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课时分层作业(三十六)
1．A　[(7a＋b)10展开式的二项式系数之和为210，令x＝1，y＝1，则由题意知，4n＝210，解得n＝5．]
2．B　[由2n＝64，得n＝6，∴Tk+1＝x6-kx6-2k(0≤k≤6，k∈N)．
由6－2k＝0，得k＝3．∴T4＝＝20．]
3．C　[(x－1)11＝x11＋x10(－1)1＋x9·(－1)2＋…＋(－1)11，偶次项系数为负数，其和为－210＝－1 024．]
4．A　[令x＝－1，得a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝(3－(－1))4＝44＝256．]
5．C　[由(1＋mx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝(1＋m)8，令x＝0，可得a0＝18＝1，所以a1＋a2＋…＋a8＝(1＋m)8－1＝255，解得m＝1或m＝－3．故选C．]
6．10　[令x＝1得2n＝32，∴n＝5．
∵Tk+1＝(x2)5-k··x10-5k，∴由10－5k＝0，得k＝2，∴展开式中的常数项是＝10．]
7．34　[由已知，即，化简得．解得n＝34．]
8．10　[∵f(x)＝x5＝[(1＋x)－1]5，∴a3＝(－1)2＝10．]
9．解：依题意可知2n＝1 024，因此n＝10．
从而可知展开式的通项为
Tk+1＝(x2)10-k(－1)k＝(－1)kx20-2k，
要使此项含x6，必须有20－2k＝6，从而有k＝7，因此含x6的项为
T8＝(－1)7x6＝－x6＝－120x6．
10．解：(1)各项系数之和即为a0＋a1＋a2＋…＋a10，令x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－3)10＝(－1)10＝1．
(2)奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9．
由(1)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①
令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②
①＋②得，2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，故奇数项系数的和为(1＋510)：
①－②得，2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，故偶数项系数的和为(1－510)．
11．C　[令t＝x－3，则(x－2)5－3x4＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋a3(x－3)3＋a4(x－3)4＋a5(x－3)5可化为(t＋1)5－3(t＋3)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，则a3＝×3＝10－36＝－26．]
12．A　[在(n∈N+)的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第6项，则n＝10，则的展开式的通项为Tk+1＝·2k·，令5－＝0，得k＝2，可得展开式中常数项为·22＝180．]
13．ABC　[展开式的第k＋1项Tk+1＝x13-k·＝(－1)kx13-2k(k＝0，1，2，…，13)．对于A，展开式共有14项，根据组合数的性质可知，中间两项的二项式系数最大，即第7项和第8项的二项式系数最大，故A正确：对于B，令13－2k＝0，得k＝，不是整数，则无常数项，故B正确：对于C，第7项的系数为(－1)6，第8项的系数为(－1)7<0，显然，故第7项系数最大，故C正确：对于D，第4项的系数为(－1)3＝－286，故D不正确．故选ABC．]
14．6　63　[逆用二项式定理得＋22＋23＋…＋2n＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以＋…＋＝26－＝64－1＝63．]
15．解：∵，
∴其通项为Tr+1＝(r＝0，1，…，10)，
要求原式中的常数项，则应先求出的展开式中的常数项．
∵Tk+1＝ar-kar-3k(k＝0，1，2，…，r)，
由题意，令r－3k＝0，即r是k的3倍．
又r∈N，且r≤10，∴r＝0，3，6，9，此时k＝0，1，2，3．
当r＝0时，k＝0，系数为＝1：
当r＝3时，k＝1，系数为＝360：
当r＝6时，k＝2，系数为＝3 150：
当r＝9时，k＝3，系数为＝840．
∴展开式的常数项为1＋360＋3 150＋840＝4 351．
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第五章　计数原理
§4　二项式定理
4.2　二项式系数的性质
学习任务 核心素养
1．了解杨辉三角．
2．掌握二项式系数的性质．(重点)
3．会用赋值法求系数和．(难点、重点) 通过对二项式系数的性质的应用，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学素养．
　　同学们根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二项式系数．可以写成如下形式：
必备知识·情境导学探新知
　　这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示，在那本书里用汉字表示的，这个表称为“杨辉三角”．在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡发现的，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，由此可见我国古代在数学方面的成就．
1．当n依次取1，2，3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数如图：
(1)该表叫作____________，也称为杨辉三角；
(2)特征：表中每行两端都是_，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数____．
二项式系数表
1　
之和　

<　
<　
2n
√
×
√
√
2．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是
(　　)
A．第n－k项　　　 B．第n－k－1项
C．第n－k＋1项　 D．第n－k＋2项
√
560　
4．已知在(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________．
3　[设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5．②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，
即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3．]
3　
关键能力·合作探究释疑难
类型1　与杨辉三角有关的问题
【例1】在杨辉三角中，每个数值是它“肩上”的
两个数之和，这个三角形中开头几行如图所示．
问：在杨辉三角中的某一行会出现相邻的三个数，
它们的比是3∶4∶5吗
[思路点拨]　由杨辉三角可直观地得出二项式系数的值，但它仅适用于(a＋b)n中n值较小时．
反思领悟　解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察，找出每一行数据间的相互联系，以及行与行间数据的相互联系，然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解．注意观察方法，横看、竖看、连续看、偏行看，从多角度观察．
[跟进训练]
1．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一列数：1，2，3，3，6，4，10，…，在这列数中，第10个数是_____．
6　
类型2　赋值法求多项式的系数和
【例2】　若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：
(1)a7＋a6＋…＋a1；
(2)a7＋a5＋a3＋a1；
(3)a6＋a4＋a2＋a0；
(4)|a7|＋|a6|＋…＋|a1|．
(4)∵(3x－1)7展开式中，a7、a5、a3、a1均大于零，而a6、a4、a2、a0均小于零，
∴|a7|＋|a6|＋…＋|a1|＝(a1＋a3＋a5＋a7)－(a0＋a2＋a4＋a6)＝8 256－(－8 128)＝16 384．
[跟进训练]
2．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________．
－256　[令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，①
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25，②
由①②，解得a0＋a2＋a4＝－(a1＋a3＋a5)＝16，
则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256．]
－256　
反思领悟　1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得．
学习效果·课堂评估夯基础
1．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于(　　)
A．11　　　　B．10　　　　C．9　　　　D．8
√
2．(1－x)7的展开式中，系数最大的项是(　　)
A．第3项　　　 B．第4项
C．第5项　　　 D．第6项
√
C　[(1－x)7的展开式共有8项，其中中间项两项，第4项和第5项系数的绝对值最大，但第4项系数是负的．故选C．]
√
5　
1．二项式系数之和等于2n．
2．可以用赋值法求与二项式系数有关的问题．
3．二项展开式系数最大、最小项可转化为解不等式问题．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
课时分层作业(三十六)　二项式系数的性质
一、选择题
1．若(x＋3y)n展开式的系数和等于(7a＋b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为(　　)
A．5　　　B．8　　　C．10　　　D．15
A　[(7a＋b)10展开式的二项式系数之和为210，令x＝1，y＝1，则由题意知，4n＝210，解得n＝5．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
3．(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是(　　)
A．－2 048　　　 B．－1 023
C．－1 024　　　 D．1 024
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
4．设(3－x)n＝a0＋a1x＋a2 x2＋…＋an xn，若n＝4，则a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝(　　)
A．256　　　B．136　　　C．120　　　D．16
√
A　[令x＝－1，得a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝(3－(－1))4＝44＝256．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
5．设(1＋mx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，若a1＋a2＋…＋a8＝255，则实数m为(　　)
A．1　　 B．－1
C．1或－3　　 D．－1或－3
√
C　[由(1＋mx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝(1＋m)8，令x＝0，可得a0＝18＝1，所以a1＋a2＋…＋a8＝(1＋m)8－1＝255，解得m＝1或m＝－3．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
10　
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
7．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第________行中从左至右第14个与第15个数的比为2∶3．
34
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
8．将函数f (x)＝x5表示为f (x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________．
10　
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
三、解答题
9．(源自人教B版教材)已知(x2－1)n的展开式中，所有的二项式系数之和为1 024，求展开式中含x6的项．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
10．若(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10 y10，求：
(1)各项系数之和；
(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和．
[解]　(1)各项系数之和即为a0＋a1＋a2＋…＋a10，令x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－3)10＝(－1)10＝1．
(2)奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
11．若(x－2)5－3x4＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋a3(x－3)3＋a4(x－3)4＋a5(x－3)5，则a3＝(　　)
A．－70　　　　B．28　　　　C．－26　　　　D．40
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
√
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
6
63　
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
154.2　二项式系数的性质
学习任务 核心素养
1．了解杨辉三角． 2．掌握二项式系数的性质．(重点) 3．会用赋值法求系数和．(难点、重点) 通过对二项式系数的性质的应用，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学素养．
　　同学们根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二项式系数．可以写成如下形式:
　　这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示，在那本书里用汉字表示的，这个表称为“杨辉三角”．在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡发现的，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，由此可见我国古代在数学方面的成就．
1．当n依次取1，2，3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数如图:
(1)该表叫作二项式系数表，也称为杨辉三角；
(2)特征:表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之和．
2．(a＋b)n展开式的二项式系数有如下性质:
(1．
(2．
(3)当r<时，C ；当r>时，．
(4＋…＋＝2n．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)杨辉三角中的每个数都是组合数． (　　)
(2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的． (　　)
(3)二项展开式的二项式系数和为2n． (　　)
(4)当x>0，且n∈N时，≥1＋nx． (　　)
2．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是(　　)
A．第n－k项　　　　 B．第n－k－1项
C．第n－k＋1项　　 D．第n－k＋2项
3．若二项式的展开式中的各项系数之和为－1，则含x2的项的系数为________．
4．已知在(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________．
类型1　与杨辉三角有关的问题
【例1】在杨辉三角中，每个数值是它“肩上”的两个数之和，这个三角形中开头几行如图所示．
问:在杨辉三角中的某一行会出现相邻的三个数，它们的比是3∶4∶5吗
[思路点拨]　由杨辉三角可直观地得出二项式系数的值，但它仅适用于(a＋b)n中n值较小时．
[尝试解答]　________________________________________________________
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___________________________________________________________________
　解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是:通过观察，找出每一行数据间的相互联系，以及行与行间数据的相互联系，然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解．注意观察方法，横看、竖看、连续看、偏行看，从多角度观察．
[跟进训练]
1．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一列数:1，2，3，3，6，4，10，…，在这列数中，第10个数是________．
类型2　赋值法求多项式的系数和
【例2】　若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求:
(1)a7＋a6＋…＋a1；
(2)a7＋a5＋a3＋a1；
(3)a6＋a4＋a2＋a0；
(4)|a7|＋|a6|＋…＋|a1|．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　1．对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
2．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则
(1)各项系数和a0＋a1＋a2＋…＋an＝f(1)．
(2)奇数项系数和a0＋a2＋a4＋…＝．
(3)偶数项系数和a1＋a3＋a5＋…＝．
[跟进训练]
2．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________．
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类型3　二项式系数性质的应用
【例3】　(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
[尝试解答]　________________________________________________________
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　1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得．
[跟进训练]
3．已知在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项．
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1．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于(　　)
A．11　　　　B．10　　　　C．9　　　　D．8
2．(1－x)7的展开式中，系数最大的项是(　　)
A．第3项　　　 B．第4项
C．第5项　　　 D．第6项
3．已知＋…＋(－1)n4n＝729，则＋…＋的值等于(　　)
A．64　　B．32　　C．63　　D．31
4．的展开式中，各项系数中的最大值为________．
5．已知(a2＋1)n的展开式中各项系数之和等于5的展开式的常数项，若(a2＋1)n的展开式中二项式系数最大的项等于54，求a的值．
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1．二项式系数之和等于2n．
2．可以用赋值法求与二项式系数有关的问题．
3．二项展开式系数最大、最小项可转化为解不等式问题．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(三十六)　二项式系数的性质
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分
一、选择题
1．若(x＋3y)n展开式的系数和等于(7a＋b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为(　　)
A．5　　　　B．8　　　　C．10　　　　D．15
2．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)
A．10　　　 　　B．20　　　 　　C．30　　　 　　D．120
3．(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是(　　)
A．－2 048　　　 B．－1 023
C．－1 024　　　 D．1 024
4．设(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若n＝4，则a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝(　　)
A．256　　　　　　B．136　　　　　C．120　　　 　　D．16
5．设(1＋mx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，若a1＋a2＋…＋a8＝255，则实数m为(　　)
A．1　　 B．－1
C．1或－3　　 D．－1或－3
二、填空题
6．若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________．
7．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第________行中从左至右第14个与第15个数的比为2∶3．
8．将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________．
三、解答题
9．(源自人教B版教材)已知(x2－1)n的展开式中，所有的二项式系数之和为1 024，求展开式中含x6的项．
10．若(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，求:
(1)各项系数之和；
(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和．
11．若(x－2)5－3x4＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋a3(x－3)3＋a4(x－3)4＋a5(x－3)5，则a3＝(　　)
A．－70　　　　B．28　　　　C．－26　　　　D．40
12．在(n∈N+)的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第6项，则展开式中常数项是(　　)
A．180　　　　B．120　　　　C．90　　　　D．45
13．(多选题)关于的说法，下列正确的是(　　)
A．展开式中第7项和第8项的二项式系数最大
B．展开式中无常数项
C．展开式中的第7项的系数最大
D．展开式中第4项的系数为286
14．已知＋…＋2n＝729，则n＝________；＋…＋＝________．
15．求展开式中的常数项．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)4.2　二项式系数的性质
学习任务 核心素养
1．了解杨辉三角． 2．掌握二项式系数的性质．(重点) 3．会用赋值法求系数和．(难点、重点) 通过对二项式系数的性质的应用，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学素养．
　　同学们根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二项式系数．可以写成如下形式：
　　这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示，在那本书里用汉字表示的，这个表称为“杨辉三角”．在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡发现的，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，由此可见我国古代在数学方面的成就．
1．当n依次取1，2，3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数如图：
(1)该表叫作二项式系数表，也称为杨辉三角；
(2)特征：表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之和．
2．(a＋b)n展开式的二项式系数有如下性质：
(1．
(2．
(3)当r<时，C ；当r>时，．
(4＋…＋＝2n．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)杨辉三角中的每个数都是组合数． (　　)
(2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的． (　　)
(3)二项展开式的二项式系数和为2n． (　　)
(4)当x>0，且n∈N时，≥1＋nx． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是(　　)
A．第n－k项　　　　 B．第n－k－1项
C．第n－k＋1项　　 D．第n－k＋2项
D　[第k项的二项式系数是，由于，故第n－k＋2项的二项式系数与第k项的二项式系数相同．]
3．若二项式的展开式中的各项系数之和为－1，则含x2的项的系数为________．
560　[取x＝1，得二项式的展开式中的各项系数之和为(1＋a)7，即(1＋a)7＝－1，解得a＝－2．二项式·(x2)7-k··(－2)k·x14-3k．令14－3k＝2，得k＝4．因此，二项式·(－2)4＝560．]
4．已知在(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________．
3　[设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5．②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，
即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3．]
类型1　与杨辉三角有关的问题
【例1】在杨辉三角中，每个数值是它“肩上”的两个数之和，这个三角形中开头几行如图所示．
问：在杨辉三角中的某一行会出现相邻的三个数，它们的比是3∶4∶5吗
[思路点拨]　由杨辉三角可直观地得出二项式系数的值，但它仅适用于(a＋b)n中n值较小时．
[解]　杨辉三角的第n行是二项式(a＋b)n展开式的二项式系数，即．如果第n行中有三个连续的系数之比为3∶4∶5，那么就有一个正整数k，使得
从而有
即，它们的比为3∶4∶5．
　解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察，找出每一行数据间的相互联系，以及行与行间数据的相互联系，然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解．注意观察方法，横看、竖看、连续看、偏行看，从多角度观察．
[跟进训练]
1．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一列数：1，2，3，3，6，4，10，…，在这列数中，第10个数是________．
6　[由题图知，第1个数是，第2个数是，第3个数是，第4个数是……第9个数是，第10个数是．]
类型2　赋值法求多项式的系数和
【例2】　若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：
(1)a7＋a6＋…＋a1；
(2)a7＋a5＋a3＋a1；
(3)a6＋a4＋a2＋a0；
(4)|a7|＋|a6|＋…＋|a1|．
[解]　(1)令x＝0，则a0＝－1；
令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①
∴a7＋a6＋…＋a1＝129．
(2)令x＝－1，则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②
由得，a7＋a5＋a3＋a1＝[128－(－4)7]＝8 256．
(3)由得，a6＋a4＋a2＋a0＝[128＋(－4)7]＝－8 128．
(4)∵(3x－1)7展开式中，a7、a5、a3、a1均大于零，而a6、a4、a2、a0均小于零，
∴|a7|＋|a6|＋…＋|a1|＝(a1＋a3＋a5＋a7)－(a0＋a2＋a4＋a6)＝8 256－(－8 128)＝16 384．
　1．对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
2．一般地，若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则
(1)各项系数和a0＋a1＋a2＋…＋an＝f (1)．
(2)奇数项系数和a0＋a2＋a4＋…＝．
(3)偶数项系数和a1＋a3＋a5＋…＝．
[跟进训练]
2．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________．
-256　[令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，①
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25，②
由①②，解得a0＋a2＋a4＝－(a1＋a3＋a5)＝16，
则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256．]
类型3　二项式系数性质的应用
【例3】　(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
[解]　(1)令x＝1，则二项展开式各项系数的和为(1＋3)n＝4n，展开式中各项的二项式系数之和为2n，
由题意知，4n－2n＝992．
∴(2n)2－2n－992＝0，
∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍)或2n＝32，∴n＝5．
由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是第3项(3x2)2＝90x6，第4项(3x2)3＝270．
(2)展开式中的通项公式为3k·．
假设第k＋1项系数最大，则有
∴
∴．
∵k∈N，∴k＝4．
∴展开式中系数最大的项为第5项34·．
　1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得．
[跟进训练]
3．已知在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项．
[解]　由二项式系数最大项的性质知n＝8，展开式的通项为Tk+1＝8-k·．
设第k＋1项系数最大，
则
解得2≤k≤3(k∈N)，
∴k＝2或3，∴二项式的展开式中系数最大的项是T3＝2-2，T4＝2-3．
1．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于(　　)
A．11　　　　B．10　　　　C．9　　　　D．8
D　[∵只有第5项的二项式系数最大，∴＋1＝5．∴n＝8．]
2．(1－x)7的展开式中，系数最大的项是(　　)
A．第3项　　　 B．第4项
C．第5项　　　 D．第6项
C　[(1－x)7的展开式共有8项，其中中间项两项，第4项和第5项系数的绝对值最大，但第4项系数是负的．故选C．]
3．已知＋…＋(－1)n4n＝729，则＋…＋的值等于(　　)
A．64　　B．32　　C．63　　D．31
C　[因为＋…＋(－1)n4n＝729，所以(1－4)n＝36，所以n＝6，
因此＋…＋＝2n－1＝26－1＝63．]
4．的展开式中，各项系数中的最大值为________．
5　[二项式xk，0≤k≤10且k∈N，
设展开式中第k＋1项系数最大，
则
解得，又k∈N，故k＝8，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为＝5．]
5．已知(a2＋1)n的展开式中各项系数之和等于5的展开式的常数项，若(a2＋1)n的展开式中二项式系数最大的项等于54，求a的值．
[解]　的展开式的通项为Tk+1＝
，
令20－5k＝0，则k＝4，
所以常数项为T5＝·＝16．
因为(a2＋1)n的展开式中各项系数之和等于2n，
所以2n＝16，n＝4．
由二项式系数的性质知，(a2＋1)4的展开式中二项式系数最大的项是T3，所以a4＝54．
解得a＝±．
1．二项式系数之和等于2n．
2．可以用赋值法求与二项式系数有关的问题．
3．二项展开式系数最大、最小项可转化为解不等式问题．
课时分层作业(三十六)　二项式系数的性质
一、选择题
1．若(x＋3y)n展开式的系数和等于(7a＋b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为(　　)
A．5　　　　B．8　　　　C．10　　　　D．15
A　[(7a＋b)10展开式的二项式系数之和为210，令x＝1，y＝1，则由题意知，4n＝210，解得n＝5．]
2．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)
A．10　　　 　　B．20　　　 　　C．30　　　 　　D．120
B　[由2n＝64，得n＝6，∴Tk+1＝x6-2k(0≤k≤6，k∈N)．
由6－2k＝0，得k＝3．∴T4＝＝20．]
3．(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是(　　)
A．－2 048　　　B．－1 023
C．－1 024　　　D．1 024
C　[(x－1)11＝x10(－1)1＋x9·(－1)2＋…＋(－1)11，偶次项系数为负数，其和为－210＝－1 024．]
4．设(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若n＝4，则a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝(　　)
A．256　　　　　　B．136　　　　　C．120　　　 　　D．16
A　[令x＝－1，得a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝(3－(－1))4＝44＝256．]
5．设(1＋mx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，若a1＋a2＋…＋a8＝255，则实数m为(　　)
A．1　　B．－1
C．1或－3　　D．－1或－3
C　[由(1＋mx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝(1＋m)8，令x＝0，可得a0＝18＝1，所以a1＋a2＋…＋a8＝(1＋m)8－1＝255，解得m＝1或m＝－3．故选C．]
二、填空题
6．若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________．
10　[令x＝1得2n＝32，∴n＝5．
∵Tk+1＝(x2)5-k··x10-5k，∴由10－5k＝0，得k＝2，∴展开式中的常数项是＝10．]
7．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第________行中从左至右第14个与第15个数的比为2∶3．
34　[由已知，即，化简得．解得n＝34．]
8．将函数f (x)＝x5表示为f (x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________．
10　[∵f (x)＝x5＝[(1＋x)－1]5，∴a3＝(－1)2＝10．]
三、解答题
9．(源自人教B版教材)已知(x2－1)n的展开式中，所有的二项式系数之和为1 024，求展开式中含x6的项．
[解]　依题意可知2n＝1 024，因此n＝10．
从而可知展开式的通项为
Tk+1＝(x2)10-k(－1)k＝(－1)kx20-2k，
要使此项含x6，必须有20－2k＝6，从而有k＝7，因此含x6的项为
T8＝(－1)7x6＝－120x6．
10．若(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，求：
(1)各项系数之和；
(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和．
[解]　(1)各项系数之和即为a0＋a1＋a2＋…＋a10，令x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－3)10＝(－1)10＝1．
(2)奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9．
由(1)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①
令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②
①＋②得，2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，故奇数项系数的和为(1＋510)；
①－②得，2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，故偶数项系数的和为(1－510)．
11．若(x－2)5－3x4＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋a3(x－3)3＋a4(x－3)4＋a5(x－3)5，则a3＝(　　)
A．－70　　　　B．28　　　　C．－26　　　　D．40
C　[令t＝x－3，则(x－2)5－3x4＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋a3(x－3)3＋a4(x－3)4＋a5(x－3)5可化为(t＋1)5－3(t＋3)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，则a3＝×3＝10－36＝－26．]
12．在(n∈N+)的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第6项，则展开式中常数项是(　　)
A．180　　　　B．120　　　　C．90　　　　D．45
A　[在(n∈N+)的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第6项，则n＝10，则·2k·，令5－＝0，得k＝2，可得展开式中常数项为·22＝180．]
13．(多选题)关于的说法，下列正确的是(　　)
A．展开式中第7项和第8项的二项式系数最大
B．展开式中无常数项
C．展开式中的第7项的系数最大
D．展开式中第4项的系数为286
ABC　[·x13-k＝(－1)kx13-2k(k＝0，1，2，…，13)．对于A，展开式共有14项，根据组合数的性质可知，中间两项的二项式系数最大，即第7项和第8项的二项式系数最大，故A正确；对于B，令13－2k＝0，得k＝，不是整数，则无常数项，故B正确；对于C，第7项的系数为(－1)6，第8项的系数为(－1)7<0，显然，故第7项系数最大，故C正确；对于D，第4项的系数为(－1)3＝－286，故D不正确．故选ABC．]
14．已知＋…＋2n＝729，则n＝________；＋…＋＝________．
6　63　[逆用二项式定理得＋…＋2n＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以＋…＋＝64－1＝63．]
15．求展开式中的常数项．
[解]　∵，
∴其通项为Tr+1＝(r＝0，1，…，10)，
要求原式中的常数项，则应先求出的展开式中的常数项．
∵Tk+1＝ar-3k(k＝0，1，2，…，r)，
由题意，令r－3k＝0，即r是k的3倍．
又r∈N，且r≤10，∴r＝0，3，6，9，此时k＝0，1，2，3．
当r＝0时，k＝0，系数为＝1；
当r＝3时，k＝1，系数为＝360；
当r＝6时，k＝2，系数为＝3 150；
当r＝9时，k＝3，系数为＝840．
∴展开式的常数项为1＋360＋3 150＋840＝4 351．
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