a，b分别为它们的一个方向向量，如何求出这两条异面直线间的距离呢？图(1)如图(1)，过直线a上任意一点A作b′∥b，过直线b上任意一点B作a′∥a，则a∩b′＝A，a′∩b＝B，于是a与b′，a′与b均可确定一个平面，依次记作α，β．由立体几何的知识可以证明：平面α，β均由直线a，b唯一确定，与点A，B的位置无关，且α∥β．于是，异面直线a，b的距离就转化为平行平面α，β的距离，故只需先求出这两个平行平面的法向量，再求在此法向量上的投影向量的长度即可．如何求这两个平行平面的法向量呢？设n是平行平面α，β的一个法向量，显然有n⊥a，n⊥b．因为向量a，b不共线，所以满足这个条件的所有向量都平行．也就是说，只需找到与向量a，b均垂直的向量即可．图(2)如图(2)，设点A，B分别是异面直线a，b上任意一点，向量a，b分别是直线a，b的方向向量，向量n是与向量a，b均垂直的向量，则异面直线a，b的距离为d＝．21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 北师大版高中数学选择性必修第一册第三章空间向量与立体几何4.3第2课时空间中的距离问题学案（学生用）.docx 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