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课时分层作业(三十三)
1．B　[∵，∴6，∴，∴m＝3＋4＝7．]
2．C　[∵，∴，∴n＋1＝7＋8，∴n＝14．]
3．A　[由于集合中的元素是没有顺序的，一个含有3个元素的子集就是一个从{0，1，2，3}中取出3个元素的组合，这是一个组合问题，组合数是＝4．]
4．B　[要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有＝126种走法，故从A地到B地的最短路线共有126条．]
5．B　[分为两类：第一类，取出的5件产品有2件次品3件合格品，有种抽法：第二类，取出的5件产品有3件次品2件合格品，有种抽法．因此共有()种抽法．]
6．{1，4}　[当n＝0时，＝1：当n＝1时，＝4：当n＝2时，＝6：
当n＝3时，＝4：当n＝4时，＝1，
∴A＝{x|x＝，n∈N}＝{1，4，6}．
又∵B＝{1，2，3，4}，∴A∩B＝{1，4}．]
7．　[∵m＝，n＝，∴m∶n＝．]
8．140　[可分步完成此事，第一步选周六的3人共有种方法：第二步选周日的志愿者共有种方法．由分步乘法计数原理可知，不同的安排方案共有·＝140(种)．]
9．解：由组合数公式化简整理得m2－23m＋42＝0，解得m＝2或m＝21，又0≤m≤5，所以m＝2．
10．解：(1)从5个元素中取出3个元素并成一组，就是集合A的子集，元素无序，则共有＝10(个)．
(2)每两人握手一次就完成这一件事，则共有握手次数为＝45(次)．
11．B　[．]
12．A　[分两类，第1类：从直线a上任取一个点，从直线b上任取两个点，共有种方法：第2类：从直线a上任取两个点，从直线b上任取一个点，共有＝70(个)．]
13．ABC　[∵，∴
∴
即
∵n∈N+，∴n＝6，7，8，9．]
14．1 260　80　[第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构成一个平行四边形，故共有＝1 260(个)．第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个交点，所以共有＝80(个)．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)§3　组合问题
3.1　组合
3.2　组合数及其性质
学习任务 核心素养
1．理解组合及组合数的定义．(重点) 2．掌握组合数公式，并会应用求值．(难点) 1．通过对组合及组合数的概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助对组合数公式的应用，培养数学运算素养．
1．从1，2，3，5这四个数字中，任选两个数做加法，试写出所有不同的结果．
2．问题1中1＋2与2＋1是不同结果吗？这说明什么问题？
1．组合及组合问题
组合 一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
组合问题 有关求组合的个数的问题
2．排列与组合的异同点
相同点 都是关于从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的计数问题
不同点 排列需考虑元素顺序，组合不需考虑元素顺序，即只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；只要两个组合的元素相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合
3．组合数、组合数公式及其性质
组合数 从n个不同元素中取出m(mn，且m，n∈N+)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m(mn，且m，n∈N+)个元素的组合数，用符号表示
公 式 乘积式 ＝
阶乘式 ＝
性质 性质1　
性质2　
规定 ＝1
组合数公式与排列数公式有何联系？
[提示]　按照分步乘法计数原理，从n个元素中取m(mn)个元素进行排列，可分两步进行：第1步，从n个元素中先取m个元素，有种选法；第2步，把选出的m个元素进行全排列有种排法．所以从n个不同元素中取m个不同元素进行排列有种方法，所以．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)元素相同的两个组合即为同一组合． (　　)
(2)若组合式＝，则x＝m成立． (　　)
＝＋． (　　)
． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何3个村庄在一条直线上，现要在该社区内建造“村村通”工程，共需建公路的条数为(　　)
A．4　　　 B．8　
C．28　　　 D．64
C　[共需要建＝28条公路．]
．＋＝________．
36　[＋＝15＋21＝36．]
4．已知＝＋，则＝________．
91　[由＝＋，得2·，
整理得n2－21n＋98＝0，
解得n＝7或n＝14，又n≥12，
所以n＝14，
于是＝＝＝91．]
类型1　组合的概念
【例1】　判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．
(1)10个人相互写一封信，共写出了多少封信？
(2)10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？
(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？
(4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？
(5)从10个人中选出3人担任3个不同学科的课代表，有多少种选法？
[解]　(1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为＝90．
(2)是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，组合数为＝45．
(3)是组合问题，因为每两支球队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为＝45．
(4)是组合问题，因为选出的3个人之间没有顺序的区别，组合数为＝120．
(5)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为＝720．
　区分排列与组合的方法是看事件是否有顺序，而区分事件有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，若对结果产生影响，即说明有顺序，是排列问题；若对结果没有影响，即说明无顺序，是组合问题．
[跟进训练]
1．给出下列问题：
(1)在北京、上海和广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？
(2)在北京、上海和广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票价？(往返票价相同)
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长和学习委员3个职务，有多少种不同的选法？
(4)从全班40人中选出3人参加某项劳动，有多少种不同的选法？
在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？
[解]　(1)飞机票与起点、终点有关，有顺序，是排列问题．
(2)票价与起点、终点无关，没有顺序，是组合问题．
(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．
(4)3人参加某项相同劳动，没有顺序，是组合问题．
类型2　组合数公式及性质的应用
【例2】　(1)计算：①；②＋；③＋＋…＋．
(2)证明：＋＝．
[解]　(1)①3＝3× ＝148．
②∵
∴9.5n10.5，
∵n∈N+，∴n＝10，
∴＝466．
③法一：原式＝＋…＋＝330．
法二：原式＝＋…＋＋…＋＋…＋＝…＝＝330．
(2)证明：法一：左边＝
＝[(n－m)(n－m＋1)＋m(m＋1)＋2(m＋1)(n－m＋1)]
＝(n＋2)(n＋1)
＝
＝
＝右边，原结论得证．
法二：利用公式推得，
左边＝()＋()＝＝右边，原结论得证．
　关于组合数的性质
(1)关于组合数的性质1()
①该性质反映了组合数的对称性，即从n个不同的元素中取出m个元素的每一个组合，都对应着剩下的n－m个元素的一个组合，反过来也一样，这是一一对应的关系．
②当m>．
(2)组合数的性质2()
①形式特点：公式的左端下标为n＋1，右端下标为n，相差1，上标左端与右端的一个相同，右端的另一个比它们少1．
②作用：常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明．应用时要注意公式的正用、逆用和变形用．正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用．
[跟进训练]
2．求值：．
[解]　由解得4n5．
又因为n∈N+，所以n＝4或n＝5．
当n＝4时，原式＝＝5；
当n＝5时，原式＝＝16．
3．求证：．
[证明]　因为
所以．
4．计算：(1)；(2)．
[解]　(1)原式＝＝56＋4 950＝5 006．
(2)原式＝＝(n＋1)n＝n2＋n．
类型3　简单的组合问题
【例3】　现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
[思路点拨]　第(1)小题选2名教师不考虑男女，实质上是从10个不同的元素中取出2个的组合问题，可用直接法求解．第(2)小题必须选男、女教师各2名，才算完成所做的事，因此需要分两步进行，先从6名男教师中选2名，再从4名女教师中选2名，可用直接法求解．
[解]　(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即＝45(种)．
(2)从6名男教师中选2名的选法有种，从4名女教师中选2名的选法有种，根据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法＝90(种)．
　解简单的组合问题的方法
(1)先判断它是不是组合问题，取出的元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．
(2)由上面得出组合(排列)数，然后用公式计算．
[跟进训练]
5．平面内有10个点，其中任何3个点不共线．
(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？
(2)以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？
[解]　(1)所求线段的条数即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有＝45(条)．
(2)所求有向线段的条数即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有＝10×9＝90(条)．
1．下列问题中是组合问题的个数是(　　)
①从全班50人中选出5名组成班委会；
②从全班50人中选出5名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员和生活委员；
③从1，2，3，…，9中任取出两个数求积；
④从1，2，3，…，9中任取出两个数求商．
A．1 　 B．2
C．3 　 D．4
B　[①③与顺序无关，属于组合问题；②④与顺序有关，属于排列问题，故选B．]
2．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(　　)
种　种　种　种
D　[由题意，初中部和高中部学生人数之比为，所以抽取的60名学生中初中部应有60×＝40(人)，高中部应有60×＝20(人)，所以不同的抽样结果共有种，故选D．]
3．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有(　　)
A．种　　C．种
D　[每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有种选法；第二步，选男工，有种选法．故共有种不同的选法．]
4．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有________种．
2 520　[从10人中选派4人有种方法，对选出的4人具体安排会议有种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法种数为＝2 520．]
5．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一支足球队的上场队员是11人．问：
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？
(2)在选出11名上场队员时，还要确定其中一人为守门员，那么教练员有多少种方法做这件事情？
[解]　(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有＝12 376(种)．
(2)教练员可以分两步完成这件事情．
第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有种选法；第2步，从选出的11人中再选出1名守门员，共有种选法．
所以教练员做这件事情的方法数有＝136 136(种)．
1．组合的定义中包括两个内容：一是“取出元素”；二是“组成一组”是与顺序无关的问题．
2．与组合数有关的计算或证明，要合理地选择公式，计算时，一般用，而证明时，一般用．
3．本节课的易错点是利用组合数性质＝解题时，易误认为一定有x＝y，从而导致解题错误．事实上＝
课时分层作业(三十三)　组合　组合数及其性质
一、选择题
1．若，则m的值为(　　)
A．6　　　　 B．7　　
C．8　　　　 D．9
B　[∵＝，∴，∴＝，∴m＝3＋4＝7．]
2．若－＝，则n＝(　　)
A．12 　 B．13
C．14　 　 D．15
C　[∵－＝，∴＝＋＝，∴n＋1＝7＋8，∴n＝14．]
3．集合{0，1，2，3}中含有3个元素的子集的个数是(　　)
A．4 　 B．5
C．7 　 D．8
A　[由于集合中的元素是没有顺序的，一个含有3个元素的子集就是一个从{0，1，2，3}中取出3个元素的组合，这是一个组合问题，组合数是＝4．]
4．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有(　　)
A．125条 　 B．126条
C．127条 　 D．128条
B　[要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有＝126种走法，故从A地到B地的最短路线共有126条．]
5．假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，其中至少有2件次品的抽法种数为(　　)
A． B．
C． D．
B　[分为两类：第一类，取出的5件产品有2件次品3件合格品，有种抽法；第二类，取出的5件产品有3件次品2件合格品，有种抽法．因此共有()种抽法．]
二、填空题
6．设A＝{x|x＝，n∈N}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝________．
{1，4}　[当n＝0时＝1；当n＝1时＝4；当n＝2时＝6；
当n＝3时＝＝4；当n＝4时＝＝1，
∴A＝{x|x＝，n∈N}＝{1，4，6}．
又∵B＝{1，2，3，4}，
∴A∩B＝{1，4}．]
7．从2，3，5，7这四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________．
　[∵m＝，n＝，
∴m∶n＝．]
8．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排不同的3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)
140　[可分步完成此事，第一步选周六的3人共有种方法；第二步选周日的志愿者共有种方法．由分步乘法计数原理可知，不同的安排方案共有＝140(种)．]
三、解答题
9．已知，求m的值．
[解]　由组合数公式化简整理得m2－23m＋42＝0，解得m＝2或m＝21，又0≤m≤5，所以m＝2．
10．(1)设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有3个元素的子集有多少个？
(2)10位同学聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？
[解]　(1)从5个元素中取出3个元素并成一组，就是集合A的子集，元素无序，则共有＝10(个)．
(2)每两人握手一次就完成这一件事，则共有握手次数为＝45(次)．
．＋＝(　　)
B　[＋＝＋＋＋＝＋＝．]
12．有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，在直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有(　　)
A．70个 　 B．80个
C．82个 　 D．84个
A　[分两类，第1类：从直线a上任取一个点，从直线b上任取两个点，共有种方法；第2类：从直线a上任取两个点，从直线b上任取一个点，共有种方法．故满足条件的三角形共有＝70(个)．]
13．(多选题)若，则n的值可以是(　　)
A．6 　 B．7
C．8 　 D．10
ABC　[∵，∴
∴
即解得
∵n∈N＋，∴n＝6，7，8，9．]
14．在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成______个平行四边形，共有________个交点．
1 260　80　[第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构成一个平行四边形，故共有＝1 260(个)．第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个交点，所以共有＝80(个)．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(三十三)　组合　组合数及其性质
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共89分
一、选择题
1．若，则m的值为(　　)
A．6　　　　 B．7　　
C．8　　　　 D．9
2．若－＝，则n＝(　　)
A．12 　 B．13
C．14　 　 D．15
3．集合{0，1，2，3}中含有3个元素的子集的个数是(　　)
A．4 　 B．5
C．7 　 D．8
4．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有(　　)
A．125条 　 B．126条
C．127条 　 D．128条
5．假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，其中至少有2件次品的抽法种数为(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题
6．设A＝{x|x＝，n∈N}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝________．
7．从2，3，5，7这四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________．
8．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排不同的3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)
三、解答题
9．已知，求m的值．
10．(1)设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有3个元素的子集有多少个？
(2)10位同学聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？
．＋＝(　　)
12．有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，在直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有(　　)
A．70个 　 B．80个
C．82个 　 D．84个
13．(多选题)若，则n的值可以是(　　)
A．6 　 B．7
C．8 　 D．10
14．在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成______个平行四边形，共有________个交点．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)§3　组合问题
3.1　组合
3.2　组合数及其性质
学习任务 核心素养
1．理解组合及组合数的定义．(重点) 2．掌握组合数公式，并会应用求值．(难点) 1．通过对组合及组合数的概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助对组合数公式的应用，培养数学运算素养．
1．从1，2，3，5这四个数字中，任选两个数做加法，试写出所有不同的结果．
2．问题1中1＋2与2＋1是不同结果吗？这说明什么问题？
1．组合及组合问题
组合 一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素为____，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
组合问题 有关求组合的个数的问题
2．排列与组合的异同点
相同点 都是关于从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的计数问题
不同点 排列需考虑元素顺序，组合不需考虑元素顺序，即只有元素____且顺序也____的两个排列才是相同的；只要两个组合的元素____，不管元素的顺序如何，都是相同的组合
3．组合数、组合数公式及其性质
组合数 从n个不同元素中取出m(mn，且m，n∈N+)个元素的所有__________，叫作从n个不同元素中取出m(mn，且m，n∈N+)个元素的组合数，用符号表示
公 式 乘积式 ＝
阶乘式 ＝
性质 性质1　
性质2　
规定 ＝1
组合数公式与排列数公式有何联系？
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1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)元素相同的两个组合即为同一组合． (　　)
(2)若组合式＝，则x＝m成立． (　　)
＝＋． (　　)
． (　　)
2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何3个村庄在一条直线上，现要在该社区内建造“村村通”工程，共需建公路的条数为(　　)
A．4　　　 B．8　
C．28　　　 D．64
．＋＝________．
4．已知＝＋，则＝________．
类型1　组合的概念
【例1】　判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．
(1)10个人相互写一封信，共写出了多少封信？
(2)10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？
(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？
(4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？
(5)从10个人中选出3人担任3个不同学科的课代表，有多少种选法？
[尝试解答]　________________________________________________________
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　区分排列与组合的方法是看事件是否有顺序，而区分事件有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，若对结果产生影响，即说明有顺序，是排列问题；若对结果没有影响，即说明无顺序，是组合问题．
[跟进训练]
1．给出下列问题：
(1)在北京、上海和广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？
(2)在北京、上海和广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票价？(往返票价相同)
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长和学习委员3个职务，有多少种不同的选法？
(4)从全班40人中选出3人参加某项劳动，有多少种不同的选法？
在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？
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类型2　组合数公式及性质的应用
【例2】　(1)计算：①；②＋；③＋＋…＋．
(2)证明：＋＝．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　关于组合数的性质
(1)关于组合数的性质1()
①该性质反映了组合数的对称性，即从n个不同的元素中取出m个元素的每一个组合，都对应着剩下的n－m个元素的一个组合，反过来也一样，这是一一对应的关系．
②当m>．
(2)组合数的性质2()
①形式特点：公式的左端下标为n＋1，右端下标为n，相差1，上标左端与右端的一个相同，右端的另一个比它们少1．
②作用：常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明．应用时要注意公式的正用、逆用和变形用．正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用．
[跟进训练]
2．求值：．
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3．求证：．
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4．计算：(1)；(2)．
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类型3　简单的组合问题
【例3】　现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
[思路点拨]　第(1)小题选2名教师不考虑男女，实质上是从10个不同的元素中取出2个的组合问题，可用直接法求解．第(2)小题必须选男、女教师各2名，才算完成所做的事，因此需要分两步进行，先从6名男教师中选2名，再从4名女教师中选2名，可用直接法求解．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　解简单的组合问题的方法
(1)先判断它是不是组合问题，取出的元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．
(2)由上面得出组合(排列)数，然后用公式计算．
[跟进训练]
5．平面内有10个点，其中任何3个点不共线．
(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？
(2)以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？
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1．下列问题中是组合问题的个数是(　　)
①从全班50人中选出5名组成班委会；
②从全班50人中选出5名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员和生活委员；
③从1，2，3，…，9中任取出两个数求积；
④从1，2，3，…，9中任取出两个数求商．
A．1 　 B．2
C．3 　 D．4
2．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(　　)
种　种　种　种
3．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有(　　)
A．种　　C．种
4．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有________种．
5．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一支足球队的上场队员是11人．问：
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？
(2)在选出11名上场队员时，还要确定其中一人为守门员，那么教练员有多少种方法做这件事情？
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1．组合的定义中包括两个内容：一是“取出元素”；二是“组成一组”是与顺序无关的问题．
2．与组合数有关的计算或证明，要合理地选择公式，计算时，一般用，而证明时，一般用．
3．本节课的易错点是利用组合数性质＝解题时，易误认为一定有x＝y，从而导致解题错误．事实上＝
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第五章　计数原理
§3　组合问题
3.1　组合
3.2　组合数及其性质
学习任务 核心素养
1．理解组合及组合数的定义．(重点)
2．掌握组合数公式，并会应用求值．(难点) 1．通过对组合及组合数的概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助对组合数公式的应用，培养数学运算素养．
1．从1，2，3，5这四个数字中，任选两个数做加法，试写出所有不同的结果．
2．问题1中1＋2与2＋1是不同结果吗？这说明什么问题？
必备知识·情境导学探新知
1．组合及组合问题
组合 一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素为____，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
组合问题 有关求组合的个数的问题
一组　
2．排列与组合的异同点
相同点 都是关于从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的计数问题
不同点 排列需考虑元素顺序，组合不需考虑元素顺序，即只有元素____且顺序也____的两个排列才是相同的；只要两个组合的元素____，不管元素的顺序如何，都是相同的组合
相同
相同
相同
3．组合数、组合数公式及其性质
组合数
公式 乘积式
阶乘式
组合的个数



性质
规定


思考　组合数公式与排列数公式有何联系？
√
×
√
√
2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何3个村庄在一条直线上，现要在该社区内建造“村村通”工程，共需建公路的条数为(　　)
A．4　　　 B．8　
C．28　　　 D．64
√
36
91　
关键能力·合作探究释疑难
类型1　组合的概念
【例1】　判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．
(1)10个人相互写一封信，共写出了多少封信？
(2)10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？
(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？
(4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？
(5)从10个人中选出3人担任3个不同学科的课代表，有多少种选法？
反思领悟　区分排列与组合的方法是看事件是否有顺序，而区分事件有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，若对结果产生影响，即说明有顺序，是排列问题；若对结果没有影响，即说明无顺序，是组合问题．
[跟进训练]
1．给出下列问题：
(1)在北京、上海和广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？
(2)在北京、上海和广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票价？(往返票价相同)
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长和学习委员3个职务，有多少种不同的选法？
(4)从全班40人中选出3人参加某项劳动，有多少种不同的选法？
在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？
[解]　(1)飞机票与起点、终点有关，有顺序，是排列问题．
(2)票价与起点、终点无关，没有顺序，是组合问题．
(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．
(4)3人参加某项相同劳动，没有顺序，是组合问题．
类型3　简单的组合问题
【例3】　现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
[思路点拨]　第(1)小题选2名教师不考虑男女，实质上是从10个不同的元素中取出2个的组合问题，可用直接法求解．第(2)小题必须选男、女教师各2名，才算完成所做的事，因此需要分两步进行，先从6名男教师中选2名，再从4名女教师中选2名，可用直接法求解．
反思领悟　解简单的组合问题的方法
(1)先判断它是不是组合问题，取出的元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．
(2)由上面得出组合(排列)数，然后用公式计算．
[跟进训练]
5．平面内有10个点，其中任何3个点不共线．
(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？
(2)以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．下列问题中是组合问题的个数是(　　)
①从全班50人中选出5名组成班委会；
②从全班50人中选出5名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员和生活委员；
③从1，2，3，…，9中任取出两个数求积；
④从1，2，3，…，9中任取出两个数求商．
A．1 　B．2 C．3 　D．4
B　[①③与顺序无关，属于组合问题；②④与顺序有关，属于排列问题，故选B．]
√
√
4．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有________种．
2 520　
5．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一支足球队的上场队员是11人．问：
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？
(2)在选出11名上场队员时，还要确定其中一人为守门员，那么教练员有多少种方法做这件事情？
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
课时分层作业(三十三)　组合　组合数及其性质
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
3．集合{0，1，2，3}中含有3个元素的子集的个数是(　　)
A．4 　 B．5
C．7 　 D．8
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
4．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有(　　)

A．125条 　 B．126条
C．127条 　 D．128条
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
{1，4}　
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
7．从2，3，5，7这四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________．

题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
8．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排不同的3人，则不同的安排方案共有_____种．(用数字作答)
140
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
[解]　由组合数公式化简整理得m2－23m＋42＝0，解得m＝2或m＝21，又0≤m≤5，所以m＝2．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
10．(1)设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有3个元素的子集有多少个？
(2)10位同学聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14

题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
12．有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，在直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有(　　)
A．70个 　 B．80个
C．82个 　 D．84个
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
14．在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成______个平行四边形，共有________个交点．
1 260　
80　

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