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(共25张PPT)
1.会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性.
2.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.
3.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题，掌握几何证明题的一般步骤.
用尺规作一个角的平分线，角的平分线的性质.
角的平分线性质的探究.
难点
重点
角的平分线的概念
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线.
O
B
C
A
1
2
如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系.研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况.在图中，当OM与ON满足什么关系时，PM=PN？
在△OPM和△OPN中，OP=OP，∠POM=∠PON.
如果OM=ON，那么△OPM≌△OPN （SAS），就有PM=PN.
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
用量角器度量，也可用折纸的方法．　　
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=
DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角的平分线，你能说明它的道理吗
A
B
C
(E)
D
其依据是SSS，两全等三角形的
对应角相等.
问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具——尺规，能实现该仪器的功能吗？
A
B
O
提示：
(1)已知什么？求作什么？
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程
(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程？
(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
尺规作角的平分线
A
B
M
N
C
O
已知:∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
仔细观察步骤
作角的平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点M，N为圆心，大于
MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）作射线OC.射线OC即为所求.
知识点1 角的平分线的尺规作图
（1）以“适当长为半径”是为了方便作图，不能太长，也不能太短.
（2）“以大于 MN的长为半径作弧”
是因为小于 MN的长为半径作弧时
两弧没有交点，等于 MN的长为半
径作弧时不容易操作.
A
B
M
N
C
O
（3）应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部.
（4）“作射线OC ”不能说成“连接OC ”，因为连接OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线.
A
B
M
N
C
O
已知：平角∠AOB.
求作：平角∠AOB的角平分线.
结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.
A
B
O
C
知识点2 角的平分线的性质
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB,点D，E为垂足，测量PD，PE的长.将三次数据填入下表：
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________
PD PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
P
D
E
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点.
猜想：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
验证结论
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证PD=PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC=∠BOC.
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△OPD和△OPE中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △OPD ≌ △OPE(AAS).
∴PD=PE.
一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
性质定理： 角的平分线上的点到角两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
应用格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE.
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
知识要点
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知），
∴ = ，( )
角的平分线上的点到角两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
(2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知），
∴ = ,
( )
角的平分线上的点到角两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
例 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,
DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF.
A
B
C
D
E
F
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .
A
B
C
D
3
E
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）
A.SSS B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
B
M
N
C
O
A
4.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点为P，画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么？
A
O
B
M
N
P
解：在△MOP和△NOP中，
OM=ON，
OP=OP，
∴△MOP≌△NOP（HL）.
∵△MOP≌△NOP，
∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB.

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