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3.3.1抛物线及其标准方程
3.3抛物线
01
02
抛物线的定义
抛物线的标准方程
目 录
03
抛物线的应用
抛物线的定义
回顾
通过最近对圆锥曲线的学习，我们了解到了如果动点M到定点F的距离与到定直线l(不过点F)的距离之比为一大于零且不等于一的定值，那么这个动点的轨迹为椭圆或双曲线，那么令人不由想到定值等于一的时候轨迹是何图形？
问题1　结合椭圆与双曲线的第二定义以及图示思考抛物线的定义？
提示　动点满足哪些几何特征
抛物线定义
我们把平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。
抛物线的标准方程
问题2　类比椭圆，怎么建系可以使得抛物线的标准方程最简单？
提示　根据抛物线的几何特征，我们取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 x 轴，垂足为 K,并使原点与线段 KF 的中点重合，建立平面直角坐标系 Oxy. 设 |KF|=p(p>0),那么焦点 F 的坐标为？准线 l 的方程为？
设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P＝{M||MF|＝d}.
将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p>0).
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
______________ __________ ________
_______________ ___________ ________
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
______________ __________ ________
_______________ ___________ ________
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
注：
(1)p的几何意义是焦点到准线的距离.
(2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上.
(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项系数的正负.
抛物线的应用
例1 (1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F1，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为_____.
4
把点A(2，－4)代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，从而抛物线的焦点为(2，0).故点A到焦点的距离为4.
(2)设点A的坐标为(1， )，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为
A.1 B.2 C.3 D.4
√
由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是|PF|＝d＋1，
所以d＋|PA|＝|PF|－1＋|PA|的最小值为|AF|－1＝4－1＝3.
例2 (1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求他的交点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点是F(0,2),求它的标准方程。
解：(1)因为p=3，抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以它的焦点坐标是(，0)，准线方程是x=- ；
(2)因为抛物线的焦点在y轴负半轴上，且2，p=4，所以抛物线的标准方程是x2=-8y。
1.知识清单：
(1)抛物线的定义.
(2)抛物线标准方程的四种形式.
(3)抛物线定义的应用.
2.方法归纳：待定系数法、定义法、转化与化归.
3.常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式.
随堂练习
√
由抛物线y＝2px2过点(1，4)，可得p＝2，
√
3.已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是
√
4.若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为______________________.
(－9，6)或(－9，－6)
由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，
设点M到准线的距离为d，
得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.
设点M(－9，y)，又M在抛物线上，得y＝±6，
故点M的坐标为(－9，6)或(－9，－6).

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